7.4 数学建模活动：周期现象的描述-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

7.4 数学建模活动:周期现象的描述 [教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学] [课时目标] 1.了解生活中具有周而复始、循环往复特点的现象.2.通过构建三角函数模型,尝试解决物理、生活中的简单问题. 题型(一)　三角函数在物理中的应用 [例1]　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s=4sin,t∈[0,+∞).用“五点法”作出这个函数的简图,并回答下列问题. (1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少? (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少? (3)经过多长时间小球往复振动一次? 解:列表如下: t - 2t+ 0 π 2π sin 0 1 0 -1 0 s 0 4 0 -4 0 描点、连线,图象如图实线部分所示. (1)将t=0代入s=4sin,得s=4sin=2,所以小球开始振动时的位移是2 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和-4 cm. (3)因为振动的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是π s. |思|维|建|模| 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 　　[针对训练] 1.如图所示,一个单摆以OA为始边,OB为终边,角θ(-π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ=sin,t∈[0,+∞),则当t=0时,角θ的大小及单摆频率是 (　　) A.2, B., C.,π D.2,π 解析:选B　当t=0时,θ=sin=.由函数解析式易知,单摆周期为=π,故单摆频率为. 2.已知电流I(A)与时间t(s)的关系为I=Asin(ωt+φ). (1)如图是该函数在一个周期内的图象,求该函数的解析式; (2)如果t在任意一段 s的时间内,电流I都能取到最大值和最小值,那么ω的最小值是多少? 解:(1)由题图可知,A=300,周期T=2×=,∴ω==150π. 又当t=时,I=0,则sin=0,即sin=0.又|φ|<,∴φ=. 故所求的函数解析式为I=300sin. (2)依题意,周期T≤,即≤,∴ω≥300π.故ω的最小值为300π. 题型(二)　三角函数在生活中的应用 [例2]　某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系f(t)=10-2sin,t∈[0,24]. (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温? 解:(1)因为f(t)=10-2sin,t∈[0,24], 所以≤t+≤,-1≤sin≤1. 因为当t=2时,sin=1; 当t=14时,sin=-1, 所以f(t)在[0,24]上的最大值为12,最小值为8. 故实验室这一天的最高温度为12 ℃, 最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃. (2)依题意,得当f(t)>11时实验室需要降温. 所以10-2sin>11,即sin<-. 又0≤t≤24,因此,<t+<,即10<t<18. 故在10时至18时实验室需要降温. 　　|思|维|建|模|　解三角函数应用问题的基本步骤 　　[针对训练] 3.健康成年人的收缩压和舒张压一般为120~140 mmHg和60~90 mmHg.心脏跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)=25sin 160πt+115,其中p(t)为血压(mmHg),t为时间(min),试回答下列问题: (1)求函数p(t)的周期; (2)求此人每分钟心跳的次数; (3)求出此人的血压在血压计上的读数,并与正常值比较. 解:(1)T===(min). (2)f==80,即此人每分钟心跳的次数为80. (3)p(t)max=115+25=140(mmHg),p(t)min=115-25=90(mmHg),即收缩压为140 mmHg,舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg,在正常值范围内. 题型(三)　数据拟合模型的应用 [例3]　下表所示的是某地2000~2022年的月平均气温(华氏度). 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴,x=月份-1,平均气温为y轴建立平面直角坐标系. (1)描出散点图,并用正弦曲线去拟合这些数据; (2)这个函数的周期是多少? (3)估计这个正弦曲线的振幅A; (4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据? ①=cos;②=cos;③=cos; ④=sin. 解:(1)根据表中数据画出散点图,并用曲线拟合这些数据,如图所示. (2)1月份的平均气温最低,为21.4华氏度,7月份的平均气温最高,为73.0华氏度,根据散点图知=6-0=6,∴T=12. (3)∵2A=最高气温-最低气温=73.0-21.4=51.6,∴A=25.8. (4)∵x=月份-1,∴不妨取x=2-1=1,y=26.0, 代入①,得=>1≠cos,∴①不适合. 代入②,得=<0≠cos, ∴②不适合.同理④不适合,∴③最适合. |思|维|建|模| 处理曲线拟合与预测问题的一般步骤 (1)根据原始数据绘出散点图. (2)通过观察散点图,画出与其“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线. (3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式. (4)利用函数解析式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据. 　　[针对训练] 4.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示,则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为　　　　.  t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.0 解析:设y=Asin(ωt+φ),则从题表中可以得到A=4,ω===.又由4sin φ=-4.0,可得sin φ=-1,取φ=-,故y=4sin,即y=-4cost. 答案:y=-4cost 5.下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时): 时间/时 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 温度/℃ 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8 　(1)作出这些数据的散点图; (2)选用一个三角函数来近似描述这些数据. 解:(1)散点图如图所示. (2)设t时的体温y=Asin(ωt+φ)+c,由图象可知c==37,A==0.4,ω===. ∵0.4sin+37=37.4, ∴ sin=1,取φ=-. 故可用函数y=0.4sin+37来近似描述这些数据. 学科网（北京）股份有限公司 $