7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

⑧ 3.B由sina= 号ae(受)释 4 =- 所以tana= sin a cos a 受此选B 4. 2② 阳2 图3 3 cos a= 温号÷()- 3 (3)作直线x=一 2,交单位圆于C,D两点，连接OC与 课堂案·互动探究 [例1一1门[解析](1)，a为第二象限角， OD,则OC与OD围成的区城（图3中的阴影部分）即为角 a的终边的范围.故满足条件的角α的集合 :: sma=小-osa=-()=高 为a2kx+西<a≤2kx+誓，k∈z小. 6 [母题变式]解析如图所示，过点A tan a=sin a= 13 5 cos a 12 12 (1,0)作单位圆O的切线，在切线上沿 13 y轴运方向取一点T,使AT-停过 (2)''tan a=- cos'a 64' 点O,T作直线，则当角a的终边落在 品。杂解得血a=士品 即 sin'a 7 阴影区战内（包含所作直线，不包含y 勒)时mo> [答案]D2±号 [例1-2][解析](1)因为tana=2, 由三角函数线可知，在[0°，360)内，an≥ 31 所以2sina+3c0sa_2ana+3_2X2+3=7,故选D. sin a-cos a tan a-l 2-1 有30≤a<90或210<a<270,故满足ama≥ (2)sin atcoan.tan 1 3 2cos a-sin a 2-tan a 有k·180°+30°≤a<k·180°+90°，k∈Z. 1+tan a6 [触类旁通] 则cos'a十sin acos a=cosa十sin acosa_ cos a+sin'a 1+tan'a 5 3解析由三角函数线，可如血号-加管-受， [答案](1)D(2)A [触类旁通] s血晋=m(-晋)-名，且-}<n0<复， 1.aB“xe(-受0小eosr= 5 如图所示，画出单位圆，朋影部分即为所求。 .sinr=一 √1-co8x=- 3 3 'tan r=sin --3 cos r 4 (2)解析 由ina十cos=2,化得，得sina=3cosa, sin a-cos a 所以tana=3. 故日的取值集合是 ①原式=3X3osa-cosa-8cosa=8 2X3cos a+3cos a 9cos a 9' [2kx-看，2x+晋)u(2a+警2a+]4e. ②原式=sima-2 2sin acos a+1 sin'a+cos'a 7.2.3同角三角函数的基本关系式 -ame2m+1=323+1=8 课前案·自主学习 tan'a+1 32+1 [教材梳理」 [例2][解析](1)原式 导学 -sin'a sin cos'a cos a+2sin acos a cos a sin a 问题[提示](1)sina=一 5.cos a=- 3 5.tan a=3 sin a+cosa+2sin'acos'a sin acos a 2②1：号 (sin'a+cos a)2 sin acos a sin acos a' (3)是.利用三角函数定义证明（略） (2)证明因为tana=21an23十1， ⊙结论形成 所以tana十1=2anB+2, 1.Rkx+受k∈Z 片以+1-2（黑小 cos'a 2.士√/1-cosa1士2 sin acos a 通分可得1 2 [基础自测] cos'a cos'B' 1.(1)√(2)×(3)×(4)× 即cos2B=2cos2a,所以1-sin8=2(1-sin2a), 2.C 即sinB=2sina-1. [触类旁通] 2.证明左边=osr+sinr-2 sin reos工 .2sinx·cosr= 24∠0 2 cos'r-sin'r 又x∈(0，x),∴.sinx>0,cosx<0, (cos r-sin r)2 (cos x-sin x)(cos x++sin x) x∈（受）A正确： -cosx-sin上=1an=右边. sinx-cosx=√(sinx+cosx)-4sinx·cosx= 7 cosx+sinx1十tanx B错误： [例3][解析](1)由sina十cosa= /10 两造车方：得(n+a-(- sin r+cos=5' 的 4 7 得sinr=5,cosr= 3 5 sin r-cos r= 即1+2 sin acos a- 5,则sin acos a= 2 3 ,故C正确，D错误。 4 ,∴.tanx= (2)因为(cosa-sina)2=1-2 sin acos a=1+ 616 10101 [答案] a 12 (2)AC 5 所以cosa一sina=士4 /10 (3)[解析]①由sina十cosa= 3 因为5<a<,所以sina>0,eosa<0, 得(sna十cose)= 则cosa-sina=一 4 =-21 5 ,所以1 1 1 /10 sin a cos a 即sina+2 sin acs十cosa=g,所以sin acosa= cos a-sin a4 10 ②因为0<a<x,所以sina>0,cosa<0, sin acos a 3 可得sina-cosa>0. [触类旁通] 3.CD因为0∈(0，π).则sin0>0. 所以sina-cosa=√/(sina-cosa)' 又因为sin0+cos0= 号<0，则os0K0, 1-2sin acos a17 3· 可知0E（(受x),故A错误： [典题2](1)[解析]将sina-cosa= 两边平方， 2 图为(sin0-cos0)y2=1+2sin0cos0=25' 1 5 1 得1-2sina·cosa=子2sina·cosa=-4: 可得d如os9-一是 则tana十an a cos a I sin a cos a 1 sin a sin a·cosa =-8. (sn0叶cs0-1-2snas0-是 [答案]C (2)[解析] 解法一由sina+√2cosa=5, 且sin0-cos9>0, 所以sin0-cos0= 1 令sina-√2cosa=A. 故D正确： 则sina=3+ (sin 0+cos 0=-5 1 2 ,cos5a=-A,由sina十cosa=1, 22 联立方程 7 sin0-cos0=5· 得A=- 3 解得sin0= 号60s0=-专：故B错误： 3 3.cos a=6 .sin a=3 =2 2 所以an0=脚}-是，故C正确，故选CD 解法二 由sina十/2cosa=√3，① cos 0 令2sina-cosa=A,② 教考衔接1利用同角三角函数关系式求值 由①+②，得(sina+√2cosa)2+(W2sina-cosa)2=3+ [典题1][解析](1)，sina十cosa= 13(sin a+cos a A',∴.A=0,即2sina-cosa=0, 129∠0， =品p2 2sin eos=-168 ∴.tana= ② 2 又a∈(0，π)，则sina>0,cosa0, 解法三由sina=√3-2cosa代入sina十cosa=1, ae(受x 得3cosa-26cosa+2=0.∴cosa=5. 3 17 故sina-cosa=√(sina+cosa)-4 sin acos a= 13 ..sin a= 3 2 3 ,.'.tan a- 2 12 5 可得sina-13,cosa= [答案] A 上两边平方， (2)将sinr+cosr= (3)汇解析] 1-2sin号·cos号- 1 得1+2simx·cosr=25' /sin'号+cos 2 g·cos2 -2sin第七章 三角函数○ 7.2.3同角三角函数的基本关系式 学业标准 学科素养 1.通过推导同角三角函数的基本关系，培养逻辑 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.（难点） 推理等核心素养。 2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式 2.通过同角三角函数基本关系的应用，提升数学 的求值、化简和证明.（重点、难点） 运算等核心素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 2.关系式的变形 sin2a+cos2a=1→ 导学同角三角函数的基本关系 sin2a=1-cos a; cos a=1-sina; ?问题已知角a终边上一点P(一3，一4) sin a= (1)求sina,cosa,tana的值. cosa=土√/1-sina; (sina±cosa)2= sin a=tan acos a; sin a tan a= cos a sin a coS a= (2)计算sin2a+cos2a sinc的值. tan a cos a [点拨] 对同角三角函数基本关系式的理解 (1)注意“同角”，这里“同角”有两层含 义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在 (3)是否对任意角a都有sina十cos2a=1, 使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与 s加g--tan ala≠kx+艺，b∈Z成立？若成 角的表达形式无关，如sin23a十cos23a=1 cos a 成立，但是sina十cos2B=1就不一定成立. 立，试证明. (2)sina是（sina)2的简写，读作“sina 的平方”，不能将sin2a写成sina2,前者是a 的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不 同的，要弄清它们的区别，并能正确书写. ⊙结论形成 >基础自测 1.同角三角函数的基本关系式成立的条件 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 当a∈ 时，sin2a十cos2a=1成立； (1)sin220°+cos220°=1. () 当a≠ 时，sing=tana cos a (2)对任意的角a,都有tana=sin成立. cos a 成立. 15 O数学·必修第三册（配RJB版） (3)sina+cos2β=1. 3.已知a∈（经x,且sina=号，则ana= (4)若cosa= 2,则sina= 2 ( 2.下列等式中恒成立的个数为 ) 3 A B.-3 ①sin21=1-cos21; 2sin2a+cos2a=sin2 3+cos2 3; c ③sina=tan acosa(e≠受+kx,k∈Z列 4.已知sina= 3 ,tan a=- ，则cosa值为 4 A.1 B.2 C.3 D.0 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 利用同角三角函数的基本关系式 (2)已知 sin a+3cos a =2,cos'a+ 求值 多维探究 2cos a-sin a 角度1 已知一个角的三角函数值，求该角 sin acos a= ( 的其他三角函数值 6 例1-1 (1)已知a是第二象限角，且cosa= A. B号 景，则1ana的值是 ( c号 D- A号 B.-12 [素养聚焦] 在本例中，通过利用三角函数基本 13 关系求三角函数值的计算，培养数学运算核心 C.2 D.一12 素养. 规律方法 (2)已知tana=- 号，则sna的值为 已知角a的正切求关于sina, cosa的齐次式的方法 规律方法 (I)关于sina,cosa的齐次式就是式子中的每 已知角的一个三角函数值求其他 项都是关于sina,cosa的式子且它们的次数相同，设 三角函数值的方法 为n次，将分子分母同除以cosa的n次幂，其式子可 (1)已知角α的某一种三角函数值，求角a的 化为关于tana的式子，再代入求值. 其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是 (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sina十 先选用平方关系，再用商数关系， (2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三 cos2a来代换，将分子、分母同除以cos2a,可化为 角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不 关于tana的式子，再代入求值 确定，应分类讨论，有两组结果 [触类旁通】 角度2已知tana,求关于sina和cosa齐 1.(1)(2024·山东济南高一期中)已知x∈ 次式的值 例1-2(1)已知tana=2,则2sina+3cosc_ (-受，0)，cosx=号，则anx等于() sin a-cos a ( ) B.-3 4 A.-2 B.3 C.6 D.7 C. D.-4 16 第七章三角函数○ (2)已知sina+cosg=2,求： [触类旁通] sin a-cos a ①，3sina-cosa的值； 2.求证：1-2 sin xcos=1-tanx cos2x-sin2x1十tanx 2sin a++3cos a ②sin2a-2 sin acos a+1的值. 题型三 sina士cosa与sina·cosa之间 关系的应用 题型二三角函数式的化简与证明 例3已知sina十cosa= 10 5 例2(q)化简：sinatan a+osa+2 sin. tan a (1)求sina·cosa的值； (2)已知tan2a=2tan2B+1,求证：sin23= (2)若2<a<,求 一1的值. 2sin'a-1. sin a cos a [自主解答] [自主解答] 规律方法 (1)sina+cosa,sina-cosa,sin acos a三个 式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知 求二”，它们之间的关系是(sina土cosa)2=1土 2sin acos a. (2)求sina+cosa或sina-cosa的值，要注 规律方法 意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们 (1)证明恒等式常用的思路是①从一边证到 的符号： 另一边，一般由繁到简；②两边“凑”，即证左边、右 : [触类旁通] 边都等于第三者；③比较法（作差、作比法）. 3.(多选题)(2024·宁夏吴忠高一期末)已知 (2)常用的技巧有①巧用“1”的代换；②化切 为弦；③多项式运算技巧的应用（分解因式）。 0e(0,x),sin0十cos0=-,则下列结论 (3)解决此类问题要有整体代换思想， 正确的是 () 17 O数学·必修第三册（配RJB版） A.0e(o,) 当cosA= 3时 3 B.cos 0=- 5sin A+8 5cos A-7 [失分警示] 对cosA的取 C.tan 0=- 3 4 5x号+8 3 值分类讨论，缺少 D.sin 0-cos 0= 15x(-7 一种情况扣4分. [缜密思维提能区] 规范答题 (13分) 忽视角的取值范围致误 [纠错心得] (1)在解题过程中要充分利用题中的条件，判 [典例](13分)若sinA= ，且A是三角 断出所需要的符号 形的一个内角，求部的值 (2)要明确三角函数在每个象限内的符号，要 记准并应用熟练。 [规范解答] 因为mA-号A∈(0，… (3)解答题中的最后答案要准确、完整并且规范， (1分) 课堂小结 所以cosA=士/1-sinA=士3 知识落实 技法强化 (1)同角三角函数 (5分) (1)本节课应用了由部分到整 的基本关系式. 当c0sA-号时， 体、整体代换的思想方法。 [失分警示] (2)利用同角三角 (2)求值时注意α的范围，如果 漏掉一种情 函数的基本关系 无法确定，一定要对a所在的 5sin A+8 况扣2分 式求值、化简与 象限进行分类讨论， 15cos A-7 15X3 证明， =6； (9分) 温馨 提示 请完成[课后案】学业评价（五） 教考 衔接 利用同角三角函数关系式求值 一、真题展示 (3)3sin acos a; (2023·全国乙卷)若0e(0,, (4)4sin a-2cos a 5cos a++3sin a' 三、类法探究 an0=2,则sin0-cos0= 同角三角函数的基本关系有两种：(1)平 方关系：sin2a十cos2a=1;(2)商数关系： 二、真题溯源 [人教B版必修三P26练习BT2] &=tan aa≠受+kx,k∈Z,这就是 cos a 说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于 已知tana=一4，求下列各式的值. 1,商等于角a的正切.根据这些关系式，利 (1)sina; 用方程的思想方法可求相关的三角函 (2)cos'a-sin a; 数值 18