7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套练习word（人教B版）

7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 [课时跟踪检测] 1.把化成角度制是 (　　) A.36° B.30° C.24° D.12° 解析:选A　由角度制与弧度制的互化知,π rad=180°.所以 rad=°=36°. 2.如图所示的时钟显示的时刻为4:30,设150分钟后时针与分针的夹角为α(0<α≤π),则α= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　150分钟后是7:00整,时针指向7,分针指向12,所以α=2π-=. 3.用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　因为150°=150×=,所以与150°角的终边相同的角的集合为. 4.已知半径为1的扇形面积为,则扇形的圆心角为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　由S=|α|r2,得=×α×12,解得α=. 5.(多选)下列命题正确的是 (　　) A.1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B.5弧度的角是第四象限角 C.α是第一象限角,则-α也是第一象限角 D.-1弧度角是锐角 解析:选BC　1弧度的角就是弧长为半径的弧所对的圆心角,A错误.因为<5<2π,所以5弧度是第四象限角.B正确.因为α是第一象限角,即2kπ<α<2kπ+,k∈Z,所以-2kπ-<-α<-2kπ,k∈Z,-2kπ<-α<-2kπ+,k∈Z.所以-α也是第一象限角.C正确.因为-1弧度角是负角,所以不是锐角.D错误. 6.自行车的大链轮有88齿,小链轮有20齿,当大链轮逆时针转过一周时,小链轮转过的弧度数是 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　由题意知,当大链轮逆时针转过一周时,小链轮逆时针转过周,则小链轮转过的弧度数是×2π=. 7.如图,圆O的半径为1,劣弧AB的长为,则阴影部分的面积为 (　　) A.- B.- C.- D.- 解析:选B　因为劣弧AB的长为,所以α=.则S扇形AOB=lr=××1=,S△AOB=×1×1×sin=,所以阴影部分的面积为-. 8.(多选)已知α与β是终边相同的角,且β=-π,那么可能是 (　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析:选BD　α与β是终边相同的角,且β=-π,故α=-π+2kπ,k∈Z.故=-π+kπ,k∈Z.当k=2n,n∈Z时,=-π+2nπ,n∈Z,是第四象限角;当k=2n+1,n∈Z时,=π+2nπ,n∈Z,是第二象限角.综上所述,可能是第二或第四象限角. 9.(多选)下列命题正确的是 (　　) A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α=2kπ,k∈Z} B.终边落在y轴上的角的集合为{α|α=90°+kπ,k∈Z} C.在-720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为-675°和-315° D.第三象限角的集合为 解析:选AC　终边落在x轴的非负半轴的角的集合为,故A正确;由于角度制和弧度制不能混用,故B错误;所有与45°角终边相同的角可以表示为,则在-720°~0°范围内,取k=-2,-1,得α=-675°,α=-315°,故C正确;第三象限角的集合为,故D错误. 10.(5分)-105°化为弧度为　　　　,化为角度为　　　　.  解析:-105°=-105×=-π,π=×180°=660°. 答案:-π　660° 11.(5分)扇形的半径是,圆心角是60°,则该扇形的弧长为　　　　,面积为　　　　.  解析:因为60°=,所以扇形的弧长为l=|α|·r=×=π,面积为S=lr=×π×=π. 答案:π　π 12.(5分)若2π<α<4π,且角α的终边与角-的终边垂直,则角α=　　　　.  解析:如图,不难发现与角-的终边垂直的角有两类:一类是与角的终边相同,此类角可表示为+2kπ(k∈Z);另一类是与角的终边相同,此类角可表示为+2kπ(k∈Z).故当k=1时,+2π=∈(2π,4π),+2π=∈(2π,4π).综上可知,α=或α=. 答案:或 13.(15分)用弧度表示顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在图中阴影部分内的角的集合. 解:题图①中,在-360°~0°内,以OB为终边的角为-30°角,化为弧度为-,75°=75×=, 设终边落在题图①中阴影部分内的角为θ, 则. 题图②中,在-360°~0°内,以OB为终边的角为-135°角,化为弧度为-,135°=135×=, 设题图②中终边落在阴影部分的角为β, 则. 14.(15分)已知一个扇形的中心角是α,所在圆的半径是R. (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的面积;(3分) (2)若扇形的周长为20 cm,面积为9 cm2,求扇形圆心角的弧度数;(5分) (3)若扇形的周长为定值C,当α为多少弧度时,该扇形面积最大?并求出最大值.(7分) 解:(1)由α=60°=,得扇形的面积S=αR2=××102=(cm2). (2)由解得α=或α=18.因为0<α<2π,所以α=. (3)由2R+αR=C,得R=,则S=αR2=α·=·.由0<α<2π,得S≤·=,当且仅当α=2时,等号成立.故当α=2时,扇形面积有最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $