7.3 三角函数的性质与图像 7.3.3 余弦函数的性质与图像-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂（人教B版2019）

７．３．３　余弦函数的性质与图像 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．能正确使用“五点法”、图像变换法等画出余弦函数的简图 ２．能类比正弦函数的图像与性质得出余弦函数的图像与性质 能通过用不同的方法得到余弦函数的 图像与性质,提升逻辑推理和直观想 象素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　过山车是一项富有刺激性 的娱乐工具．那种风驰电掣、有 惊无险的快感令不少人着迷． 过山车的运动包含了许多物理 学原理,人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原 理．如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交 织在一起产生的效果,那感觉真是妙不可言．一个过 山车的基本构造包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车 没有倒转)等几个循环路径． [问题１]　函数y＝cosx的图像也象过山车一样“爬 升”、“滑落”,这是它的什么性质? [问题２]　过山车爬升到最高点,接着滑落到最低点,然 后再爬升,对应y＝cosx的什么性质?y＝cosx在什么 位置取得最值? [知识梳理] [知识点一]　余弦函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 对于任意一个角x,都有　　　确定的余弦cosx 与之对应,所以y＝cosx是一个函数,一般称为　 　　　　． [知识点二]　余弦函数的图像与性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 正弦函数、余弦函数的图像、性质对比 函数 y＝sinx y＝cosx 图像 定义域 　　　 　　　 值域 　　　 　　　 奇偶性 　　　 　　　 周期性 最小正周期:　　　 最小正周期:　　　 最值 当　　　　　　　 　　 　 时,ymax ＝ １;当　　　　　　 　 　 　 　 时,ymin ＝－１ 当　　　　　　　 　　时,ymax＝１; 当　　　　　　　 　　时,ymin＝－１ 单 调 性 在　　　　　　　 　 　 　 　 上 单 调 递增; 在　　　　　　　 　　上单调递减 在　　　　　　　 上单调递增;在 　 　　　　　　　　 零点 kπ,k∈Z π２＋kπ ,k∈Z 对称轴 x＝π２＋kπ ,k∈Z x＝kπ,k∈Z 对称 中心 (kπ,０)(k∈Z) (π２＋kπ ,０)(k∈Z) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．y＝cosx(x∈R)的图像可由y＝sinx (x∈R)的图像平移得到的原因是什么? ２．余弦函数在[－π,π]上,函数值的变化有什么特 点? 推广到整个定义域呢? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０４􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋３．利用平移法作余弦函数图像的依据是什么? 为什 么不能利用sin π２－x æ è ç ö ø ÷＝cosx 来确定平移的方 向和单位长度? [预习自测] １．函数f(x)＝cos４x,x∈R是 (　　) A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为π２ 的偶函数 D．最小正周期为π２ 的奇函数 ２．y＝sin ２x＋π２ æ è ç ö ø ÷是　　　　函数(填“奇”或“偶”)． ３．函数y＝－cosx 的单调递减区间是　　　　;单 调递增区间是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　余弦函数图像的作法 [例１]　作出函数y＝３＋２cosx在闭区间[０,２π]上 的图像,并求函数y＝３＋２cosx在R上的值域． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　利用五点法或平移法作图． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．作余弦(型)函数图像的方法 (１)五点作图法;(２)图像变换法;(３)平移坐标轴． ２．用“五点法”画余弦曲线y＝cosx在[０,２π]上 的图像时,所取的五个关键点分别为(０,１), (π ２ ,０),(π,－１),(３π２ ,０),(２π,１)． ３．作形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b),x∈ [０,２π]的图像的三个步骤 􀳀[变式训练] １．画出函数y＝cos２x－π３ æ è ç ö ø ÷,x∈[０,π]的图像． 　　　余弦曲线的对称性 [例２]　已知函数y＝２cos２x＋２π３ æ è ç ö ø ÷． (１)在该函数的对称轴中,求离y轴距离最近的那 条对称轴的方程; (２)把该函数的图像向右平移φ个单位后,图像关 于原点对称,求φ的最小正值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　把２x＋２π３ 看作一个整体,代入基本 余弦函数的性质求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论 (１)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图 像关于x＝x０ 对称⇔f(x０)＝A 或－A． (２)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图 像关于点(x０,０)中心对称⇔f(x０)＝０． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１４􀅰 第七章　三角函数 􀳀[变式训练] ２．已知函数f(x)＝２cos３x－π６＋φ æ è ç ö ø ÷,φ∈(０,π)且 f(x)的图像关于x＝２π９ 对称． (１)求φ． (２)试说明f(x)的图像是由y＝cosx的图像经过 怎样的变换而得到的． 　　　余弦函数的单调性 [例３]　求函数y＝３cos π３－ x ２ æ è ç ö ø ÷的单调递增区间． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　令u＝x２－ π ３ ,代入y＝cosu的单 调区间． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 确定函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ) 单调区间的基本思想是整体换元思想．即将ωx＋ φ看作一个整体,利用基本三角函数的单调性来 求复杂三角函数的单调区间．若x 的系数为负, 通常利用诱导公式化为正数再求解．有时还应兼 顾函数的定义域． 􀳀[变式训练] ３．求函数y＝sin(１２x＋ π ３ ),x∈R的单调区间． 　　　余弦函数的值域(最值) [例 ４]　 求 函 数 y＝３cos２x－４cosx＋１,x∈ π ３ ,２π ３[ ]的值域． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　y＝f(x)可看作关于cosx的二次 函数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求三角函数最值的两种基本类型 (１)将三角函数式化为y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形 式,结合函数图像求最值． (２)将三角函数式化为关于cosx(或sinx)的二 次函数的形式,利用二次函数的性质和有界性 求最值． 􀳀[变式训练] ４．已知函数y＝acos２x＋π３ æ è ç ö ø ÷ ＋３,x∈ ０,π２[ ] 的最 大值为４,求实数a的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２４􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B １．函数f(x)＝sinx＋π４ æ è ç ö ø ÷图象的一条对称轴方程为 (　　) A．x＝－π４　　　　　　　B．x＝ π ４ C．x＝π２ D．x＝π ２．下列函数中,在 π４ ,π ２[ ]上为减函数的是 (　　) A．y＝cos２x＋π３ æ è ç ö ø ÷　　　　B．y＝cos２x＋π４ æ è ç ö ø ÷ C．y＝cosx－π３ æ è ç ö ø ÷ D．y＝cosx＋π６ æ è ç ö ø ÷ ３．设a＝cosπ１２ ,b＝sin４１π６ ,c＝cos７π４ ,则 (　　) A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞c＞a ４．函数y＝２cos ２x＋π６ æ è ç ö ø ÷ x∈ －π６ ,π ４[ ] æ è ç ö ø ÷ 的值 域 为　　　． ５．已知函数f(x)＝２cos(２x＋φ),φ∈ ０, π ２ æ è ç ö ø ÷,且 f(x)的图像关于x＝３π８ 对称． (１)求f(x); (２)若x∈[０,π],求f(x)的减区间; (３)画出f(x)在一个周期上的简图． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７．３．４　正切函数的性质与图像 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．能够借助单位圆中的正切线画出函数y＝tanx的图像 ２．掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性． 并能利用其性质解决相关问题 通过正切函数图像和性质的学习培养学生数学 直观想象和数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　孔子东游,见两小儿辩斗,问其故．一儿曰:“日初 出沧沧凉凉,及其日中如探汤,此不为近者热而远者 凉乎?”事实上,中午的气温较早晨高,主要原因是早 晨太阳斜射大地,中午太阳直射大地．在相同的时间、 相等的面积里,物体在直射状态下比在斜射状态下吸 收的热量多,这就涉及太阳光和地面的角度问题． 那么这与正切函数的性质与图像有什么联系呢? １．仿照利用正弦线作正弦曲线的作法,你能作出正切 函数的图像吗? ２．你还有其它方法吗? [知识梳理] [知识点一]　正切函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　对于任意一个角x,只要　　　　　．就有　　　 　确定的正切值tanx与之对应,因此y＝tanx是 一个函数,称为正切函数． [知识点二]　正切函数的图像与性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解析式 y＝tanx 图像 定义域 {x|x≠π２＋kπ ,k∈Z} 值域 R 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３４􀅰 第七章　三角函数 参考答案 直线-一 知识梳理 知识点一、唯一 余弦函数 5 2-□,y-3sin(2+)不是增函数,故排除C.故 知识点二、R R [-1,1] [-1,1] 奇函数 偶函数 选A.] [-t#26# 2 随堂步步夯实 $k(é乙) =π+2kn(乙) 1.C # [因为T=2×[3-(-1)]-8, +2kx](kez)[+2kr, [2kπ,π十 2k](Z)上单调递减 [思考] 1.提示:因为cosx-sin(r十 2),所以y-sinx(xR)的图 又因为0<2,所以-.] 2.D[因为f(x)一一cos工,故根据余弦函数的图像可知D 像向左平移吾个单位长度可得y一cosx(xR)的图像. 是错误的,故选D.] 2.提示:观察图像可知: 3.解析:由题意知2×+一十尺,k62, 所以-十x一2-62. 又一n<<0,所以= 7. 当x[一n,0]时,曲线逐渐上升,是增函数,cosx的值由 答案:一 -1增大到1; 当x[0,n时,曲线逐渐下降,是减函数,cosx的值由1 减小到-1. 推广到整个定义域可得 所以T一π,= 当x2kπ-π,2k],kZ时,余弦函数y=cosx是增函 数,函数值由一1增大到1; 代入点(,0)得o=2sin(2x+e), 当x[2kr,(2k+1),kZ时,余弦函数y=cosx是减 函数,函数值由1减小到一1. 3.提示:平移法作余弦函数图像主要依据诱导公式6:sin(x +)-cosx.显然在诱导公式5:sin(哥一x)-cosx中, 两个函数的解析式中自变量的系数符号相反,所以不能 因为一r<n,所以- 利用该公式确定平移方向和单位长度。 预习自测 所以/(x)-2sin(2x+). 1.C 2.偶 答案:/(c)-2sin(2x+等) 3.[-+2,2](乙) [2k,2k+](Z) 课堂互动学案 5.解:(1)由图像知最小正周期 [例1] [解] 法一 列表、描点、连线得函数y一3十2cosx在 1-4×(1_)2. 闭区间[0.2x]上的图像,如图中实线所示。 根据图像可知,函数y-3十2cosx在[0,2π]上的最大值 (2)/(x)的对称轴为x-吾十kn(z). 为5,最小值为1,又函数的周期为2π,故函数y-3十2cos 3 文在B上的值域为[1,5]. 对称中心坐标为(x十tn,). 1{ r 0 2π (3)在一个周期上的单调减区间为[吾”]. 0 y一cos) 1. 一1 1 '整个定义域上的单调减区间为 y-3十2cosr [2^x+,2x+](6e2), y-3+2cosx.xE[0.2n] 同理易知单调增区间为[2kr-2-,2x+](kez). 7.3.3 余弦函数的性质与图像 课前预习学案 情境引入 1.提示 单调性. 2.提示最值,波峰,波谷。 y=cosx.xE10.2ml .103· 必修第三册 数学B 法二 先利用五点法作出函数y-cosx,xE0,2x]的图 [例3][解]y=3cos(一)-3cos(一).由2k 像,如图中虚线所示,然后将所有点的纵坐标伸长到原来 的2倍(横坐标不变),再把所得图像向上平移3个单位长 <-<2k(e) 度就得到函数y=3十2cosx,x-[0,2π]的图像,如图中 23 实线所示. 4. 根据图像可知,函数y-3十2cosx在[0,2π]上的最大值 为5,最小值为1,又函数的周期为2π,故函数y一3十2cos .函数y-3cos(一)的单调增区间为 x在R上的值域为[1,5]. [4-4-,4--1(e6z). 变式训练 1.解:①列表: 变式训练 2 0 行。 7 * 当=毛(2kx-,2kx十)#( 乙2)时,-sin为增 。 2- :) , 0 函数。 (0=(2) -1 0 .2kπ- ②描点画图,如图. 一 +乙 #2# 故yn{)的增区问为 解得6 (4r一 [例4] [解] y=3cos②x-4cosx十1 3(0) (2)设该函数的图像向右平移vc个单位后对应的解析式 为y-/(x). #e[2-].v.cose[-] 则(x)=2co$ 2(x-)+2-]1 -2co(2-~). #当 co-)-# ·y=/(x)的图像关于原点(0,0)对称. ./(o)=2co(2)_0. .画值域为[-1.15] 变式训练 4.解:xeo.+[ -1~02) 当△oco2xo)0时#y取早得天值^+3, 变式训练 2.解:(1)今3--+=hn.k6z, .at3-4.:.a=2. 将-2-得_2+x6后_--r, 当a<o,cos(2c+)--1时,y取得最大值-a+3, E乙. .-a+3-4..a--1. 又 (0.n).g--./(xi)-2cos(3x+). 综上可知,实数a的值为2或一1. 随堂步步夯实 1.B [对于&数/(c)-sin(+)令+--+吾·k (2)将y=cosx的图像向左平移个单位,再纵坐标不 变,横坐标缩短倍,最后再横坐标不变,纵坐标伸长2 Z,得-kx十吾Z乙.令-0,则x-,可得函数f 倍,即得/(x)-2cos(3x+)的图像. (x)-sin(十)的图象的一条对称轴方程为x- 10· 参考答案 [当E[,]+e[2. 2.D 知识梳理 知识点一、→十天夫é 唯一 .y=cosx在[0,x]上递减. ()(e乙) 所以y-cos(+)在[,]上递减] [思考] 1.提示:y-tanx是中心对称图形,对称中心为(.)(E 乙),不是轴对称图形 (0.*)上是单调递减函数,所以a>c>b.] 2.提示:不是,正切函数在每一个单调区间(一十^r 4.解析:“:[一] 十)(处Z)内都是增函数.但在整个定义域内不是,比 +[-1 .cos(2+)[-1]. 3.提示:画正切函数图像常用三点两线法:“三点”是指(一 #一1)(0,0)(,1)“两线”是指x-和x-. *.该函数的值域为[一1,2. 答案:[-1,2] 大致画出正切函数在(一,)上的简图后向左,向右扩 5.解:(1)令2x+-h.乙. 将3代入得2十一天 3πb,hz. 展即得正切曲线。 预习自测 又(0) 2.A 3.D ..f(x)-2cos(2c+). 课堂互动学案 [例1] [解](1)由题意得( (tanx+1>0 学(1-tan 0-即-1<tanx (2)令2kx<2x+π<π+2kn,k6z. <1. 解得一知R6后之 在(一,)内,满足上述不等式的I的取值范因 又0二π. 是[一) .3n##<< 又y=tanx的周期为元. '当x[0,n时,f(x)的减区间为 所以一-<+é之 [0_3-],[, 所以画数的定义域为[-+kn,十h),6乙. (3)列表, 20 0 3π π 2π (2)令:2x+ 2 一 7π “E(-1 00 1-2 /() 2 0 2 #_二) 作图,如图所示. :y-tan:在(一] 1上是增函数, .tan(-)<<tan即-1<<3. '函数的值域为(一1.③]. 变式训练 (x≠k十”(ez), 1.解析:(1)由题意得 (tanx>0. [hπ十(乙) 7.3.4 正切函数的性质与图像 完 课前预习学案 #kn<<+(hez), 情境引入 1.提示:还可以利用单位圆中的正切线作正切函数y=tan 故定义域为(kx,x+)(kz). 2的图像. (2)=(tanx-1)+2,由于tanxEB,所以当tanx=1 时,函数取最小值2. 出三点(--1)(0.0)(,1),两线x-士. 答案:(1)(kn,kn十吾)(z) (2)2 .105·