学易金卷：八年级数学上学期9月学情自测卷（江西专用，范围：人教版八上第十三～十四章）

**基本信息** 本卷聚焦八年级数学三角形与全等知识，通过基础辨析、情境应用及探究延伸，考查几何直观、推理能力与应用意识，如荡秋千问题融合实际情境，倍长中线法体现思维深度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|三角形三边关系、高的作法、全等判定|基础概念辨析，如第2题高的作图考查空间观念| |填空题|6/18|三角形类型判断、全等条件添加、角平分线性质|结合生活情境，如第9题安全出口标志抽象图形| |解答题|11/84|全等证明、中线应用、面积探究（倍长中线法）|分层设计，20题荡秋千问题体现应用意识，23题探究延伸考查创新思维|

11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7._________________________ 8._________________________ 9._________________________ 10._________________________ 11._________________________ 12._________________________ 三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 13.（6分） 14.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（6分） 16．（6分） 17．（6分） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8分） 20．（8分） 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（9分） 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、 选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D D B c 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7.钝角 8.∠A=∠D(答案不唯一) 9.80°/80度 10.12cm 11.4/四 3 12.4或2或6 三、解答题：本题共11小题，共84分。其中：13-17每题6分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23 题12分。 13 【详解】(1)证明：：△ABD≌△CFD, ∴∠A=∠C,∠ADB=∠CDF, ∠ADB+∠CDF=180°， .∠ADB=∠CDF=90°， ∠A+∠B=90°， .∠C+∠B=90°， .∠CEB=90°， .CE⊥AB:3分 (2)解：△ABD≌△CFD, ∴BD=FD,AD=CD AF=1,即：AD-FD=1, :CD-BD=1. 又CD+BD=BC=7, 1/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .BD=3.6分 14」 【详解】(1)解：由三角形三边关系定理可得：5-2<c<5+2, .3<c<7, ℃是整数，且为奇数， .c=5, .△ABC的周长=a+b+C=2+5+5=12;3分 (2)解：：△ABC的三边长为a,b,c, .a>0,b>0,c>0. .a+b+c>0: 由三角形三边关系定理可得：a+b>c,a+c>b, .a-c+b>0,b-c-a<0 a-c+b-b-c-a-a+b+c =a-c+b-[-(b-c-a)]-(a+b+c） =a-c+b+b-c-a-a-b-c =b-a-3C..6分 15. 【详解】(1) 如图1，线段CD即为所求； D 3分 图1 (2) 如图2，线段CE即为所求 2/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 6分 图2 16. 【详解】(I)解：AD、AF分别是△ABC的中线和高线， DC=BD:SpBD·AF F3 0=器93， .DC=BD=3;3分 (2)解：∠B=30°，∠C=54°， ∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-54°=96°， :AE是△ABC的角平分线， ÷∠BAE=∠CAE=∠BAC=1x96°=48」 2 ·AF是△ABC的高，即∠AFC=90°， ∴∠CAF=90°-∠C=90°-54°=36°， ∠EAF=∠CAE-∠CAF=48°-36°=12°.6分 17. ∴∠ACB=∠AEF=90°， 在RtAEF和Rt△ACF, AF=AF AE=AC, ,Rt△AEF≌Rt△ACF(HL) .EF=CF.3分 3/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)证明：：∠ACB=90°，DE⊥AB, .∠ACB=∠AED=90°， 在Rt△AED和Rt△ACB, AD=AB AE=AC, ,RtAAED≌RtAACB(HL) ∴.DE=BC, BF=5,CF=2. .BC=BF+CF=7,EF=CF=2, .DE=BC=7, .DF=DE+EF=9.6分 18. 【详解】(1)解：∠A=70° .∠B+∠C=180°-∠A=110°」 :BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， 20BC=ABC,∠0cB=4CB, ∠0BC+∠0CB=(∠A8c+∠AC)=5, ∴∠0=180°-（∠OBC+∠OCB)=125° 4分 (2)解：如下图所示， :∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD=∠A+∠ABC=a+∠ABC, CO平分∠ACD, 1 E∠0CD2ACDg+ZABC 2 :BO是∠ABC的平分线， ∠OBC=1∠ABC :∠OCD是△OBC的外角， 4/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠OBC+∠O=∠OCD」 Z0=Z0CD-Z0BC-+ABC-7ZABC- A 8分 C D 19. 【详解】(I)证明：：BE平分∠ABC,CD平分∠ACB, 设ZBE=Z∠CBE-ABC=&ACD=∠BCD∠ACBD ∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2a-2B∠BOC=180°-∠CBO-∠BC0=180°-a-阝 ∠B0C=90°+5∠BAC;.4分 (2)证明：过O作OF⊥AB于点F,作OG⊥BC于点G,作OH⊥AC于点H, H E O 平分 G 图2 .BE ∠ABC .0F=0G, CD平分∠ACB, :.0G=OH, ∴OF=OH .OA平分∠BAC.8分 20. 【详解】（∠BOF=∠OCG,理由如下： :CG⊥OA于点G, ∴.∠CG0=90°. .∠C0G+∠0CG=90°， :∠C0B=90°， 5/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠COG+∠BOF=90°」 L0CG=LB0F.2分 (2)解：据题可知OC=OB,据(1)可知∠B0F=∠OCG, .在aOCG和△BOF中， [∠BOF=∠OCG ∠OGC=∠OFB OC=OB :AOCG≌aBOF(AAS) .CG=OF=2米，OG=FB=b, h=1h2=1.5 .FG=h2-h=0.5 米， .0G=0F-FG=2-0.5=1.5米， .b=1.5.5分 (3)解：据(2)可知△OCG≌△BOF, 则CG=OF=a米，OG=FB=b米， ..FG=h-h OF-OG=FG :a-h=么-办，即a+么=6+场 8分 21. 【详解】(1)解：OC是∠AOB的角平分线，PD⊥OA,PE⊥OB, .PE=PD=5:.2分 (2)解：作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E和F, :AD是△ABC的角平分线， .DE DF. 设DE=DF=h, 6/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 E D 1 则Sm-2 Lx ABxh,ScD=xAC×h, S.ABD S.ACD AB:AC AB:AC=7:5, ∴△ABD与△ACD的面积比为7：5， 答：△ABD与△ACD的面积比为7：5；5分 (3)解：作OE⊥AB,OF L AC,垂足分别为E和F,连接OA, ,BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC, ..OE =OD=3,OF =OD=3 △ABC的面积可分割为△AOB、△BOC、△AOC的面积之和（如图）， △ABc=S△AoB+S△BOc+S△4OC 即 =×ABx3+xBCx3+xACx3 -4B+8c+4c). ,△ABC的周长是13，即AB+BC+AC=13, 39 54c=2.9分 22. 【详解】(1)解：，∠A=70°， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°=110°， :BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, 7/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠PBC+∠PCB=(LABC+∠ACB)=55° ∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=125° 3分 (2)解：如图，连接BC, E B ∠BEC=130°， .∠EBC+∠ECB=180-∠BEC=50°， .∠A=70° ∠EBA+∠ECA=180°-（∠EBC+∠ECB)-∠A=60° ,∠ABE,∠ACE的平分线BF,CF相交于点F, :∠EBF+∠ECF=(LEBA+∠ECA)=30, 2 :.∠BFC=180P-(∠EBC+∠ECB)-(∠EBF+∠ECr）=1O0 .6分 (3)解：：BP平分∠ABC,BN平分外角∠EBC,∠ABC+∠EBC=180°， :∠PsN=48c+号EC=0,甲∠ANaN=0 因此30°只能是∠M或∠BNM. 根据三角形外角的性质得到∠EBC+∠FCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A, :BN平分外角∠EBC,CN平分外角∠FCB, A∠NBC+∠NCB=90°+)∠A, 2 &∠BC=18-(2NaC+∠C)=90-A,即∠BNM=0-4, &∠M=180P-∠MBN-∠BM=5A, 分情况讨论： 8/11 西学科网学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 若∠M=30°，则2A=30,解得∠A=60°； 若∠BMM=30,则90- 2A=30°，解得∠4=120： 综上所述，∠A的度数为60°或120°.9分 23. 【详解】(1) 解：如图，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, B D 是 的中线， E 图1 ·AD△ABC ∴CD=BD, ∠ADC=∠EDB,DE=AD .△ADC≌△EDB(SAS). .BE=AC=5, AB-BE<AE<AB+BE,AB=8, .8-5<AE<8+5, .3<AE<13, .DE =AD, .AE =2AD, .3<2AD<13, 解得：0<是 即10的取值范国为：<AD< 3 2；…4分 (2) 9/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 证明：如图2，延长AD至G,使DG=AD,连接BG,则AG=2AD, 为 的中点， D 图2 .D BC ∴.CD=BD, :∠ADC=∠GDB,DG=AD .△ADC≌△GDB(SAS). ∴∠C=∠GBD,AC=BG, .AC∥BG, .∠ABG+∠BAC=180°， .AC=AF, ∴.BG=AF, ∠BAE=∠CAF=90°， .∠EAF+∠BAC=180°」 .∠ABG=∠EAF, 在△EAF和△ABG中， EA=AB ∠EAF=∠ABG AF=BG .·△EAF≌△ABG(SAS), ..AG=EF, ..EF =2AD; .8分 (3)解：如图3，延长EF到G,使得EF=FG,连接CG,延长CA到H,使得AH=AD,连接BH, 10/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 H E 是 的中点， 图3 G .F BC ∴.CF=BF, ,∠EFB=∠CFG,EF=FG ∴.△BEF≌ACGF(SAS), ∴.BE=CG∠G=∠BEF, ∴.CGIBE, ∴.∠BEH=∠GCE, ∠BAC+∠BAH=180°，∠BAC+∠BAD=180°， .∠BAH=∠BAD, 在△BAH和△BAD中， AB=AB ∠BAH=∠BAD AH=AD ·.△BAH≌△BAD(SAS), ∴.BH=BD,∠H=∠ADB, '∠ADB=∠CEF, ∴.∠H=∠CEF, 又∠BAH=∠BAD,BE=CG, ∴.AHBE≌△EGC(AAS), .EG=BH=BD=2EF=2×6=12, 即BD=12..12分 11/11………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第十三~十四章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．根据下列条件，能画出唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．如图，在中，平分，点F在线段上，过点F作，垂足为F，与的延长线交于点E．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 6．如图，在中，，D，E分别是，上的点，平分，于点F，G为的中点，延长交于点H．下列结论正确的有（     ） ①线段是的高；②与的面积相等；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7．在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 8．如图，，要得到，添加的一个条件可以是_________（填一个即可）． 9．如图，妍妍在走廊上看到一个“安全出口”标志，她从中抽象出这样一个数学图形，其中，，若，，，则的度数为_________． 10．如图，在中，和的平分线交于点，，，的面积为，则的面积为______． 11．如图，的面积为．第一次操作：分别延长、、至点、、，使 ，顺次连接、、，得到；第二次操作：分别延长、、至点、、，使，顺次连接、、，得到……，按此规律，第次操作后，得到．若要使的面积超过，则至少需要操作______次． 12．如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当_____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 三、解答题：本题共11小题，共84分。其中：13-17每题6分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23题12分。 13．如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 14．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 15．的顶点在如图所示的网格中的格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图中作的中线； (2)在图中作的高． 16．如图，，，分别是的中线，角平分线和高线． (1)若，，求的长． (2)若，，求的度数． 17．如图，在中，．点在外，连接，作于点，交于点，，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．根据材料回答下列问题    (1)如图，在中，、分别是和的角平分线，、相交于点，已知，则的度数为多少？ (2)如图，在中，、分别是和外角的角平分线，、相交于点，已知，则的度数为多少？ 19．已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 20．如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖坐在秋千上的起始位置点处，且起始位置的延长线与地面垂直，垂足为点．小颖两脚在地面上用力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置的水平距离米；小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千起始位置的水平距离为米，秋千的长度保持不变．解答下列问题： (1)当时，判断与是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由； (2)当，米，米，米时，求的值； (3)若考虑到安全和体感，点、点分别在的左边和右边，秋千摆动的夹角（即）始终保持，请直接写出，，，这四个变量之间的关系． 21．完成以下问题 (1)【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作，，垂足分别为和，若，则__________； (2)【探究】如图②，在中，是它的角平分线．若．求与的面积比； (3)【应用】如图③，的周长是13．、分别平分和，于点．若，求的面积． 22．【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 23．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第十三~十四章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．根据下列条件，能画出唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．如图，在中，平分，点F在线段上，过点F作，垂足为F，与的延长线交于点E．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 6．如图，在中，，D，E分别是，上的点，平分，于点F，G为的中点，延长交于点H．下列结论正确的有（     ） ①线段是的高；②与的面积相等；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7．在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 8．如图，，要得到，添加的一个条件可以是_________（填一个即可）． 9．如图，妍妍在走廊上看到一个“安全出口”标志，她从中抽象出这样一个数学图形，其中，，若，，，则的度数为_________． 10．如图，在中，和的平分线交于点，，，的面积为，则的面积为______． 11．如图，的面积为．第一次操作：分别延长、、至点、、，使 ，顺次连接、、，得到；第二次操作：分别延长、、至点、、，使，顺次连接、、，得到……，按此规律，第次操作后，得到．若要使的面积超过，则至少需要操作______次． 12．如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当_____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 三、解答题：本题共11小题，共84分。其中：13-17每题6分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23题12分。 13．如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 14．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 15．的顶点在如图所示的网格中的格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图中作的中线； (2)在图中作的高． 16．如图，，，分别是的中线，角平分线和高线． (1)若，，求的长． (2)若，，求的度数． 17．如图，在中，．点在外，连接，作于点，交于点，，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．根据材料回答下列问题    (1)如图，在中，、分别是和的角平分线，、相交于点，已知，则的度数为多少？ (2)如图，在中，、分别是和外角的角平分线，、相交于点，已知，则的度数为多少？ 19．已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 20．如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖坐在秋千上的起始位置点处，且起始位置的延长线与地面垂直，垂足为点．小颖两脚在地面上用力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置的水平距离米；小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千起始位置的水平距离为米，秋千的长度保持不变．解答下列问题： (1)当时，判断与是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由； (2)当，米，米，米时，求的值； (3)若考虑到安全和体感，点、点分别在的左边和右边，秋千摆动的夹角（即）始终保持，请直接写出，，，这四个变量之间的关系． 21．完成以下问题 (1)【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作，，垂足分别为和，若，则__________； (2)【探究】如图②，在中，是它的角平分线．若．求与的面积比； (3)【应用】如图③，的周长是13．、分别平分和，于点．若，求的面积． 22．【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 23．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第十三~十四章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】选取每组中较短的两条线段求和，与最长线段比较，判断能否组成三角形. 【详解】解：A.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意； B.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意； C.∵，∴能组成三角形，故符合题意； D.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意. 2．下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排除法，排除不垂直于及不过顶点的选项． 【详解】解：根据三角形高的定义，边上的高应过顶点且垂直于所在直线.； 为钝角， 垂足落在的延长线上.； 图D中的延长线，符合定义，其它选项不符合定义． 3．根据下列条件，能画出唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定条件，需熟悉并掌握哪些条件能唯一确定三角形是解题关键． 根据三角形全等的判定定理，只有、、、、能唯一确定三角形．逐一分析各选项是否符合这些条件即可． 【详解】解：对于选项A，∵ ，， ，但，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴ 不能构成三角形，故此选项不符合题意． 对于选项B，∵ 给出两边， 和非夹角， 属于条件， ∴不能唯一确定三角形，故此选项不符合题意． 对于选项C，∵ 只给出三个角，没有边，相似三角形有相同角但大小不同， ∴ 不能唯一确定三角形，故此选项不符合题意． 对于选项D，∵ 给出两个角，和它们的夹边，符合条件， ∴ 能唯一确定，故此选项符合题意． 故选：D． 4．如图，在中，平分，点F在线段上，过点F作，垂足为F，与的延长线交于点E．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先观察，因为，所以，结合已知的度数，可求出的度数．结合已知的度数，可求出的度数．因为平分，所以，可得到的度数．最后在中，利用三角形内角和为，可求出的度数． 【详解】解：， ， 在中，． ， 代入已知得： ． 平分， ． 在中，． 5．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余结合尺规作图得到的角平分线推导即可． 【详解】解：由题意得为的平分线， ，， ， ， ，故C不正确； ，故B正确； 如图，过点作，垂足为， 由角平分线定理可得，无法推出，到的距离是，故A、D不正确． 6．如图，在中，，D，E分别是，上的点，平分，于点F，G为的中点，延长交于点H．下列结论正确的有（     ） ①线段是的高；②与的面积相等；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①三角形的高是顶点向对边所作垂线段，是的高；②点为的中点，底边在同一直线上，等高且等底，故面积相等；③平分角且，可证三角形全等，得到，代入线段差即可推出；④利用外角性质将得，结合直角三角形两锐角互余，等量代换可证三个角相加等于。 【详解】解：①于点， 线段为△的高， 故结论①不正确，不符合题意； ②点为的中点， ， △的边上的高与△的边上的高相同， 与△面积相等， 故结论②正确，符合题意； ③平分， ， 于点， ， 在△和△中， ， ， ， ， 故结论③正确，符合题意； ④， 于点， ， ， 故结论④正确，符合题意； 结论正确的有3个． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7．在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 【答案】钝角 【分析】由最大内角的度数，即可确定三角形的形状． 【详解】解：∵在中， ， 即三角形的最大内角为钝角，故此三角形是钝角三角形． 8．如图，，要得到，添加的一个条件可以是_________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题已经给了和（隐藏条件），所以添加即可用来判定． 【详解】解：∵和， ∴当添加时，可用来判定． 9．如图，妍妍在走廊上看到一个“安全出口”标志，她从中抽象出这样一个数学图形，其中，，若，，，则的度数为_________． 【答案】/80度 【分析】由得，再由三角形内角和为可得，由，得，即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴． 10．如图，在中，和的平分线交于点，，，的面积为，则的面积为______． 【答案】 【分析】过点作于点，于点，于点，由角平分线的性质推出，由三角形的面积求出，得到，即可求出的面积． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，于点， ∵平分，，， ， ∵平分，，， ， ， ∵， ， ， ， ， ∴ ． 11．如图，的面积为．第一次操作：分别延长、、至点、、，使 ，顺次连接、、，得到；第二次操作：分别延长、、至点、、，使，顺次连接、、，得到……，按此规律，第次操作后，得到．若要使的面积超过，则至少需要操作______次． 【答案】4/四 【分析】连接根据三角形中线的性质得出与的面积相等，根据得出的面积等于的面积的倍，等于，同理可得的面积为，的面积为，得出第一次操作后的的面积等于7，同理可得的面积为，根据规律得出第四次操作后的面积为，结合题意即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，面积为， ∴与的面积相等，等于， ∵， ∴的面积等于的面积的倍，等于， 同理可得的面积为，的面积为， ∴的面积等于， 同理可得，第二次操作后的面积为的面积的倍，等于； 第三次操作后的面积为的面积的倍，等于； 第四次操作后的面积为的面积的倍，等于； 故按此规律，要使三角形的面积超过，至少操作次． 12．如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当_____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】或2或6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米，当点P在线段上时，只有这种情况，当点P在的延长线上时，只存在和两种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可． 【详解】解：设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米， ∵，， ∴， 当点P在线段上时， ∵， ∴此时只有这种情况， ∴厘米，厘米， ∴， 解得； 当点P在的延长线上时，， ∴只存在和两种情况， 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 综上所述，v的值为或2或6． 故答案为：或2或6． 三、解答题：本题共11小题，共84分。其中：13-17每题6分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23题12分。 13．如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ，， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等可得，，再由等量代换即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等可得，，得出结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ，即：， ， 又， ． 14．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； （2）解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 15．的顶点在如图所示的网格中的格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图中作的中线； (2)在图中作的高． 【答案】(1) 如图，线段即为所求； (2) 如图，线段即为所求． 【分析】（1）利用网格特征作出的中点，连接即可； （2）取格点，连接，延长交于点，线段即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 16．如图，，，分别是的中线，角平分线和高线． (1)若，，求的长． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义、三角形内角和定理． 根据三角形的面积公式可以求出，根据三角形中线的定义可知； 根据三角形内角和定理可知，根据角平分线定义可知，根据直角三角形两锐角互余可以求出，根据角之间的关系可以求出的度数． 【详解】（1）解：、分别是的中线和高线， ，， ， ， ； （2）解：，， ， 是的角平分线， ， 是的高，即， ， ． 17．如图，在中，．点在外，连接，作于点，交于点，，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明即可； （2）证，利用全等三角形的性质证明，结合即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和， ， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 18．根据材料回答下列问题    (1)如图，在中，、分别是和的角平分线，、相交于点，已知，则的度数为多少？ (2)如图，在中，、分别是和外角的角平分线，、相交于点，已知，则的度数为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形内角和定理即可求出的度数； （2）利用角平分线的定义和三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：， ， 、分别是和的角平分线， ，， ， ； （2）解：如下图所示， 是的外角， ， 平分， ， 是的平分线， ， 是的外角， ， ．    19．已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 【答案】(1)证明：平分，平分， 设，， ，， ； (2)证明：过作于点，作于点，作于点， 平分， ， 平分， ， ． 平分． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，，即可得到结论； （2）过作于点，作于点，作于点，根据角平分线的性质得到，，则．根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 20．如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖坐在秋千上的起始位置点处，且起始位置的延长线与地面垂直，垂足为点．小颖两脚在地面上用力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置的水平距离米；小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千起始位置的水平距离为米，秋千的长度保持不变．解答下列问题： (1)当时，判断与是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由； (2)当，米，米，米时，求的值； (3)若考虑到安全和体感，点、点分别在的左边和右边，秋千摆动的夹角（即）始终保持，请直接写出，，，这四个变量之间的关系． 【答案】(1)，理由如下： 于点， ， ，     ， ，     ． (2) (3) 【分析】（1）利用同角的余角相等证两角相等； （2）根据证，得到对应边相等，再结合线段差计算； （3）用线段和差得到四个变量关系式． 【详解】（1）略 （2）解：据题可知，据（1）可知， 在和中， ， ， 米，， ，， 米， 米， ． （3）解：据（2）可知， 则米，米， ，， ，即． 21．完成以下问题 (1)【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作，，垂足分别为和，若，则__________； (2)【探究】如图②，在中，是它的角平分线．若．求与的面积比； (3)【应用】如图③，的周长是13．、分别平分和，于点．若，求的面积． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质，求解即可； （2）根据角平分线的性质，可知与的高相等，面积比等于底边长的比； （3）确定O为三条角平分线的交点，该交点到三边距离相等，将面积分割为三个小三角形面积之和，利用周长和距离计算总面积． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，，， ∴； （2）解：作，，垂足分别为和， ∵是的角平分线，     ∴． 设， 则， ∴． ∵， ∴与的面积比为． 答：与的面积比为； （3）解：作，，垂足分别为和，连接， ∵、分别平分和，， ∴，． 的面积可分割为、、 的面积之和（如图）， 即 ． ∵的周长是13，即， ∴． 22．【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理可知； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理计算即可； （3）根据角平分线的定义求出，可知只能是或，根据三角形外角的性质得到，根据角平分线的定义求出，根据三角形内角和定理求出，则，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，的平分线，相交于点， ∴， ∴； （3）解：∵平分，平分外角，， ∴，即， 因此只能是或． 根据三角形外角的性质得到， ∵平分外角，平分外角， ∴， ∴，即， ∴， 分情况讨论： 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述，的度数为或． 23．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1) 解：如图，延长到点，使，连接， 是的中线， ， 解得： 即AD的取值范围为：； (2) 证明：如图2，延长至，使，连接，则， 为的中点， ， ， ， 在和中， (3) 【分析】（1）先推导出得到再根据三角形的三边关系，得到求出则解得 即可解答； （2）延长至，使，连接，则，推导出得到推导出证明得到，即可解答； （3）延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，推导出得到继而证明得到推导出证明出可求出即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接， 是的中点， ， 在和中， 又∵ 即． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： ■■ 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[][][/] 一、 单项选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10. 11 12 三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 13.(6分) 14.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(6分) 图1 图2 16.(6分) B D E F 17. (6分) B D E F 18.(8分) A O B B C 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 图1 图2 20.(8分) G B h 77777地面 图1 图2 21.(9分) B C D B 图① 图② 图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(9分) B 图1 图2 图3 23.(12分) D 图】 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！