7.4 数学建模活动：周期现象的描述-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

7.4数学建模活动 学习目标 1.了解周期现象在现实中广泛存在. 2.感受周期现象对实际工作的意义： 3.能熟练地判断简单的实际问题的周期， 要点精析 川要点1利用图象判断周期现象 例1下表是2022年5月1日在泰山山 顶每隔2h测得的温度（单位：℃） 时刻 气温 (续表) 0 13.5 时刻 气温 6.0 14 22.5 4 0.1 16 27.5 6 -2 18 28 8 0.14 20 27.3 10 5.9 22 21.0 12 14.1 24 14.5 (1)以时刻为x轴，以气温为y轴，描 出图象： (2)若山顶的温度随时刻t的变化具有周 期现象，试估计泰山山顶一天中的最大温差 第七章三角函数。 周期现象的描述 反思感悟 利用图象判断周期现象的方法 (1)由题中提供的数据画出图象； (2)观察图象是否是随着一个变量的 等值变化，另一个变量的值重复出现，若 满足，则是周期现象 B变式训练① 我们的心跳都是有节奏、有规律的，心 脏跳动时，血压在增大或减小.下表是某人 在一分钟内的血压与时间的对应关系表，通 过表中数据来研究血压变化的规律， t/s 5 10 15 20 25 30 p/mmHg 93.35 136.65 115 93.35 136.65 115 t/s 35 40 45 50 55 60 p/mmHg 93.35 136.65 115 93.35136.65 115 (1)根据上表提供的数据在平面直角坐 标系中作出血压p与时间t的关系的散点图； (2)说明血压变化的规律 学 57 N 高中数学必修第三册人教B版 川要点2周期现象的计算问题 例2水车上装有16个盛水槽，每个 盛水槽最多盛水10L,假设水车5min转一 圈，计算1h内最多盛水多少升. 反思感悟 (1)应用周期现象中“周而复始”的 规律性可以达到“化繁为简”“化无限为 有限”的目的 (2)只要确定好周期现象中重复出现 的“基本单位”，就可以把问题转化到一个 周期内来解决 B变式训练2 利用例2中的水车盛800L的水，至少 需要多少时间？ 58)学 川要点3周期现象的应用 例3一根长为1的线，一端固定，另 一端悬挂一个小球，如图.已知小球从M点 放下，经过0.5s第一次到达平衡位置0， 求小球第三次经过平衡位置O的时间】 图7-4-1 反思感悟 应用周期现象解决实际问题的两个要点 判断某种周期现象的“周期”时，要 找 仔细审题，找准最基本的“重复单位” 就是其“周期” 只要确定了周期现象中的“周期”，我 们就可以把问题转化到一个“周期” 内解决 变式训练3 如图是一单摆，摆球从点B到点O,再 到点C用时1.6s(不计阻力).若从摆球在 点B处开始计时，经过1min后，请估计摆 球相对于点O的位置. wuuuiiiu 图7-4-3 第七章三角函数。 数学文化 傅立叶变换是数字信号处理领域一种 很重要的算法.要知道傅立叶变换算法的意 义，首先要了解傅立叶原理的意义.傅立叶 原理表明：任何连续测量的时序或信号， 都可以表示为不同频率的正弦波信号的无 限叠加.而根据该原理创立的傅立叶变换算 法利用直接测量到的原始信号，以累加方 式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、 振幅和相位. 例已知某种通信信号F(dBm)随时 间t(s)的变化规律可以拟合为函数F= 5V2sim100m-牙，te[0,+∞)，则这种 通信信号在0.5s内往复传输 次. 学(59】N 高中数学必修第三册人教B版 .所求x的集合是arctan- 3,，T+arctan 11 3 (3)由(2)可知，x=kT+artan-号或x=km+r+arctan-号 keZ,所求x的取值集合为m+aran了(keZ) 变式训练3解：(1)由正切函数在开区间（受，受）上 是增函数可知，符合条件ana=-2的角只有一个，即a= arctan(-2). (2)tana=-2<0,∴.a是第二或第四象限角.又ae [0,2,由正切函数在区间（受，，（贺，2]上是增 函数可知，符合tana=-2的角有两个.".tan(T+a)=tan(2r+ a)-tano=-2 arctan(-2)E 0)...a=+arctan(-2) a=2m+arctan(-2). (3)a=km+arctan(-2)(EZ). m,=V3o.将M 例4解：tan4=V3, cosA sinB V2cosB代人，有V2cosB=V3cOsB cosA sinB 若cosB=0,则siA=0,而A,Be(0,π)，此时无解. eosB≠0.cos4=-VnB 由sinM=V7 cosB及coc4-√胥smB,平方后相加得 2cos2B+子n=1,即nB=及，nB=±Y5.0B<m, inf=号，B=号或牙 当B=号时，sinM=V2cosg-y2,M=T或3如 2 4 (舍).当B=时，sm=V7os要-Y7与01<m 3 不盾，故A子B=号C授 变式训练4解：(1)-l≤x≤l,arsin受，乃] a=arcsinx,.'x=sina,.'.sin(arcsinx)=sina=x. (2)-l≤x≤l,∴.arccosx E[0,T].设a=arccosx, .∴x=Cosa,∴.cos(arccosx)=Cosa=x. (3).-l≤x≤1，∴.arccosx∈[0，m].设a=arccosx, .'x=cosa,.'.sin(arccosx )=sina=V1-cos'a =V1-2. (④xeR,arctanse仁乏，7人设o-aretans, tana,∴sin((aretan))sina,即已知tan,且ae←7，乏】 时，求sina的值 .x=tana=sina ,.2=sin'a=sin'a cosa cosa1-sina'六sina=， V1+x2 (sina的正、负由x确定) 数学文化 例AD【解析】正、余弦函数的值域均为[-1,1]， 46 .“反正弦函数”与“反余弦函数”的定义域均为[-1,1]， 故A正确.：正弦函数)=simx在[-受，受]单调递增，可 增大时，x也增大，即“反正弦函数”单调递增，同理可 知，“反余弦函数”单调递减，故B错误.由B选项可知， “反余弦函数”单调递减，不可能是偶函数，故C错误.设 arcsina=a,arccosx2=B,sina=x1,cosB=2.20, a,Be0,又+i=l,则sina+eosB=l,即snae sinB,.∴sina=sinB,则a-3,即arcsinx1=arcsinx2,故D正确， 故选AD. "7.4数学建摸活动：周期现象的描述 要点精析 例1解：(1)如图： 20 18 08 20 -224681012141618202224i 例1答图 (2)由图（表）知，泰山山顶一天中的最大温差约为 28-(-2)=30(℃). 变式训练1解：(1)散点图如图. ◆p/mmHg 136.65-t-71x11 5 93.3 ,● 051015202530354045505560内 变式训练1答图 (2)从散点图可以看出，每经过相同的时间间隔T (15s),血压就重复出现相同的数值，因此，血压是周期 性变化的. 例2解：.1h=60min=12×5min,且水车5min转1圈， .1h内水车转12圈.又.·水车上装有16个盛水槽，每个盛 水槽最多盛水10L,每转一圈，最多盛水16x10=160(L), .水车1h内最多盛水160×12=1920(L). 变式训练2解：设xmin后盛水yL,由例2知每转一圈， 水车最多盛水16x10=160(L),y=号160=32x,为使水 车盛800L的水，则有32x≥800，.x≥25，即水车盛800L 的水至少需要25min. 例3设小球从点M处放下，经过平衡位置O到达最高点 参考答案。 N,由于第一次到达平衡位置的时间为0.5s,因此由M点 而2.4-1.6=-0.8s,.经过1min后摆球在点0处. 第一次到达N点的时间为1s,由N处摆动到平衡位置是 数学文化 第二次到达平衡位置，用时0.5s,到达M点用时0.5s,从 点M再次达到平衡位置点O,即第三次到达平衡位置又用 例50【解析】据F=5V2sin(100mt-7)知w= 时0.5s.故第三次经过平衡位置的时间为1+0.5+0.5+0.5= 2.5(s) 100mds,该通信信号的同期为12石：n002s,则 变式训练3解：由题知，该摆球摆动一个来回需用时3.2s, .:1min=60s=(18×3.2+2.4)s, 这种通信信号在05s内往复传输的次数为n-2号-2x0的 0.02 50(次). 第八章向量的数量积与三角恒等变换 >m8.1向量的数量积 4×2=8. 变式训练2①②⑥⑧【解析】由于a≥0，b2≥0，.若 8.1.1向量数量积的概念 a+b2-0,则a=b=0,.①正确： 要点精析 若a+b=0,则a=-b,又a,b,c是三个非零向量， 例1(1)D(2)90°150【解析】(1)向量1al=2, .ac=bc,.lac=bcl,.②正确： bV3.且ab-3,cosa,b-8i路=Y a,b共线台ab=±lallbl,.③不正确； 2 对于④，应有lab1≥a·b,.④不正确； 又(a,b)e[0,π]，(a,b)=5π.故选D. 对于⑤，应该是a·a·a=laPa,.⑤不正确： 6 a2+b2≥2lab1≥2a·b,.⑥正确： (2)在△ABC中，AB=4,BC=2,ABBC=4,ABi. 当a与b的夹角为0°时，也有ab>0,.⑦不正确： BClcos(AB,BC)=-4,得4x2cos(π blcost0表示向量b在向量a上的投影的数量，.⑧正 B)=4,c0cB分，得B=-60 确.综上可知①②⑥⑧正确 例3)A2)-号 -2【解析】(1)向量b的模 如图，延长BC到D,使CD=BC 则△ABD为等边三角形，AC⊥BC 为1，且b在a上的投影的数量为V -,则1 blcos(a,b〉= ∠BAC=30°，·.向量BC与CA的夹角 D 2 为90°，AB与CA的夹角为150°. 例1答图 3,cos(a,b)=V3.a,b)e[0.m]..a,b) 2 2 变式训练1(1)D(2)22【解析】(1)设两个 3 =石-30，故选A 单位向量分别为e1,e2,则e1·e2=cos(e1,e2》=-1,由于 (2).:平面向量la=2,bl=6且a·b=-4,..allblcos(a, (e1,e2》∈[0，π]，∴(e1,e2)=π.故选D.(2)a是单位 向量，且3ab=bl,则3lalb1cos(a,b)=lbl,得cos(a,b) b)=-4,得cosa,b)=了a在b上投影的数量为a: =号又sin(a,b)+cos(a,b》=l,得sin2a,b)=8 c0s(,b)=-?,b在a上投影的数量为b1cos(a,b=-2. 3 .0≤(a,b)≤m,∴sin(a,b)=2Y2 变式训练3(1)D(2)6【解析】(1)如图，取AB 3 的中点H,连接CH,则向量AC在AB 例2(1)③④(2)8【解析】(1)由数量积的定义知 上的投影的数量为AH=AClcos.∠CAB, ab=lallbl.cose0(0为向量a,b的夹角). ①若ab=0,则0=90°或a=0或b=0,故①错误： .AB.AC=IABI.IAClcos CAB=IABI. ②若ab<0,则0为钝角或0=180°，故②错误； AH=2.故选D. (2).向量a在向量b上的投影的 ③由AB·BC=0知B=90°，故△ABC为直角三角形，故 数量是2，bl=3,则ab=lallblcos(a,b》 ③正确： 变式训练3答图 =(lalcos(a,b))Ibl=2x3=6. ④a2=a=1,b2=bP=1,故④正确 81.2向量数量积的运算律 (2)如图，过点A作AD⊥BC, 垂足为D.AB=AC,BD=BC=2, 要点精析 例1④【解析】两个非零向量a,b垂直时，a-b=0,故 于是BA1·cos LABC=IBDE=LIBC= ①不正确： 例2答图 当a=0,b⊥c时，ab=bc=0,但不能得出a=c,故② 7X4=2,B·B配=Ccos.∠ABC- 不正确； 向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正 47