第七章 三角函数（知识清单+7大易错点）数学人教B版必修第三册

第七章 三角函数 知识点 具体内容 任 意 角 的 概 念 与 弧 度 制 1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．角的表示 如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的始边和终边． “角”或“”可以简记成“”． （3）角的分类 正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角：如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角 （4）相等角与相反角 ①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称． ②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为． ③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是． ④角的减法可以转化为角的加法． 3．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 4．终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏； （2） 与中间用“”连接，如可理解成． （3）象限角的表示： 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 5．角的单位制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 6．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 度数弧度数 弧度数度数 7．扇形的弧长公式及面积公式 弧长公式：（角度制）、（弧度制） 面积公式：（角度制）、（弧度制） 三 角 函 数 的 定 义 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的纵坐标叫做的正弦,记作,即 余弦 点的横坐标叫做的正弦,记作,即 正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数,记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中,应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和所在终边上的位置无关,而由角的终边位置决定． 2．三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正,三四象限负； 余弦：一四象限正,二三象限负； 正切：一三象限正,二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式 （1）平方关系:. （2）商数关系:. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切恒成立,而仅对成立. 诱 导 公 式 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二：，，，其中 诱导公式三：，，，其中 诱导公式四：，．，，其中 知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质 1.正弦函数的图象（五点法） ①画出正弦曲线在上的图象的五个关键点，，，，，用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、向右平行移动(每次个单位长度)． 2．余弦函数图象 方法1：要得到的图象，只需把的图象向左平移个单位长度即可，这是由于. 方法2：用“五点法”：画余弦曲线在上的图象时，所取的五个关键点分别为，，，，，再用光滑的曲线连接． 2．周期函数 （1）周期函数的定义：一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. （2）最小正周期的定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期 3．正弦函数、余弦函数的图象与性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在()上单调递增; 在上单调递减 在上单调递增; 在()上单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当时， 对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 温馨提示：（1）正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调． （2）正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值． 4．正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 R 周期 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间内单调递增 三 角 函 数 的 图 象 变 换 注意：由到的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 易错01 应用三角函数定义时没注意终边为射线 注意：三角函数定义中角的终边为射线，非线段，需注意终边所在直线与射线的区别，结合坐标系判断终边准确位置，根据射线所在象限确定三角函数值的符号，避免因误将线段当射线导致定义应用错误。 1．已知角的终边在直线上，则的值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【详解】由题知， 设角的终边上一点，则. 当时，，，， 所以； 当时，，，， 所以. 故选：C. 2．（多选）若角的始边与轴非负半轴重合，终边在直线上，则下列一定不成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】若角的始边与轴非负半轴重合，终边在直线上， 当终边上点在第一象限，设点，； 当终边上点在第三象限，设点，； 对于A：一定成立； 对于B：一定不成立； 对于C：一定不成立； 对于D：可能成立； 故选：BC. 3．（多选）若角的终边在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】若的终边在第二象限，在的终边上取一点，则， 所以． 若的终边在第四象限，在的终边上取，则， 所以． 故选：AC 4．若角的终边落在直线上，角的终边与单位圆交于点，且，则 . 【答案】 【详解】由角的终边与单位圆交于点， 得，又， ∴，因为角的终边落在直线上， 所以角只能是第三象限角． 记 P 为角的终边与单位圆的交点，设， 则，即，又， 解得，即， 因为点在单位圆上，所以， 解得，即， 所以. 故答案为：. 易错02 诱导公式掌握不熟练 熟记诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”核心法则，先判断角度与的倍数关系，再确定函数名是否变换，最后将角视为锐角判断原函数在对应象限的符号。 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则. 故选：C. 6．已知，是第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是第二象限角，所以， 则， 又，所以位于第二象限， 因此， 故. 故选：C. 7．已知是第二象限的角，设点是终边上一点，且则 【答案】/ 【详解】因为点是终边上一点，且 所以，解得或， 由为第二象限角，可知，故， 所以， 所以. 故答案为： 8．如图，已知在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点两点，. (1)若，求及的值； (2)若，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）由题知，又，A在单位圆上， ，则，， ； （2）， 由，得， 则， ，得， . 9．已知锐角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与圆心在原点的单位圆相交于点. (1)求角的值，并计算的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）锐角的终边与圆心在原点的单位圆相交于点， 则，得或（舍去）， 则，所以； ； （2）由（1）知， . 10．已知. (1)若，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1） 又， . （2）由（1）知， 又 则. 易错03 求解时忽略角的范围 注意：根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定未知角的范围，并进行定号 11．已知，则cos θ的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，，可得或（舍）， 又，则. 故选：C 12．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 ，及，所以 ， 当时，，即， 而，所以，所以， 所以， . 故选：D 13．已知，，则 ． 【答案】 【详解】由可得， 平方可得，即， 化简可得， 即，解得或， 其中，则， 当时，（舍）， 当时，， 所以. 故答案为： 14．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 又，则， 所以， 所以. 故选：A 15．（多选）已知，且，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对A，因为，两边平方得：，A错误； 对B，因，且，所以，B正确； 对C，因为，所以，，所以， 因为，，则，即：，故C正确； 对D，联立：及，解得：，，故D错误. 故选：BC． 16．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由可得：， 即，解得：或. 因为，所以，所以. （2）. （3） . 易错04 三角函数单调性判断错误 注意：判断单调性先将函数化为最简形式，明确内层函数的取值范围，结合正弦、余弦、正切函数的基本单调区间，利用“同增异减”法则判断复合函数单调性，注意正切函数在定义域内不连续，无单调增区间。 17．函数的单调增区间为 . 【答案】 【详解】函数，即， 则，解得， 所以函数的单调增区间为. 故答案为： 18．函数的单调增区间为 ． 【答案】 【详解】由余弦函数图像性质，可得的单调递减区间为， 故的单调递增区间为. 故答案为：. 19．函数的单调增区间是 ． 【答案】 【详解】因为， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 20．函数，的单调减区间为 . 【答案】和 【详解】由题意知，所以函数的单调减区间就是的单调增区间， 已知得单调增区间为， 得，解得， 当时，增区间为，当时，增区间为， 所以在上的单调增区间为和， 即在上的单调减区间为和， 故答案为：和. 易错05 图象变换的方向把握不准 注意：平移变换为左加右减，且平移的量为 21．为了得到函数的图象，只要把函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】B 【详解】因为， 根据函数图象平移中的“左加右减”原则知 为了得到函数的图象，只要把函数的图象向右平行移动个单位长度， 故选：B. 22．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【详解】因为， 所以将的图象向左平移个单位，可得函数的图象. 故选：A 23．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移是个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【详解】因， 故可以将函数的图象向右平移个单位长度， 即可得到函数的图象. 故选：A. 24．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的图象向右平移个单位长度， 可得， 因为函数的对称中心为， 若平移后的图象关于原点对称， 则，得， 因为，故当时，取得最小值. 故选：C. 25．将函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于直线对称，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象， 由得到的函数图象关于直线对称，则， 所以的可能取值为， 故选：A. 26．将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 【答案】/ 【详解】因函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）， 再向右平移个单位长度，得到函数的图象， 所以，得. 故答案为：. 27．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的横坐标 到原来的 （纵坐标不变），再向 平行移动 个单位长度． 【答案】 扩大 2倍 左 【详解】由 ． 故答案为：扩大，2倍，左，. 易错06 由图象求函数解析式忽略细节 注意：在求时，一般利用曲线上的最高（最低）点求初相，其它点得对应（或）图象的递增（或递减）趋势 28．函数的图象如图，则下列有关性质的描述正确的是（    ） A． B．，为函数的对称轴 C．向右移后的函数为偶函数 D．函数的单调递减区间为， 【答案】D 【详解】由图象知：，，则，， ，因为在图象上，则， 所以，则，又， 则，所以， 令，解得， 所以的对称轴方程为：， 向右移后得到函数， 令，解得， 所以的单调递减区间为， 故选：D 29．函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（    ）    A． B． C．为的一条对称轴 D．若，则为奇数 【答案】D 【详解】对于A：由图，，所以，，A错误； 对于B：图象过点，可得，可得， 解得，B错误； 对于C：由上可知，因为， 所以不是的一条对称轴，C错误； 对于D：若，即，可得，解得， 因为是偶数，是奇数，所以为奇数，D正确. 故选：D. 30．（多选）如图所示，函数的图象经过三点，则（   ） A． B． C． D．在上单调递增 【答案】AB 【详解】由过点可得，解得， 由过点可得，令， 则，结合图象趋势可知， 所以，即， 再由图象可知周期且，所以， 所以，所以. 所以，， 对于A：，A正确； 对于B、C：由上推导可知，B正确，C错误； 对于D：由得， 因为在单调递增，在单调递减， 所以在单调递增，在单调递减，D错误； 故选：AB. 31．已知函数的部分图象如图所示，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为函数的初相为，是函数在轴左侧最靠近轴的零点， 令，对比函数的图象如下图所示： 当时，，解得. 故答案为：. 32．知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由图可知，周期，故， 此时，代入，可得， 故，解得， 由于，故取，，； （2）由可得 ， 该方程在上有四个不同的实数根， 令，则，， 则，， 令，则， 如图，要使在上有四个不同的实数根， 则需要在上有两个不相等的实数根， 故， 由于时，无解，故， 则，令，则且， 故， 由于在上单调递减， 此时至多一个实数根，不符合题意，故， 如图：当时， ， ，当且仅当时，取等号， 故． 33．已知函数的部分图象如图所示： (1)求函数的解析式； (2)将图象上各点的纵坐标向下平移1个单位长度，横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象上各点向左平移个单位长度，得到的图象，求图象的对称中心； (3)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 由图知最大值为，最小值为，即，解得， 所以. 由图知的最小正周期为，即，解得， 所以. 将的坐标代入得， 所以，所以，解得， 又，所以，所以. （2）将图象上各点的纵坐标向下平移1个单位长度，得到，即的图象； 再将横坐标伸长为原来的3倍，得到的图象； 最后将所得图象上各点向左平移个单位长度，得到的图象， 所以. 所以图象的对称中心与余弦曲线的对称中心一样，为. （3），即， 所以，解得， 即不等式的解集为． 易错07 记错正切函数的对称中心 注意：正切函数的对称中心为，不是 34．若点为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，得，， 因此函数图象的对称中心为， 而，则，，，， 所以，，，所以的最小值为. 故选：D 35．“”是“函数的图象关于点对称”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】正切函数的对称中心为，， 令，解得， 所以函数的对称中心为. 所以“”是“函数的图象关于点对称”的充要条件. 故选：C． 36．（多选）已知函数的图象关于点对称，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为函数的图象关于点对称，则， 解得，令可得， 令可得，令可得，令可得，BC选项符合题意. 故选：BC. 37．若点（）为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由，，得，; 因此函数的图象的对称中心为（） 而，则，，，， ，，， 所以的最小值为. 故答案为：. 38．函数的图象的一个对称中心为，则实数的最大值为 . 【答案】 【详解】若的图象的一个对称中心为， 根据正切函数的性质，，得到， 显然是关于的增函数， 令，解得，又，则， 即的最大值是. 故答案为： 39．若的一个对称中心为，则 ． 【答案】 【详解】正切函数的对称中心为， 对于函数，其对称中心满足， 解得对称中心的横坐标， 所以，， 所以． 故答案为：． 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 2．要得到的图象，需要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【详解】因为， 为了得到的图象，需要将函数的图象向右平移个单位. 故选：D. 3．已知角的终边与单位圆的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由角的终边与单位圆的交点为，所以. 再由诱导公式得. 故选：A 4．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则， 又因为，则，且， 所以. 故选：D. 5．筒车作为我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图甲，将筒车抽象为一个几何图形（圆），如图乙，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 D．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 【答案】D 【详解】对于A，，得，A错误； 对于B，依题意,得， 则， 由时，得，即， 而，则，B错误； 对于C，由，得， 则，，解得，， 所以盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒，C错误； 对于D， 令，即， 因为，所以，则，得， 即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，D正确. 故选：D． 6．（多选）已知函数的图象关于点对称，则的值可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以，则. A：令，符合题意； B：令，不符合题意； C：令，符合题意； D：令，不符合题意， 故选：AC 7．（多选）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递减 D．的图象关于点对称 【答案】AD 【详解】由题意得，，则的最小正周期是，故A正确； 由正切函数性质得的图象不是轴对称图形，故B错误； 若，则， 因为在上单调递增，所以在区间上单调递增，故C错误； 而，故D正确. 故选：AD 8．如图，已知是函数的一个零点，曲线与直线交于A，B两点，若，且，，则 ， ． 【答案】 4 / 【详解】令，结合两点处的单调性可得， 又，所以，又， 可得，因此， 又，且在处函数图象单调递增， 因此，解得， 又，所以. 故答案为：4；； 9．已知函数． (1)求的最小正周期、定义域、对称中心和单调区间； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，定义域为；对称中心为；单调递减区间为）无单调递增区间 (2) 【分析】 【详解】（1）解：的最小正周期为 由，解得， 故的定义域为； 由，解得， 故的对称中心为； 因为， 由，得， 所以函数的单调递减区间为）无单调递增区间. （2）， ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 三角函数 知识点 具体内容 任 意 角 的 概 念 与 弧 度 制 1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置________到另一个位置所成的图形． 2．角的表示 如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按________方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的________和________． “角”或“”可以简记成“________”． （3）角的分类 正角：一条射线绕其端点按________方向旋转形成的角 负角：一条射线绕其端点按________方向旋转形成的角 零角：如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角 （4）相等角与相反角 ①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向________且旋转量________，那么就称． ②我们把射线OA绕端点O按________方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为________．角的相反角记为． ③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是________． ④角的减法可以转化为角的________． 3．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与________重合，角的始边与________重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是________；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 4．终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合________，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与________的和． 温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏； （2） 与中间用“”连接，如可理解成． （3）象限角的表示： 是第一象限角，所以________ 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以________ 是第四象限角，所以 5．角的单位制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的________，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号________表示，读作弧度． 6．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 度数弧度数 弧度数度数 7．扇形的弧长公式及面积公式 弧长公式：________（角度制）、（弧度制） 面积公式：（角度制）、________（弧度制） 三 角 函 数 的 定 义 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的________叫做的正弦,记作,即 余弦 点的________叫做的正弦,记作,即 正切 把点的纵坐标与横坐标的________叫做的正切,记作,即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为________,记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中,应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和所在终边上的位置无关,而由角的________位置决定． 2．三角函数值的符号 如图所示： 正弦：________象限正,________象限负； 余弦：________象限正,________象限负； 正切：________象限正,________象限负． 简记口诀：________ 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式 （1）平方关系:________. （2）商数关系:________. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切________恒成立,而仅对________成立. 诱 导 公 式 诱导公式一：，________，，其中 诱导公式二：，________，，其中 诱导公式三：，________，，其中 诱导公式四：________，．，________，其中 知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇________偶________，________看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质 1.正弦函数的图象（五点法） ①画出正弦曲线在上的图象的五个关键点________，，________，________，，用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、向右________移动(每次个单位长度)． 2．余弦函数图象 方法1：要得到的图象，只需把的图象向左平移________个单位长度即可，这是由于________. 方法2：用“五点法”：画余弦曲线在上的图象时，所取的五个关键点分别为，，________，，________，再用光滑的曲线连接． 2．周期函数 （1）周期函数的定义：一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. （2）最小正周期的定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期 3．正弦函数、余弦函数的图象与性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 ________ 周期性 奇偶性 奇函数 ________ 单调性 在()上单调________; 在上单调________ 在________上单调递增; 在________()上单调递减 最值 当________()时，; 当________()时，; 当________()时，; 当________时， 对称性 对称中心为________(), 对称轴为直线________() 对称中心为________(), 对称轴为直线________() 温馨提示：（1）正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调． （2）正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值． 4．正切函数的图象与性质 图象 定义域 ________ 值域 R 周期 最小正周期为 奇偶性 ________ 单调性 在开区间内单调递增 三 角 函 数 的 图 象 变 换 注意：由到的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 易错01 应用三角函数定义时没注意终边为射线 注意：三角函数定义中角的终边为射线，非线段，需注意终边所在直线与射线的区别，结合坐标系判断终边准确位置，根据射线所在象限确定三角函数值的符号，避免因误将线段当射线导致定义应用错误。 1．已知角的终边在直线上，则的值为（   ） A． B． C．0 D． 2．（多选）若角的始边与轴非负半轴重合，终边在直线上，则下列一定不成立的有（    ） A． B． C． D． 3．（多选）若角的终边在直线上，则（   ） A． B． C． D． 4．若角的终边落在直线上，角的终边与单位圆交于点，且，则 . 易错02 诱导公式掌握不熟练 熟记诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”核心法则，先判断角度与的倍数关系，再确定函数名是否变换，最后将角视为锐角判断原函数在对应象限的符号。 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，是第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 7．已知是第二象限的角，设点是终边上一点，且则 8．如图，已知在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点两点，. (1)若，求及的值； (2)若，求. 9．已知锐角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与圆心在原点的单位圆相交于点. (1)求角的值，并计算的值； (2)若，求的值. 10．已知. (1)若，求； (2)若，求. 易错03 求解时忽略角的范围 注意：根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定未知角的范围，并进行定号 11．已知，则cos θ的值是（    ） A． B． C． D． 12．已知，，则（   ） A． B． C． D． 13．已知，，则 ． 14．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 15．（多选）已知，且，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 16．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 易错04 三角函数单调性判断错误 注意：判断单调性先将函数化为最简形式，明确内层函数的取值范围，结合正弦、余弦、正切函数的基本单调区间，利用“同增异减”法则判断复合函数单调性，注意正切函数在定义域内不连续，无单调增区间。 17．函数的单调增区间为 . 18．函数的单调增区间为 ． 19．函数的单调增区间是 ． 20．函数，的单调减区间为 . 易错05 图象变换的方向把握不准 注意：平移变换为左加右减，且平移的量为 21．为了得到函数的图象，只要把函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 22．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 23．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移是个单位长度 D．向左平移个单位长度 24．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 25．将函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于直线对称，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 26．将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 27．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的横坐标 到原来的 （纵坐标不变），再向 平行移动 个单位长度． 易错06 由图象求函数解析式忽略细节 注意：在求时，一般利用曲线上的最高（最低）点求初相，其它点得对应（或）图象的递增（或递减）趋势 28．函数的图象如图，则下列有关性质的描述正确的是（    ） A． B．，为函数的对称轴 C．向右移后的函数为偶函数 D．函数的单调递减区间为， 29．函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（    ）    A． B． C．为的一条对称轴 D．若，则为奇数 30．（多选）如图所示，函数的图象经过三点，则（   ） A． B． C． D．在上单调递增 31．已知函数的部分图象如图所示，则的值为 ． 32．知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 33．已知函数的部分图象如图所示： (1)求函数的解析式； (2)将图象上各点的纵坐标向下平移1个单位长度，横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象上各点向左平移个单位长度，得到的图象，求图象的对称中心； (3)求关于的不等式的解集． 易错07 记错正切函数的对称中心 注意：正切函数的对称中心为，不是 34．若点为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 35．“”是“函数的图象关于点对称”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 36．（多选）已知函数的图象关于点对称，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 37．若点（）为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为 . 38．函数的图象的一个对称中心为，则实数的最大值为 . 39．若的一个对称中心为，则 ． 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．要得到的图象，需要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 3．已知角的终边与单位圆的交点为，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．筒车作为我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图甲，将筒车抽象为一个几何图形（圆），如图乙，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 D．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 6．（多选）已知函数的图象关于点对称，则的值可能为（　　） A． B． C． D． 7．（多选）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递减 D．的图象关于点对称 8．如图，已知是函数的一个零点，曲线与直线交于A，B两点，若，且，，则 ， ． 9．已知函数． (1)求的最小正周期、定义域、对称中心和单调区间； (2)若，求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $