7.3 三角函数的性质与图像 7.3.2 正弦型函数的性质与图像 第1课时正弦型函数的性质与图像(一)-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂（人教B版2019）

变式训练 １．解:找五个关键点列表: x ０ π２ π ３π ２ ２π sinx ０ １ ０ －１ ０ １＋２sinx １ ３ １ －１ １ 在直 角 坐 标 系 中 描 出 五 点 (０,１), π２ ,３( ),(π,１), ３π ２ ,－１( ),(２π,１),然后用光滑曲线顺次连接起来,就得 到y＝１＋２sinx,x∈[０,２π]的图像． [例２]　[解析]　(１)由２sin２x≥１得sin２x≥１２． 把２x当 作整体t,画y＝sint的图像． 在[０,２π]内,满足sint≥１２ 有π ６≤t≤ ５π ６ , 所以π ６≤２x≤ ５π ６． 故在实数集R上２x满足 π ６＋２kπ≤２x≤ ５π ６＋２kπ ,k∈Z, 即π １２＋kπ≤x≤ ５π １２＋kπ ,k∈Z, 所以定义域为{x|π１２＋kπ≤x≤ ５π １２＋kπ ,k∈Z}． (２)根据函数表达式可得 sinx≥０, ２５－x２≥０,{ ⇒ ２kπ≤x≤２kπ＋π(k∈Z), －５≤x≤５．{ 在数轴上表示如图所示． 由图示可得,函数定义域[－５,－π]∪[０,π]． 变式训练 ２．解:作出正弦函数y＝sinx,x∈[０,２π]的图像,如图所 示,由图像可以得到满足条件的x的集合为[π６＋２kπ ,５π ６ ＋２kπ],k∈Z． [例３]　[解]　用五点法画出函数y＝１＋sinx,x∈[０,２π] 的图像,如图所示． (１)由图像可知,当x∈(０,π)时,y＞１;当x∈(π,２π) 时,０＜y＜１． (２)在平面直角坐标系中作出直线y＝３２ ,如图所示,可知 此直线与函数y＝１＋sinx,x∈[０,２π]的图像有两个 交点． 变式训练 ３．解:由图像易知(１)当a＝ ±１时,y＝a与函数图像 只有一个交点． (２)当a∈(０,１)∪(－１, ０)时,y＝a与函数图像有 两个交点． 随堂步步夯实 １．C　[由正弦曲线知,①④正确．] ２．B　[y＝sin(－x)＝－sinx,y＝－sinx与y＝sinx的图 像关于x 轴对称,故选B．] ３．B　[所描出的五点的横坐标与函数y＝sinx的五点的横 坐标相同,即０,π２ ,π,３π２ ,２π,故选B．] ４．解析:由正弦函数的图像,知当x∈[０,２π]时,sinx∈[－ １,１],要使得方程sinx＝４m＋１在x∈[０,２π]上有解,则 －１≤４m＋１≤１,故－１２≤m≤０． 答案: －１２ ,０[ ] ５．解:首先作出y＝sinx 在[０,２π]上的图像,如图所示,作 直线y＝１２ ,根据特殊角的正弦值,可知该直线与y＝sin x,x∈[０,２π]的交点横坐标为π６ 和５π ６． 作直线y＝ ３２ ,该直线与y＝sinx,x∈[０,２π]的交点横坐 标为π ３ 和２π ３． 观察图像可知,在[０,２π]上,当 π６＜x≤ π ３ 或２π ３≤x＜ ５π ６ 时,不等式１ ２＜sinx≤ ３ ２ 成立． 所以１ ２＜sinx≤ ３ ２ 的解集为 x π６＋２kπ＜x≤ π ３＋２kπ ,k∈Z{ } 或 ２π ３＋２kπ≤x＜ ５π ６＋２kπ ,k∈Z{ }． ７．３．２　正弦型函数的性质与图像 第１课时　正弦型函数的性质与图像(一) 课前预习学案 情境引入 　提示:因筒车上盛水筒的运动具有周期性,可以考虑利用 三角函数模型刻画它的运动规律． 知识梳理 知识点一、R　R　R　R　[－|A|,|A|]　[－１,１]　[－１, １]　[－|A|,|A|]　２π 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９９􀅰 参考答案 [思考] １．提示:只需把y＝sin(x＋φ)向右(φ＞０)或向左(φ＜０)平 移|φ|个单位长度即可得y＝sinx的图像． ２．提示:∵y＝sin(ωx＋φ)＝sinω(x＋φω ), ∴由y＝sinωx的图像向左(右)平移|φω| 个单位长度． ３．提示:y＝sinx 各点横坐标变为原来的 １ ω 纵坐标不变 → 　　　y＝sin(ωx) 　　　　　　 左(右)平移 φ|ω| 个单位长度 ↓ 　　　y＝sin(ωx＋φ) 　　　　　　 各点的横坐标不变 ,纵 坐标变为原来的A 倍↓ 　　　y＝Asin(ωx＋φ) 预习自测 １．B　[将函数y＝sinx 的图像向右平移 π３ 个单位长度,所 得图像对应的函数解析式为y＝sin(x－π３ )．] ２．C　[只需将函数y＝sin(x－π６ )的图像上所有点的横坐 标变为原来的１ ３ ,纵坐标不变,便得到函数y＝sin(３x－ π ６ )的图像．] ３．解析:y＝sin２x 向左平移 π ３ 个单位长度 　 →y＝sin２(x＋π３ )． 答案:y＝sin(２x＋２π３ ) 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)方法一　(定义法) y＝sin ２x＋π４( ) ＝sin ２x＋π４＋２π( )＝sin ２(x＋π)＋ π ４[ ], 所以周期为π． 方法二　(公式法) y＝sin ２x＋π４( ) 中ω＝２,T＝ ２π ω＝ ２π ２＝π． (２)y＝２sin －１２x＋ π ６( ) 中ω＝－ １ ２ ,周 期 T＝ ２π|ω|＝ ２π |－１２| ＝４π． (３)作图如下． 观察图像可知周期为π． 变式训练 １．解析:(１)T＝２ππ ２ ＝４． (２)T＝２π|ω|＝３π ,∴|ω|＝２３ ,∴ω＝±２３． 答案:(１)４　(２)±２３ [例２]　[解析]　(１)由y＝２sin(２x＋π６ )可知,周期T＝π, 所以T ４＝ １ ４π , y＝２sin ２x＋π６( ) 向右平移 １ ４ 个周期 → y＝２sin ２x－π４( )＋ π ６[ ] ＝２sin ２x－π３( )． (２)y＝sin２x＝cos(π２－２x )＝cos(２x－π２ ) ＝cos２x－π４( )[ ]＝cos２x－ π ８( )－ π ４[ ]． 若设f(x)＝sin２x＝cos２x－π８( )－ π ４[ ], 则f x＋π８( )＝cos２x－ π ４( ), ∴向左平移π８ 个单位长度． [答案]　(１)D　(２)A 变式训练 ２．(１)C　[因为y＝sin(２x＋π３ )＝sin２(x＋π６ ),所以将函 数y＝sin２x的图像向左平移π６ 个单位长度,就可得到函 数y＝sin２(x＋π６ )＝sin(２x＋π３ )的图像．] (２)C　[y＝sin(２x－π６ )＝cos π２－ ２x－ π ６( )[ ] ＝cos２π３－２x( ))＝cos２x－ ２π ３( ) ＝cos２x－π３( )[ ]．故选C．] [例３]　[解]　方法一: y＝sinx 向右平移 π ３ 个单位长度 纵坐标不变 →y ＝sinx－π３( ) 将各点的横坐标缩短为原来的 １ ２ 倍 纵坐标不变 →y ＝sin ２x－π３( ) 将各点的纵坐标伸长为原来的３倍 横坐标不变 →y ＝３sin ２x－π３( )． 方法二:y＝sinx 将各点的横坐标缩短为原来的 １ ２ 倍 纵坐标不变 →y ＝sin２x 向右平移 π ６ 个单位长度 纵坐标不变 →y ＝sin ２(x－π６ )[ ]＝sin(２x－π３) 将各点的纵坐标伸长为原来的３倍 横坐标不变 →y＝３sin ２x－π３( )． 变式训练 ３．D　[C１:y＝cosx＝sin x＋ π ２( )． 即y＝sinx＋π２( ) C１ 上各点横坐标缩短为原来的 １ ２ 倍 → y＝sin ２x＋π２( )＝sin２x＋ π ４( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰００１􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B 向左平移 π １２ 个单位长度 →y＝sin２x＋π４＋ π １２( ) ＝sin２x＋π３( )＝sin ２x＋ ２π ３( )．] [例４]　[解]　令X＝２x＋π４ ,则x＝１２ X－ π ４( )． 列表: X ０ π２ π ３π ２ ２π x －π８ π ８ ３π ８ ５π ８ ７π ８ y ０ ２．５ ０ －２．５ ０ 描点连线,如图所示． 变式训练 ４．解:列表: ２x－π６ － π ６ ０ π ２ π ３π ２ １１π ６ x ０ π１２ π ３ ７π １２ ５π ６ π f(x) －１ ０ ２ ０ －２ －１ 描点连线得: 随堂步步夯实 １．B　 [原 函 数 图 像 向 左 平 移 π４ 个 单 位 后 得 y ＝ sin(x＋π６＋ π ４ )＝sin(x＋５π１２ )(x∈R)的图像,再把图像 上各点的横坐标扩大到原来的２倍得y＝sin(１２x＋ ５π １２ ) (x∈R)的图像．] ２．D　[由f(x)＝sin(π２＋２x )的图像向左平移π ３ 个单位得 到的是g(x)＝sin２ π２＋２ (x＋π３ )[ ] ＝sin(２x＋７π６)的图 像,则g(π６ )＝sin(２×π６＋ ７π ６ )＝sin３π２＝－１． ] ３．C　[将y＝２sinx的图像向左平移π６ 个单位长度,可以得 到y＝２sin(x＋π６ )的图像;再将所得图像上所有点的横 坐标伸长到原来的３倍(纵坐标不变)可以得到y＝２sin (１ ３x＋ π ６ )的图像,故选C．] ４．解析:将函数f(x)＝sin(ωx＋π６ )(ω＞０,x∈R)的图像向 右平移π ３ 个单位长度后,可得y＝sin(ωx－πω３＋ π ６ )的图 像．根据所得的图像与原函数图像重合,所以πω３＝２kπ ,k ∈Z,即ω＝６k,k∈Z,又０＜ω＜７,则ω＝６． 答案:６ ５．解析:第一步:列表． x π８ ３π ８ ５π ８ ７π ８ ９π ８ ２x－π４ ０ π ２ π ３π ２ ２π sin ２x－π４( ) ０ １ ０ －１ ０ y ０ ２ ０ － ２ ０ 第二步:描点． 第三步:连线画出图像如图所示: 第２课时　正弦型函数的性质与图像(二) 课前预习学案 情境引入 (１)提示:因为y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数,所以f(０)＝０,因 此sinφ＝０,所以φ＝kπ,k∈Z． (２)提示:因为y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数,所以f(０)＝A 或 f(０)＝－A,即Asinφ＝A 或Asinφ＝－A,所以有φ＝kπ＋ π ２ ,k∈Z． 知识梳理 知识点一、１．|A|　２．φ　３．T＝ ２π |ω|　４． １ T　 |ω| ２π [思考] 　提示:对于y＝Asin(ωx＋φ)的单调性而言,A 与ω 的正负 影响单调性,如果ω＜０,可以利用诱导公式sin(－α)＝－ sinα将负号转化到函数符号外,再求相应单调区间． 预习自测 １．A　[当x＝０时,y＝sin －π３( )＝－ ３ ２＜０ ,排除B、D;当 x＝ π６ 时,y＝sin(２× π６ － π ３ )＝sin０＝０,排 除 C,故 选 A．] ２．A　[由T＝２πω＝π ,解得ω＝２,则f(x)＝sin(２x＋π３ )．该 函数图像关于点(π ３ ,０)对称．] ３．解析:对于函数y＝２sin(２x－π６ ), 令２x－π６＝kπ＋ π ２ (k∈Z)时,x＝kπ２＋ π ３ (k∈Z)． 答案:x＝kπ２＋ π ３ (k∈Z) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１０１􀅰 参考答案 １．对于正弦函数的图像,有以下四个说法: ①关于原点对称;②关于x轴对称; ③关于y轴对称;④有无数条对称轴． 其中正确的是 (　　) A．①②　　B．①③　　C．①④　　D．②③ ２．函数y＝sin(－x),x∈[０,２π]的简图是 (　　) ３．用“五点法”画函数y＝２－３sinx的图像时,首先应 描出五点的横坐标是 (　　) A．０,π４ ,π ２ ,３π ４ ,π B．０,π２ ,π,３π２ ,２π C．０,π,２π,３π,４π D．０,π６ ,π ３ ,π ２ ,２π ３ ４．若方程sinx＝４m＋１在x∈[０,２π]上有解,则实数 m 的取值范围是　　　　． ５．利用正弦曲线,求满足１２＜sinx≤ ３ ２ 的x的集合． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７．３．２　正弦型函数的性质与图像 第１课时　正弦型函数的性质与图像(一) 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A 对图像的影响 ２．掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图像间的变换关系, 并能正确地指出其变换步骤 ３．掌握y＝Asin(ωx＋φ)的图像画法 １．通过学习y＝Asin(ωx＋φ)的图像,培养学生 数学抽象和直观想象素养 ２．通过对三角函数的图像变换,提升逻辑推理 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其 经济又环保,至今还在农业生产中得到使用．明朝科 学家徐光启在«农政全书»中用图画描绘了筒车的工 作原理如图． 　　假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛 水筒都做匀速圆周运动．你能用一个合适的函数模型 来刻画盛水筒(视为质点)距离水面的相对高度与时 间的关系吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２３􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B [知识梳理] [知识点一]　正弦型函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　一般地,形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数,称为正弦型 函数,其中A,ω,φ都为常数,且A≠０,ω≠０． 正弦型函数的性质 　函数 性质　 y＝Asinx y＝sin(x＋φ)y＝sinωxy＝Asin(ωx＋φ) 定义域 　　　 　　　 　　　 　　　 值域 　　　 　　　 　　　 　　　 周期 　　 ２π ２πω ２π ω [知识点二]　A,ω,φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 像的影响 􀪋􀪋􀪋􀪋 １．φ对函数y＝sin(x＋φ)的图像的影响 y＝sinx的图像 → φ＞０时向左 φ＜０时向右 → 平移|φ|个 单位长度 y＝sin(x＋φ) 的图像 → ２．ω(ω＞０)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响 y＝sin(x＋φ)的图 象上所有点的横坐标 ω＞１时缩短到→ ０＜ω＜１时伸长到→ → 原来的１ ω 倍 y＝sin(ωx＋φ)的图像→ ３．A(A＞０)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响 y＝sin(ωx＋φ)的图 象上所有点的纵坐标 A＞１时伸长到→ ０＜A＜１时缩短到→ → 原来的A倍 y＝Asin(ωx＋φ)的图像→ ４．对“图像变换法”的理解 　由y＝sinx到y＝sin(x＋φ)的图像变换称为相位 变换,由y＝sinx到y＝sinωx 图像的变换称为周 期变换;由y＝sinx到y＝Asinx图像的变换称为 振幅变换． ５．由y＝sinx的图像,通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图像,其常用的变化途径: ①y＝sinx 相位变换 →y＝sin(x＋φ) 周期变换 → y＝sin(ωx＋φ) 振幅变换 →y＝Asin(ωx＋φ)． ②y＝sinx 周期变换 →y＝sinωx 相位变换 → y＝sin(ωx＋φ) 振幅变换 →y＝Asin(ωx＋φ) ③两种途径的变换顺序不同,其中变换的量也有所 不同: ⅰ先相位变换后周期变换,平移|φ|个单位． ⅱ先周期变换后相位变换,平移 φω 个单位,这是 很容易出错的地方,应特别注意． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．怎样把函数y＝sin(x＋φ)的图像变换为 y＝sinx的图像? ２．由y＝sinωx(ω＞０)的图像得到y＝sin(ωx＋φ) 的图像是如何平移的呢? ３．由y＝sinx的图像,得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞０) 的图像是否还有其他的变换方法? [预习自测] １．为了得到函数y＝sin(x－π３ )的图像,只需把函数 y＝sinx的图像 (　　) A．向左平移π３ 个单位长度 B．向右平移π３ 个单位长度 C．向上平移π３ 个单位长度 D．向下平移π３ 个单位长度 ２．为了得到函数y＝sin(３x－π６ )的图像,需将函数 y＝sin(x－π６ )的图像 (　　) A．纵坐标变为原来的３倍,横坐标不变 B．横坐标变为原来的３倍,纵坐标不变 C．横坐标变为原来的１３ ,纵坐标不变 D．纵坐标变为原来的１３ ,横坐标不变 ３．将y＝sin２x的图像向左平移π３ 个单位长度,得到 的曲线对应的解析式为 　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３３􀅰 第七章　三角函数 　　　正弦型函数的周期 [例１]求下列函数的周期: (１)y＝sin２x＋π４ æ è ç ö ø ÷; (２)y＝２sin －１２x＋ π ６ æ è ç ö ø ÷; (３)y＝|sinx|． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对于形如y＝Asin(ωx＋φ)(A≠０,ω≠０)的函数 的最小正周期的求法,常直接利用T＝２π|ω| 来求 解,对于形如y＝|Asinωx|的函数的周期情况常 结合图像法来求解． 􀳀[变式训练] １．(１)函数y＝ ３sin π２x－ π ４ æ è ç ö ø ÷,x∈R的周期T＝　 　　　． (２)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠０,ω≠０)的周期 为３π,则ω＝　　　　． 　　　三角函数图像的平移变换 [例２](１)将函数y＝２sin(２x＋π６ )的图像向右平移 １ ４ 个周期后,所得图像对应的函数为 (　　) A．y＝２sin２x＋π４ æ è ç ö ø ÷　　　B．y＝２sin２x＋π３ æ è ç ö ø ÷ C．y＝２sin２x－π４ æ è ç ö ø ÷ D．y＝２sin２x－π３ æ è ç ö ø ÷ (２)要得到y＝cos ２x－π４ æ è ç ö ø ÷ 的图像,只要将y＝ sin２x的图像 (　　) A．向左平移π８ 个单位长度 B．向右平移π８ 个单位长度 C．向左平移π４ 个单位长度 D．向右平移π４ 个单位长度 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　根据“相位变换”规则实现左右平移． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三角函数图像平移变换问题的分类及策略 (１)确定函数y＝sinx的图像经过变换后图像对 应的解析式,关键是明确左右平移的方向,按 “左加右减”的原则进行． (２)已知两个函数解析式判断其图像间的平移关 系时,首先要将解析式化为同名三角函数形 式,然后再确定平移方向和平移距离． 􀳀[变式训练] ２．(１)要得到函数y＝sin(２x＋π３ )的图像,只要将函 数y＝sin２x的图像 (　　) A．向左平移π３ 个单位长度 B．向右平移π３ 个单位长度 C．向左平移π６ 个单位长度 D．向右平移π６ 个单位长度 (２)为了得到函数y＝sin(２x－π６ )的图像,可以将 函数y＝cos２x的图像 (　　) A．向右平移π６ 个单位长度 B．向左平移π６ 个单位长度 C．向右平移π３ 个单位长度 D．向左平移π３ 个单位长度 　　　三角函数图像的伸缩变换 [例 ３] 如 何 由 y＝sinx 的 图 像 得 到 函 数y＝ ３sin２x－π３ æ è ç ö ø ÷的图像? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　常采用的变换方法有两种:一种是 先进行相位变换,后进行周期变换;另一种是先进 行周期变换,后进行相位变换． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４３􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 由函数y＝sinx到函数y＝Asin(ωx＋φ)的变换 涉及到三个变换:相位变换、周期变换、振幅变换, 三者的变换先后顺序没有特殊要求．但要注意,若 先相位变换,后周期变换,需平移|φ|个单位,若 先周期变换,后相位变换,则需平移 φ ω 个单位． 由函数y＝sinx 的图像通过变换得到函数y＝ Asin(ωx＋φ)的图像的步骤 　　先平移后伸缩　　　　　先伸缩后平移 画出y＝sinx的图像 向左(右)平移 |φ|个单位长度 ↓ 得到y＝sin(x＋φ)的图像 横坐标变为 原来的 １ ω 　 ↓ 得到y＝sin(ωx＋φ)的图像 纵坐标变为 原来的 A 倍 ↓ 得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像 步 骤 １ ← 画出y＝sinx的图像→ 横坐标变为 原来的 １ ω 　 ↓ 得到y＝sinωx 的图像→ 步 骤 ２ ← 　 向左(右)平移 | φω | 个单位长度 ↓ 得到y＝sin(ωx＋φ)的图像→ 步 骤 ３ ← 纵坐标变为 原来的 A 倍 ↓ 得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像→ 步 骤 ４ ← 􀳀[变式训练] ３．已知曲线C１:y＝cosx,C２:y＝sin(２x＋ ２π ３ ),则下 面结论正确的是 (　　) A．把C１ 上各点的横坐标伸长到原来的２倍,纵坐 标不变,再把得到的曲线向右平移π ６ 个单位长 度,得到曲线C２ B．把C１ 上各点的横坐标伸长到原来的２倍,纵坐 标不变,再把得到的曲线向左平移π １２ 个单位长 度,得到曲线C２ C．把C１ 上各点的横坐标缩短到原来的 １ ２ 倍,纵坐 标不变,再把得到的曲线向右平移π ６ 个单位长 度,得到曲线C２ D．把C１ 上各点的横坐标缩短到原来的 １ ２ 倍,纵坐 标不变,再把得到的曲线向左平移π １２ 个单位长 度,得到曲线C２ 　　　“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像 [例４]作出y＝２．５sin２x＋π４ æ è ç ö ø ÷的图像． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　利用“五点法”作出一个周期内的图 像,然后按周期扩展． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．“五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的 图像,实质是利用函数的三个零点、两个最值点 画出函数在一个周期内的图像． ２．“五点法” 作定区间上图像的关键是列表,列表的方法是: ①计算x取端点值时的ωx＋φ的范围; ②取出ωx＋φ范围内的“五点”,并计算出相应 的x值; ③利用ωx＋φ的值计算y 值; ④描点(x,y),连线得到函数图像． ３．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的 步骤 第一步:列表． ωx＋φ ０ π ２ π ３π ２ ２π x －φω π ２ω－ φ ω π ω－ φ ω ３π ２ω－ φ ω ２π ω－ φ ω y ０ A ０ －A ０ 第二步:在同一坐标系中描出各点． 第三步:用光滑曲线连接这些点,形成图像． 􀳀[变式训练] ４．作函数f(x)＝２sin２x－π６ æ è ç ö ø ÷在[０,π]上的图像． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５３􀅰 第七章　三角函数 １．将函数y＝sin(x＋π６ )(x∈R)的图像上所有的点 向左平移π ４ 个单位长度,再把图像上各点的横坐标 扩大到原来的２倍,则所得的图像的解析式为 (　　) A．y＝sin(２x＋５π１２ )(x∈R) B．y＝sin(x２＋ ５π １２ )(x∈R) C．y＝sin(x２－ π １２ )(x∈R) D．y＝sin(x２＋ ５π ２４ )(x∈R) ２．设g(x)的图像是由函数f(x)＝sin(π２＋２x )的图 像向左平移π ３ 个单位得到的,则g π６ æ è ç ö ø ÷等于(　　) A．１　　　B．－１２　　　C．０　　　D．－１ ３．为了得到函数y＝２sin(x３＋ π ６ )(x∈R)的图像,只 需把函数y＝２sinx(x∈R)的图像上所有的点 (　　) A．向左平移π６ 个单位长度,再把所得各点的横坐 标缩短到原来的１ ３ (纵坐标不变) B．向右平移π６ 个单位长度,再把所得各点的横坐标 缩短到原来的１ ３ (纵坐标不变) C．向左平移π６ 个单位长度,再把所得各点的横坐标 伸长到原来的３倍(纵坐标不变) D．向右平移π６ 个单位长度,再把所得各点的横坐 标伸长到原来的３倍(纵坐标不变) ４．若将函数f(x)＝sin(ωx＋π６ )(o＜ω＜７)的图像向 右平移π ３ 个单位后恰与f(x)的图像重合,则ω 的 值是　　　　． ５．利用“五点法”作出函数y＝ ２sin(２x－π４ )在一个 周期(闭区间)上简图. 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２课时　正弦型函数的性质与图像(二) 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．会根据y＝Asin(ωx＋φ)的图像研究性质 ２．会根据y＝Asin(ωx＋φ)的图像确定其解 析式 ３．掌握利用y＝Asin(ωx＋φ)的图像解决 问题 １．根据y＝Asin(ωx＋φ)的图像及性质培养学生数学直观想 象和逻辑推理素养 ２．通过学习y＝Asin(ωx＋φ)的性质提升学生的数学运算 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] (１)若函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数,则φ应满足什 么条件? (２)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＞０)为偶函数, 则φ应满足什么条件? [知识梳理] [知识点一]　正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)中,A,ω,􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 φ的物理意义􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．振幅:　　　． ２．初相:　　　． ３．周期:　　　　． ４．频率:f＝　　　＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６３􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B