7.3.1 正弦函数的性质与图像-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

第七章三角函数。 7.3三角函数的性质与图象 7.3.1正弦函数的性质与图象 第1课时正弦函数的性质 6.正弦函数yv=sinx的性质 学习目标 、名称 性质 y=sinx 1.了解周期函数、周期、最小正周期的 定义域 R 定义 值域 [-1,1] 2.利用正弦线理解正弦函数的性质. 3.掌握正弦函数的性质及其应用. 当且仅当x=T+2km,k∈Z时，函数y= 2 最值 sinx的最大值ym=l; 要点精析 当且仅当x=3如+2km,k∈Z时，函数 2 y=sinx的最小值ymm=-1 川要点1正弦函数的奇偶性与周期性 奇偶性 奇函数 1.正弦函数：对于任意一个角x,都有 周期性 最小正周期为2π 唯一确定的正弦sinx与之对应，因此y=sinx 在受+2必，受+2km (k∈Z)上递增， 是一个函数，一般称为正弦函数， 单调性 2.角α的终边与单位圆的交点是唯一 在[于+2km,交+2km]keZ)上递减 的，该交点的纵坐标是y=sina. 零点 kT(k∈Z) 3.周期性：一般地，对于函数fx),如果 例1 ()fx)=eos3+x+sinx的 存在一个非零常数T,使得对定义域内的每一 个x,都满足fx+T)fx),那么就称函数fx)为 奇偶性是 周期函数，非零常数T称为这个函数的周期 (2)判断等式sin-牙+=sn-写 4.最小正周期：对于一个周期函数f八x), 如果在它的所有周期中存在一个最小的正数， 是否成立？如果成立，能否说明5π是函数 3 那么这个最小的正数就称为f代x)的最小正周期.：y=sinx的周期？ 5.角a与a+2kπ(k∈Z)两者的正弦 值是相等的，在2kπ(k∈Z,k≠0)中，最 小正数为2π，因此正弦函数y=sinx的最小 正周期为2m. 学(31 N 高中数学必修第三册人教B版 反思感悟 反思感悟 (1)定义法求函数的周期：紧扣周期 与正弦函数有关的最值 函数的定义，寻求对定义域内的任意x都 (1)一次型：如果是关于正弦函数的 满足f(x+T)=f(x)的非零常数T,该方法主 次式，要根据一次项系数的正负确定最值 要适用于抽象函数， (2)二次型：如果是关于正弦函数的 (2)定义法判断函数的奇偶性：从f-x) 二次式，则通过换元转化为一元二次函数 :的解析式中拼凑出(x)的解析式，再依据 配方求最值 f-x)=fx)或f-x)=fx)来判断 (3)分式型：含有sinx或cosx的分式 型函数求值域，往往先分离常量，进而求 B变式训练① 解，有时用反解法求出sinr或cosx,利用 (1)函数y=lsinx,xeR的最小正周期 有界性建立不等式求解」 为 (2)函数f(x)=xsin(T+x)( 变式训练2 A.是奇函数，但不是偶函数 (1)(多选题)已知函数f(x)=2 asinx+ B.是偶函数，但不是奇函数 a+b的定义域是0， 2/, 值域为[-5，-1]， C.既是奇函数，又是偶函数 D.既不是奇函数，也不是偶函数 则a,b的值为( A.a=2,b=-7 B.a=-2,b=2 川要点2正弦函数的值域与最值 C.a=-2,b=1 D.a=1,b=-2 例2(1)函数f(x)=-2sinx+1,x∈ (2)求函数y=-2cos2x+2sinx+3,x∈ 受，不的值域是（) 5π的最大值和最小值。 66 A.[1,3] B.[-1,3] C.[-3,1] D.[-1,1] (2)求函数f(x)=sin(π+x)-cosx的最大 值和最小值，并求出取得最大值和最小值时 x的值， (3)求函数=sinx,的值域 sinx+2 32)学 第七章三角函数。 川要点3正弦函数的单调性及应用 变式训练③ 例3(1)y=-3sinx+1的单调递减区间 (1) 37π与sin49m的大小. 为 若x∈[0，π]，则y=-3sinx+1 比较sin-36} 3 的单调递减区间为 (2)=six+1的单调递诚区间为 (2)比较sin196与cos156°的大小 反思感悟 (1)求形如y=asinx-+b的三角函数的单 调性，当a<0时，要求y=asinx+b的单调递 增区间，即求y=sinx的单调递减区间， (2)用正弦函数的单调性比较大小时， 应先将异名化同名，把不在同一单调区间 内的角用诱导公式转化到同一单调区间， 再利用单调性来比较大小 学(33 N 高中数学必修第三册人教B版 第2课时正弦函数的图象 得到正弦曲线的简图， 学习目标 例1利用“五点法”作出函数y=1 1.了解由正弦函数的性质及“五点法”： sinx(0≤x≤2r)的简图. 作正弦函数的图象， 思考本例中除了用“五点法”作图 2.理解正弦曲线及其对称轴、对称中心 之外，是否还有其他方法得到y=l-sinx 3.能利用正弦函数解决简单问题」 (0≤x≤2π)的图象. 要点精析 要点1正弦函数图象 L.一般地，y=sinx的函数图象称为正弦 曲线.如图7-3-1，由图可以看出，正弦曲 线是轴对称图形，对称轴为x=T+kπ(k∈ Z)；正弦曲线也是中心对称图形，且对称中 心为(kπ，0)(k∈Z) 1 B变式训练① --- ()用“五点法”画出函数)=2+sn, x∈[0,2π]的简图. 图7-3-1 2.“五点法”作正弦函数y=sinx,x∈ (2)函数y=sinx+1的图象的对称轴为 [0,2π]图象的步骤 对称中心为 (1)列表： 0 T 3π 2 T 2T y=sinx 0 0 -1 0 (2)描点：画正弦函数y=sinx,x∈ [0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)， 牙1.，0.，-1.2,0. (3)用光滑的曲线顺次连接这五个点， 34)学 第七章三角函数。 川要点2利用正弦函数图象解不等式 变式训练③ 例2利用正弦函数的图象，求满足 函数f(x)=sinx+2 Isinxl,x∈[0,2r]的 sinr≥V2的x的集合. 图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点， 2 求k的取值范围， 反思感悟 用三角函数图象解三角不等式的步骤： (1)作出相应的正弦函数在[0,2π] 上的图象； (2)写出不等式在区间[0,2π]上的 解集； (3)根据诱导公式①写出定义域内的 解集 变式训练② 数学文化 函数y=log2(2sinx+1)的定义域为 例数学的对称美在中国 传统文化中多有体现，譬如如 川要点3正弦函数图象的应用 图所示的太极图是由黑、白两 个鱼形纹组成的圆形图案，充 图7-3-2 例3(1)方程sinr=lgx的解的个数是 分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能 够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个 (2)方程xsinxa=1在区间[0,2m]上根 圆的“优美函数”，下列说法错误的是() 的个数为( A.对于任意一个圆，其“优美函数” A.0 B.1 有无数个 C.2 D.3 B.f(x)=x可以是某个圆的“优美函数” 反思感悟 C.正弦函数y=sinx可以同时是无数个 在解决两函数的交点或方程根的问题 圆的“优美函数” 时，可借助于y=Sinx的图象，利用数形结 D.函数yf(x)是“优美函数”的充要条 合的方法」 件为函数y=f代x)的图象是中心对称图形 学 352km+号B,keZ. .'tan(2a+B)+tanB-tan22kn+-B)+B+tanB-tan(4km+ T-2B+B)+tanB=tan(m-B)+tanB=-tanB+tanB=0.∴.等式成立. 变式训练4 证明：左边=-2cos6sin0-1 -(sin0+cos0)2 cos0-sin (cos0-sine)(cos0+sing) sine-cos0 tan0-1，右边=tanb+1 sin0+coso_tan+1 an0-1，等式成立. 数学文化 例D【解析】(1)由题意可知∠ACB=72°，在△ABC 康，可得co20V5则s342sn72270网 4 =-c0s720=-V5-L.故选D. 4 ·"7.3三角函数的性质与图象 7.31正弦函数的性质与图象 第1课时正弦函数的性质 要点精析 例1(1)奇函数【解析】x)=sinr+x2sinx,xeR,f(-x) =sin(-x)+(-x)2sin(-x)=-sinx-sinx=-fx),fx)是奇函数. (2)解：sn骨+)sin钙snm+号)-ng 而sim←牙)=-血写，所以上述等式成立， 但不能说明5π是函数y=sinx的周期， 3 理由：若亚是函数y=six的周期，则对任意的实数 x,都有sinx+=simc, 但当0时，sm+号sim,÷罗不是函数)=ir 的周期 变式训练1(1)r(2)B【解析】(1)设f(x)=lsinal, ·f(x+m)=lsin(x+r)=lsinxl==f(x),.y=lsinxl的最小正周期为 T. (2)易知函数∫(x)的定义域R,关于原点对称， .f(x)=xsin(+x)=-xsinx,f(x)=(x)sin(x)=-xsin=f(x) ≠(x),fx)是偶函数，不是奇函数.故选B. 例2()B【解析】xe[受，π]，∴nr∈[-l,, .f(x)=-2sinx+1∈[-1,3].故选B. (2):f (x)=sin (x)-cosx=-sinx-1+sin2x=sin- 1.令1m,则-4-lt te-1,1≤≤1，子≤y≤1，l,此时 sin=-1,kZ: =子，此时n=分君+2m,keZ或爱+ 6 6 参考答案。 2kT,k∈Z. -sinr+2,-l≤sinr≤l,d (3)解：原式可化为y=1-,2。 号≤品2≤2得-15 小函数部2的值城为1，专 变式训练2(1)AC【解析】fx)=2 asinx+-a+b的定义域 是|0，Σ]，0≤simx≤1. 当a0时，曲短室舞得当o0时。 由题色到.好得故选C lb=-7. (2)解：f(x)=-2(1-sin㎡x)+2sinx+3=2sinx+2sinx+1= 2sm+7分xe[君g],小≤m≤1 当sin=l时，y取得最大值)a=5；当sn=)时，y取 得最小值m=弓 例31)7+2km,7+2km](keZ)[0,]【解 析】当-7+2km≤x≤牙+2km,keZ时，y=-3sinr+1单调 递减，y-3simx+1的单调递减区间为[7+2km,7+2km] (k∈Z). [0]-2+2k,+2k () m=[0,, .当x∈[0，π]时，y=-3simx+1的单调递减区间为 o,引 (2)解：sinl96°=sin(180°+16°)=-sinl6°，cos156°= cos(180°-24°)=-cos24°=-sin66°. :当0°≤x≤90°时，y=sinx单调递增，.sinl6°<sin66°， 故sin196>cosl56°. 变式训练3（解：sin-3sin-6m石sin-石} sin4gr=sin16m+号)=sin号 y=n在号，受]上单调递增，且-受<-石<受< 牙，sm-君sin号，即sn3石in4g2. 3 (2)[受+2km,+2km](k∈Z)【解析】在) Asinx中(A>0),单调区间与A无关，仍为simx的单调区 间，故)广号sn+1的单调递诚区间为[受+2km,交+2km] (k∈Z)· 第2课时正弦函数的图象 例1解：取值，列表如下： 37 N 高中数学必修第三册人教B版 3π x 0 2 2 y=sinx 0 0 y=1-sina 1 0 2 描点作图，如图所示 3π 例1答图 变式训练1(1)解：取值，列表如下： x 0 3m y=sinx 0 0 1 0 2 、1 描点作图，如图所示。 +sinx,x∈[0,2 2----------- 22π。x 变式训练1答图 (2)x=交+6m,keZ(km,2,keZ【解析】y sinr的对称轴为x=+km,k∈Z,对称中心为(km,0), k∈Z,y=sinx+】的对称轴为=牙+m,keZ,对称中心 为km,2),kez. 例2解：作出正弦函数y=six,xe[0,2π]的图象，如 图所示.由图可知，在[0,2π]上满足sinx≥Y2的x的 集合为x牙≤x≤3平，故满足sim≥Y子的x的集合为 年+2m≤x≤7+2hm,kez 38 y y=sinx,x∈[0,2r] V2 2 22 0 3π 例2答图 变式训练2 -石+2mc<7g+2m,keZ【解析】要 6 使函数有意义，则必有2in+>0,即sn>- 画出sn,e受，交]的草图，如图所示。 7m3π 26 T62 变式训练2答图 当石c<g时，不等式n>成立，sim>之的 解集为君+2m<石+2k,keZ, 函数y=lg:(2sinr+1)的定文域为石+2km<x m+2km,kEZ. 6 例3(l)3【解析】用五点法画出函数y=six,x∈ [0,2m]的图象，再向右平移2m个单位，得到y=six, e0,4知的图象描出点（品1小1,0，(10，D。 并用光滑曲线连接得到y=gx的图象，如图所示.由图象可 知方程sinx=lgx的解有3个. 30/4m元 例3(1)答图 (2)C【解析】当x=0时不满足题意，当x≠0时，方 程xsinx=-l变为1=sinx.方程xsinx=l在区间(0,2m]上的 根的个数可由函数y=】与函数y= six的图象交点个数确定.在平面直 角坐标系内作出函数)=与函数y sinx在(0,2π]上的图象，如图所 例3(2)答图 示.由图象可知有2个交点.故选C. 变式训练3解：f(x)=sinr+2 2lsinx上 3sinx,xe[0,T],图象如图所示. -sinx,xe (m,2]. 若使f(x)的图象与直线y=k有且仅 有两个不同的交点，根据图象可得k 的取值范围是(1,3)· 变式训练3答图 数学文化 例D【解析】过圆心的直线都可以 将圆的周长和面积同时平分，所以对 于任意一个圆，其“优美函数”有无 数个，A正确；因为函数f(x)=x的 图象关于原点成中心对称，所以将圆 的圆心放在原点，则函数f(x)=x3是 该圆的“优美函数”，B正确：将圆 的圆心放在正弦函数y=sinx的对称中 例题答图 心上，则正弦函数y=six是该圆的“优美函数”，C正确： 函数y=f(x)的图象是中心对称图形，则函数y=(x)不一定 是“优美函数”，如f(x)=；但是函数y=(x)是“优美函 数”时，图象不一定是中心对称图形，如图所示.所以函数 y=f(x)的图象是中心对称图形是函数y=fx)是“优美函数” 的不充分不必要条件，D错误.故选D. 7.3.2正弦型函数的性质与图象 要点精析 例1解：(1). .-1≤sinx≤l.当sinx=-l时， l-1≤sinx≤1. Yhu= 2 -,此时x的取值集合为x=-2+2km,k∈Z: 当siv=l时，y=2,此时x的取值集合为 2 x=受+2km,kez (2)-1≤sin2x+写）≤1，.当sin2x+5)=1时。 m-5,此时2x+了=7+2kπ(keZ),即x=7 tkn (keZ), 故x的取值集合为=5+6m,6eZ 当sim2x+牙=-1时，m=l,此时2x+号-受+2km (keZ).tk (kZ), 12 放x的取值集合为=受+hm,keZ, (3)y=2os2x+5simw-4=-2 2sinx+5simr-2=-2sinr-子）户+ 9 8..sinve[-l,1小.当sn=l,即=受2 k(eZ)时， y有最小值-9，此时x的取值集合为=受+2m,keZ: 当sinx=l,即x=牙+2km(k∈Z)时，y有最大值1，此时 x的取值集合为=受+2km,keZ 参考答案。 变式训练1解：0≤≤牙，-号≤2x-号≤号 V≤m2a-号≤1 2 2a+b=1, 当a>0时，则 解得=l2-6V3, -V3a+b=-5, b=-23+12V3. 当a<0时，则 2+b=-5,解得 =-12+6V3, -V3a+b=1, b=19-12V3. 例2解：方法一：()如果令u=方x,则s5n之=sinu是 周期函数，且周期为2π. :sin(分+2m=sin号，即sin[36x*4m)]=smx ,sinx的周期是4m (2)2sin(号-石+2m=2sin号-石， 即2im号（46m)-石]-2sm管-g 2sin芳石)的周期是6m。 方法二：（00分，T0=2平=4m 号，12领-2红6m (2)w=1, 3 变式训练2解：0=5，语号m 2)w石哥T2 Γwl-1 例3解：令u=3-号，当xeR时单调递增，当函数)= u单调递增时，复合函数)si如3x号)也单调递增；当 函数)=sinu单调递减时，复合函数)-sin3x号)也单调递减. 由2km-号≤3x-骨≤2m+号，keZ,得号m8≤ x≤号km+最r(ke2),故原函数的单调递增区间为 [号m得子m+语，ke2由2m+受≤3-号≤2m+ 受，keZ,得号km+各≤≤号m+设m,ke工，故原 5 函数的单调道减区间为号m+成，号4m+设]，keZ 变式训练3解：设=号-之，则)=3· 当2km+受≤u≤2kT+(keZ)时，=3nu随u的 增大而诚小，又：=号-艺随x的增大而减小， 当2m+受≤号-受≤2m+受，keZ,即当-4m- 否≤≤-4秋号，k∈Z时，y随：的增大而增大 39