7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

第七章三角函数 7.2.3同角三角函数的基本关系式 反思感悟 学习目标 (1)已知角a的某一种三角函数值，求 1.理解同角三角函数的基本关系式： 角Q~的其余三角函数值，要注意公式的合理选 sin'x+cosx=1, sinx =tanx. 择，一般是先选用平方关系，再用商数关系 COSx (2)若角所在的象限已经确定，求 2.会运用以上两个基本关系式进行化 另两种三角函数值时，只有一组结果；若 简、求值和证明 角所在的象限不确定，应分类讨论，一 3.通过学习同角三角函数的基本关系 般有两组结果 式，认识事物之间的普遍联系规律，培养辩 证唯物主义观， B变式训练① 要点精析 已知c0sa=一 求sina,tana的值， 川要点1利用同角三角函数的关系式求值： (1)同角三角函数的基本关系 ①平方关系：sin2a+cos2a=1. 商数关系：sina=tana cosa a≠km+T,keZ 川要点2条件求值 ②语言叙述：同一个角的正弦、余弦 的平方和等于1，商等于角α的正切. 例2已知aa了，求下列各式的值： (2)“同角”一词的含义 (1) 4sina-2cosa 一是“角相同”，如sina+cos3=1就不 5cosa+3sing 一定成立；二是对任意一个角（在使得函数： (2)2sina-3sinacosa+5cosa: 2 有意义的前提下)，关系式都成立，即与角 的表达式形式无关，如sin15°+cos215°=1， (3) 1 1-singcosa sin'9cos9l等. 例1已知tana=-2,求sina,cosa的值 学(21 N 高中数学必修第三册人教B版 反思感悟 例3 已知sin0+cos0=V2 (0<0<T), 化切求值的方法技巧 (1)已知tana=m, 可以求sina+bcosa 求tan0的值. csina+dcosa 或asin'+bsinacosa+ccos'a的值，将分子 dsin a+esinacosa+fcos a 分母同除以cosa或cos2a,化成关于tana 的式子，从而达到求值的目的。 (2)对于asin2a+bsinacos2a+ccos2a的 求值，可看成分母是1，利用1=sina+cos2a 进行代替后，分子、分母同时除以c0s2, 得到关于tana的式子，从而可以求值 变式训练2 反思感悟 已知3sina-2cosa=0,求下列各式的值 (1)sina+cosa, sina-cosa,sinacosa (1)cosa-sinacosa+sina 三个式子中，已知其中一个，可以求其他 cosa+sina cosa-sina 两个，即“知一求二”，它们之间的关系是 (2)sin2a-2sinacosa+4cos'a. (sina±cosa)2=1±2 singcosa. (2)求sina+cosa或sina-cosa的值， 要注意判断它们的符号 B变式训练③ 已知sina+cosa= 3， 计算下列各式的值： (1)sina-cosa; (2)sina+cosa. 22学 第七章三角函数。 例4求证： cosa 1+sina 1-sina 川要点3综合问题 分析 方法一：右边分母为cosa, 例5设α是第三象限角，问是否存在 故可将左边分子、分母同乘cosa, 整理化 这样的实数m,使得sina,cosa是关于x的 简即可」 方程8x2-6mx+2m+1=0的根.若存在，求出 方法二：只要证明左式-右式=0即可 实数m;若不存在，请说明理由， 分析求解此类题型时，一般地，我 们先假设存在，再在此基础上求解出m的 值，符合条件则存在，不符合条件则不存在. 反思感悟 关于三角恒等式的证明，一般方法有 以下几种： (1)从一边开始，证得它等于另一边， 一般由繁到简」 (2)左右归一法，即证明左右两边都 等于同一个式子. (3)比较法，即证明“左边-右边=0” 或“左边 右边 =1” (4)分析法，从被证的等式出发，逐 步探求使等式成立的条件，一直到成立的 反思感悟 条件为已知条件或明显的事实为止，就可 解答此类题目常用的方法有： 以判定原式成立 (1)化切为弦，即把非正、余弦的函 变式训练4 数都化成正、余弦函数，从而减少函数名 称，达到化简的目的」 求证： tanasina_tana+sina (2)对于含有根号的，常把根号下的 tang-sing tanasing 式子化成完全平方式，然后去根号达到化 简的目的」 (3)对于化简含高次的三角函数式， 往往借助于因式分解，或构造sina+cos2au 1,以降低函数次数，达到化简的目的」 N 高中数学必修第三册人教B版 ⑧变式训练⑤ 数学文化 已知sina,cosa为方程4x2-4mx+2m-1= 例在北京召开的国 0的两个实根，&∈受，0，求m及x的值 际数学家大会会标如图所 示，它是由4个相同的直 角三角形与中间的小正方 形拼成的一个大正方形 图7-2-6 若直角三角形中较小的锐角为0，大正方形 的面积是1，小正方形的面积是方，则 sin0-cos20的值等于（) A.1 B若 C D.-25 分析本题是三角函数在生活中的应 用，由题意得到三角函数算式，根据同角 三角函数平方关系，整理运算后得到答案。 (24学N 高中数学必修第三册人教B版 OD,则OC与OD围成的区域（阴影部分）即为角α终边 的范围，如图2.故满足条件的角α的集合为d2kr+2红≤ 3 a≤24m+.keZ} 例4解：如图所示. 41,0) M.M 例4答图 (1)MPMP且MP与MD都与y轴正方向一致， sin子>sin号a. (2)AT>AT1且AT与AT都与y轴正方向相反， 2元 5 变式训练4cos6r<sin2π< 5 m行【解折】由图可知cos?< 0,tan2牙>0，sin2牙>0.Nik i,放cog<n牙<iam 5 例5证明：如图所示，设角α的 变式训练4答图 终边交单位圆于P,过点P作PM a的 垂直于x轴，垂足为M.过点A(1, /终边 O)作单位圆的切线交OP于点T, 连接PA,则sina=MP,tana=AT, :S0pSm形0P公△07，亡2OA o M MP<2a0M<20AAT又0A=l, (1,0) .'.MP<a<AT,.'.sina<a<tana. 变式训练5证明：当角α的终边在 例5答图 x(y)轴上时，正弦线（余弦线）变 成一个点，而余弦线（正弦线）的长 等于r(=1),此时Isin+--Icosa=l. 当角α的终边落在某一个象限内 时，如图所示，利用三角形两边之和 大于第三边有Isina+-lcosal=MP+OM>1 变式训练5答图 综上有Isina+-lcosal≥L. 变式训练6C【解析】由题意知，四段弧是单位圆上的第 一、二、三象限的弧，在AB上，tana>sina,不满足；在CD 上，tana>sina,不满足；在EF上，sina>0,cosa<0,tana<0, 且cosa>tana,满足；在GI上，tana>0,sina<0,cosa<0, 不满足.故选C 34 数学文化 例解：动点P,Q从点A(1,0)出发在单位圆上运 动，点P按逆时针方向每秒转π弧度，点Q按顺时针方向 6 每秒转11π弧度，而单位圆的周长为2m,则P,Q两点每 6 一秒相遇一次，则P,Q两点在第2019次相遇时，经过了 2019秒，点P转过的弧度数为πX2019=673m=168x2m+ 2 受，故点P位于)轴的正半轴上，即点P位于点(0,1) 处，即P(0,1) 7.2.3同角三角函数的基本关系式 要点精析 例1解：tana=-2,∴a是第二或第四象限角，又由 tana=-2 sina=-2cosa. ①当α为第二象限角时， sino=-2c0sa；→5cos2a=1. sin'a+cos a=1 .cosa<0,∴.c0Sa=- 5 ,sina=-2×-V5= 5 2V5 5 ②当α为第四象限角时， [sina=-2cosa, →5c0s2a=1. sin'a+cos'a=1 cosa心0，cosa=Y53,sina=-2xY3=-2V5 5 5 综上可知，当a为第二象限角时，coa=-V5 5 sina=2y5,当a为第四象限角时，coa=Y写，nu 5 2V5 5 变式训练1解：c0sa=- 8<0,a是第二或第三象限的 角，如果a是第二象限角，那么sma=VHcosa-√-合了 7,tana=sina=17 15 =-5.如果a是第三象限角，同理 8 17 可得sna-V1cosa-号ana片 例2解：0)原式ma2_-号上-23 5+3tang 53x-3 6 (2)原式 2ina多inco5cosa21ana-子ama45 sin'a+cos'a tan'a+1 103 20 (3)原式=sina+cosa-sinocosa tana+1-tana sin'a+cos'a tan'a+1 (g 10 1- 变式训练2解：(1)3sina-2cosa-0,∴..tano= 2 3 c0Sa≠0. 12 .cosa-sina cosatsina_1-tana 3 12 3 cosa+sina +cosa-sino 1+tano 1-tana 1+2 号 26 (2)sina-2sinacosa+4cos'a=sin'a-2sinacosa+4cosa sin a+cosa -ma-2m44.号-号4 28 tan'a+1 13 例3解：sin94cos:Y2,六两边平方得ncos0= 3 18 又0<0<m,开<0km。 :sin&-codi=V(sna-coa0j产=V1-2sino0=号 sine+cos0=V2 sin0=V2+4 3 6 解方程组 得 sine-cos0=4 , cos0=V2-4 6 ∴tan0=sinb=-9-4V2 cos 7 变式训练3解：(（1)sina4cosa=了，六sina+2 2sinaee0a+ =(sin-cox)=1-2sinacos= 1+8=17 99·.sina-coa=tY厘 3 (2)'.'sin'a+cos'=(sina+cosa)(sin'a-sinacosa+cos2a)= (sina+cosa)(1-sinacosa). 又由(1)知，sinacosa=- ，且sina+cosa= 4 3 =写×l+ -113_13 9=3×927 例4证明：方法一：左边=cosa-sina)cosa(1-sina cos'a 1-sin'a (1--sina)(1+sina)=1+sina=右边，.原式成立. cosa(1-sina) coSQ 方法三：品。1- cosa-(1+sina)(1-sina)_cos'a-(1-sin'a)_cos'a-cos'a cosa(1-sina) cosa(1-sina)cosa(1-sina) 0.1- cosa 变式训练4证明：右边= tan'a-sin'a (tana-sina)tanasina tan'a-tan'acos'a (tana-sing)tanasina 参考答案。 tan2a(1-cos'a) tan'asin'o (tansina)tanosin(tane sin )tanasina tana-sina 左边，.原等式成立 例5解：不存在.设存在这样的实数m满足条件，由题设 得△=36m2-32(2m+1)≥0，① sincor-2m,② sinacosa=2m+l>0.③ 8 .'sin'a+cosa=1,.'(sina+cosa)2-2sinacoso=1.1 把②8代入④得子m-2x2m+11. 8 即9m2-8m-20-0解得m=2,m=9m=2不满足条 件①，m=-9不满足条件③，故这样的实数m不存在。 变式训练5解：.sina,cosa为方程4x24mx+2m-1=0的两 个实根，∴m2-2m+1≥0且sina+cosa=m,sinccosa=2m-⊥， 4 代入(sina+coa)P=l+2 2sinacosa,得m=l±V3 2 又ae牙，0，sinacosa=-2nml0,即m3 4 -上y,a-9,eo 1 2 又ae7,0,a=牙 数学文化 例D【解析】由三角函数定义可得小正方形的边长为 cos0-sin0,又小正方形的面积是名，cos0-sin:了，再由 251 S面初4os0=1.得到co0=号sm9:号，代入算式得到 sin0-cos0的值等于-名故选D 7.2.4诱导公式 第1课时诱导公式（一） 要点精析 例1解：()s-3要)=-sim(3)=-sn4+7g) 6 6 (2)c0s(-945°)=cos945°=c0s(2×360°+225°)=c0s225°= c0s(180°+45)=-cos45°=-V2 2 (3)tan(-855o)=-tan855°=-tan(2×360°+135o)= -tan(180°-45°)=tan45°=1. (4)sin(-1200°)·cos1290°+cos(-1020°)·sin(-1050°) +tan945°=-sin(3×360°+120°)·cos(3x360°+210°)-cos(2×360 +300°)·sin(2x360°+330°)+tan(2x360°+225°)=-sin(180°-60°)· cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°-30°)+tan(180°+ 45°)=sin60°.cos30°+cos60,sin30°+tan45°=Y3×Y3+ 2 2 35