7.3.4正切函数的性质与图象 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教B版必修第三册

该高中数学导学案聚焦正切函数的图象与性质，以单位圆为起点，通过类比正弦、余弦函数的探究路径，构建从定义域、值域到周期性、奇偶性、单调性的完整知识体系。教学设计由浅入深，先借助图像直观感知正切曲线的无限分支与对称中心，再结合代数推理明确其在每个开区间内的增减规律，形成“观察—归纳—验证”的学习支架。 资料亮点突出，体现核心素养导向，注重数学眼光的培养，如通过“三点两线法”作图强化几何直观，引导学生发现正切函数的结构美；强调数学思维训练，如在判断单调区间时设置典型陷阱题，培养学生严谨逻辑；重视数学语言表达，如用换元法处理复合函数值域问题，提升抽象建模能力。习题设计层次分明，既有基础巩固又有能力拔高，尤其第2题第（3）问融合周期与根的分布，有效锻炼学生综合分析与跨情境迁移能力。

7．3.4　正切函数的性质与图象 【课程标准】　1.借助单位圆能画出正切函数的图象.2.了解正切函数的周期性、单调性、奇偶性、最大 (小)值.3.借助图象理解正切函数在(－)上的性质． 教 材 要 点 知识点一　正切函数的图象 1．正切函数的图象： y＝tan x(x∈R且x≠＋kπ，k∈Z)的图象如图． 2．正切函数的图象称为________． 3．正切函数的图象特征： 正切曲线是由通过点____________________且与________平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．正切曲线是中心对称图形，对称中心是(，0)(k∈Z)． 知识点二　正切函数的性质 1．(1)函数y＝tan x(x∈R且x≠kπ＋，k∈Z)的图象与性质表： 解析式 y＝tan x 图象 定义域 ________________ 值域 ________________ 周期 ________________ 奇偶性 ________________ 单调性 在开区间________________内都是增函数 2.函数y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是________． 【学霸笔记】　正切函数的图象是对称的吗？ [提示]　正切函数是奇函数，其图象关于原点对称，并且有无数个对称中心，对称中心的坐标为(，0)(k∈Z)，正切函数的图象不是轴对称图形． 基 础 自 测 1．下列是函数f(x)＝tan (2x－)的对称中心的是(　　) A．(－，0) B．(，0) C．(0，0) D．(，0) 2．函数y＝tan x(－≤x≤，且x≠0)的值域是(　　) A．[－1，1] B．[－1，0) C．(－∞，1] D．[－1，＋∞) 3．函数y＝tan (2x－)的定义域是(　　) A．{x，k∈Z} B．{x＋kπ，k∈Z} C．{x，k∈Z} D．{x＋kπ，k∈Z} 4．y＝tan x(　　) A．在整个定义域上为增函数 B．在整个定义域上为减函数 C．在每一个开区间(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上为增函数 D．在每一个闭区间[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)上为增函数 5．若f(n)＝tan (n∈N*)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝________． 题型1正切函数的定义域、值域问题 例1(1)求下列函数的定义域： ①y＝； ②y＝tan ()． (2)求函数y＝－tan2x＋2tanx＋5，x∈[－)的值域． 总结　(1)列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定义域． (2)换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题． 总结 1．求正切函数定义域的方法及求值域的注意点 (1)求正切函数定义域的方法 ①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝A tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z； ②求正切函数y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”，令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x. (2)求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围． 2.解正切不等式的两种方法 (1)图象法：先画出函数图象，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合； (2)三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域．要特别注意函数的定义域． 跟踪训练1　(1)求函数y＝的定义域． (2)函数y＝tan2x－tanx＋2，x∈的值域为(　　) A．[，＋∞) B． C． D．[2，4] 题型2正切函数的奇偶性、周期性 (1)函数y＝4tan (3x＋)的周期为________． (2)判断下列函数的奇偶性： ①y＝3x tan 2x－2x4； ②y＝cos (－x)＋tan x. 总结　(1)函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小周期为T＝，常常利用此公式来求周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，再判断f(－x)与f(x)的关系． 总结 1．函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)周期的求解方法： (1)定义法． (2)公式法：对于函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝. (3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现． 2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法： 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系． 跟踪训练2　(1)函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则ω的值是________． (2)已知函数y＝f(x)，其中f(x)＝a tan 3x＋4，若f(5)＝6，则f(－5)＝________． 题型3正切函数的单调性 【思考探究】　1.正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？ [提示]　不是．函数的单调性是相对于定义域内的某个区间而言的．正切函数的图象被直线x ＝kπ＋(k∈Z)隔开，所以它的单调区间只在(kπ －，kπ ＋)(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x1 ＝，x2 ＝，x1 <x2，但tan x1 ＝tan x2. 2．正切函数的定义域能写成( －＋kπ，＋kπ) (k∈Z)吗？为什么？ [提示]　不能．因为正切函数的定义域是{x|x≠＋kπ，k∈Z}，它表示x是不等于＋kπ(k∈Z)的全体实数，而(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)只表示k取某个整数时的一个区间，而不是所有区间的并集． 例3(1)求函数y＝tan (－x＋)的单调区间； (2)下列各式中正确的是(　　) A．tan 735°>tan 800° B．tan 1>－tan 2 C．tan <tan D．tan <tan 总结　(1)可先令y ＝－tan (x －)，从而把x －整体代入(－ ＋kπ， ＋kπ)，k∈Z这个区间内解出x便可． (2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用tan 2＝tan (2 －π)，tan 3 ＝tan (3 －π)，最后利用y ＝tan x 在(－)上的单调性判断大小关系． 总结 求y＝A tan (ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－<ωx＋φ<kπ＋求得x的范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内． 跟踪训练3　(1)已知函数y＝－2tan (x＋)，则(　　) A．增区间为(6k－5，6k＋1)，k∈Z B．增区间为(6k－1，6k＋5)，k∈Z C．减区间为(6k－5，6k＋1)，k∈Z D．减区间为(6k－1，6k＋5)，k∈Z (2)比较下列各组中三角函数值的大小： ①tan 138°与tan 143°； ②tan (－)与tan (－)． 能 力 提 升 练 1.(多选)关于函数f(x)＝|tan x|的性质，下列叙述正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为 B．f(x)是偶函数 C．f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称 D．f(x)在区间(kπ，kπ＋)(k∈Z)上单调递增 2．已知函数f(x)＝tan (ωx＋)，ω>0. (1)若ω＝2，求f(x)的最小正周期与函数图象的对称中心； (2)若f(x)在[0，π]上是严格增函数，求ω的取值范围； (3)若方程f(x)＝在[a，b]上至少存在2 022个根，且b－a的最小值不小于2 022，求ω的取值范围． 教材反思 (1)对函数y＝A tan (ωx＋φ)＋k(ω≠0)周期的两点说明 ①一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)＋k(ω≠0)的最小正周期T＝. ②当ω>0时，函数y＝A tan (ωx＋φ)＋k具有周期性，最小正周期是. (2)“三点两线法”作正切曲线的简图 ①“三点”分别为(kπ，0)，(kπ＋，1)，(kπ－，－1)，其中k∈Z；两线为直线x＝kπ＋和直线x＝kπ－，其中k∈Z(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)． ②作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可． (3)解答正切函数图象与性质问题应注意的两点 ①对称性：正切函数图象的对称中心是(，0)(k∈Z)，不存在对称轴． ②单调性：正切函数在每个(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的． 7．3.4　正切函数的性质与图象 新知初探·自主学习 [教材要点] 知识点一 2．正切曲线 3．(＋kπ，0)(k∈Z)　y轴 知识点二 1.{x|x,k} 　R　π　奇函数　 (－＋kπ，＋kπ)(k∈Z) 2. [练习] 1．解析：令2x－(k∈Z)，解得x＝(k∈Z)，所以f(x)的对称中心为(k∈Z)，当k＝1时，，故是f(x)的一个对称中心．故选D. 答案：D 2．解析：由于函数y＝tan x在上单调递增，当x＝－时，y＝－1；当x＝0时，y＝0；当x＝时，y＝1，故该函数的值域为[－1，0)∪(0，1]，故选B. 答案：B 3．解析：由题意可得2x－≠＋kπ(k∈Z)，解得x≠(k∈Z)，函数y＝tan 的定义域为{x，k∈Z}．故选A. 答案：A 4．解析：函数y＝tan x是周期函数，在每一个开区间(＋kπ，)(k∈Z)上为增函数，但在整个定义域上不是单调函数．故选C. 答案：C 5．解析：因为f(n)＝tan 的周期T＝＝3， 且f(1)＝tan ，f(2)＝tan ，f(3)＝tan π＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＝0， 因为＝675，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝675×0＝0. 答案：0 课堂探究·素养提升 例1　【解析】　(1)①要使函数y＝有意义，需使 ∴函数的定义域为{x，且x≠kπ＋，k∈Z}． ②令≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠2kπ＋(k∈Z)，故函数的定义域为{x，k∈Z}． (2)令t＝tan x，∵x∈，∴t＝tan x∈， ∴y＝－t2＋2t＋5＝－(t－1)2＋6，抛物线开口向下，对称轴为t＝1， ∴t＝1时，取最大值6，t＝－时，取最小值2－2， ∴函数y＝－tan2x＋2tanx＋5，x∈的值域为. 跟踪训练1　解析：(1)根据题意， 得 解得(k∈Z)， 所以函数的定义域为[＋kπ，)∪(＋kπ，)(k∈Z)． (2)函数y＝tan2x－tanx＋2＝2＋， 由x∈，则tan x∈[－1，1]， 所以函数的值域为. 答案：(1)见解析　(2)C 例2　【解析】　(1)由于ω＝3，故函数的周期为T＝. (2)①因为y＝3x tan 2x－2x4的定义域为{x，k∈Z}，关于原点对称， 且3(－x)tan 2(－x)－2(－x)4＝3x tan 2x－2x4， 所以y＝3x tan 2x－2x4为偶函数． ②因为y＝cos ＋tan x＝sin x＋tan x的定义域为{x，k∈Z}，关于原点对称， 且sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x＝－(sin x＋tan x)， 所以y＝cos ＋tan x为奇函数． 【答案】　(1)　(2)见解析 跟踪训练2　解析：(1)由题意知函数f(x)＝tan ωx的最小正周期为，∴ω＝＝8. (2)设g(x)＝a tan 3x，则f(x)＝g(x)＋4， 因为g(－x)＝－a tan 3x＝－g(x)， 所以g(x)＝a tan 3x为奇函数， f(5)＝g(5)＋4＝6，所以g(5)＝2， 则g(－5)＝－2，所以f(－5)＝g(－5)＋4＝2. 答案：(1)8　(2)2 例3　【解析】　(1)y＝tan ＝－tan ， 由kπ－<<kπ＋(k∈Z)， 得2kπ－<x<2kπ＋(k∈Z)， ∴函数y＝tan 的单调递减区间是(，2kπ＋)(k∈Z)，无单调递增区间． (2)对于A，tan 735°＝tan (720°＋15°)＝tan 15°，tan 800°＝tan (720°＋80°)＝tan 80°，因为0°<15°<80°<90°，所以tan 15°<tan 80°，所以tan 735°<tan 800°，故A错误；对于B，－tan 2＝tan (π－2)，而0<1<π－2<，所以tan 1<tan (π－2)，所以tan 1<－tan 2，故B错误；对于C，因为<<<π，所以tan <tan ，故C错误；对于D，因为tan ＝＝tan ，而0<<，所以tan <tan ，所以tan <tan ，故D正确．故选D. 【答案】　(1)见解析　(2)D 跟踪训练3　解析：(1)由－＋kπ<<＋kπ，k∈Z，解得6k－5<x<6k＋1，k∈Z.因此，函数y＝－2tan 的单调递减区间为(6k－5，6k＋1)，k∈Z.故选C. (2)①因为当90°<x<180°时，函数y＝tan x单调递增，且90°<138°<143°<180°， 所以tan 138°<tan 143°. ②因为tan ＝tan ＝tan ， tan ＝tan ＝tan ，且0<<<， 结合函数y＝tan x在上单调递增， 所以tan <tan ，即tan <tan . 答案：(1)C　(2)见解析 能力提升练 1．解析：作出函数f(x)的图象，且函数f(x)的定义域为{x，k∈Z}，由函数f(x)＝|tan x|的图象可知，最小正周期为π，A错误；又f(－x)＝|tan (－x)|＝|tan x|＝f(x)，所以f(x)是定义域上的偶函数，B正确；根据函数f(x)的图象知，f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称，C正确；根据f(x)的图象知，f(x)在区间(k∈Z)上单调递增，D正确．故选BCD. 答案：BCD 2．解析：(1)由题可得f(x)＝tan ，所以函数的最小正周期为， 由2x＋(k∈Z)，可得x＝(k∈Z)， 所以函数f(x)的图象的对称中心为(k∈Z)． (2)因为f(x)在[0，π]上是严格增函数， 所以x∈[0，π]⇒ωx＋∈[，ωπ＋]⊆，所以ωπ＋<， 又ω>0，所以ω∈. (3)因为f(x)＝⇒tan ＝⇒ωx＋＋kπ，k∈Z， 所以x＝，k∈Z，至少存在2 022个根， 所以可得b－a至少包含2 021个周期，即b－a≥2 021T＝2 021·， 所以b－a的最小值为2 021·，又b－a的最小值不小于2 022， 所以2 021·≥2 022，所以ω∈. 学科网（北京）股份有限公司 $