7.3.3 余弦函数的性质与图像-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

2x+受=3m=西，子将最高点坐标（骨，2代人 y=2n(号p,得2in石9)-2，心石w-2m+受，ke Z,0=2km+写，keZ.由-T<4<m知，p=号此函数的 解析式为-n号+号) 方法二（起始点法）：函数y=Asin(ox+p)的图象一般 由五点法作出，而起始点的横坐标x正是由ox+p=0解得 的，故只要找出起始点的横坐标o就可以迅速求得角④. 由题中图象求得子=受，==子×受) =受又A-2.此函数的解析式为)-2n子+号 方法三（平移法）：由图象知，将y=2sin子x的图象沿 x轴向左平移牙个单位，就得到本题图象，故所求函数的 解析式为y=2n号+号儿，即y-2m(号+写 变式训练6解：由题图可知，A=V3-(V3)=V3, 7=2x0-牙)=m,w=2要-2，y=V3sin(2x+p),由题 图可知，当x=牙时，y=V3sin(子π+e0,则子+o 2km(eZ),0=2m号m化eZ,p可以取-号，小 函数的一个解析式为)=V3sin2x-号π上 例7解：(I)(x)为偶函数，：p=km+牙，又pe(0, m,=罗 (2)fx)=sin(2x+9)关于x=对称，f0)f4, 即sin4=sin7+9=cop,tanp=l,p=km+牙(keZ).又 pe0,m)、g=牙，x)=sin2+平】 由2x+牙m+受(keZ),得x=经+贺(keZ),由 2x+=如，得=号-君（化e2,x)的对称轴方程为 =经+日eZ),对称中心为经哥，0e2 变式训练7②8【解析】1亞3sin2x7号3sin石 =之，号)3sn暂-号)-0，故①错，②正确 令-7+2km≤2x-牙≤7+2km,keZ,解得-亚+hπ≤ x≤径+h,keZ,故③正确.函数y=3sin2x的图象向右平 移牙个单位，得到函数)=3sin2x-)=3sin2x-2）的图 参考答案。 象，故④错。 变式训练8)户30sin0受+35【解析】设=1 tsin(w)+ B,由题意可得A=30,0=10,B=30x2+5-30=35, (0,5)为最低点，代入可得5=30sinp+35,sino=-1,p= -受+2km,k=0时，g=受=30sin0-号+35. 变式训练9解：()由题设的数据可得值地4故4=一 3,b1山，周期1=2，故w=石，故)=3sin石p+1.= 4时，y=l4,3sine)+11=l4,sm(+p)-l.ok 受g=石3sg4-晋+11 (2)令y≥7.545=125，则3sn石4-石+11≥125，得 sm(后-看)≥分小君+2m≤晋4君≤+2，keZ 6 即2+12k≤t≤6+12k,k∈Z.t∈[0,24]，∴2≤1≤6或 14≤t≤18，故船舶至多能在港内停留16h. 数学文化 例解：(1)设该函数为f(x)=Asin(ox+p)+B(A>0, o>0,lokT),其中x=1,2,…,12. 根据①，可知这个函数的周期是12； 由②，可知f(2)最小，f(8)最大，且f(8)f(2)=400, 故该函数的振幅为200： 由③，可知f(x)在[2,8]上单调递增，且f(2)=100, ..f8)=500. 根据上述分析可得2石=12，故u=石.又A-200,则 B=500-200=300. 当x=2时，f(x)最小，当x=8时，f(x)最大，故 sm2x君+o=-l,且sm⑧x看9l.又pkm,故g=-g ·.入住客栈的游客人数与月份之间的函数关系式为 e)-20sng-g)+30(l,2.,12). (2)由条件，可知20m石x-石)+30≥400，化简 得m≥ 即2水m+g≤君-领≤2km+酒，ke7.解得12+ 6≤x≤12k+10,k∈Z. x∈N,且1≤x≤12，故x=6,7,8,9,10,即客栈 在6,7,8,9,10这五个月要准备400份以上的食物. 7.3.3余弦函数的性质与图象 要点精析 例1解：（)由2c0sr-1≥0，知cosr≥号，作出)=c0osx 在x∈[-m,π]的图象知2km-号≤x≤2km+写，k∈Z,六 41 N 高中数学必修第三册人教B版 定义域为2km-于≤x≤2km+霄，keZ (2)①.-1≤c0sx≤1，.-2≤-2c0sx≤2，.-3≤-2c0sx- 1≤1. .函数y=-2cosx-1的值域为[-3,1]. ②由y2o,可得1-2=高 ≠kto≤1，ox≤1.小a艺71，即3- y2 4+1≥0，y≤兮或y≥1.函数y=的值镜为 (←，3]U[1,+o) ③令t=cosx,x∈R,1∈[-1,1].原函数可化为 y2-342=-号}户子易知谈二次函数的图象开口向上， 且对称轴为直线子，1e[-1,】为二次两数的单调递 减区间. t=-1时，ymx=6;t=l时，ym=0..函数y=cos2x- 3cosx+2的值域为[0,6]. 变式训练1解：（()方法-：y=2c0sx+=2+5 cosx-2 COSx-2' -1≤c0sx≤l,-5≤5 2≤-g,-32+5 COS-2 号m-gm-3 方法二：由y=,解得c0=2.-1≤ y-2 cosx≤1，-1≤2y+1≤1，解得-3≤y≤↓. -2 Ymin=-3. (2)-石≤≤君，0≤2+号≤2罗，-1≤ 2c0s2+)≤2.当c0s(2x+号)l,即x=石时，Ym=2, 当cos2x+写）=7，即x=石时，ym=-l 例2解：(1)定义域为R,f八-x)=sin(cos(-x)=sin(cosx) =f(x),f(x)为偶函数. (2)cosx+3mj-cos+受)）=-sinx.∴fe)=sin 1+sinx :l+sin≠0，sinx≠-l,x≠2km-受(keZ).定义域 为xeR,x≠2km-受，keZ},不关于原点对称，原 函数为非奇非偶函数. 安式训练2解：由2001=2 (keZ)·∴.定义域关于原点对称，而此时0.：'=V1-cosx+ Vcosx-1既是奇函数又是偶函数. (2)x)=sin子x+受=-cos子，其定义域为R. (-x)=-cos子刘=-cos及=f(x).函数fx)= 42 s加（子+受）为偶函数 例3解：(1)=-2cos-7-l=-20s2x+1,函数 周期作2五=4m 2 2)Fc0s3x的周期7牙，=sn2的周期12受 πT=写，1=3西的最小公倍数是，7=2m 3 3 变式训练3解：y=Acos(ox+p)(A≠0，o≠0)的周期 为7？2m lol )12平-受 2)1哥-m 例4解：()）由兮+了mm+号(keZ,得3m+ 1 2 罗（传eZ,函数y=20s宁+写的图象的对称中心 为3km+,0)(keZ): 由号+号mkeZ,得=(3-m化eZ,函 数y=20s兮+号)的图象的对称轴为直线=-1)元 (k∈Z). (2)由3+石m+受(eZ.得=智+写化e 2 Z),函数y=号os3+)的图象的对称中心为 (+g.0)kez) 由3+后mkeZ.得智-8（传ez,函数 )c0s3+石)的图象的对称轴是直线字语eZ. 变式训练4B【解析】本题主要考查利用函数的对称性求 解析式，设M(x,y)是所求函数yf(x)图象上任意一点， 则点M关于点（牙，0）的对称点为N(牙-x,y小，代入 已知函数解析式中有y=sin受+年)=sn[牙-x-平] c0sx-牙)，则=-0s-牙故选B. 例5解：设u=2x-号，则u是x的增函数，而)=c0u在 区间[2kT-T,2kπ](k∈Z)上单调递增，故当2kT- m≤2x-号≤2 kr (keZ),即xekm-号，km+君(keZ) 时，J=c0s2x-号)单调递增，故函数)=c0s2x-号)的单调 递增区间是km号，k+君]化eZ.月期2证=牙=m 变式训练5(1)[2km,+2km](keZ)(2)[-T, 0],[π，2m]【解析】(1)y=3-2cosx与y=3+2cosx的单 调性相反，由y=3+2cosx的递减区间为[2kT,T+2kπ] (k∈Z),y=3-2cosx的递增区间为[2hm,π+2kπ](k∈ Z). (2)函数y=1+cosx的单调递增区间为[2kT+T,2T+ 2kT](k∈Z),.:[2kT+T,2r+2kT]∩[-T,2T]=[-T, 0]U[π，2π]，y=1+cosx的单调递增区间为[-T,0], [T,2m]. 例6解：D）cos8=0s80得<得<m,而y c0sx在[0，m]上是减函数，cos8>c0s哥.即c0s8】 cos0 (2)c0s(-828°)=c0s(-1080°+252°)=c0s252°，c0s(-765°) =c0s(-1080°+315°)=c0s315,180°<252°<315°<360°，且 y=cosx在[180°，360°]上为增函数，.cos252°<c0s315° 即cos(-828°)<cos(-765). 变式训练6解：(1)cos1155°=cos(3×360°+75)=cos75° c0s(-1516°)=c0s1516°=c0s(4×360°+76°)=cos76°，.y= cosx在[0°，90]上是递减的，且0°<75<7690，.cos75> cos76,即cos1155>cos(-1516). 2)cos-2号5cos2 3 ,y=cosx在[0，π]上是递减 的，且0<<m,os5>cos,即cs牙k 5 cos (3)co()cos )cocs= cos4+号c0s号，yc0x在[0.司上是递诚的， 且0<要<37<m,os要>e0s平，即cosl7k 例7C【解折】依题意位3.每得价子1，故e) 2osom4o-1,面f1,号-1，小4-号臣 故T=m=2m,则u=2,fx)=2c0s(2x+p)-l.2c0s石9） -1l,故君p=2mkeZ.又ok受，故g-石，x) =2cos2x-石）-1.将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为 原来的3倍后，得到y-2c0s子x石}-1，再向左平移受 个单位，得到ga)-2cos子+号-石}12os号+g1. 令-T+2km≤号+晋≤2m(keZ),故-7平+3m≤ x≤-开+3km(keZ), 故函数)的单词递增区同为[7平+3m,一+3m 参考答案。 (k∈Z).故选C. 变式训练7解：()由图可得4=3,14×-分+了=4， o0,0=2牙=受=3o号p小)的图象经 过点号3小，3cos否+p3,-要w-2kmke Z),e=2km+2罗(keZ):0<0<m,e=2牙，x) =3os7+2) 2)9≤m,9≤7+≤4 3 3 的值线为多，3列，4如≤受+受≤1红解得9≤m≤ 23 3 8故m的取值范用为.8 数学文化 例B【解析】y=-2cosx+c0sx+1,xe[-受，受]是 偶函数，图象关于y轴对称，A、D错误：又当xe受，号] 时，cosx∈[0,1]，y=-2cos2x+cosx+l=-(2c0sx+1)(c0sx-l) ≥0，C错误.故选B. 7.3.4正切函数的性质与图象 要点精析 例1解：要使m有意文，须满足≠m号，ke乙 1-tanx≠0， k≠k+号，keZ, 6m+受keZ. .原函数的定义 tanx≠1， k≠水m+，eZ 域为：≠km+受且x≠km+平，keZ tanx≥l, 变式训练1解：根据题意，得am+石)≠0 +若≠7+6m(keZ, +hm≤x<受hm, 4 解得x≠-石+kπ， 6 (k∈Z). 函数的定义域为[牙+km,牙+m)U(号+m,受+ kT(k∈Z). 例2解：y=nx在[牙，牙]上是增函数，y=anx在 [平，牙]上也是增函数，函数y=sin+anr在平，牙] 上是增函数 当x=-平时，函数有最小值，m=sin牙)+an-平） 43第七章三角函数 7.3.3余弦函数的性质与图象 学习目标 ①y=-2c0x-1,②y=20:③y 1.理解余弦函数的性质，会求余弦函数 cosx-3cosx+2. 的周期、单调区间和最值， 2.会用五点法、图象变换法作余弦函数 和y=Acos(ωx+p)的图象 要点精析 川要点1余弦函数的定义域和值域 求三角函数式的函数值域的类型主要有： (1)y=Asin(wx+p)型，值域为[-A, A](A>0). (2)y=asinx+也或y=acos+b型，解决 csinx+d ccosx+d 这类问题的常用方法：反解sinx(或cosx), 得到sinx=f(y)(或cosx=f(y)),再利用 Isinxl≤1（或lcosxl≤1），列出f(y)川≤1，解 出y的范围，即为所求函数的值域， (3)y=sin+b型，一般用数形结合法 反思感悟 ccosx+d (1)求与余弦函数有关的定义域时注 求解， 意结合余弦函数的图象 (4)y =asin'x +bsinx +c y =acosx+ (2)与余弦函数有关的值域的求法. bcosx+-c)型，可以通过配方法转化为二次 ①直接法.利用y=cosx的有界性或已 函数在区间sinx∈[-1,1]上的最值求解. 知x的范围求y=cOsx的值域， (5)y=sinr+a(a>0)型，转化为利 ②反解法.也是利用有界性，但是要把 sinx 函数反解成cosx=g(y)的形式，再用-1≤ 用函数y=x+卫(p>0)型函数值域（最值）， g(y)≤1，解得y的范围 即利用函数的单调性 ③换元法.令t=c0Sr,整体换元，换元 例1(1)求f代x)=V2cosx-1的定义域. 后的函数必定是我们所熟悉的函数，比如 (2)求下列函数的值域」 一次函数、二次函数、对数函数等 学 43 N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练① B变式训练2 求下列函数的最大值和最小值！ 判断下列函数的奇偶性 (1)y=2c0s+1 (1)y=V1-cosx +Vcosx-1 cosx-2 2)-2cos2+引，xe-石. (2))-sin 6’6 川要点2余弦函数的性质 例2判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=sin(cosx); (2)fx) +os+3 1-c0s 例3求下列函数的周期」 (1)y=-2cs-7-:(（2)=cos3+ sin2x. 反思感悟 (I)复合函数y=fg(x)的奇偶性， y=f)与t=g(x)只要有一个为偶函数， 则y=fg(x)为偶函数. y=f(t)与t=g(x)二者均为奇函数，则y= f八g(x)为奇函数】 (2)判断函数的奇偶性时，应先确定 定义域的对称性，然后化简，最后判断 44)学 第七章三角函数。 反思感悟 例4求下列函数图象的对称轴、对称 (1)一般地，函数y=Acos(ωx+p)(x∈ 中心. R)(其中A,w,P为常数，且A≠0， (1)y=2c0s 0≠0)的周期为T=2m.今后，可以使用这 lwl 个公式直接求这个函数的周期 (2)cow3+月 61 (2)两个三角函数和（或差）的周期。 如果f(x)的周期为T1,P(x)的周期为 T2,T与T2的“最小公倍数”为T,则 F(x)=f(x)±p(x)的周期为T 如fe)=sin(-3x)+cos子x,sn(-3x)的 周期为罗，c0s子：的同期为暂，要与 3 3 π的“最小公倍数”为 3 3， 故所求函数 的最小正周期为4 变式训练3 反思感悟 求下列函数的周期， 关于函数y=Acos(ox+p)的对称性：将 (1)3cos4+}: ox+p看作整体，代入到y=cosx的对称中 心、对称轴的表达式，可以求出函数y= (2))=2c0s-2x: Acos(ωx+p)的对称中心、对称轴】 B变式训练④ 已知函数x)的图象和y=sm+牙） 关于点平，0对称，则f(x)的表达式是 A.y=cos x+ 4 B)=c0s年 C.y=-cos 4 D.y=csx-平 学 45 N 高中数学必修第三册人教B版 例5求函数y=c0s2x-写的单调递增 (2)c0s(-828)与c0s(-765). 区间和周期， 反思感悟 比较两个三角函数值的大小时，首先 将函数名称统一，再利用诱导公式将角转 化到同一个单调区间内，通过函数的单调 性进行比较」 反思感悟 B变式训练6 对于y=Acos(wx+P)的单调区间的求 不求值，比较下列各对余弦值的大小， 法，先将0x+p看作一个整体，然后根据三 (1)cos1155°和cos(-1516°)； 角函数的单调性，确定x的范围即为所求 单调区间 (2)c0s- 2T与cos3π 变式训练⑤ (1)函数y=3-2cosx的单调递增区间为 (2)函数y=1+cosx,x∈[-T,2m]的 单调递增区间为 川要点3余弦函数性质的应用 例6比较下列各数的大小」 ()cos与cos 46)学 第七章三角函数。 川要点4作余弦函数的图象 数学文化 例7已知函数f(x)=Acos(ωx+P)+b 例我国著名数学家华罗庚先生曾说： A>0,w>0,okT的大致 “数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形 2 结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的 图象如图所示，将函数f(x〉 学习和研究中，常用函数的图象研究函数的 的图象上点的横坐标拉伸为 性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图 原来的3倍后，再向左平移 象特征.如函数y=-2cos2x+cosx+1,x∈ 个单位，得到函数g(x)的 2 -受，受的图象大致为(） 图象，则函数g(x)的单调递 图7-3-6 增区间为() A. _3π+3kx,3km (k∈Z) 2 B.3kT,3km+3T (k EZ) 2. c7F+3站m,-4+3km (k∈Z) 4 D.平+3m, 5元+3kT (k∈Z) 4 B变式训练⑦ 已知函数f(x)=Ac0s(ωx+p)(A>0,w> 0,0<φ<T)的部分图象如图所示」 (1)求f(x)的解析式； (2)若x∈ [9,m,两数✉)的值城 为，3， 求m的取值范围. 图7-3-7 学(47