7.2.1 三角函数的定义-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

第七章三角函数 7.2任意角的三角函数 7.2.1 三角函数的定义 学习目标 (3)称y为角ax的正切，记作tan,即 1.理解并掌握任意角的三角函数的定义 定义域为Qia≠km+T,keZ 2.能根据任意角的三角函数的定义，分析 这三个对应法则都是以α为自变量的函 出三角函数在各象限的符号，并能根据角α的 数，分别称为角α的正弦函数、余弦函数和 某种三角函数值符号，判断出α所在的象限. 正切函数， 3.通过任意角三角函数的定义，认识到 例1如图，∠AOP= 锐角三角函数是任意角三角函数的一种特 例，加深对特殊与一般关系的理解。 牙，点Q与点P关于)轴 对称，P,Q都为角的终边 要点精析 与单位圆的交点.求： 图7-2-2 (1)点P的坐标； 川要点1求三角函数值 (2)∠AOQ的正弦函数值、余弦函数值. 任意角的三角函数 以角的顶点0为坐 P(x.y) ! 标原点，以角α的始边的方 向作为x轴的正方向，建立 直角坐标系xOy(如图所 图7-2-1 示)，并且使∠xOy=90°， 在角a终边上任取一点P(x,y),则OP 的长度记为r=Vx+y (I)称Y为角a的正弦，记作sina,即 反思感悟 sina=Y,定义域为alaER; 利用定义求α的三角函数值，其关键 (2)称X为角a的余弦，记作cosa, 是求出角的终边与单位圆的交点P的坐标 （u,v),由三角函数的定义得sina=v, 即cosa=x,定义域为{ala ER{; cosa=u. N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练① 变式训练2 在平面直角坐标系中，以x轴的非负半 已知角的终边在直线y=-3x上，求 轴为角的始边，如果角α，B的终边分别与 10sina+ 3_的值， cOSo 单位圆交于点侣音和子，专，那么 sinacosB=() A器 B.-13 c D 例2已知0终边上一点P(x,3)(x≠ 0),且cos0=V0x,求sin0的值. 10 川要点2判断三角函数值的符号 三角函数在各个象限的符号 cos 列3下列各式：①in125,②a sin 37 2; ③sin4 ④sin-ll.其中为负值的 tan4 个数是( 反思感悟 A.1 B.2 在解决有关角的终边在直线上的问题 C.3 D.4 时，应注意到角的终边为射线，所以应分 反思感悟 两种情况处理，取射线上异于原点的任意 对于较“大”的角先利用终边相同的 一点坐标(a,b),则对应角的三角函数值 角转化为较“小”的角，即[0,2π)内的 分别为sina= b 角，再根据角所在的象限与三角函数值的 cOSQ=- Va+b2 .Va+6 符号进行判断 14) 第七章三角函数。 变式训练3 B变式训练④ 判断下列各式的符号： 若sin20>0,且cos0<0,试确定角0所 (1)u是第四象限角，sinotano; 在的象限。 (2)sin3.cos4.tan- 要点3由三角函数值的符号确定角的 范围 例4已知：cosa<0,tana<0. 要点4三角函数式的化简求值与证明！ (1)求角a的集合： 例5化简： sinx Icosxl tanx (2)求角Q的终边所在的象限； Isinxl cosx Itanxl 其中x≠经，ke乙月 (3)试判断sing, n受o受，an受的符号 2 反思感悟 设单位圆与角a的终边交于点P(x, y),则由三角函数定义知七=cosa<0,y 反思感悟 tana<0,所以x<0,y>0,所以点P在第二 求含绝对值的代数式的值时，要根据 象限，即角α为第二象限角，从而为第 绝对值的意义先去绝对值符号，为此常采 一或第三象限角.再由符号法则可知(3)》 用分类讨论的思想.本题结合自身的特点按 中各值的符号 角x所在的象限进行讨论」 学 N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练⑤ 数学文化 已知角a的终边上的点P与点A(m, 例某校高一年级 40mm→- 2m)(m≠0)关于x轴对称，角B终边上的 多普制测速 研究性学习小组利用激 探测 00 点Q与点A关于y轴对称，求sinacosa+ 光多普勒测速仪实地测 光 北束2 sinBcosB+tanatanB的值， 量复兴号高铁在某时刻 光线 的速度，其工作原理 是：激光器发出的光平 均分成两束后射出，并 图7-2-3 在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光， 当被测物体横向速度为零时，反射光与探测 光频率相同；当横向速度不为零时，反射光 相对探测光会发生频移f=2wsin2，其中， 入 为测速仪测得的被测物体的横向速度，入为 激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半 如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1550nm(1m= 109m),测得某时刻频移为9.030x109(1h), 则该时刻高铁的速度约等于() A.320 km/h B.330 km/h C.340 km/h D.350 km/h (16)学《=570=8n=4m+8,=750r若e4+君a 在第二象限，凶，在第一象限. (2)B=3=108,设0=B+h~360°(keZ),由-720 ≤0<0°，得-720°≤108°+k.360°<0°，.k=-2或k=-1,. 在-720°0°间与B,有相同终边的角是612°和-252°. 同理B2=-420°且在-720°0间与B,有相同终边的角是 -60°. 变式训练3解：题图1中，以OB为终边的330°角与-30° 角的终边相同，-30-石，而75°75x70-受，阴影部 分（不包括边界）位于-君与受之间且跨越x轴的正半 轴，∴终边在阴影部分（不包括边界）的角的集合为 (al2akeZ 题图2中，以0B为终边的225°角与-135°角的终边相 同，-135”135x0=7,可135=平，阴影部分（不 包括边界)位于-3π与3π之间且跨越x轴的正半轴， 4 4 ..终边在阴影部分（不包括边界）的角的集合为 al-3π+2km<a<3亚+2km,keZ 4 例4解：《0)圆心角为75x10-沿，扇形半径为15cm 扇形面积广宁×受x15裙a《cm (2)设扇形半径为r,圆心角为0，弧长为1，面积为 S,则l+2r=60,.l=60-2r S=2=3(60-2r/=-430=25-(-15只 当=15时，面积S=225(cm2).此时=L=60-2: r 60-2x15=2. 15 ∴.当半径为15cm,圆心角为2rad时，扇形面积最大， 最大值为225cm2. 变式训练4解：(1)设该弧所对的圆心角为&，则a=L 贤号，该扇形的面积为S号分×18x12=108(cm). (2)设该扇形的圆心角为α，半径为r,周长为P,依 =l,解得，a上2d 题意知{ l=2, r P=l+2r=4, .该扇形OAB的圆心角∠AOB的弧度数为2rad 例5解：(1)设该文字的长、宽均为lm,则l≈10a, 其中视角a=5'≈0.001454弧度. ∴.l=10×0.001454=0.01454m≈1.45cm.故视力正常的 人，在10m远处能阅读最小为1.45cm见方的文字. (2)设人离标语xm处，对5m见方的文字所张的视 角是5，约为0001454弧度，则x≈1≈ 0Q00i14543439 5 参考答案。 (m)·故视力正常的人，最远能在约3439m远处看清5m 见方的文字. 变式训练5解：设P,Q第一次相遇时所用的时间是t, 则：号：石2m,14(s).即卫，Q第一次相遇所用 的时间为4$.设第一次相遇点为C,第一次相遇时已运动 到终边在写4-号m的位置，则xc=-4c0s牙=-2，e=-4: 3 si血号=-2V3,点C的坐标为(-2,2V3).故P点走 过的弧长为号m45m:Q点走过的弧长为号m 变式训练6ABD【解析】经过1s后，质点A运动1rad, 质点B运动2rad,此时∠BOA的弧度数为写+3，故A正 确：经过s后，∠A0B=5+号+2x77径，放扇形A00 的弧长为受×=受，故B正确：经过君s后，∠40B=君 12 6 6 +号+2x君-石，故扇形A0B的面积为}×g×设， 故C不正确；设经过ts后，A,B在单位圆上第一次相遇， 则1+2)+写=2m,解得=g(S),故D正确，故选ABD 数学文化 例解：.圆O的半径r=1,正 方形的边长a=1,.以正方形的一边 D. 为弦时所对应的圆心角为写，正方 形在圆周上滚动时，点的位置如图所 示，故当点A首次回到点P的位置 时，正方形在圆周上滚动了3圈.设 A(P) 第i(i∈N)次滚动点A的路程为 例题答图 4,则A=君x1B=君，A=君1C=V,A=君×1= 6 石，A=0,点A所走过的路程为3(41+M+A+M) 2+V2m. 2 。“72任意角的三角函数 7.2.1三角函数的定义 要点精析 例1解：(1)设点P的坐标为(x,y),则x=cos∠AOP= cos号7，y=sin∠A0P=sin号=Y.故点P的坐标为 2 (2)点P与点Q关于y轴对称，.点Q的坐标为 根据正弦函数、余弦函数的定义可知sinA0Q=V3 cosLAOQ=-2 1 31 N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练1B【解】折sinco9g×-个号-言故述B, 例2解：由题意知r=OP=V+9，由三角函数定义得 COS0==x r Vx249 又0，西=YDxa≠0，= …2+910 当x=l时，P(1,3),此时sin0=3_=3V0 +3210 当=-1时，P(-1,3),此时sin03=3V10 V(-1)2+3210 综上所述，sin=3V10 10 变式训练2解：由题意知，cosa≠0.设角&的终边上任 意-点为Pk,-3k)(k≠0)，则k,3=-3k,=V+(-3k2= 10hL. ①当k>0时，=V10k,&是第四象限角，sina=Y= -3k=-3V0,1=L=V10k=V10,10 Dsina+ V10k 10 cosa k d=03Y03V-3vo+3v而-0 10 ②当k<0时，r=-V10k,a是第二象限角，sina= 0.0v r -V10k :.10sia+,3=10x3y0+3x(-V10)=3V10-3V10 cosa 10 =0. 综上所述，10sina+3-0 cosa 例3B【解析】对于①，.1125°=1080°+45°，∴.1125°是 第一象限角，sn1250:对于②，因3=2+号，则 知是第三象限角，am吕m0,s加召<0，故an号 si加诏a0:对于③.因4弧度的角在第三象限，则sn4e0, am40,故40：对于④，平<1<号则m160.综 上所述，②③为负数.故选B. 变式训l练3解：(1).是第四象限角，.sina<0,tana< 0,∴.sinatano>0. (2)牙3<m,m<4k3,sin30,c04<0.-23r= 、2 4 6m+7.am-2经)-an子0.si4-am2空jn 4 例4解：(1)cosa<0,∴角α的终边可能位于第二或 第三象限或x轴的非正半轴上..tana<0,∴.角a的终边可 能位于第二或第四象限..角α的终边只能位于第二象限 故角a的集合为a受+2km<am+2km,keZ 32 (2)受+2kTa<m+2km(keZ),∴年+6m<受<受+ 2 kT(k∈Z). 当k=2n(neZ时，平+2nm<受<7+2nm(neZ), “受是第一象限角： 当k=2+1(nez)时，5平+2rm<号<+2nm(ne 4 Z),∴号是第三象限角. (3)由(2)可知，当号是第一象限角时，si血受0， cosg0,an号0： 当受是第三象限角时，dn受<0，cos号0，tan受0. 变式训练4解：sin20>0,2kT<20<2kT+π，k∈Z, km<0<km+7,keZ.当k=2m,m∈Z时，有2mm<0< 2mm+7,meZ:当k=2m+l,meZ时，有2mm+n<6< 2mT+3,meZ.故0为第一或第三象限角。 由cos0<0可知，角0在第二或第三象限或其终边位于 x轴负半轴上.综上所述，角0在第三象限. 例5解：x≠红，ke乙，故 当x是第一象限角时，sinx>0,cosx>0,anx>0,原式= sin cosx+tanx =3; sinx cosx tanx 当x是第二象限角时，sin>0,cosr<0,tanx<0,原式= sinx+-cost+tana=-1; sinx cosx -tanx 当x是第三象限角时，sinx<0,cosx<0,tanr>0,原式= sinxcosx+tanx =-1; -sinx cosx tanx 当x是第四象限角时，sinx<0,cosx>0,anx<0,原式= sinx cost+tanx=-1. -sinx cosx -tanx 综上可知，+o+的值为3或-1. 变式训练5解：由题意知P,Q两点的坐标分别为(m, -2m),(-m,2m),IOP=1OQHIOAI=V5 Iml,..sinacosa+ sinBcos+tanotanB=-2m.m +2m.-m V5 Iml V5 Iml V5 Iml V5 Iml -2m.2m=-2-2+4=16 m-m55 5 数学文化 例D【解析】由图可知，sino≈tanp=0.02m=-0.02, 1m =盒-950a0-350mh350mi,. 2×0.02 故选D.