7.3.5 已知三角函数值求角-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

7.3.5已知 学习目标 1.会由已知三角函数值求角. 2.了解反正弦、反余弦、反正切的意 义，并会用符号arcsinx,.arccosx,arctanx表 示角. 3.已知三角函数值，会使用计算器求角. 要点精析 川要点1已知正弦值求角 例1已知sinr=V3 2 ()当xe一受，罗时，求x的取值 集合； (2)当x∈[0,2π]时，求x的取值 集合； (3)当x∈R时，求x的取值集合. 第七章三角函数。 三角函数值求角 反思感悟 (1)给值求角问题，由于范围不同， 所得的角可能不同，一定要注意范围条件 的约束作用」 (2)对于已知正弦值求角有如下规律： t∈ x∈[0,2π] sinx= -π 0≤a≤1 -1≤a<0 a(lal ≤1) xi=arcsina x=T+arcsina x=arcsina x2=T-arcsinax2=2T-arcsina B变式训练① 已知sina=- 2， 在下列条件下求： (1)a∈ -22 (2)∈R. 学(53 N 高中数学必修第三册人教B版 川要点2已知余弦值求角 例2已知c0s=-0.287. (1)当x∈[0，T]时，求x; (2)当xeR时，求x的取值集合 分析解答本题可先求出定义arccosc 的范围的角x,然后再根据题目要求，利用 诱导公式求出相应的角x的集合 反思感悟 cosx=a（-1≤a≤1)，当x∈[0，m] 时，则x=arccosa,当x∈R时，可先求得 [0,2π]内的所有解，再利用周期性可求 得{xlx=2kT±arccosa,k∈Z}. ⑧变式训练2 已知cosa=-1, ae,,求a 54)学 川要点3已知正切值求角 例3(1）)已知tanx=】且x∈ 3 (2)已知tanx=}且x∈[0,2π]，求x 3 的取值集合； (3)已知tanx= 且x∈R,求x的取值 3 集合 反思感悟 (1)已知角的正切值求角，可先求出 受，受内的角，再由j=anc的周期性 表示所给范围内的角 (2)tana=a,a∈R的解集为{al=kr+ arctana,k∈Z. B变式训练③ 已知tana-2,满足下列条件时，求角ax (Dae-,:(2)ae[0,2m: (3)aER. 川要点4综合应用 例4已知A,B为△ABC的两个内角， 且满足sinA=V2cosB,tan4=3,求 △ABC三个内角的度数. 第七章三角函数。 反思感悟 (1)本题运用了三角消元方法，它是 处理多角度问题的一种常见方法 (2)在求出角B后进行了讨论，舍去 其中2π这种情况.另外在求得角A后又进 3 行讨论，它们都是围绕三角形内角和展开 的.有时仅这一点还不够，还必须借助其他 条件进行取舍 B变式训练④ 计算下列各题 (l)sin(arcsinx)(-1≤x≤1)； (2)cos(arccosx)(-l≤x≤1)； (3)sin(arccosx)(-1≤x≤1)； (4)sin(arctanx）(x∈R). 学(55】 N 高中数学必修第三册人教B版 数学文化 例（多选题）对于正弦函数fx)=sinx, 当x受，受时，x关于y的函数称为 “反正弦函数”，记作f(x)=arcsinx,如 2=石；同样的，对于余弦函数gx) cosx,当xe[0,π]时，x关于y的函数称 为“反余弦函数”，记作g(x)=arccosx,如 (56)学 :3)-号，则下列说法正确的有（） A.“反正弦函数”与“反余弦函数”的 定义域均为[-1,1] B.“反正弦函数”与“反余弦函数”的 单调性相同 C.“反正弦函数”是奇函数，“反余弦 函数”是偶函数 D.若1，x2>0,且x+x=l,则arcsinx= arccosx2由图象可知，函数y=tan是偶函数，单调递增区间为 [B,km+受)(keZ),单调递减区间为牙+m,km (k∈Z),周期为T 变式训练7解：()了(x)=tan受牙)，w子，周 期T石王-2，令兰-号受化ez,得m+号 1 k∈Z),x)的对称中心是km+2开，0(keZ) 3 (2)令受晋0，则=令兰骨受，则=积 令艺-哥=-受，则x=-号函数y=an(竞于)的图象与 x轴的一个交点坐标是号，0，在这个交点左、右两侧 相邻的两条渐近线方程分别是=-号，x=罗，从而得 函数/x)an支-号)在一个周期（号，）内的简图。 Ham(告-引xe(号) 2π 变式训练7答图 数学文化 例①④【解析】由于f(x)=ax的周期为T,①正 确；函数fx)=tanx为奇函数，②不正确；f0)=tan0=0,③不 正确：④表明函数为增函数，而)ianr为区间←2，乏） 上的增函数，④正确：⑤由函数f(x)=tax的图象可知，设 A=,B梦.故函数在区间号，0上 2 有梦>，在区间0，受)上有/营< 2 fx)f(2),⑤不正确. 例题答图 参考答案。 7.3.5已知三角函数值求角 要点精析 例1解：()=sinx在[，上是增函数，且in写 ,=号号引是所求集合 (2)sinx=Y)了0，x为第一或第二象限的角，且 2 s号i号9 在[0,2m]上符合条件的角有x=晋或x=号元x 的取值集合为号，牙} (3)当xeR时，x的取值集合为-2km+写或2kmt 要，ez小 变式训练1解：（)）aarn2)、a=石 (2)sna=分，&eR.a=2kr+aresin3-2ka+7 或a=2km+2m-arcsin}-2kr+T=2km-开(keZ).即a= 2 6 6 2km+7g或a-2k-石keZ）. 6 例2解：(1)cosx=-0.287,且xe[0,π]，x= arccos(-0.287). (2)当x∈R时，先求出x∈[0,2m]上的解.cosx= -0.287,故x是第二或第三象限角. 由(1)知x=a心cos(-0.287)是第二象限角.cos(2r- arccos(-0.287)=cos(arccos(-0.287)=-0.287, 且2m--arccos(-0.287)em,Σ 3T1 ..x=2m-arccos(-0.287). 由余弦函数的周期性知，当x=2kT+1或x=2kT+x2, k∈Z时，cosx=0.287. 即所求x值的集合是{l=2kT±arccos(0.287),k∈Z. 变式训练2解：由余弦函数在[0，π]上是减函数和 c0a=-可知，在[0，m]内符合条件的角有且只有一个 areeas-5,即areos-号）e0,ml.又cowa=写0， .arccos5)e[受，m0cm--arecos(-5jk受 <+ma片k受，即2-aic0s片 例3解：(1)在区间（-受，受)上)=tanx是增函数，符 合条件的角是唯一的，=arctan-兮 (2)',tan(π+a)=tana,x=π+arctan号或x=arctan- 3 3 45 N 高中数学必修第三册人教B版 .所求x的集合是arctan- 3,，T+arctan 11 3 (3)由(2)可知，x=kT+artan-号或x=km+r+arctan-号 keZ,所求x的取值集合为m+aran了(keZ) 变式训练3解：(1)由正切函数在开区间（受，受）上 是增函数可知，符合条件ana=-2的角只有一个，即a= arctan(-2). (2)tana=-2<0,∴.a是第二或第四象限角.又ae [0,2,由正切函数在区间（受，，（贺，2]上是增 函数可知，符合tana=-2的角有两个.".tan(T+a)=tan(2r+ a)-tano=-2 arctan(-2)E 0)...a=+arctan(-2) a=2m+arctan(-2). (3)a=km+arctan(-2)(EZ). m,=V3o.将M 例4解：tan4=V3, cosA sinB V2cosB代人，有V2cosB=V3cOsB cosA sinB 若cosB=0,则siA=0,而A,Be(0,π)，此时无解. eosB≠0.cos4=-VnB 由sinM=V7 cosB及coc4-√胥smB,平方后相加得 2cos2B+子n=1,即nB=及，nB=±Y5.0B<m, inf=号，B=号或牙 当B=号时，sinM=V2cosg-y2,M=T或3如 2 4 (舍).当B=时，sm=V7os要-Y7与01<m 3 不盾，故A子B=号C授 变式训练4解：(1)-l≤x≤l,arsin受，乃] a=arcsinx,.'x=sina,.'.sin(arcsinx)=sina=x. (2)-l≤x≤l,∴.arccosx E[0,T].设a=arccosx, .∴x=Cosa,∴.cos(arccosx)=Cosa=x. (3).-l≤x≤1，∴.arccosx∈[0，m].设a=arccosx, .'x=cosa,.'.sin(arccosx )=sina=V1-cos'a =V1-2. (④xeR,arctanse仁乏，7人设o-aretans, tana,∴sin((aretan))sina,即已知tan,且ae←7，乏】 时，求sina的值 .x=tana=sina ,.2=sin'a=sin'a cosa cosa1-sina'六sina=， V1+x2 (sina的正、负由x确定) 数学文化 例AD【解析】正、余弦函数的值域均为[-1,1]， 46 .“反正弦函数”与“反余弦函数”的定义域均为[-1,1]， 故A正确.：正弦函数)=simx在[-受，受]单调递增，可 增大时，x也增大，即“反正弦函数”单调递增，同理可 知，“反余弦函数”单调递减，故B错误.由B选项可知， “反余弦函数”单调递减，不可能是偶函数，故C错误.设 arcsina=a,arccosx2=B,sina=x1,cosB=2.20, a,Be0,又+i=l,则sina+eosB=l,即snae sinB,.∴sina=sinB,则a-3,即arcsinx1=arcsinx2,故D正确， 故选AD. "7.4数学建摸活动：周期现象的描述 要点精析 例1解：(1)如图： 20 18 08 20 -224681012141618202224i 例1答图 (2)由图（表）知，泰山山顶一天中的最大温差约为 28-(-2)=30(℃). 变式训练1解：(1)散点图如图. ◆p/mmHg 136.65-t-71x11 5 93.3 ,● 051015202530354045505560内 变式训练1答图 (2)从散点图可以看出，每经过相同的时间间隔T (15s),血压就重复出现相同的数值，因此，血压是周期 性变化的. 例2解：.1h=60min=12×5min,且水车5min转1圈， .1h内水车转12圈.又.·水车上装有16个盛水槽，每个盛 水槽最多盛水10L,每转一圈，最多盛水16x10=160(L), .水车1h内最多盛水160×12=1920(L). 变式训练2解：设xmin后盛水yL,由例2知每转一圈， 水车最多盛水16x10=160(L),y=号160=32x,为使水 车盛800L的水，则有32x≥800，.x≥25，即水车盛800L 的水至少需要25min. 例3设小球从点M处放下，经过平衡位置O到达最高点