7.2.4 诱导公式-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

(g 10 1- 变式训练2解：(1)3sina-2cosa-0,∴..tano= 2 3 c0Sa≠0. 12 .cosa-sina cosatsina_1-tana 3 12 3 cosa+sina +cosa-sino 1+tano 1-tana 1+2 号 26 (2)sina-2sinacosa+4cos'a=sin'a-2sinacosa+4cosa sin a+cosa -ma-2m44.号-号4 28 tan'a+1 13 例3解：sin94cos:Y2,六两边平方得ncos0= 3 18 又0<0<m,开<0km。 :sin&-codi=V(sna-coa0j产=V1-2sino0=号 sine+cos0=V2 sin0=V2+4 3 6 解方程组 得 sine-cos0=4 , cos0=V2-4 6 ∴tan0=sinb=-9-4V2 cos 7 变式训练3解：(（1)sina4cosa=了，六sina+2 2sinaee0a+ =(sin-cox)=1-2sinacos= 1+8=17 99·.sina-coa=tY厘 3 (2)'.'sin'a+cos'=(sina+cosa)(sin'a-sinacosa+cos2a)= (sina+cosa)(1-sinacosa). 又由(1)知，sinacosa=- ，且sina+cosa= 4 3 =写×l+ -113_13 9=3×927 例4证明：方法一：左边=cosa-sina)cosa(1-sina cos'a 1-sin'a (1--sina)(1+sina)=1+sina=右边，.原式成立. cosa(1-sina) coSQ 方法三：品。1- cosa-(1+sina)(1-sina)_cos'a-(1-sin'a)_cos'a-cos'a cosa(1-sina) cosa(1-sina)cosa(1-sina) 0.1- cosa 变式训练4证明：右边= tan'a-sin'a (tana-sina)tanasina tan'a-tan'acos'a (tana-sing)tanasina 参考答案。 tan2a(1-cos'a) tan'asin'o (tansina)tanosin(tane sin )tanasina tana-sina 左边，.原等式成立 例5解：不存在.设存在这样的实数m满足条件，由题设 得△=36m2-32(2m+1)≥0，① sincor-2m,② sinacosa=2m+l>0.③ 8 .'sin'a+cosa=1,.'(sina+cosa)2-2sinacoso=1.1 把②8代入④得子m-2x2m+11. 8 即9m2-8m-20-0解得m=2,m=9m=2不满足条 件①，m=-9不满足条件③，故这样的实数m不存在。 变式训练5解：.sina,cosa为方程4x24mx+2m-1=0的两 个实根，∴m2-2m+1≥0且sina+cosa=m,sinccosa=2m-⊥， 4 代入(sina+coa)P=l+2 2sinacosa,得m=l±V3 2 又ae牙，0，sinacosa=-2nml0,即m3 4 -上y,a-9,eo 1 2 又ae7,0,a=牙 数学文化 例D【解析】由三角函数定义可得小正方形的边长为 cos0-sin0,又小正方形的面积是名，cos0-sin:了，再由 251 S面初4os0=1.得到co0=号sm9:号，代入算式得到 sin0-cos0的值等于-名故选D 7.2.4诱导公式 第1课时诱导公式（一） 要点精析 例1解：()s-3要)=-sim(3)=-sn4+7g) 6 6 (2)c0s(-945°)=cos945°=c0s(2×360°+225°)=c0s225°= c0s(180°+45)=-cos45°=-V2 2 (3)tan(-855o)=-tan855°=-tan(2×360°+135o)= -tan(180°-45°)=tan45°=1. (4)sin(-1200°)·cos1290°+cos(-1020°)·sin(-1050°) +tan945°=-sin(3×360°+120°)·cos(3x360°+210°)-cos(2×360 +300°)·sin(2x360°+330°)+tan(2x360°+225°)=-sin(180°-60°)· cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°-30°)+tan(180°+ 45°)=sin60°.cos30°+cos60,sin30°+tan45°=Y3×Y3+ 2 2 35 N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练1解：(1)原式=sin(360°+45)·cos765°=sin45°· cos2x86045）in45cow45e-VY7xV7=号 (2)原式-V万sin2aa2a+若-cos2a+号引 an(-5x2m-平=-V3sin(3x2m+石）：tang-cos于： am-}=-v3x2xV3-号×-0 例2解：cos名+a=cosm-(石-a]=-cos石- -V3 , smfa-君sinf-g-j1-cos石l-(Y3月 子 co名m-sna看）3号-2y5 3 变式训练2解：c0s(a-75)-号<0，且a为第四象 限角，∴.a-75°是第三象限角.∴sin(a-75)=-V1-cos2(a-75) =-V1-3-22.sn(105°4w-sm180r+a-751 3 =-sin(a-75°)=2V2 3 例3解：原式=V1+2sin(360°-70°)c0s(360°+70) -sin70°+cos(720°+70°) =V1-2sin70cos70°=lcos70°-sim701=sin70°-cos700 -sin70°+cos70° cos70°-sin70° cos70°-sin70° =-1. 变式训练3解：原式=sinacosa+cos(-a)sina=sinccoso+ sin(-a) -tana -sina cosarsina=-cosa+cosasina=-cosa-cos'a. sina coso 例4证明：左边=tan(-f)sin(-0)cos(-9)=tandsincos0 -cos0sin(-0) sinecos tan0=右边..原等式成立. 变式训练4证明：左边= snm+a+87)]+3cos[la+87-3m] sin-)-cos() -in+87）-3cosa+8T）_tan+8r)+3 +3=右边. sin()-cos)tan( 等式成立. 数学文化 例B【解桥】由三角西数的定义sina音cog-号 51 ×-号片-故选B. 36 第2课时诱导公式（二） 要点精析 例1解：(1)原式=-sinl920°=-sin(360°×5+120°)= -sin(90°+30°)=-c0s30°=-V3 2 (2)原式=c0s1560°=cos(360°×4+120°)=cos120°= cos(90r+30)5-sn80r-7 (3)原式=ian-15r+4r=tan开=l. 4 4 变式训练1解：(1)sm-19）sinl9=sm2m+号 =-im誓-sm+号）=mg= 3 2 (2②)cos2=e0s4m+5gj-cosg-cosm-石-c0sg =-V3 2 (3)sinl17g-sn2m+g）-sinin号+号}=cos号 6 例2解：sim号a=分，且（写-a+石+a=受。 cos(石+a=co[受-（号-a=sin号-=号 变式i训练2解：（)os(mta)=-coa-号coa 2 又a为第一象限角，则cos罗+a=-sinx=-V1-cosa= -- (2)cos(a)sin(a)=cos sinm-(号+a小=-cos石-asin号+a=-号sin[ (ga小=gcos石a=g 例3解：当k为偶数时，设k=2m(m∈Z),则原式= cs2m+号-usm2m-号-w.cos号-asm7 sin[(2m+1)m+a]cos(2mm+a) sin(T+a)cosa -sinacosa=l.当k为奇数时，设k=2m+l(meZ).同理， -sinacosa 原式=1.故原式=1. 变式训练3解：原式= sin(-a)cos(-a)】 siml2m-受-a]小cos2m-(受a月 (-sina)cosa -sinacosa sim-(7-a)cos-(交-a)】-sin7-a )cos(5-a) -sinccosa=1. -cosasina 例4证明：sin(a+B)=l,aB=2km+受，keZ,u= 2km+号B,keZ. .'tan(2a+B)+tanB-tan22kn+-B)+B+tanB-tan(4km+ T-2B+B)+tanB=tan(m-B)+tanB=-tanB+tanB=0.∴.等式成立. 变式训练4 证明：左边=-2cos6sin0-1 -(sin0+cos0)2 cos0-sin (cos0-sine)(cos0+sing) sine-cos0 tan0-1，右边=tanb+1 sin0+coso_tan+1 an0-1，等式成立. 数学文化 例D【解析】(1)由题意可知∠ACB=72°，在△ABC 康，可得co20V5则s342sn72270网 4 =-c0s720=-V5-L.故选D. 4 ·"7.3三角函数的性质与图象 7.31正弦函数的性质与图象 第1课时正弦函数的性质 要点精析 例1(1)奇函数【解析】x)=sinr+x2sinx,xeR,f(-x) =sin(-x)+(-x)2sin(-x)=-sinx-sinx=-fx),fx)是奇函数. (2)解：sn骨+)sin钙snm+号)-ng 而sim←牙)=-血写，所以上述等式成立， 但不能说明5π是函数y=sinx的周期， 3 理由：若亚是函数y=six的周期，则对任意的实数 x,都有sinx+=simc, 但当0时，sm+号sim,÷罗不是函数)=ir 的周期 变式训练1(1)r(2)B【解析】(1)设f(x)=lsinal, ·f(x+m)=lsin(x+r)=lsinxl==f(x),.y=lsinxl的最小正周期为 T. (2)易知函数∫(x)的定义域R,关于原点对称， .f(x)=xsin(+x)=-xsinx,f(x)=(x)sin(x)=-xsin=f(x) ≠(x),fx)是偶函数，不是奇函数.故选B. 例2()B【解析】xe[受，π]，∴nr∈[-l,, .f(x)=-2sinx+1∈[-1,3].故选B. (2):f (x)=sin (x)-cosx=-sinx-1+sin2x=sin- 1.令1m,则-4-lt te-1,1≤≤1，子≤y≤1，l,此时 sin=-1,kZ: =子，此时n=分君+2m,keZ或爱+ 6 6 参考答案。 2kT,k∈Z. -sinr+2,-l≤sinr≤l,d (3)解：原式可化为y=1-,2。 号≤品2≤2得-15 小函数部2的值城为1，专 变式训练2(1)AC【解析】fx)=2 asinx+-a+b的定义域 是|0，Σ]，0≤simx≤1. 当a0时，曲短室舞得当o0时。 由题色到.好得故选C lb=-7. (2)解：f(x)=-2(1-sin㎡x)+2sinx+3=2sinx+2sinx+1= 2sm+7分xe[君g],小≤m≤1 当sin=l时，y取得最大值)a=5；当sn=)时，y取 得最小值m=弓 例31)7+2km,7+2km](keZ)[0,]【解 析】当-7+2km≤x≤牙+2km,keZ时，y=-3sinr+1单调 递减，y-3simx+1的单调递减区间为[7+2km,7+2km] (k∈Z). [0]-2+2k,+2k () m=[0,, .当x∈[0，π]时，y=-3simx+1的单调递减区间为 o,引 (2)解：sinl96°=sin(180°+16°)=-sinl6°，cos156°= cos(180°-24°)=-cos24°=-sin66°. :当0°≤x≤90°时，y=sinx单调递增，.sinl6°<sin66°， 故sin196>cosl56°. 变式训练3（解：sin-3sin-6m石sin-石} sin4gr=sin16m+号)=sin号 y=n在号，受]上单调递增，且-受<-石<受< 牙，sm-君sin号，即sn3石in4g2. 3 (2)[受+2km,+2km](k∈Z)【解析】在) Asinx中(A>0),单调区间与A无关，仍为simx的单调区 间，故)广号sn+1的单调递诚区间为[受+2km,交+2km] (k∈Z)· 第2课时正弦函数的图象 例1解：取值，列表如下： 37第七章三角函数。 7.2.4诱导公式 第1课时诱导公式（一) 学习目标 (sin-3}5 1.借助单位圆的直观性探索正弦、余弦 (2)cos(-945); 和正切的诱导公式. (3)tan(-855): 2.掌握正弦、余弦和正切的诱导公式的 (4)sin(-1200°)cos1290°+cos(-1020°)： 应用 sin(-1050°)+tan945°. 3.通过对公式的运用，提高三角恒等变 形的能力和渗透化归数学思想，提高分析问 题、解决问题的能力， 要点精析 川要点1利用诱导公式求值 1.诱导公式① sin(ax+k·2r)=sin;cos(ax+k·2r)=cosa; tan(a+k·2r)=tana. 2.诱导公式② sin(-a)=-sina;cos(-a)=cosa;tan(-a) =-tano. 3.诱导公式③ 反思感悟 sin m-a)=sina cos (T-a)=-cosa 运用诱导公式求任意角的三角函数值 tan(π-)=-tan. 4.诱导公式④ 时，一般步骤是：负化正→正化主→主化 sin (+a)=-sina cos (+a)=-cosa 锐→求值，即先把负号化去（诱导公式 ②)，再把任意正角写成2kT+a,0≤a<2π tan(π+a)=tana. 5.公式①②③④记忆方法：“函数名不 (或k360°+，0°≤a<360°)的形式转化为 变，符号看象限” a的三角函数，[0,2m)称为主区间，再 例1求下列各三角函数值」 : 用T±（或180°±）化为锐角的三角函数， 最后求值 学 25 N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练① 变式训练 计算：(1)sin405°.cos(-765)； 已知c0s(-75)=-了，且a为第四象 (2)V3sn-gam 6-cos 3 限角，求sin(105°+)的值 tan 41. 要点2条件求值 川要点3三角函数式的化简 例2已知cos 石-a=3,求 3 o各a--看的值 例3化简V1+2sin290°cos430° sin(-70)+cos790° 反思感悟 反思感悟 (1)解决条件求值问题，首先要仔细 (1)三角函数式的化简常用诱导公式 观察条件与所求式之间的角、函数名及有 将任意角的三角函数转化为锐角的三角 关运算之间的差异及联系」 函数 (2)可以将已知式进行变形向所求式 （2)化简时要特别注意“1”的变式 转化，或将所求式进行变形向已知式转化 应用 26)学 第七章三角函数。 变式训练③ B变式训练④ 化简：sin(2nm+a)cos(-） 8 sin(-8π-ax) 设tanc+分不=a cos(4nm-a)sin(-a)(nEZ). tan(-a) 求证： sinmte+3cosa-号 7 -a+3 sin29--cosa+号n 20 a+1 要点4三角函数式的证明 例4求证： tan(2-0)sin(-2-0)cos(6-0)=tan0. -cos(0-2T)sin(8T-0) 数学文化 反思感悟 例在平面直角坐标系中，以x轴的非 (1)用从等式的一边开始化为等式的 负半轴的始边的角α，B的终边分别与单 另一边的方法证明恒等式问题，实质上就 位圆交于点最音和号专，那么 是三角函数式的化简问题， sinacosB= ) (2)证明三角恒等式的一般思路是： :先分析角的特点及角之间的关系，再将角 A.36 65 变形，然后利用诱导公式及同角三角函数 48 的基本关系式来完成证明」 c D. 学(27 N 高中数学必修第三册人教B版 第2课时诱导公式（二) 看成锐角时，原函数值的符号. 学习目标 例1求下列各三角函数值 L.掌握诱导公式，能正确运用这些公式 (1)sin(-1920):(2)cos(-1560°)： 求任意角的三角函数值 (3)tan- 15π 4 2.能运用诱导公式进行简单的三角函数 的化简与恒等式的证明， 要点精析 川要点1给角求值 1.诱导公式⑤ sin-cosa;cos=sina. 2.诱导公式⑥ sna+号 =cosa;cosa+T 2/ =-sina 3.诱导公式⑦ =-cosa;cos 3π+a=sino, 4.诱导公式⑧ sin-cosa:cos-sina. 3π 5.“奇变偶不变，符号看象限”的意义： 反思感悟 诱导公式可以归纳为k:T+x(k∈Z) 这是一个利用互余、互补关系解题的 问题，对于这类问题，关键是要能发现它 的三角函数值.当飞为偶数时，得a的同名 三角函数值：当k为奇数时，得α的异名三 们的互余、互补关系：知写-a与石+、 6 角函数值.然后，在前面加上一个把α看成 +a与石a、牙与牙a等互余，哥 3 锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不 4 变，符号看象限”·值得注意的是，这里的 0与27-0、T+0与37-0等互补，逼到此 3 奇和偶分别指的是工的奇数倍或偶数倍；符 类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利 号看象限指的是等式右边的正负号恰为把& 用角的变换来解决问题 28)学 第七章三角函数。 变式训练① B变式训练2 求下列各三角函数值： （D已知cos(T+e)=号，u为第一象 (1)sin-10m. 3/； (2)c0s29, 6 限角，求cos受+a的值； (3)sin 17 6 2)已知cos石-，求coga: sn-a的值 川要点2给值求值 川要点3三角函数式的化简 例2已知sin号a=分，求cos石a 例3化简： 的值. cos+牙-sink-牙-a sin[(k+I)m+a]cos(km+),其中keZ. 反思感悟 反思感悟 用诱导公式进行化简时，若遇到飞π± 必须把已知角看成一个整体，找出所 的形式，需对k进行分类讨论，然后再运 求角与已知角之间的关系 用诱导公式进行化简」 学 29 N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练3 数学文化 化简：_sin(-2m-a)cos(6m-w) 例德国著名的 sin a+3 cosm) 天文学家开普勒曾经 这样说过：“几何学 里有两件宝，一个是 勾股定理，另一个是 黄金分割.如果把勾 例题图 股定理比作黄金矿的 话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄 金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分 割比的黄金三角形被认为是最美的三角形， 川要点4三角函数式的证明 它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种 例4已知sin(a+B)=l,求证：tan(2a+ 是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角 B)+tanB=0. 星由5个黄金三角形与一个正五边形组成， 如图所示，在其中一个黄金三角形ABC中， BC=V5-L.根据这些信息，可得sin342= AC 2 () A.V5-1 B.V5+1 4 4 C.-V5+1 B变式训练④ D.-V5-1 4 4 2sin)cos- -1 证明： 2 1-2sin20 tan(9m+0)+1 tan0-1 30)学