7.3.2 正弦型函数的性质与图像-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第三册人教B版 7.3.2正弦型函数的性质与图象 反思感悟 学习目标 (1)求有关y=Asin(ωx+p)+b,x∈R的 1.能正确使用五点法、图象变换法作出函 最值或值域这类题目的关键在于充分利用 数y=Asin(ox+p)的图象，并熟悉其变换过程. 好正弦函数y=sinx的有界性，即Isinxls≤L. 2.会求函数y=Asin(ox+p)的周期、频 (2)形如y=psinx+qsinx+r(p≠0)形 率与振幅」 的三角函数最值问题常利用二次函数的思 3.结合具体实例，了解y=Asin(wx+p) 想转化成在给定区间[m,n]上求二次函 的实际意义，并且了解y=Asin(wx+p)中的 数最值的问题，解答时依然采用数形结合 参数A,ω，φ对函数图象变化的影响以及 的思想加以分析，必要时要分区间讨论转 它们的物理意义 化成常见的“轴变区间定”或“轴定区间 变”问题 要点精析 变式训练1 川要点1正弦型函数的定义域和值域 已知函数f(a)=2asin2x-号+b的定义 一般地，形如y=Asin(wx+p)的函数称 为正弦型函数，其中A,w,P都是常数， 域为0，受，值域为[-5，，求a和b 且A≠0，w≠0， 的值 正弦型函数y=Asin(wx+p)(A≠0，w≠ 0)的定义域为R,值域为[-A1,4] 例1求下列函数的最大值和最小值， 并写出取得最值时的x的取值集合 (1)y=1V1-2sinx;(2)y=3+ 2sin2x+7;(3)=2cos2+5six-4. 分析解答本题中的(3)可先减少函 数名，即利用sinx+cos2x=1消去cos2x便可 转化成关于si此的二次函数问题， 36)学 第七章三角函数。 川要点2三角函数的周期性 川要点3正弦型函数的单调性 函数y=Asin(wr+p)中T=2m, 例3求=sin3x-号)的单调区间。 lol' 所以往往 通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T,即相邻的最高点与最 低点之间的距离为工；相邻的两个最高点 (或最低点)之间的距离为T 例2求下列函数的周期： (1)=sin (2))=2sin 反思感悟 (1)本题用的是代换法，所谓代换法， 就是将比较复杂的三角函数符号后的整体 当作一个角u(或t),利用基本三角函数的 单调性来求所要求的三角函数的单调区间」 这就要求同学们熟练掌握基本三角函数的单 调区间，如y=sinx在 2km-7,2k+7 反思感悟 方法一可以理解为在自变量x上增加 e刀上单洞递增，在|2km+,2水+ 周期T,与其他系数无关；方法二是求周 (k∈Z)上单调递减」 期的常用方法，需要注意ω的正负，保证 (2)在求三角函数的单调区间时， T=2红是最小正周期，有时也可以通过图象 定要注意复合函数的有关知识，忽略复合函 lol 数的条件，是同学们在解题中常犯的错误 直观判断函数周期 B变式训练③ ③变式训练2 求下列函数的周期： 求函数)=3sin牙-号的单调递增区间。 0=sn5+君；(2)sim+ 学 (37 N 高中数学必修第三册人教B版 川要点4作正弦型函数的简图 川要点5正弦型函数的图象变换 例4用五点法作函数)=2sinx-号+3 例5试说明如何由函数y=sinx的图象 的图象，并写出函数的定义域、值域、周 通过变换得到函数y=sn2x+号引的图象。 3 期、单调区间 分析尝试用两种方法变换： (1)y= 分析先确定一个周期内的五个关键 sim一→y=sinx+-→y=sin2x+-y 点，画出一个周期的图象，左、右扩展可 得图象，然后根据图象求性质 分sin2x+号 (2)y=sinx y=sin2y-sin2+号 =sin2x+号 反思感悟 (1)用五点法作y=Asin(wx+p)的图 家，点先令p分别为0，子m,受 2π，然后解出自变量x的对应值，作出 个周期内的图象， (2)求y=Asin(wx+p)的单调区间时， 首先把x的系数化为正值，然后利用整体 代换，把ωx+p代入相应不等式中，求出相 应的变量x的取值范围」 B变式训练④ 反思感悟 由y=sinx的图象变换到y=Asin(wx+p)》 用五点法作函数y=2sin2+牙在一个 的图象的变化途径有两条： 周期上的图象 相位变换 周期变换 (1)y=sinx y=sin(x+p）)》 振幅变换 =sin(ox+p） y=Asin(wx+p). 周期变换 相位变换 (2)y=sinx- y=sin@x- 振幅变换 sin(ox+p) y=Asin(wx+). 38学 第七章三角函数。 变式训练5 函数=之m2x+石+的图象可由)= 4 sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 反思感悟 确定函数y=Asin(wx+p)的解析式的关 键是0的确定，常用方法有： (1)代入法：把图象上的一个已知点 代入（此时A,ω已知或代入图象与x轴的 交点求解，此时要注意交点在上升区间上 要点6由函数的图象求解析式 还是在下降区间上)· (2)五点法：确定口值时，往往以寻 例6如图是函数y=Asin(wx+p)(A>0, ω>0，-T<p<π)的图象，由图中条件写出该 找五点法中的第一个零点-π，0作为突 函数的解析式 破口.“五点”的0x+p的值具体如下： “第一点”（即图象上升时与x轴的交 y 点)为wx+p=0; “第二点”（即图象的“峰点”）为 2π axto= 2 图7-3-3 “第三点”（即图象下降时与x轴的交 分析由给出的函数y=Asin(ox+p)的 点)为ωx+p=T; “第四点”（即图象的“谷点”）为 图象信息确定其中的A,ω及的值.从图 3 象的最高点，图象的起始点、结束点来分 wx+= 2； 析出A,o及p的值 “第五点”为ωx+p=2T. 学 (39 N 高中数学必修第三册人教B版 函数y=Asin(wx+p)的对称中心的求法：令 变式训练6 sin(wx+p)=0,得ox+p=kT(k∈Z),则x= 已知函数y=Asin(wx+p)(A>0,w>0) km-2(k∈Z),所以函数y=Asin(ox+p)的 在一个周期内的函数图象如图，求函数的一 个解析式. 图象关于点π9,0(k∈Z)成中心 对称 5元 6 3… 例7已知函数fx)=sin(2x+p）(0<p<T). 图7-3-4 (1)若函数f(x)=sin(2x+p)为偶函数， 求p的值； (2)若函数f(x)=sin(2x+p)关于x=T对 P 称，求出p的值及f(x)的所有的对称轴方程 及对称中心的坐标 要点7正弦型函数y=Asin(or+p)的 对称性 L.求函数y=Asin(wx+p)的对称轴方程 与正弦曲线一样，函数y=Asin(ox+p) 的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂 直于x轴.函数y=Asin(wx+p)对称轴方程的 求法：令sin(ox+p)=士l,得wx+o=kT+T (k∈Z),则x=(2k+)m-29(k∈Z),所以 20 函数y=Asin(ox+p)的图象的对称轴方程为 x=(2k+1)m-29(k∈Z). 20 反思感悟 2.求函数y=Asin(ox+p)的对称中心 过y=Asin(wx+p)图象的最高点或最低 与正弦曲线一样，函数y=Asin(wx+p) 点作x轴的垂线是对称轴所在直线，函数 图象的对称中心即函数图象与x轴的交点.：图象与x轴的交点是对称中心， 40)学 第七章三角函数。 经长期观察，y=f(t)的曲线可近似地看 变式训练⑦ 成函数y=4sin(wtp)+bA>0,o>0,olk7 函数f(x)=3sin2x-T 3 的图象为C,则 的图象 关于下列结论：①图象C关于直线x=石对 (1)根据以上数据，求出函数y=f(t)= 12 Asin(wt+p)+b的表达式. 称：②图象C关于点，0对称：③函数 (2)一般情况下，船舶航行时，船底离 海底的距离为5m或5m以上时认为是安全 )在区间-及，设内是增函数：④由)= 的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即 3sin2x的图象向右平移T个单位可以得到图 可)·某船吃水深度（船底离水面的距离） 3 为7.5m,如果该船希望在同一天内安全进 象C.其中正确的是 (写出所有正 出港，请问：它至多能在港内停留多长时间 确结论的序号)》 (忽略进出港所需时间)？ ⑧变式训练⑧ 某游乐场中半径 为30m的摩天轮逆时 针（固定从一侧观察） 匀速旋转，每5min 转一圈，其最低点离 底面5m,如果以你 图7-3-5 从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么 你与底面的距离高度y(m)随时间t(s)》 变化的关系式为 变式训练9 某港口海水的深度y(m)是时间t (时)(0≤t≤24)的函数，记为yf(t).已 知某日海水深度的数据如下： /时 0 2 6 10 12 y/m 9.5 12.5 14.0 12.5 9.5 8.0 9.5 t/时 14 16 18 20 22 24 y/m 12.5 14.0 12.5 9.5 8.0 9.5 学 41 N 高中数学必修第三册人教B版 数学文化 例某景区每年都会接待大批游客，在 景区的一家专门为游客提供食宿的客栈中， 工作人员发现为游客准备的食物有些月份浪 费严重.为了控制经营成本，减少浪费，计 划适时调整投入.为此他们统计了每个月入 住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入 住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规 律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人 数基本相同：②入住客栈的游客人数在二月 份最少，在八月份最多，相差约400：③二 月份入住客栈的游客约有100人，随后逐月： 递增，在八月份达到最多 (1)试用一个正弦型三角函数描述一年 中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问客栈在哪几个月份要准备400 份以上的食物 (42)学变式训练3解：f(x)=sinr+2 2lsinx上 3sinx,xe[0,T],图象如图所示. -sinx,xe (m,2]. 若使f(x)的图象与直线y=k有且仅 有两个不同的交点，根据图象可得k 的取值范围是(1,3)· 变式训练3答图 数学文化 例D【解析】过圆心的直线都可以 将圆的周长和面积同时平分，所以对 于任意一个圆，其“优美函数”有无 数个，A正确；因为函数f(x)=x的 图象关于原点成中心对称，所以将圆 的圆心放在原点，则函数f(x)=x3是 该圆的“优美函数”，B正确：将圆 的圆心放在正弦函数y=sinx的对称中 例题答图 心上，则正弦函数y=six是该圆的“优美函数”，C正确： 函数y=f(x)的图象是中心对称图形，则函数y=(x)不一定 是“优美函数”，如f(x)=；但是函数y=(x)是“优美函 数”时，图象不一定是中心对称图形，如图所示.所以函数 y=f(x)的图象是中心对称图形是函数y=fx)是“优美函数” 的不充分不必要条件，D错误.故选D. 7.3.2正弦型函数的性质与图象 要点精析 例1解：(1). .-1≤sinx≤l.当sinx=-l时， l-1≤sinx≤1. Yhu= 2 -,此时x的取值集合为x=-2+2km,k∈Z: 当siv=l时，y=2,此时x的取值集合为 2 x=受+2km,kez (2)-1≤sin2x+写）≤1，.当sin2x+5)=1时。 m-5,此时2x+了=7+2kπ(keZ),即x=7 tkn (keZ), 故x的取值集合为=5+6m,6eZ 当sim2x+牙=-1时，m=l,此时2x+号-受+2km (keZ).tk (kZ), 12 放x的取值集合为=受+hm,keZ, (3)y=2os2x+5simw-4=-2 2sinx+5simr-2=-2sinr-子）户+ 9 8..sinve[-l,1小.当sn=l,即=受2 k(eZ)时， y有最小值-9，此时x的取值集合为=受+2m,keZ: 当sinx=l,即x=牙+2km(k∈Z)时，y有最大值1，此时 x的取值集合为=受+2km,keZ 参考答案。 变式训练1解：0≤≤牙，-号≤2x-号≤号 V≤m2a-号≤1 2 2a+b=1, 当a>0时，则 解得=l2-6V3, -V3a+b=-5, b=-23+12V3. 当a<0时，则 2+b=-5,解得 =-12+6V3, -V3a+b=1, b=19-12V3. 例2解：方法一：()如果令u=方x,则s5n之=sinu是 周期函数，且周期为2π. :sin(分+2m=sin号，即sin[36x*4m)]=smx ,sinx的周期是4m (2)2sin(号-石+2m=2sin号-石， 即2im号（46m)-石]-2sm管-g 2sin芳石)的周期是6m。 方法二：（00分，T0=2平=4m 号，12领-2红6m (2)w=1, 3 变式训练2解：0=5，语号m 2)w石哥T2 Γwl-1 例3解：令u=3-号，当xeR时单调递增，当函数)= u单调递增时，复合函数)si如3x号)也单调递增；当 函数)=sinu单调递减时，复合函数)-sin3x号)也单调递减. 由2km-号≤3x-骨≤2m+号，keZ,得号m8≤ x≤号km+最r(ke2),故原函数的单调递增区间为 [号m得子m+语，ke2由2m+受≤3-号≤2m+ 受，keZ,得号km+各≤≤号m+设m,ke工，故原 5 函数的单调道减区间为号m+成，号4m+设]，keZ 变式训练3解：设=号-之，则)=3· 当2km+受≤u≤2kT+(keZ)时，=3nu随u的 增大而诚小，又：=号-艺随x的增大而减小， 当2m+受≤号-受≤2m+受，keZ,即当-4m- 否≤≤-4秋号，k∈Z时，y随：的增大而增大 39 N 高中数学必修第三册人教B版 “函数y=3n(写-之)的单调增区间为4km- 77 3T, 4km-号]ez)· 例4解：①列表： 名m 号 0 2 2 3 5 3 ②描点连线，作出一周期的函数图象 ③把此图象左、右扩展即得)2sinx-写)+3的图象。 例4答图 由图象可知函数的定义域为R,值域为[1,5]，T= 令2km-牙≤x-号≤26m+行kEZ)得原函数的增区 间为2km-石，2km+名π]keZ). 令2kT+牙≤x-胃≤2km+弓π（化eZ)得原函数的减 区间为2km+名，2m+号]keZ. 变式训练4解：列出五个关键点如下表： 2x+T 0 3m 4 T 2π 3m 7m 8 F 8 F 8 0 2 0 -2 0 描点作图，如下图 3π 变式训练4答图 40 例5解；方法一：y=it向左平移 y=-sinx+） 号个单位 各横坐标变为原来的】倍 纵坐标不变 =sim2x+5】 各纵坐标变为原来的)倍 横坐标不变 =2sin2x+号} 方法二：：2sim2x+号)=？sin2x+石)，y=simx 各横坐标变为原来的号倍 向左平移 y=sin2x 纵坐标不变 个单位 -sin2+石】 6 各纵坐标变为原来的)倍 横坐标不变 =2sm2x+号） 变式训练5 解：方法一：将函数y=six依次进行如下变换： ①把函数y=six的图象向左平移石个单位，得到函数 y=sinx+石)的图象； ②把得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的】（纵 坐标不变)，得到函数)=sin(2x+石)的图象： ③把得到的图象上各点的纵坐标缩短到原来的】（横 坐标不变)，得到函数=sin2x+石)的图象： ④把得到的图象向上平移个单位，得到函数y= 4 之in2x+君+的图象 综上得到函数=2sin2x+石)+于的图象. 方法二：将函数y=sinx依次进行如下变换： ①把函数y=six的图象上各点的横坐标缩短到原来的 号（纵坐标不变).得到两数)52的图象： ②把得到的图象向左平移亞个单位，得到函数)= sin2x+石)的图象； ③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的了（横坐 标不变)，得到函数y号sn2x+石)的图象： ④把得到的图象向上平移三个单位，得到函数y= 之n2+君+子的图象 综上可得函数)=sin2x+石)+子的图象。 例6解：方法一（最值点法）：由题中图象可得A=2,T= 2x+受=3m=西，子将最高点坐标（骨，2代人 y=2n(号p,得2in石9)-2，心石w-2m+受，ke Z,0=2km+写，keZ.由-T<4<m知，p=号此函数的 解析式为-n号+号) 方法二（起始点法）：函数y=Asin(ox+p)的图象一般 由五点法作出，而起始点的横坐标x正是由ox+p=0解得 的，故只要找出起始点的横坐标o就可以迅速求得角④. 由题中图象求得子=受，==子×受) =受又A-2.此函数的解析式为)-2n子+号 方法三（平移法）：由图象知，将y=2sin子x的图象沿 x轴向左平移牙个单位，就得到本题图象，故所求函数的 解析式为y=2n号+号儿，即y-2m(号+写 变式训练6解：由题图可知，A=V3-(V3)=V3, 7=2x0-牙)=m,w=2要-2，y=V3sin(2x+p),由题 图可知，当x=牙时，y=V3sin(子π+e0,则子+o 2km(eZ),0=2m号m化eZ,p可以取-号，小 函数的一个解析式为)=V3sin2x-号π上 例7解：(I)(x)为偶函数，：p=km+牙，又pe(0, m,=罗 (2)fx)=sin(2x+9)关于x=对称，f0)f4, 即sin4=sin7+9=cop,tanp=l,p=km+牙(keZ).又 pe0,m)、g=牙，x)=sin2+平】 由2x+牙m+受(keZ),得x=经+贺(keZ),由 2x+=如，得=号-君（化e2,x)的对称轴方程为 =经+日eZ),对称中心为经哥，0e2 变式训练7②8【解析】1亞3sin2x7号3sin石 =之，号)3sn暂-号)-0，故①错，②正确 令-7+2km≤2x-牙≤7+2km,keZ,解得-亚+hπ≤ x≤径+h,keZ,故③正确.函数y=3sin2x的图象向右平 移牙个单位，得到函数)=3sin2x-)=3sin2x-2）的图 参考答案。 象，故④错。 变式训练8)户30sin0受+35【解析】设=1 tsin(w)+ B,由题意可得A=30,0=10,B=30x2+5-30=35, (0,5)为最低点，代入可得5=30sinp+35,sino=-1,p= -受+2km,k=0时，g=受=30sin0-号+35. 变式训练9解：()由题设的数据可得值地4故4=一 3,b1山，周期1=2，故w=石，故)=3sin石p+1.= 4时，y=l4,3sine)+11=l4,sm(+p)-l.ok 受g=石3sg4-晋+11 (2)令y≥7.545=125，则3sn石4-石+11≥125，得 sm(后-看)≥分小君+2m≤晋4君≤+2，keZ 6 即2+12k≤t≤6+12k,k∈Z.t∈[0,24]，∴2≤1≤6或 14≤t≤18，故船舶至多能在港内停留16h. 数学文化 例解：(1)设该函数为f(x)=Asin(ox+p)+B(A>0, o>0,lokT),其中x=1,2,…,12. 根据①，可知这个函数的周期是12； 由②，可知f(2)最小，f(8)最大，且f(8)f(2)=400, 故该函数的振幅为200： 由③，可知f(x)在[2,8]上单调递增，且f(2)=100, ..f8)=500. 根据上述分析可得2石=12，故u=石.又A-200,则 B=500-200=300. 当x=2时，f(x)最小，当x=8时，f(x)最大，故 sm2x君+o=-l,且sm⑧x看9l.又pkm,故g=-g ·.入住客栈的游客人数与月份之间的函数关系式为 e)-20sng-g)+30(l,2.,12). (2)由条件，可知20m石x-石)+30≥400，化简 得m≥ 即2水m+g≤君-领≤2km+酒，ke7.解得12+ 6≤x≤12k+10,k∈Z. x∈N,且1≤x≤12，故x=6,7,8,9,10,即客栈 在6,7,8,9,10这五个月要准备400份以上的食物. 7.3.3余弦函数的性质与图象 要点精析 例1解：（)由2c0sr-1≥0，知cosr≥号，作出)=c0osx 在x∈[-m,π]的图象知2km-号≤x≤2km+写，k∈Z,六 41