7.2.2 单位圆与三角函数线-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

7.2.2单位圆与三角函数线 要点精析 例1解：(1)在直角坐标系中 作单位圆如图所示，以Ox轴正方 向为始边作2π的终边与单位圆 3 交于P点，作PM⊥Ox轴，垂足 为M,由单位圆与Ox正方向的 交点A作Ox轴的垂线与OP的 反向延长线交于点T,则sin2 3 例1答图 MP,cos2=0,am受=4T,即2受的正弦线为证，余 3 弦线为OM,正切线为A7. (2)同理可作出-3π的正弦线、余弦线和正切线，如 图所示」 sn-T)=rp,cos平-ow,m-)）=AT， 即-3开的正弦线为M币，余弦线为Om,正切线为A7. 变式训练1解：“平<<受， 如图所示，由三角函数线可得 sinl>Y2>cosl,故sinl- 2 cos1>0. 例2解：(1)2π≤0≤ 3 石，0的终边对应区鼓如图 变式训练1答图 1,在由OB转向OA的过程中，sin0的值在第三象限为负，在 第四象限为负，在=-T时，正弦线MB=R,故最小值为 -1;在第一象限时，正弦线取正值且不断增大，故在= 6 时取最大值】 ..-1≤sin0≤ 2 120°y -30 MO 图1 图2 例2答图 (2)画出角0的终边对应区域，如图2，当角0的终边 从OA转向OB时，tan0的值在第一象限为正，正切线越来 越长到无穷，a≥Y,an0的值在第二象限为负。 由90°→120°的过程中，正切线越来越短，到OB时，an0= MN=-V3,..tans-V3,.'tan0 E (-0,-V3 ]U 参考答案。 [9,* 变式训练21，之)【解析】 角α的终边对应区域如图中阴 影部分，角a的终边在从OA转 向OB的过程中，其余弦线OM 越来越短，然后变成负值，在 α=π时取最小值-1，然后又增 变式训练2答图 2 例3解：()如图1所示，过点A0,之)作x轴的平 行线，与单位圆交于P,P点，则sinOP=sin∠a0P=号 ∠0P石，∠0P=g 6 满足条件的所有角a的集合是@0a=石+2km或a+ 6 2kT,k∈Z 0 图1 图2 例3答图 (2)如图2所示，过点B5,0作x轴的垂线， 与单位圆交于点P,P,则cos∠0P=cos∠s0P:Y, ∠x0P石，∠xOP=-石满足条件的所有角a的集合是 61 ag+2km≤a≤君+2km,keZ 6 变式训练3解：(1)作直线=Y3交单位圆于A,B 2 两点，连接OA,OB,则OA与OB围成的区域（阴影部 分)即为角α的终边的范围，如图1.故满足条件的角α的 集合为a2km+T≤a≤2km+2红，keZ. 3 3 图1 图2 变式训练3答图 (2)作直线x=-号交单位圆于C,D两点，连接0C与 33 N 高中数学必修第三册人教B版 OD,则OC与OD围成的区域（阴影部分）即为角α终边 的范围，如图2.故满足条件的角α的集合为d2kr+2红≤ 3 a≤24m+.keZ} 例4解：如图所示. 41,0) M.M 例4答图 (1)MPMP且MP与MD都与y轴正方向一致， sin子>sin号a. (2)AT>AT1且AT与AT都与y轴正方向相反， 2元 5 变式训练4cos6r<sin2π< 5 m行【解折】由图可知cos?< 0,tan2牙>0，sin2牙>0.Nik i,放cog<n牙<iam 5 例5证明：如图所示，设角α的 变式训练4答图 终边交单位圆于P,过点P作PM a的 垂直于x轴，垂足为M.过点A(1, /终边 O)作单位圆的切线交OP于点T, 连接PA,则sina=MP,tana=AT, :S0pSm形0P公△07，亡2OA o M MP<2a0M<20AAT又0A=l, (1,0) .'.MP<a<AT,.'.sina<a<tana. 变式训练5证明：当角α的终边在 例5答图 x(y)轴上时，正弦线（余弦线）变 成一个点，而余弦线（正弦线）的长 等于r(=1),此时Isin+--Icosa=l. 当角α的终边落在某一个象限内 时，如图所示，利用三角形两边之和 大于第三边有Isina+-lcosal=MP+OM>1 变式训练5答图 综上有Isina+-lcosal≥L. 变式训练6C【解析】由题意知，四段弧是单位圆上的第 一、二、三象限的弧，在AB上，tana>sina,不满足；在CD 上，tana>sina,不满足；在EF上，sina>0,cosa<0,tana<0, 且cosa>tana,满足；在GI上，tana>0,sina<0,cosa<0, 不满足.故选C 34 数学文化 例解：动点P,Q从点A(1,0)出发在单位圆上运 动，点P按逆时针方向每秒转π弧度，点Q按顺时针方向 6 每秒转11π弧度，而单位圆的周长为2m,则P,Q两点每 6 一秒相遇一次，则P,Q两点在第2019次相遇时，经过了 2019秒，点P转过的弧度数为πX2019=673m=168x2m+ 2 受，故点P位于)轴的正半轴上，即点P位于点(0,1) 处，即P(0,1) 7.2.3同角三角函数的基本关系式 要点精析 例1解：tana=-2,∴a是第二或第四象限角，又由 tana=-2 sina=-2cosa. ①当α为第二象限角时， sino=-2c0sa；→5cos2a=1. sin'a+cos a=1 .cosa<0,∴.c0Sa=- 5 ,sina=-2×-V5= 5 2V5 5 ②当α为第四象限角时， [sina=-2cosa, →5c0s2a=1. sin'a+cos'a=1 cosa心0，cosa=Y53,sina=-2xY3=-2V5 5 5 综上可知，当a为第二象限角时，coa=-V5 5 sina=2y5,当a为第四象限角时，coa=Y写，nu 5 2V5 5 变式训练1解：c0sa=- 8<0,a是第二或第三象限的 角，如果a是第二象限角，那么sma=VHcosa-√-合了 7,tana=sina=17 15 =-5.如果a是第三象限角，同理 8 17 可得sna-V1cosa-号ana片 例2解：0)原式ma2_-号上-23 5+3tang 53x-3 6 (2)原式 2ina多inco5cosa21ana-子ama45 sin'a+cos'a tan'a+1 103 20 (3)原式=sina+cosa-sinocosa tana+1-tana sin'a+cos'a tan'a+17.2.2 单位圆 学习目标 1.理解单位圆、有向线段的概念 2.学会用与单位圆有关的有向线段，将 任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出 来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来 3.通过三角函数的几何表示，进一步加 深对数形结合思想的理解，拓展思维空间. 要点精析 川要点1三角函数线 对于三角函数线的理解应注意： (1)三角函数线是表示一个角的三角函 数值的几何方法，是对任意角的三角函数定 义的一种“形”上的补充，它们的大小（即 长度)等于角的三角函数的绝对值，要特 别注意它们均有方向.记法：当两个端点都 在x轴上时，以原点为起点（余弦线）；当 两个端点有一个在x轴上时，以x轴上的点 为起点（正弦线、正切线），三角函数值的 正负与轴的方向才相同. (2)正切线都是过点A(1,0)作圆的 切线与角α终边或反向延长线相交所成的有 向线段.当角α终边在第一、四象限时，正 切线为过A(1,0)作单位圆的切线与角α 的终边的交点所成的有向线段：当角α终边 在第二、三象限时，正切线为过点A(1,0) 作圆的切线与角α终边的反向延长线的交点 所成的有向线段 (3)当角α的终边在x轴上时，点P与 第七章三角函数。 与三角函数线 点M重合，点T与点A重合，此时，正弦 线和正切线都变成了一点，它们的数量为 零，而余弦线10M1=1或-1；当角a的终边 在y轴上时，正弦线MP=1或-1，余弦线变 成了一点，它表示的数量为零，正切线不 存在. 例1分别作出2π和-3π的正弦线、 3 4 余弦线和正切线. 反思感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到 角的终边与单位圆的交点，然后过此交点 作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦 线和余弦线 (2)作正切线时，应从A(1,0)点引 单位圆的切线交角的终边于一，点T,即可 得到正切线AT，要特别注意，当角的终边 在第二或第三象限时，应将角的终边反向 延长，再按上述作法来作正切线， N 高中数学必修第三册人教B版 B变式训练① 确定符号：sinl-cosl. 要点2利用三角函数线求三角函数值 或角的范围 例2 (1)若_2π≤0≤T,确定sin0 3 的范围： (2)若30°≤0<90°或90°<0≤120°，确 定tan0的范围. 反思感悟 充分利用单位圆画出已知角的范围， 结合正弦线、余弦线、正切线正确解题， 应特别注意正弦线、余弦线、正切线的位 置、方向、符号.正弦线为α的终边与单位 圆“交点”到x轴的垂直线段，由“垂足” 指向“交点”，与y轴同向为正、反向为 负；余弦线在x轴上，由“原点”指向 “垂足”，与x轴同向为正，反向为负；正 切线在过单位圆与x轴正向的交点的切线 上，由“切点”指向与终边或反向延长 线的交，点，与y轴同向为正，反向为负. 18)学 变式训练2 已知号<a<誓，则c0ou的取值范围是 3 例3利用三角函数线，求满足下列条 件的角的集合： I)sima=7:(2)c0a≥Y3 2 反思感悟 表示角的集合时要注意终边相同的 角的表示方法，明确角的旋转方向是顺 时针还是逆时针，产生的角是变大还是 变小 B变式训练3 在单位圆中画出适合下列条件的角α终 边的范围，并由此写出角的集合： 0ma;2)ca≤- 川要点3比较三角函数值的大小 例4利用三角函数线比较下列各组数 的大小： )sin号m与sin号；(2)am号m与 5 n tan 反思感悟 (1)用三角函数线来解基本的三角不 等式的步骤： ①作出取等号的角的终边： ②利用三角函数线的直观性，在单位 圆中确定满足不等式的角的范围： ③将图中的范围用不等式表示出来。 (2)求与三角函数有关的定义域时， 先转化为三角不等式（组），然后借助三角 函数线解此不等式（组）即可得函数的定 义域」 B变式训练④ sn牙，cos,a如牙从小到大的顺 序是 第七章三角函数。 川要点4证明三角不等式 例5设角α是锐角，利用单位圆与三 角函数线证明：sina<a<tana. 反思感悟 利用三角函数线解三角不等式的方法 (1)正弦、余弦型不等式的解法 对于sinx≥b,cosx≥a(sinx≤b,cosx≤ a),求解关键是恰当地寻求点，只需作直 线y=b或x=a与单位圆相交，连接原点与 交点即得角的终边所在的位置，此时再根 据方向即可确定相应的范围. (2)正切型不等式的解法 对于tanx≥c,取点(I,c),连接该点 和原点并反向延长，即得角的终边所在的 位置，结合图象可确定相应的范围 学 (19 N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练⑤ 利用三角函数线证明：Isinal+--lcosal≥1. 变式训练6 如图，在平面直角 y D 坐标系中，AB,CD, EF,GH是单位圆上的 G 四段弧，点P在其中一 段上，角a以Ox为始 边，OP为终边，若tana< 图7-2-4 cosa<sina,则点P所在的圆弧是() A.AB B.CD C.EF D.GH (20学 N 数学文化 例如图所示，在平面 直角坐标系xOy中，动点 A(1.0) P,Q从点A(1,0)出发在 单位圆上运动，点P按逆时 图7-2-5 针方向每秒转T弧度，点Q按顺时针方向 6 每秒转1π弧度，则P,Q两点在第2019 6 次相遇时，求点P的坐标 分析本题是用数学知识解决相遇问 题，先算出相遇一次所用时间，再计算出总 时间，确定点P的位置，从而确定点P的 坐标