7.2.4第2课时 诱导公式五、六、七、八 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教B版必修第三册

该高中数学导学案聚焦诱导公式五至八的推导与应用，以单位圆对称性为切入点，通过角－α、α＋π/2等特殊关系构建知识支架，衔接前序公式一至四的“同名不变”规律，自然过渡到“异名改变”的新认知，形成由浅入深、层层递进的学习路径。 资料亮点突出，体现数学抽象、逻辑推理与模型观念三大核心素养。借助“奇变偶不变，符号看象限”口诀提炼规律，强化学生对三角函数周期性和对称性的本质理解，提升运算能力和问题转化意识。习题设计层次分明，涵盖给角求值、给值求值、化简证明等典型题型，注重实际情境中的角度变换与互余互补关系识别，培养用数学语言表达现实问题的能力，助力学生建立结构化思维体系。

7．2.4　 第2课时　诱导公式五、六、七、八 【课程标准】　借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义推导出诱导公式(－α，α＋，α＋－α的正弦、余弦)． 教 材 要 点 知识点一　诱导公式五 α与－α的三角函数间的关系： sin (－α)＝________，cos (－α)＝________． 【学霸笔记】　 (1)角－α与角α的终边有什么样的位置关系？ [提示]　角－α与角α的终边关于y＝x对称． (2)点P1(a，b)关于y＝x对称的对称点坐标是什么？ [提示]　点P1(a，b)关于y＝x对称的对称点坐标是P2(b，a)． 知识点二　诱导公式六 α与α＋的三角函数间的关系： sin (α＋)＝________，cos (α＋)＝________． 知识点三　诱导公式七 α与α＋的三角函数间的关系： sin (α＋)＝________，cos (α＋)＝________． 知识点四　诱导公式八 α与－α的三角函数间的关系： sin (－α)＝________，cos (－α)＝________． 【学霸笔记】　各组诱导公式虽然形式不同，但存在着一定的规律，有人把它概括为“奇变偶不变，符号看象限”，你理解这句话的含义吗？ [提示]　诱导公式可以归纳为k·＋α(k∈Z)的三角函数值．当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的异名三角函数值．然后，在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”．值得注意的是，这里的奇和偶分别指的是的奇数倍或偶数倍；符号看象限指的是等式右边的正负号恰为把α看成锐角时，原函数值的符号． 基 础 自 测　 1．sin 585°＝(　　) A．－ B． C．－ D． 2．已知sin 40°＝a，则cos 130°＝(　　) A．a B．－a C． D．－ 3．若cos (＋θ)>0，且sin (－θ)<0，则θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．下列各式不正确的是(　　) A．sin (α＋180°)＝－sin α B．cos (－α＋β)＝－cos (α－β) C．sin (－α－360°)＝－sin α D．cos (－α－β)＝cos (α＋β) 5．若cos (π＋α)＝，则sin (＋α)＝________． 题型1给角求值问题 例1(1)求下列各三角函数值： ①sin (－)；②cos ； (2)求sin (2nπ＋)·cos (nπ＋)(n∈Z)的值． 总结　(1)直接利用诱导公式求解，注意公式的灵活选择． (2)n分为奇数、偶数两种情况讨论． 总结 1．已知角求值的问题主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．一般是先利用公式二将负角化为正角，再利用公式一将任意角转化为0°～360°之间的角，然后利用公式三、公式四转化为0°～90°之间的角求解． 2．凡涉及参数n的三角函数求值问题．由于n为奇数、偶数时，三角函数值有所不同，故考虑对n进行分类讨论．其次，熟记诱导公式，熟悉各诱导公式的作用也是解题的关键． 跟踪训练1　求下列各三角函数值： (1)cos ＋cos ＋cos ＋cos ； (2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin (－606°)； (3)sin (π－α)＋cos (π－α)(k∈Z)． 题型2给值(式)求值问题 例2(1)已知cos (π＋α)＝－，求cos (＋α)的值． 总结　 →→ 先根据诱导公式将待求式子化简，然后根据平方和为1去计算相应结果． (2)已知sin (－α)＝，则cos (＋α)＝________． (3)求解下列各式的值： ①已知cos (＋α)＝，求cos (－α)的值； ②已知cos (－α)＝，求sin (＋α)的值． 总结　注意观察题目中给出角度之间的互余、互补关系，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题． 总结 1．已知一个角的某种三角函数值，求这个角的其他三角函数值，若给定具体数值，但未指定角α的取值范围，就要进行讨论． 2．常见的互余关系有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等． 3．常见的互补关系有：＋θ与－θ；＋θ与－θ等． 跟踪训练2　(1)已知sin α＝，α∈(0，)，那么cos (π－α)＝(　　) A．－ B．－ C． D． 总结　先根据诱导公式将待求式子化简，然后根据平方和为1去计算相应结果． (2)若α∈(0，)，sin (＋α)＝，则cos (＋α)＝(　　) A．－ B． C．－ D． (3)已知sin (π－α)＝－，求sin (－α)，tan (＋α)的值． 题型3利用诱导公式化简三角函数式 【思考探究】　1.利用诱导公式能否直接写出sin (kπ＋α)的值？ [提示]　不能．因为k是奇数还是偶数不确定． 当k是奇数时，即k ＝2n＋1(n∈Z)，sin (kπ＋α)＝sin (π＋α) ＝－sin α； 当k是偶数时，即k ＝2n(n∈Z)，sin (kπ＋α) ＝sin α. 2．如何化简tan (π＋α)呢？ [提示]　当k为奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)， tan (＋α)＝tan (＋α)＝＝＝； 当k为偶数时，即k＝2n(n∈Z)，tan (＋α)＝tan α. 综上，tan (＋α)＝ 例3已知α是第三象限角，f(α)＝ . (1)化简f(α)； (2)已知f(α)＝－，求cos α－sin α的值． 总结　(1)用诱导公式化简f(α)； (2)由正切值求出角α，然后计算sin α，cos α即得． 总结 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．跟踪训练3　化简：(1)； (2)·sin (π－α)·cos (2π＋α)． (3)已知sin (α－3π)＝2cos (α－4π)， 求的值． 教材反思 (1)诱导公式分类归纳 ①诱导公式一～四反映的是角π±α，2kπ±α，－α与α的三角函数值之间的关系，可借用口诀“函数名不变，符号看象限”来记忆． ②诱导公式五～八反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆． (2)诱导公式共同特征 ①诱导公式一～四揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系． ②这八组诱导公式可归纳为“k·±α(k∈Z)”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k为偶数时，得角α的同名三角函数值，当k为奇数时，得角α的异名三角函数值．然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号．可简记为“奇变偶不变，符号看象限”． ③用诱导公式进行化简时的注意点：a.化简后项数尽可能的少；b.函数的种类尽可能的少；c.分母不含三角函数的符号；d.能求值的一定要求值；e.含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 题型4利用诱导公式证明恒等式 (1)求证：＝； (2)求证：＝－tan θ. 总结　对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推导右边或从右边推导左边． 总结 利用诱导公式证明恒等式的方法 对于恒等式的证明，在掌握基本方法的前提下，我们也可以考虑左右归一，变更论证的方法．常用定义法、弦化切、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 跟踪训练4　已知tan (α＋)＝m，求证：＝. 能 力 提 升 练 1.已知函数f(x)＝ex－e－x＋＋1，则f(x)＋f(－x)＝________；若f(sin (－α))＝，则f(cos (α－))＝________． 2．已知A，B，C为△ABC的三个内角，求证： (1)cos (2A＋B＋C)＝cos (B＋C)； (2)sin ()＝cos ()． 7．2.4　第2课时　诱导公式五、六、七、八 新知初探·自主学习 [教材要点] 知识点一 　cos α　sin α 知识点二 　cos α　－sin α 知识点三 －cos α　sin α 知识点四 －cos α　－sin α [练习] 1．解析：sin 585°＝sin (360°＋180°＋45°) ＝－sin 45°＝－.故选A. 答案：A 2．解析：cos 130°＝cos (90°＋40°)＝－sin 40°＝－a. 答案：B 3．解析：由于cos (＋θ)＝－sin θ>0，所以sin θ<0，又因为sin (－θ)＝cos θ<0，所以角θ的终边落在第三象限，故选C． 答案：C 4．解析：cos (－α＋β)＝cos [－(α－β)]＝cos (α－β)，故B项错误． 答案：B 5．解析：方法一　cos (π＋α)＝－cos α＝， 所以cos α＝－，sin (＋α)＝cos α＝－. 方法二　cos (π＋α)＝cos [＋(＋α)]＝， 所以－sin (＋α)＝， 所以sin (＋α)＝－. 答案：－ 课堂探究·素养提升 例1　【解析】　(1)①sin (－) ＝－sin ＝－sin (2π＋)＝－sin ＝－sin (π＋)＝sin ＝. ②cos ＝cos (4π＋)＝cos ＝cos (π－)＝－cos ＝－. (2)①当n为奇数时， 原式＝sin (－cos )＝sin (π－)·[－cos (π＋)] ＝sin ·cos ＝＝； ②当n为偶数时，原式＝sin ·cos ＝sin (π－)·cos (π＋) ＝sin ·(－cos ) ＝×(－)＝－. 跟踪训练1　解析：(1)cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝(cos ＋cos )＋(cos ＋cos ) ＝[cos ＋cos (π－)]＋[cos ＋cos (π－)] ＝(cos －cos )＋(cos －cos )＝0. (2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin (－606°) ＝tan 10°＋tan (180°－10°)＋sin (5×360°＋66°)－sin [(－2)×360°＋114°] ＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin (180°－66°) ＝sin 66°－sin 66°＝0. (3)原式＝sin [kπ－(＋α)]＋cos [kπ＋(－α)]. 当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则原式＝ sin [(2n＋1)π－(＋α)]＋cos [(2n＋1)π＋(－α)] ＝sin [π－(＋α)]＋cos [π＋(－α)] ＝sin (＋α)＋[－cos (－α)] ＝sin (＋α)－cos [－(＋α)] ＝sin (＋α)－sin (＋α)＝0； 当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则 原式＝sin [2nπ－(＋α)]＋cos [2nπ＋(－α)] ＝－sin (＋α)＋cos (－α) ＝－sin (＋α)＋cos [－(＋α)] ＝－sin (＋α)＋sin (＋α)＝0. 综上所述，原式＝0. 例2　【解析】　(1)∵cos (π＋α)＝－cos α＝－， ∴cos α＝，∴α为第一或第四象限角． ①若α为第一象限角， 则cos (＋α)＝－sin α＝－＝－＝－. ②若α为第四象限角， 则cos(＋α)＝－sin α＝＝＝. (2)cos (＋α)＝cos [－(－α)]＝sin (－α)＝． (3)①由cos (＋α)＝， 所以cos (－α)＝cos [π－(＋α)]＝－cos (＋α)＝－. ②由cos (－α)＝>0， 所以sin (＋α)＝sin [－(－α)] ＝sin [2π－－(－α)]＝sin [－－(－α)] ＝－cos (－α)＝－. 【答案】　(1)见解析　(2)　(3)见解析 跟踪训练2　解析：(1)因为cos (π－α)＝－cos α， 又因为sin2α＋cos2α＝1且α∈(0，)，所以cosα＝＝，所以cos(π－α)＝－，故选B. (2) 因为sin (＋α)＝cos α＝，α∈(0，)， 所以sin α＝＝， 所以cos(＋α)＝sin α＝.故选D. (3)因为sin (π－α)＝sin α＝－， 所以cos α＝±＝±＝±， 当cos α＝时，sin (－α)＝－cos α＝－， tan α＝＝－，则tan (＋α)＝－＝2； 当cos α＝－时，sin (－α)＝－cos α＝， tan α＝＝，则tan (＋α)＝－＝－2. 综上所述，sin (－α)＝－，tan (＋α)＝2或sin (－α)＝，tan (＋α)＝－2. 答案：(1)B　(2)D　(3)见解析 例3　【解析】　(1)f(α)＝ ＝ ＝－tan α. (2)由(1)，f(α)＝－tan α＝－，知tan α＝， 因为α是第三象限角，所以α＝(2k＋1)π＋，k∈Z， 则sin α＝sin [(2k＋1)π＋]＝－sin ＝－， cos α＝cos [(2k＋1)π＋]＝－cos ＝－， 所以cos α－sin α＝. 跟踪训练3　解析：(1)由诱导公式可得， ＝＝0. (2)由诱导公式可得，·sin (π－α)·cos (2π＋α)＝·sin α·cos α＝sin2α. (3)由sin(α－3π)＝2cos (α－4π)，可得sin α＝－2cos α， ＝ ＝＝－. 例4　【证明】　(1)右边＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝＝左边， 所以原等式成立． (2)左边＝ ＝＝－tan θ＝右边， 所以原等式成立． 跟踪训练4　证明： 方法一　左边＝ ＝ ＝＝＝右边， 所以原等式成立． 方法二　由tan (α＋)＝m，得tan (α＋)＝m， 所以等式左边 ＝ ＝＝＝＝右边，等式成立． 能力提升练 1．解析：由题意得f(x)＋f(－x)＝ex－e－x＋＋1＋e－x－ex＋＋1＝2＋＝1.因为cos (α－)＝cos [－－(－α)]＝－sin (－α)， 且f(sin (－α))＝， 所以f(cos (α－))＝f(－sin (－α))＝1－f(sin (－α))＝. 答案：1　 2．证明：(1)因为左边＝cos (2A＋B＋C)＝cos [A＋(A＋B＋C)]＝cos (π＋A)＝－cos A， 右边＝cos (B＋C)＝cos (π－A)＝－cos A， 所以cos (2A＋B＋C)＝cos (B＋C)． (2)右边＝cos ()＝cos [(π－A)－] ＝cos ()＝cos [－()] ＝sin ()＝左边， 所以sin ()＝cos ()． 学科网（北京）股份有限公司 $