7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第三册人教B版 360°+180°+B(k∈Z).故选D. 变式训练5解：.角[180°-(-120°)]与-120°角的终边 关于y轴对称，∴.角a的终边与300°角的终边重合.故角 的集合是S=aa=k·360°+300°，k∈Z. 例6解：(1)终边落在射线OM上的角的集合为A=al a=45°+k·360°，k∈Z}. (2)终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B ala=225°+k·360°，k∈Z,则终边落在直线OM上的角的 集合为AUB=aa=45°+k·360°，k∈ZU{ala=225°+k· 360°，k∈Z}=ala=45°+2k·180°，k∈ZU|ala=45°+(2k+ 1).180°，k∈Z={ala=45°+n.180°，n∈Z. (3)同理，终边落在直线ON上的角的集合为BB=60 +n180°，n∈Z,故终边落在阴影区域内（含边界）的角 的集合为al45°+n·180°≤a≤60°+n·180°，n∈Z}. 变式训练6解：(1)终边在射线OA上的角的集合是{a a=210°+k·360°，k∈Z: 终边在射线OB上的角的集合是{aa=300°+k·360°， k∈Z☑· (2)终边在阴影部分（含边界）的角的集合是{a210°+ k·360°≤a≤300°+k.360°，k∈Z. 例7解：由已知得，k360°+180°<0<k360°+270°，keZ, k180°+90°<9k.180+135°，keZ.当k为偶数时，2 在第二象限；当k为奇数时，9在第四象限如图1，号 在第二、四象限的阴影区域内（不含边界） 图1 图2 例7答图 又·k120°+60°<日<k.120°+90°，keZ. 当k=3n(neZ)时，9在第一象限 3 当k=3n+1(neZ)时，号在第三象限： 当k=3n+2(neZ)时，9在第四象限. 如图2，号在第一、三、四象限的阴影区域内（不合 边界). 变式训练7解：·.a是第二象限角，.90°+k·360°<a<180 +k·360°，k∈Z..180°+2k·360°<2a<360°+2k·360°，k∈Z 2a是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴 上的角. 又45+专360<号<90+专360，keZ.当k为偶 30 数时，令=2n,n∈Z,则45°+n·360°<Q<90°+n360°，此 时，号为第一象限角；当k为奇数时，令=2n+l,n∈Z, 则25+n360°<号<270+n360°，此时，受为第三象限角. 2 “受为第一或第三象限角。 变式训练8C【解析】设∠BOC=a,由=2，得O4a= IOB·a 10A=2,即10A=210B1， AP- 2 IOBI S2 多al0 1OAP-0BP=40BP-0B=3.故选C. IOBP IOBP 变式训练9B【解析】如图，连接 OC,.C是AB的中点，.OC⊥AB. 又CD⊥AB,.O,C,D三点共线， 即OD=0A=0B=2.又·∠A0B=60°， AB=OA=0B=2,则0C=V3,故 CD=2-V3.=AB+CD=2+ OA 变式训练9答图 (2-V32=11-4V3.故选B. 2 2 数学文化 例A【解析】设扇形的弧长为1，半径为r,圆心角 的弧度数为。，由图意得V,变形可得 2 r 2(V5-1=V万+1.=r,折扇所在扇形的圆心角的 3-V/5 弧度数为√5+1.故选A, 71.2弧度制及其与角度制的换算 要点精析 例1D【解析】根据角度和弧度的定义，可知无论是角度 制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧 长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C三项 均为真命题.故选D. 变式训练1D【解析】半圆所对圆心角a=Tr=m,故A正 确：周角a=2=2m,故B正确；由1rad角的定义知C 选项正确，D选项错误.故选D. 例2解：1)200晋2)-15哥-晋 180-9 8)7b×180=105.4-17-号x180-396 55 变式训练2解：（)1230=2空”-2空×0 2)语-语×10)°-75 例3解：(I)要确定角α：所在的象限，只要把α表示为 a=2kπ+a,(keZ,0≤a<2m)的形式，由a所在的象限即 可判定出α所在的象限 《=570=8n=4m+8,=750r若e4+君a 在第二象限，凶，在第一象限. (2)B=3=108,设0=B+h~360°(keZ),由-720 ≤0<0°，得-720°≤108°+k.360°<0°，.k=-2或k=-1,. 在-720°0°间与B,有相同终边的角是612°和-252°. 同理B2=-420°且在-720°0间与B,有相同终边的角是 -60°. 变式训练3解：题图1中，以OB为终边的330°角与-30° 角的终边相同，-30-石，而75°75x70-受，阴影部 分（不包括边界）位于-君与受之间且跨越x轴的正半 轴，∴终边在阴影部分（不包括边界）的角的集合为 (al2akeZ 题图2中，以0B为终边的225°角与-135°角的终边相 同，-135”135x0=7,可135=平，阴影部分（不 包括边界)位于-3π与3π之间且跨越x轴的正半轴， 4 4 ..终边在阴影部分（不包括边界）的角的集合为 al-3π+2km<a<3亚+2km,keZ 4 例4解：《0)圆心角为75x10-沿，扇形半径为15cm 扇形面积广宁×受x15裙a《cm (2)设扇形半径为r,圆心角为0，弧长为1，面积为 S,则l+2r=60,.l=60-2r S=2=3(60-2r/=-430=25-(-15只 当=15时，面积S=225(cm2).此时=L=60-2: r 60-2x15=2. 15 ∴.当半径为15cm,圆心角为2rad时，扇形面积最大， 最大值为225cm2. 变式训练4解：(1)设该弧所对的圆心角为&，则a=L 贤号，该扇形的面积为S号分×18x12=108(cm). (2)设该扇形的圆心角为α，半径为r,周长为P,依 =l,解得，a上2d 题意知{ l=2, r P=l+2r=4, .该扇形OAB的圆心角∠AOB的弧度数为2rad 例5解：(1)设该文字的长、宽均为lm,则l≈10a, 其中视角a=5'≈0.001454弧度. ∴.l=10×0.001454=0.01454m≈1.45cm.故视力正常的 人，在10m远处能阅读最小为1.45cm见方的文字. (2)设人离标语xm处，对5m见方的文字所张的视 角是5，约为0001454弧度，则x≈1≈ 0Q00i14543439 5 参考答案。 (m)·故视力正常的人，最远能在约3439m远处看清5m 见方的文字. 变式训练5解：设P,Q第一次相遇时所用的时间是t, 则：号：石2m,14(s).即卫，Q第一次相遇所用 的时间为4$.设第一次相遇点为C,第一次相遇时已运动 到终边在写4-号m的位置，则xc=-4c0s牙=-2，e=-4: 3 si血号=-2V3,点C的坐标为(-2,2V3).故P点走 过的弧长为号m45m:Q点走过的弧长为号m 变式训练6ABD【解析】经过1s后，质点A运动1rad, 质点B运动2rad,此时∠BOA的弧度数为写+3，故A正 确：经过s后，∠A0B=5+号+2x77径，放扇形A00 的弧长为受×=受，故B正确：经过君s后，∠40B=君 12 6 6 +号+2x君-石，故扇形A0B的面积为}×g×设， 故C不正确；设经过ts后，A,B在单位圆上第一次相遇， 则1+2)+写=2m,解得=g(S),故D正确，故选ABD 数学文化 例解：.圆O的半径r=1,正 方形的边长a=1,.以正方形的一边 D. 为弦时所对应的圆心角为写，正方 形在圆周上滚动时，点的位置如图所 示，故当点A首次回到点P的位置 时，正方形在圆周上滚动了3圈.设 A(P) 第i(i∈N)次滚动点A的路程为 例题答图 4,则A=君x1B=君，A=君1C=V,A=君×1= 6 石，A=0,点A所走过的路程为3(41+M+A+M) 2+V2m. 2 。“72任意角的三角函数 7.2.1三角函数的定义 要点精析 例1解：(1)设点P的坐标为(x,y),则x=cos∠AOP= cos号7，y=sin∠A0P=sin号=Y.故点P的坐标为 2 (2)点P与点Q关于y轴对称，.点Q的坐标为 根据正弦函数、余弦函数的定义可知sinA0Q=V3 cosLAOQ=-2 1 31N 高中数学必修第三册人教B版 7.1.2 弧度制及 学习目标 1.了解弧度的意义，能正确地进行弧度 与角度的换算， 2.熟记特殊角的弧度数. 要点精析 川要点1概念的理解 角度制与弧度制的定义 (1)角度制：用度作单位来度量角的制 度称为角度制.角度制规定60分等于1度， 60秒等于1分. (2)弧度制：长度等于半径长的圆弧所 对的圆心角为1弧度的角，记作1rad.以弧 度为单位来度量角的制度称为弧度制. 例1下列命题中，假命题是( A.“度”与“弧度”是度量角的两种不 同的度量单位 B.1°的角是周角的1 360,1rad的角是 周角的1 不 C.1rad的角比1的角要大 D.用角度制和弧度制度量角，都与圆 的半径有关 反思感悟 孤度制与角度制的区别与联系 (1)区别： ①单位不同，孤度制以“孤度”为度 量单位，角度制以“度”为度量单位； 8 学 其与角度制的换算 ②定义不同 (2)联系：不管以“孤度”还是以 “度”为单位的角的大小都是一个与圆的半 径大小无关的定值 B变式训练① 下列各说法中，错误的是() A.半圆所对的圆心角是rrad B.周角的大小等于2m C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆 的半径 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的 大小是1弧度 川要点2角度制与弧度制的互化 (1)角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°=2mrad 2rrad=-360° 、l80°=rrad Trad=180° 个 1=180 rad 1a (2) 一些特殊角与弧度数的对应关系 角度 0° 15 309 45 60° 75° 90° 弧度 0 5π 1 6 4 3 12 2 角度 120 135 150° 180 210° 2250 2409 弧度 2π 3m 5π 7w 5w 4π 3 4 6 6 4 3 角度 2709 3009 315 3309 3609 弧度 3π 7π 11T 2 3 2T 6 思考某同学表示与30°角终边相同的 角的集合时写成S={ala=2kT+30°，k∈Z}, 这种表示正确吗？为什么？ 例2将下列角度与弧度进行互化 (1)20°；(2)-15；(3)7晋： (4)-11π 5 反思感悟 (1)进行角度与孤度换算时，要抓住 关系：rrad=l80°. (2)熟记特殊角的度数与孤度数的对 应值 第七章三角函数 B变式训练② （)把1230化成孤度；(2)把-码 化成度， 要点3弧度制和角度制的简单应用！ 例3设角a=-570,=750,Br号m (1)将a1,2用弧度制表示出来，并指 出它们各自所在的象限： (2)将B,B2用角度制表示出来，并 学 9 N 高中数学必修第三册人教B版 在-720°~0°之间找出与它们终边相同的所 有角， 反思感悟 角度制与孤度制的转换中需注意的问题： (1)在进行角度与孤度的换算时，抓 住关系式Trad=180°是关键.由它可以得， 度教×180=孤度数，孤度教× 180°=度数. (2)特殊角的孤度数与度数对应值今 后常用，应该熟记 (3)在同一个式子中，角度与孤度不 能混合用，必须保持单位统一，如Q=2kπ+ 30°，k∈Z是不正确的写法. (4)判断角终边所在的象限时，若 生[-2r,2m],应首先把表示成= 2kT+B,B∈[-2m,2m]的形式，然后利用 角B终边所在的象限来确定角：终边所在 的象限」 10)学 变式训练3 用弧度表示顶点在原点、始边与x轴的 正半轴重合、终边在图中阴影部分（不包括 边界)的角的集合. y个 22535 B 图1 图2 图7-1-7 川要点4弧长公式与扇形面积公式的应用？ (1)弧长公式：l=r: (2)扇形面积公式：S=乃 其中α为圆心角，r为半径 思考1：用公式=L求圆心角时，应 注意什么问题？ 思考2：在使用孤度制下的孤长公式及 面积公式时，若已知的角是以“度”为单 位，需注意什么问题？ 例4求解下列各题. (1)若某扇形的圆心角为75°，半径为 15cm,求扇形面积， (2)若一扇形的周长为60cm,那么当 它的半径和圆心角各为多少时，扇形的面积 达到最大？最大值是多少？ 反思感悟 (1)给出扇形周长，即间接给出孤长 及面积，列方程组求孤长及半径，最后求 得圆心角的孤度数.在以面积作等式时有孤 度制和角度制下的两种方式」 (2)求面积最值，本题可以以，为变 量建立面积关于半径下的二次函数，也可 以建立关于日角的函数，求函数的最值方 法较多，希望尽力把握」 (3)使用弧度数公式l=L时，应注意 Q是孤度数，且三个量l,r,中，知道其 中任意两个可求另外一个；有些问题还要 注意角α的方向和旋转的圈数 第七章三角函数 B变式训练④ (1)在半径为12cm的圆上，有一条弧 的长是18cm,求该弧所对的圆心角的弧度 数和该扇形的面积； (2)已知扇形OAB的面积为1cm,它 的周长是4cm,求该扇形OAB的圆心角 ∠AOB的弧度数. 川要点5弧度制的实际应用 例5视力正常的人，能读远处文字的 视角不小于5'.试求： (1)离人10m处，人所能阅读的最小 文字的大小如何？ (2)要看清长、宽均为5m的大字标 语，人离标语最远距离为多少米？ 学(11 N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练⑤ 如图，动点P,Q从点A(4,0)出发， 沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒转T弧 度，点O按顺时针方向每秒转T弧度，求 6 P,Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的 坐标及P,Q点各自走过的弧长， 图7-1-8 变式训练6 (多选题)如图，A, B是单位圆上的两个质点， 点B的坐标为(1,0)， ∠BOA=60°，质点A以 1rads的角速度按逆时针 图7-1-9 方向在单位圆上运动，质点B以2rad5的角速 度按顺时针方向在单位圆上运动，则() (12)学 N A.经过1s后，∠BOA的弧度数为T+3 B.经过0s后，扇形AOB的弧长为7m 12 12 C.经过Ts后，扇形AOB的面积为T 6 D.经过5πs后，A,B在单位圆上第 一次相遇 数学文化 例圆O的半径为1，P为圆周上一点， 现将如图放置的边长为1的正方形（正方形 的顶点A和点P重合)沿着圆周逆时针滚 动.经过若干次滚动，点A第一次回到点P 的位置，求点A走过的路程 A(P) 图7-1-10