精品解析：江西宜春市高安市第九中学2025-2026学年上学期八年级第四次学情自测数学试卷

2025-2026学年上学期八年级第四次月考数学试卷 一．选择题（每小题3分，满分18分） 1. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的定义，理解定义“科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当时，n是正整数，当时，n是负整数．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：C． 2. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由作图可得，，，，从而利用即可证明，从而得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得，，，， ∴， ∴判定的依据是， 故选：A． 3. 下列多项式：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式因式分解的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据完全平方式的结构特征：两数平方和，加上（或减去）两数乘积的2倍，逐一判断每个多项式是否符合该结构，即可得出结果． 【详解】完全平方公式因式分解的结构要求为 ，逐一判断： ① 对于， ①可以用完全平方公式因式分解； ② 对于，完全平方结构要求中间项应为，不符合完全平方结构， ②不能用完全平方公式分解； ③ 对于， ③可以用完全平方公式因式分解； ④ 对于，完全平方结构要求中间项为，与原式不符，不能用完全平方公式分解； ⑤ 对于，常数项为负数，无法写成两数平方和的形式，不符合完全平方结构，不能分解； 综上，能用完全平方公式因式分解的多项式有①③共有2个． 4. 如图，是某平板电脑支架，其中，，为了使用的舒适性，可调整的大小，若增大．则的变化情况是（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，外角的性质，掌握其计算方法是解题的关键．根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，所以当增加时，和各增加，当增加时，减小，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当增加时，和各增加， ∵， ∴当增加时，减小， 故选：D ． 5. 若是完全平方式，则m的值为（ ） A. 4 B. 1 C. 4或 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式的特点，解题的关键是掌握完全平方式的特征进行解题．由完全平方式的特征，列方程，即可得到答案． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 解得：或． 故选：D． 6. 若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分式方程无解有两种情况：①去分母后所得整式方程无解，②解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， ∴， ∵分式方程无解， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 二．填空题（每小题3分，满分18分） 7. 若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，即分母不为0，即可得出答案． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴ 故答案为：． 8. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于对称轴对称的点的坐标，关于轴对称的点的坐标是横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点的坐标是纵坐标相同，横坐标互为相反数． 根据关于轴对称的点的坐标是横坐标相同，纵坐标互为相反数来求解． 【详解】解：点关于轴对称的点， 对称点的坐标是． 故答案为：． 9. 如图，于点B，于点D，．若添加一个条件可使用“”判定，则添加的条件为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，关键是掌握直角三角形的判定方法“”． 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：添加的条件为，理由如下： ∵于点B，于点D， ， 在和中， ， ∴． 故答案为：． 10. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为______°． 【答案】50或130 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， ∴； 若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：50或130． 11. 若，则的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，先根据已知条件，求出的值，再把所求代数式中幂的底数化成，然后利用同底数幂的乘法运算，最后把的值代入计算即可，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和同底数幂乘法法则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 学校倡导全校师生开展“全科阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读__________页． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查分式加减的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的关系．根据题意列出算式，根据分式的减法法则计算，得到答案． 【详解】平均每天比原计划要多读的页数新工作效率原工作效率． 解：按原计划每天读页，实际每天读页， 故每天比原计划多读的页数是：， 故答案为：． 三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分） 13. （1）因式分解：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解与解分式方程，熟练掌握相关知识是关键． （1）先提取公因式，再使用平方差公式进行因式分解即可； （2）先乘以最简公分母，再按照一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】解：（1）； （2）， 两边同乘以，得， 移项并合并同类项，得， 解得，， 经检验，是原方程的解． 14. 如图，在和中，点B、D、C在一条直线上，，，，．求证：点D是的中点． 【答案】 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点D是的中点． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用可证明，则可证明，据此可证明结论． 【详解】略 15. 先化简，再求值：，其中， 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先利用乘法公式和单项式乘以多项式法则计算化简，再代入，结合幂的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式 ． 16. 在平面直角坐标系中，已知点、、． （1）画出关于y轴的对称图形； （2）请在x轴上找一点P，使得的值最小，并直接写出点P的坐标．（不写做法，保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图， 【解析】 【分析】本题考查作图-轴变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形． （）利用网格特点和轴对称的性质画出、、关于轴的对称点即可； （）画出关于的对称点，连接交轴于，利用得到，则根据两点之间线段最短即可． 【小问1详解】 解：根据网格特点和轴对称的性质画出、、关于的对称点，，，然后连接，，即可；即为所求； 【小问2详解】 画出关于的对称点，连接交轴于，利用得到，则根据两点之间线段最短， ∵在网格可知：， ∴， 根据两点之间线段最短， ∴点即为所求的点，使得最小． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通分，再把分子合并同类项，最后约分即可得到答案； （2）先把原式变形为，再通分，接着把分子合并同类项即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 18. 某大型种植园在枇杷采摘季应用无人机运输枇杷．已知一架无人机每小时运输枇杷的重量是一个人工每小时挑担的4倍，且一架无人机运输3200斤枇杷的时间比一个人工挑担1200斤的时间少1小时（休息时间、换电池等时间不计入在内）． （1）求一架无人机每小时运输枇杷的重量和一个人工每小时挑担枇杷的重量； （2）为满足批发商的要求，种植园需在2小时内运输11300斤枇杷，现有2架无人机可用，若每个人工的工作效率相同，则至少还需要几个人工参与挑担？ 【答案】（1）一架无人机每小时运输枇杷的重量为1600斤，一个人工每小时挑担枇杷的重量为400斤 （2）至少还需要7个人工 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程和不等式是解题的关键： （1）设一个人工每小时挑担枇杷的重量为 x斤，根据一架无人机每小时运输枇杷的重量是一个人工每小时挑担的4倍，且一架无人机运输3200斤枇杷的时间比一个人工挑担1200斤的时间少1小时，列出方程进行求解即可； （2）设需要个人工参与挑担，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设一个人工每小时挑担枇杷的重量为 x斤，由题意，得： ， 解得， 经检验，是原方程的解， ； 答：一架无人机每小时运输枇杷的重量为1600斤，一个人工每小时挑担枇杷的重量为400斤； 【小问2详解】 解：设需要个人工参与挑担，由题意，得： ， 解得， ∵为整数， 故最小为7， 答：至少还需要7个人工． 19. 如图，在中，，点D在边上（点D不与点B、点C重合），作，交边于点E． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵，且， ∴； （2） 证明：由（1）得， 又∵，， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的外角的性质和角的和差关系即可证明结论； （2）利用即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）的值为 ； （2）若，求的值； 【答案】（1）96 （2）22 【解析】 【分析】（1）根据新运算规则计算，即可求解； （2）根据新运算规则原式可变形为，再由幂的乘方和同底数幂的逆运算计算，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得： ； 故答案为：96 【小问2详解】 解：∵， 【点睛】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的逆运算，利用新运算规则是解题的关键． 五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分） 21. 先阅读，然后解决问题： 若，求和的值． 解：等式可变形为：， 即， 因为，， 所以，， 即，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请利用配方法，解决下列问题： （1）若△的三边长，，都是正整数，且满足，，则△的周长是______； （2）求代数式的最小值，并指出此时，满足的数量关系； （3）试比较多项式与的大小． 【答案】（1）9 （2）； （3）当或时，当或时，，当时，． 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，涉及到整式的运算，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）仿照示例，利用配方法，得到，的值，结合已知条件，得到的值，得到结果； （2）化简原式，把看作一个整体，把原式化为，利用配法，得到代数式的最小值； （3）利用作差法，求两个代数式的差，得到，再对其进行讨论，得到结果． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， ..，， ，， ，， ，，，都是正整数， ， ， △的周长是9， 故答案为：9； 【小问2详解】 解： ， ， ， 代数式的最小值为3， 此时， 即； 【小问3详解】 解： ， 当时，即或时， 当时，或时，即或时，， 当时，时，即时，， 综上，当或时， 当或时，， 当时，． 22. 在中，，，点D为直线上的一个动点（点D不与点B、C重合），以为边作，，，连接． （1）发现问题：如图①，当点D在边上时， ①请判断和之间的数量关系为 ，位置关系为 ；并完成证明； ②请直接写出三者之间的数量关系 ； （2）尝试探究：如图②，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） ①，证明如下： ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； ② （2） 解：不成立，， 理由：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理可得，证明即可得出和之间的关系；②根据全等三角形的性质，即可得到； （2）证明，得出，再根据，即可得到． 【小问1详解】 解：①略 ②∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 六．解答题（满分12分） 23. 下列一组方程：①；②；③；…… 小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，解答过程如下： 由①，得或； 由②，得或； 由③，得或． （1）请写出第4个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解． （2）若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解． （3）若n为正整数，关于x的方程的一个解是，求n的值． 【答案】（1）第4个方程为：，得或， （2）第个方程为：，得或， （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解，解题的关键在于找对规律并计算正确． （1）根据前三个方程蕴含的规律求解，即可解题； （2）根据前三个方程蕴含的规律，写出第n个方程及其方程的解即可； （3）根据原方程得到方程的一个解是，再结合题干规律分析，即可得出n的值． 【小问1详解】 解：根据题意可知，第4个方程为：， 得或， 经检验，或是该方程的解； 【小问2详解】 解：根据题意可知，第个方程为：，即； 得或， 经检验，或是该方程的解； 【小问3详解】 解：n为正整数，关于x的方程的一个解是， 即方程的一个解是， 则， 得或， 解得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期八年级第四次月考数学试卷 一．选择题（每小题3分，满分18分） 1. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多项式：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式因式分解的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 如图，是某平板电脑支架，其中，，为了使用的舒适性，可调整的大小，若增大．则的变化情况是（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 5. 若是完全平方式，则m的值为（ ） A. 4 B. 1 C. 4或 D. 1或 6. 若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ） A. B. 0 C. 3 D. 二．填空题（每小题3分，满分18分） 7. 若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围为________． 8. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_____． 9. 如图，于点B，于点D，．若添加一个条件可使用“”判定，则添加的条件为______． 10. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为______°． 11. 若，则的结果是______． 12. 学校倡导全校师生开展“全科阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读__________页． 三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分） 13. （1）因式分解：； （2）解方程：． 14. 如图，在和中，点B、D、C在一条直线上，，，，．求证：点D是的中点． 15. 先化简，再求值：，其中， 16. 在平面直角坐标系中，已知点、、． （1）画出关于y轴的对称图形； （2）请在x轴上找一点P，使得的值最小，并直接写出点P的坐标．（不写做法，保留作图痕迹） 17. 计算： （1）； （2）． 四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 18. 某大型种植园在枇杷采摘季应用无人机运输枇杷．已知一架无人机每小时运输枇杷的重量是一个人工每小时挑担的4倍，且一架无人机运输3200斤枇杷的时间比一个人工挑担1200斤的时间少1小时（休息时间、换电池等时间不计入在内）． （1）求一架无人机每小时运输枇杷的重量和一个人工每小时挑担枇杷的重量； （2）为满足批发商的要求，种植园需在2小时内运输11300斤枇杷，现有2架无人机可用，若每个人工的工作效率相同，则至少还需要几个人工参与挑担？ 19. 如图，在中，，点D在边上（点D不与点B、点C重合），作，交边于点E． （1）求证：； （2）若，求证：． 20. 定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）的值为 ； （2）若，求的值； 五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分） 21. 先阅读，然后解决问题： 若，求和的值． 解：等式可变形为：， 即， 因为，， 所以，， 即，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请利用配方法，解决下列问题： （1）若△的三边长，，都是正整数，且满足，，则△的周长是______； （2）求代数式的最小值，并指出此时，满足的数量关系； （3）试比较多项式与的大小． 22. 在中，，，点D为直线上的一个动点（点D不与点B、C重合），以为边作，，，连接． （1）发现问题：如图①，当点D在边上时， ①请判断和之间的数量关系为 ，位置关系为 ；并完成证明； ②请直接写出三者之间的数量关系 ； （2）尝试探究：如图②，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由． 六．解答题（满分12分） 23. 下列一组方程：①；②；③；…… 小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，解答过程如下： 由①，得或； 由②，得或； 由③，得或． （1）请写出第4个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解． （2）若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解． （3）若n为正整数，关于x的方程的一个解是，求n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $