8.1.2 向量数量积的运算律-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

参考答案。 N,由于第一次到达平衡位置的时间为0.5s,因此由M点 而2.4-1.6-0.8s,.经过1min后摆球在点0处. 第一次到达N点的时间为1s,由N处摆动到平衡位置是 数学文化 第二次到达平衡位置，用时0.5s,到达M点用时0.5s,从 点M再次达到平衡位置点O,即第三次到达平衡位置又用 例50【解析】据F=-5V2sin(100mt-7)知w= 时0.5s.故第三次经过平衡位置的时间为1+0.5+0.5+0.5= 2.5(s). 100mds,该通信信号的同期为上2西：n002s,则 变式训练3解：由题知，该摆球摆动一个来回需用时32s, .:1min=60s=(18×3.2+2.4)s, 这种通信信号在05s内往复传输的次数为n-2·子-2x0 0.02 50(次)· 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1向量的数量积 4×2=8. 变式训练2①②⑥⑧【解析】由于a≥0，b2≥0，.若 8.1.1向量数量积的概念 a+b2-0,则a-b=0,.①正确： 要点精析 若a+b=0,则a=-b,又a,b,c是三个非零向量， 例1(1)D(2)90°150【解析】(1)向量1al=2, .ac=b·c,.lac=bcl,.②正确： bV3.且a6-3,cosa,-8i路=-Y a,b共线台ab=±lallbl,.③不正确； 2 对于④，应有lab1≥a·b,.④不正确； 又(a,b)e[0,π]，(a,b)=5π.故选D. 对于⑤，应该是a·a·a=laPa,∴⑤不正确； 6 a2+b2≥2lab1≥2a·b,.⑥正确： (2)在△ABC中，AB=4,BC=2,ABBC=4,.Ai. 当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0,.⑦不正确： BClcos(AE,BC)=-4,得4x2cos(π blcost0表示向量b在向量a上的投影的数量，.⑧正 B)=4,cocB分，得B=-60 确.综上可知①②⑥⑧正确。 例3)A2)-号 -2【解析】(1)向量b的模 如图，延长BC到D,使CD=BC 则△ABD为等边三角形，：AC⊥BC 为1，且b在a上的投影的数量为V -,则1 blcos(a,b〉= ∠BAC=30°，·向量BC与CA的夹角 D 2 为90°，AB与CA的夹角为150°. 例1答图 3,cos(a,b)=V3.a,b)e[0.m]..a,b) 2 2 变式训练1(1)D(2)2Y2【解析】(1)设两个 3 =石-30，故选A 单位向量分别为e1,e2,则e1·e2=cos(e1,e》=-1,由于 (2).:平面向量la=2,bl=6且a·b=-4,..allblcos(a, (e1,e2》∈[0，π]，∴.(e1,e2)=π.故选D.(2)a是单位 向量，且3a·b=bl,则3 lallblcos(a,b)=lb1,得cos(a,b) b)=-4,得cosa,b)=了a在b上投影的数量为a: =了又sina,b+cos(a,b)=l,得sina,)=8 cos(a,b)=-?,b在a上投影的数量为b1cos(a,b=-2. 3 .0≤(a,b)≤m,sin(a,b)=2Y2 变式训练3(1)D(2)6【解析】(1)如图，取AB 3 的中点H,连接CH,则向量AC在AB 例2(1)③④(2)8【解析】(1)由数量积的定义知 上的投影的数量为AH=AClcos.∠CAB, ab=lalbl.cose0(0为向量a,b的夹角). ①若ab=0,则0=90°或a=0或b=0,故①错误： .AB.AC=IABI.IAC'lcos CAB=IABI. ②若a~b<0,则0为钝角或0=180°，故②错误； AH=2.故选D. H ③由AB·BC=0知B=90°，故△ABC为直角三角形，故 (2)向量a在向量b上的投影的 数量是2，bl=3,则ab=lallblcos(a,b》 ③正确： 变式训练3答图 =(lalcos(a,b))Ibl=2x3=6. ④a2=a=1,b2=bP=1,故④正确 8.1.2向量数量积的运算律 (2)如图，过点A作AD⊥BC, 垂足为D.AB=AC,BD=BC=2, 要点精析 2 例1④【解析】两个非零向量a,b垂直时，a-b=0,故 于是IBA1 cos LABC=IBDE1IBC= ①不正确： 例2答图 当a=0,b⊥c时，ab=bc=0,但不能得出a=c,故② 2X4=2,B·B配=Cicos.∠ABC 不正确； 向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正 47 高中数学必修第三册人教B版 确； .a+b+c+d=0,.a+b=-(c+d),.∴.(a+b)2=(c+d)2,即laP+ a[b(ac)-c(ab)]=(ab)(ac)-(ac)(ab)=0,故④ 2a-b+b2=cP+2c·d+ld 正确 由于a…b=c…d,la+b2-lc+d,① 变式训练1①③④【解析】根据向量数量积的分配律知① 同理有laP+d2=lcP+b2.② 正确； 由①②可得la=lcl,且bl=ld,即四边形ABCD两组对 .[(b·c)·a-(ca)b]c=(bc)·(ac)-(ca)(bc)=0, 边分别相等.∴.四边形ABCD是平行四边形 .(bc)a-(ca)b与c垂直，②错误； 由a·b=bc,有b·(a-c)=0,而由平行四边形ABCD可 .a,b不共线，.lal,bl,la-b1组成三角形三边，.lal-； 得a=-c,代入上式得b·(2a)=0,即ab=0,∴.a⊥b,即 bl<la-b1成立，③正确； AB⊥BC.综上所述，四边形ABCD是矩形 ④正确.故正确命题的序号是①③④ 例5解：(1)a⊥b,:ab=0.又x1y,xy=0,即 例2解：a空.ab-V(abF-VWP4a-b [a+(t-3)b]·(-hka+tb)=0, 整理得-ka2-k(t-3)ab+iab+t(t-3)b2-0..a=2,bl=1, =5V3,la-bl=V(a-b)2=VlaP-2a.b+lbP=5,13a+bl= V(3a+b)=V9laP+6a-b+lbF =5V13. 六6-3-0，即=子位30 变式训练2解：已知a·b=lallblcose0=4×2xcos120°=-4，a2= 2由0)知，k=3号~2名即西数 4 1a2=16,b2-=lb2=4. (1).la+b=(a+b)2=2+2ab+b2=16+2×(-4)+4=12,..a+ 的最小值为。 b=2V3. 变式训练5解：不能.证明： (2).3a-4b12=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×16-24×(4) ,向量a与b是两个互相垂直的单位向量 +16×4=16×19,.13a-4b1=4V19. ..lal=lbl=1,a.b=0. (3).(a+b)·(a-2b)=a2-2ab+ab-2b2=16-(-4)-2×4= 又lm2=(ka+b)2=k2+1,n2=(a+kb)2=-k2+1, 12,.l(a+b)·(a-2b)=12. n=(ka+b)·(a+kb)=2k, 例3解：若c⊥d,则cd=0,即(3a+5b)(ma-3b)=0, .2k=Vk2+1·V2+1·cos60°，即4k=k2+1,解得k=2± 3ma2-9ab+5ma.b-15b2=0.a'=lal2=9,b2=IbP=4,a.b= V3,这与k为整数矛盾，.m与n的夹角不能等于60° ab-co60=3.得27m-27415m-60-0,解得m得 数学文化 变式训练3解：：四边形ABCD为平行四边形，Ad= 例ABC【解析】在正八边形A BCDEFGH中，HDL BC=b,..BD'=AD-AB=b-a,AC=a+b,..BD.AC=(b- BR,则丽.0，①正确：00丽1x1cos7-Y号 a).(b+a)=b2-a2=lbP-lal.al=lbl,..BD.AC=0,BDL ②正确：0B+0M=V20A=-V20E,③正确：连接AF, AC. 例4证明：设P而=ACD,并设正三角形ABC的边长为a, 矿-=0-0m1.则-1+1-2x1x1xeos3平-24 则有T-P丽+D丽-AC可+m=A子B所-BC)+}B V2,由此得AH-F=AF=V2+V2,④错误.故选 ABC. =(2A+1)B-AB配 8.1.3向量数量积的坐标运算 又-B所-}BC,/E,设=kE,∴32A+ 要点精析 例1解：(1)ab=(1,3)(2,5)=1×2+3×5=17. 10B-ABC-B-子6BC (2).a+b=(1,3)+(2,5)=(3,8),2a-b=2×(1,3) (2,5)=(2,6)-(2,5)=(0,1),.(a+b)(2a-b)=(3,8)· (0,1)=3×0+8×1=8. 于是有 解得子 (3)(ab)c=17·c=17×(2,1)=(34,17),a·(b·c)=a [(2,5)·(2,1)]=a(2x2+5×1)=9a=(9,27) id,C9cd.又Ci-子-武， 变式训练1解：方法-：a=(-3,-2),b=(-4,),.5a b=(-11,-10-k),b-3a=(5,k+6), BC+CBC+9C=BC9(子-BC)=号BC+号B, ∴.(5a-b)·(b-3a)=(-11,-10-k)·(5,k+6)=-55-(k+ 10)(k+6)=-55, 成.CC+号号-C=是BCm .(k+10)(k+6)=0,.k=-10或k=-6,.b=(-4,-10) 或b=(-4,6). 号C+景号配异o60-号+。-号 方法二：.(5a-b)·(b-3a)=5ab-15a2-b2+3a·b=-15a2+ dcos60=0,..BP LCD',.BPLCD. 8ab-b2=-15×(9+4)+8[(-3)×(-4)-2k]-(16+k2)=-55.整理 变式训练4解：四边形ABCD是矩形.理由： 得k2+16k+60=0,解得k=-10或k=-6,.b=(-4,-10)或 48第八章向量的数量积与三角恒等变换 8.1.2向量数量积的运算律 学习目标 要点2用数量积求长度 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用 例2已知lal=b1=5,向量a与b的夹角 的公式， 企号，求a+b,a-b,Ba+bL 2.会利用向量数量积的有关运算律进行 计算或证明， 要点精析 川要点1向量数量积的运算律 例1给出下列结论： ①若a≠0，ab=0,则b=0;②若ab= bc,则a=c;③(ab)c=a(bc);④a·[b(a 反思感悟 c)-c(a·b)]=0,其中正确结论的序号是 此类求解模问题一般转化为求模的平方， 与向量数量积联系，要灵活应用a=laP,勿 反思感悟 忘记开方 向量的数量积ab与实数a,b的乘积 b有联系，同时有许多不同之处.例如， 变式训练2 由ab=0不能得出a=0或b=0.特别是向量 已知向量a与b的夹角为120°，且la= 的数量积不满足结合律，即一般情况下 4,b1=2,求： (ab)c≠a(b·c) (1)1a+b1;(2)13a-4bl;(3)1(a+b): B变式训练① (a-2b)1. 设a,b,c是任意的非零向量，且它们 相互不共线，给出下列结论： ①ac-bc=(a-b)c;②(bc)·a-(ca)b 不与c垂直；③la-b1<la-b1;④(3a+2h)· (3a-2b)=91a2-41b12.其中正确的序号是 学(63 N 高中数学必修第三册人教B版 要点3利用数量积解决垂直问题 川要点4用向量解决平面几何问题 例3已知lal=3,bl=2,a与b的夹角 例4如图，在正三角形ABC中，D, 为60°，c=3a+5b,d=ma-3b.当m为何值时， E分别是AB,BC上的一个三等分点，且 c与d垂直？ AE,CD交于点P,连接BP.求证：BP⊥CD. 分析可利用c⊥d曰cd=0构造方程 求m. 图8-1-1 反思感悟 向量的垂直问题主要借助于结论a⊥b 曰→ab=0,把几何问题转化为代数问题！ 变式训练4 ⑧变式训练③ 在四边形ABCD中，AB=a,BC=b,CD= c. DA=d,且ab=bc=cd=da,试回答四 已知平行四边形ABCD中，AB=a,BC= 边形ABCD是什么图形，并说明理由， b,且la=lb1,试用a,b表示BD,AC并计算 BD·AC,判断BD与AC的位置关系. (64)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换 例5设平面内两非零向量a与b互相 数学文化 垂直，且la=2,bl=1,k和t是两个不同时 为零的实数 例（多选题）八卦是中国古老文化的 (1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+b垂直，： 深奥概念.图1是八卦模型图，将其简化为 求k关于t的函数关系式k=f(t); 图2中的正八边形ABCDEFGH,其中OA= (2)求函数k=f(t)的最小值. 1,给出下列结论： ①HD·BF=0:②0A.0D=-Y2: ③OB+OH=-V2OE；④连接FH,则AH F7=V2-V2 其中正确结论为() A.① B.② C.③ D.④ 出 图1 图2 B变式训练 图8-1-2 设4与b是两个互相垂直的单位向量， 当k为整数时，向量m=ka+b与向量n=a+kb 的夹角能否等于60°？证明你的结论 学(65