7.3.4 正切函数的性质与图像-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第三册人教B版 7.3.4正切函数的性质与图象 学习目标 B变式训练① 1.掌握正切函数的性质，会求正切函数 求函数y=Vtanx-L的定义域， 的定义域、值域和周期，会用函数的图象与 tan x+T 6 性质解决综合问题」 2.会作出正切函数的简图，并能借助图 象理解函数的性质 要点精析 川要点1正切函数的定义域和值域 例1求函数)=1-iax 1一的定义域 例2求函数)=sinx+tanx在-平，牙 上的值域。 反思感悟 求正切函数定义域的方法及求值域的 注意点： (1)求与正切函数有关的函数的定义 域时，除了求函数定义域的一般要求外， ,还要保证正切函数y=tan此有意义，即x≠ 反思感悟 牙+m,keZ 利用函数的单调性确定函数的值域是 (2)求解与正切函数有关的函数的值 种常用方法.若函数y=f(x)在定义域[a, 域时，要注意函数的定义域，在定义域内 b]内为增（减）函数，则函数在定义域 求值域；对于求由正切函数复合而成的函 [a,b]内的最小（大）值为fa),最大（小） 数的值域时，常利用换元法，但要注意新 值为fb),函数的值域为[f(a),fb)]或 “元”的范围 [fb),f(a)]. 48)学 第七章三角函数。 变式训练② B变式训练③ 求下列函数的值域 判断函数y=sinx-tanr的奇偶性。 1+cosx ())=tan-平，x∈o,3平： (2)y=tan'x+4tanx-1. 例4 川要点2正切函数的性质 求函数y=an2x-号的定义域、 单调区间和周期. 例3判断函数)y=lg tanx+1的奇偶性。 tanx-1 反思感悟 反思感悟 判定与正切函数有关的函数奇偶性的 求y=Atan(wx+p)的单调区间，可先用 方法： 诱导公式把w化为正值，由kT-T<wx+p< 先求函数的定义域，看其定义域是否 关于原点对称，若其不关于原点对称，则 kT+T求得x的范围即可.比较两个同名函 该函数为非奇非偶函数；若其关于原，点对 数的大小，应保证自变量在同一单调区 称，再看f代-x)与fx)的关系. 间内。 学 (49 N 高中数学必修第三册人教B版 反思感悟 B变式训练④ 比较几个角的正切值大小时，先通过 (1)求函数y=tan2x-3π 的单调区间； 诱导公式把几个角化归到同一个单调区间， 4 再利用单调性比较大小 (2)比较tan m与am-的 4 B变式训练⑤ 大小 不求值，比较下列各组中的两个正切函 数值的大小 (1)tanl56°与tanl71°； 11 (2)tan-4 与tan- 17 6/: 川要点3正切函数的性质的应用 例5比较am7要与am-2 的大小 5 分析 可先把角化归到同一单调区间 内，再利用y=tanx在-T,T上的单调 -2,2 性判断大小关系」 川要点4正切函数的图象 例6用正切函数的图象求满足tanx≥ V3的x的取值范围， 分析作出函数y=tanr在一个周期内 的图象，确定满足条件的x的取值范围， 再求出整个定义域内的解」 50)学 第七章三角函数。 例7画出函数y=Itanx的图象，并根据 图象判断其单调区间、奇偶性和周期性， 反思感悟 解正切不等式的两种方法： (1)图象法：先画出函数图象，找出 符合条件的边界角，再写出符合条件的角 的集合 (2)三角函数线法：先在单位圆中作 出角的边界值时的正切线，得到边界角的 终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要 特别注意函数的定义域 B变式训练6 利用函数图象解不等式-l≤ta≤V3 反思感悟 (1)作出函数y=f(x)川的图象一般利 用图象变换方法，具体步骤是： ①保留函数y=f(x)图象在x轴上方的 部分； ②将函数y=f(x)图象在x轴下方的部 分沿x轴向上翻折. (2)若函数为周期函数，可先研究其 一个周期上的图象，再利用周期性延拓到 定义域上即可」 学 (51 N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练⑦ 数学文化 设函数x)an子-号} 例 已知函数f(x),任意x1,2∈ (1)求函数f代x)的周期、对称中心； 受， (≠x2),给出下列结论： (2)作出函数f代x)在一个周期内的简图. ①fx+π)=fx)；②f-x)=fx)； ③f0)=l；④x)-f2>0: 3x1一X2 ⑤/变小1】 2 当f(x)=tanx时，正确结论的序号为 52)学0],[π，2m]【解析】(1)y=3-2cosx与y=3+2cosx的单 调性相反，由y=3+2cosx的递减区间为[2kT,T+2kπ] (k∈Z),y=3-2cosx的递增区间为[2hm,π+2kπ](k∈ Z). (2)函数y=1+cosx的单调递增区间为[2kT+T,2T+ 2kT](k∈Z),.:[2kT+T,2r+2kT]∩[-T,2T]=[-T, 0]U[π，2π]，y=1+cosx的单调递增区间为[-T,0], [T,2m]. 例6解：D）cos8=0s80得<得<m,而y c0sx在[0，m]上是减函数，cos8>c0s哥.即c0s8】 cos0 (2)c0s(-828°)=c0s(-1080°+252°)=c0s252°，c0s(-765°) =c0s(-1080°+315°)=c0s315,180°<252°<315°<360°，且 y=cosx在[180°，360°]上为增函数，.cos252°<c0s315° 即cos(-828°)<cos(-765). 变式训练6解：(1)cos1155°=cos(3×360°+75)=cos75° c0s(-1516°)=c0s1516°=c0s(4×360°+76°)=cos76°，.y= cosx在[0°，90]上是递减的，且0°<75<7690，.cos75> cos76,即cos1155>cos(-1516). 2)cos-2号5cos2 3 ,y=cosx在[0，π]上是递减 的，且0<<m,os5>cos,即cs牙k 5 cos (3)co()cos )cocs= cos4+号c0s号，yc0x在[0.司上是递诚的， 且0<要<37<m,os要>e0s平，即cosl7k 例7C【解折】依题意位3.每得价子1，故e) 2osom4o-1,面f1,号-1，小4-号臣 故T=m=2m,则u=2,fx)=2c0s(2x+p)-l.2c0s石9） -1l,故君p=2mkeZ.又ok受，故g-石，x) =2cos2x-石）-1.将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为 原来的3倍后，得到y-2c0s子x石}-1，再向左平移受 个单位，得到ga)-2cos子+号-石}12os号+g1. 令-T+2km≤号+晋≤2m(keZ),故-7平+3m≤ x≤-开+3km(keZ), 故函数)的单词递增区同为[7平+3m,一+3m 参考答案。 (k∈Z).故选C. 变式训练7解：()由图可得4=3,14×-分+了=4， o0,0=2牙=受=3o号p小)的图象经 过点号3小，3cos否+p3,-要w-2kmke Z),e=2km+2罗(keZ):0<0<m,e=2牙，x) =3os7+2) 2)9≤m,9≤7+≤4 3 3 的值线为多，3列，4如≤受+受≤1红解得9≤m≤ 23 3 8故m的取值范用为.8 数学文化 例B【解析】y=-2cosx+c0sx+1,xe[-受，受]是 偶函数，图象关于y轴对称，A、D错误：又当xe受，号] 时，cosx∈[0,1]，y=-2cos2x+cosx+l=-(2c0sx+1)(c0sx-l) ≥0，C错误.故选B. 7.3.4正切函数的性质与图象 要点精析 例1解：要使m有意文，须满足≠m号，ke乙 1-tanx≠0， k≠k+号，keZ, 6m+受keZ. .原函数的定义 tanx≠1， k≠水m+，eZ 域为：≠km+受且x≠km+平，keZ tanx≥l, 变式训练1解：根据题意，得am+石)≠0 +若≠7+6m(keZ, +hm≤x<受hm, 4 解得x≠-石+kπ， 6 (k∈Z). 函数的定义域为[牙+km,牙+m)U(号+m,受+ kT(k∈Z). 例2解：y=nx在[牙，牙]上是增函数，y=anx在 [平，牙]上也是增函数，函数y=sin+anr在平，牙] 上是增函数 当x=-平时，函数有最小值，m=sin牙)+an-平） 43 N 高中数学必修第三册人教B版 =-Y2-l;当x=牙时，函数有最大值，ym=sin牙+an平 2 =+1函数的值城为竖1，Y 2 变式训练2解：()）xe0,平)，-牙≤x-平< 受，y=mx平)在0，子上为增函数，且m牙】 =-l,六函数y=am-平)xe0,子的值域为[-l, +∞) (2)令t=tan,则teR,y=f+4t-1=(t+2)2-5≥-5，·. 函数y=tan2x+4tanr-1的值域为[-5，+o). 例3解：由anx+l>0,得tanr>l或tanr<-L, tanx-1 故函数的定义域为km受，km平)Ukm+年，km+受】 (k∈Z) 又-)an牌ea tan(x)-1 (tanx+1)(tanx-1) 0, 即f-x)=f(x.f(x)为奇函数. 变式训练3解：函数的定义域为xx≠k+牙且x≠2kπ+ π，k∈Z,其关于原点对称.又f(-x)=sm-x)-tanx 1+c0s(-x) 二simx+ant=-sinx-tanx=寸(x).函数y=sinr-tanx是奇 1+cosx 1+cosx 1+cosx 函数. 例4解：由2-号+号keZ,可得≠经+吕可 4e乙，：原西数的定义玻为≠受+，keZ由 6m号a号+号eZ,得竖最号最 keZ,∴原函数的单调增区间为经受+品， ke乙由T高受，原两数的周期为号 变式训练4解：(1)y=an2x-3平)的单调区间为 km受km+受}keZ),m受2x-平cm+受ke z,受g<经+gkeZ,函数ym2-平 的单调递增区间为受+号，受+)keZ), (2)由于ian1平n-4r+平)-am要-am牙。 tam=m2+号)=-am.又0<<<受 而)amr在0，受)上单调递增，am平an受，an牙 >-am2g,即am-17>am-) 44 例5解：m7号-tmm+号=am2g,a人2) -m4+)=-amm-）=m号，又-号<号<< 受，yan在（受，受）上是单调递增西数，n受> m-27 变式训练5解：(1)90<156<171<270，而90=号 270=号m.:函数y=ax在（受，3牙）上是增函数， ∴.tanl56°<tanl71°. 2)m-平）片-m4a-8n平=m子，am-5) 41 =-nl7T=-an5g=an石.：函数y=anx在-7，牙)上 6 6 6 是增函数，而-受名<牙受、am石an界，即am1 >tan(-I7n ，6/1 例6解：如图所示，利用图象 知，在区间xe(受受）上满 足anx≥V3的x的取值范围为 0 [牙，受，由正切函数的周期性 知，满足tanx≥V了的x的取值 范围为[km+牙，km+受)(keZ) 变式训练6解：作出函数= 例6答图 anr,xe受，受)的图象， 如图所示.观察图象可得，在 受马内，自变量x应满足 ≤≤石，由正切函数的周 4 期性可知，不等式的解集为 平m≤≤g+6m,kez 变式训练6答图 例7解：由y=ltanxl,得 ta,km≤Kkr+受(keZ), = -tanx,-T+km<km化eZ), 其图象如图所示」 7π一 例7答图 由图象可知，函数y=tan是偶函数，单调递增区间为 [B,km+受)(keZ),单调递减区间为牙+m,km (k∈Z),周期为T 变式训练7解：()了(x)=tan受牙)，w子，周 期T石王-2，令兰-号受化ez,得m+号 1 k∈Z),x)的对称中心是km+2开，0(keZ) 3 (2)令受晋0，则=令兰骨受，则=积 令艺-哥=-受，则x=-号函数y=an(竞于)的图象与 x轴的一个交点坐标是号，0，在这个交点左、右两侧 相邻的两条渐近线方程分别是=-号，x=罗，从而得 函数/x)an支-号)在一个周期（号，）内的简图。 Ham(告-引xe(号) 2π 变式训练7答图 数学文化 例①④【解析】由于f(x)=ax的周期为T,①正 确；函数fx)=tanx为奇函数，②不正确；f0)=tan0=0,③不 正确：④表明函数为增函数，而)ianr为区间←2，乏） 上的增函数，④正确：⑤由函数f(x)=tax的图象可知，设 A=,B梦.故函数在区间号，0上 2 有梦>，在区间0，受)上有/营< 2 fx)f(2),⑤不正确. 例题答图 参考答案。 7.3.5已知三角函数值求角 要点精析 例1解：()=sinx在[，上是增函数，且in写 ,=号号引是所求集合 (2)sinx=Y)了0，x为第一或第二象限的角，且 2 s号i号9 在[0,2m]上符合条件的角有x=晋或x=号元x 的取值集合为号，牙} (3)当xeR时，x的取值集合为-2km+写或2kmt 要，ez小 变式训练1解：（)）aarn2)、a=石 (2)sna=分，&eR.a=2kr+aresin3-2ka+7 或a=2km+2m-arcsin}-2kr+T=2km-开(keZ).即a= 2 6 6 2km+7g或a-2k-石keZ）. 6 例2解：(1)cosx=-0.287,且xe[0,π]，x= arccos(-0.287). (2)当x∈R时，先求出x∈[0,2m]上的解.cosx= -0.287,故x是第二或第三象限角. 由(1)知x=a心cos(-0.287)是第二象限角.cos(2r- arccos(-0.287)=cos(arccos(-0.287)=-0.287, 且2m--arccos(-0.287)em,Σ 3T1 ..x=2m-arccos(-0.287). 由余弦函数的周期性知，当x=2kT+1或x=2kT+x2, k∈Z时，cosx=0.287. 即所求x值的集合是{l=2kT±arccos(0.287),k∈Z. 变式训练2解：由余弦函数在[0，π]上是减函数和 c0a=-可知，在[0，m]内符合条件的角有且只有一个 areeas-5,即areos-号）e0,ml.又cowa=写0， .arccos5)e[受，m0cm--arecos(-5jk受 <+ma片k受，即2-aic0s片 例3解：(1)在区间（-受，受)上)=tanx是增函数，符 合条件的角是唯一的，=arctan-兮 (2)',tan(π+a)=tana,x=π+arctan号或x=arctan- 3 3 45