学易金卷：八年级数学上学期9月学情自测卷（江西专用，范围：北师大版八上第一～二章）

**基本信息** 立足北师大版八年级上册前两章，以赵爽弦图、投壶游戏等文化与生活情境为载体，通过选择、填空、解答题的梯度设计，考查勾股定理、实数等核心知识，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|勾股数、无理数判断|第6题结合ICME-14会标（赵爽弦图）考查几何直观| |填空题|6/18|三角形面积、二次根式化简|第12题折叠动态问题培养推理意识| |解答题|11/84|勾股定理应用、数形结合|第22题构造图形求最值发展模型意识|

11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7._________________________ 8._________________________ 9._________________________ 10._________________________ 11._________________________ 12._________________________ 三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 13.（6分） 14.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（6分） 16．（6分） 17．（6分） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8分） 20．（8分） 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（9分） 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级上册第一~二章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．在数0、、2025、、、（相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数有（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 5．文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入为时，输出的是（     ） A． B． C．3 D． 6．第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7．计算：_____________． 8．如图，在中，，，，则的面积是___________． 9．把中根号外的移入根号内得________． 10．如图，直角三角形两直角边长分别为5和12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为________． 11．对于任意两个正数、，新定义一种运算“”如下，，则_____． 12．如图，在直角三角形纸片中，，，，点在边上，以为折痕，将折叠得到，与边相交于点．若 为直角三角形， 则的长是_______ 三、解答题：本题共11小题，共84分。其中：13-17每题6分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23题12分。 13．解答下列各题 (1)计算：； (2)如图，在中，，点是延长线上的点，连接．若，，，求的长． 14．若是的三边长，且满足． (1)求的值； (2)是直角三角形吗？请说明理由． 15．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，画线段，使，且点在格点上； (2)在图②中，画等腰三角形，点、在格点上，且三边长均为无理数． 16．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为_________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 17．已知一个正数x的两个不同平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求的立方根． 18．如图，教室地面放着一个课桌，桌面与地面平行，点到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．图1中，一扫帚的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． (1)求课桌的高度； (2)在图2中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点重合，另一端挂在墙上的点处．若，彩带比桌宽长，求桌宽的长度． 19．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将变成，即变成，从而使得得以化简． 例如： (1)请仿照上例化简：= ， ． (2)请运用上述方法化简．（写出计算过程） (3)若，且、、均为整数，求的值． 20．已知，求的值，小明是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以 ，即， 所以， 所以 ． 请你根据小明的分析过程，解决下列问题： (1)化简：__________； (2)计算：； (3)若，求 的值． 21．在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 22．著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 23．在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[][][/] 一、 单项选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 3.[A][B][CI[D] 5.[A][B][C][D] 2.A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10. 11. 12 三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 13.(6分) 14.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(6分) A 图① 图② 16.(6分) 17.(6分) 18.(8分) 不 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 20.(8分) 21.(9分) a 6 B C B D 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(9分) 3-X RX P Bx P 23.(12分) E A G D B C B 图① 图② 图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 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11．对于任意两个正数、，新定义一种运算“”如下，，则_____． 12．如图，在直角三角形纸片中，，，，点在边上，以为折痕，将折叠得到，与边相交于点．若 为直角三角形， 则的长是_______ 三、解答题：本题共11小题，共84分。其中：13-17每题6分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23题12分。 13．解答下列各题 (1)计算：； (2)如图，在中，，点是延长线上的点，连接．若，，，求的长． 14．若是的三边长，且满足． (1)求的值； (2)是直角三角形吗？请说明理由． 15．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，画线段，使，且点在格点上； (2)在图②中，画等腰三角形，点、在格点上，且三边长均为无理数． 16．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为_________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 17．已知一个正数x的两个不同平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求的立方根． 18．如图，教室地面放着一个课桌，桌面与地面平行，点到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．图1中，一扫帚的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． (1)求课桌的高度； (2)在图2中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点重合，另一端挂在墙上的点处．若，彩带比桌宽长，求桌宽的长度． 19．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将变成，即变成，从而使得得以化简． 例如： (1)请仿照上例化简：= ， ． (2)请运用上述方法化简．（写出计算过程） (3)若，且、、均为整数，求的值． 20．已知，求的值，小明是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以 ，即， 所以， 所以 ． 请你根据小明的分析过程，解决下列问题： (1)化简：__________； (2)计算：； (3)若，求 的值． 21．在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 22．著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 23．在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级上册第一~二章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 【答案】C 【分析】四个选项中的数均为正整数，只需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方. 【详解】解：A. ，不是勾股数. B. ，不是勾股数. C. ，是勾股数. D. ，不是勾股数. 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘法、减法、加法、除法法则逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，该选项计算正确，符合题意； B、和不能直接合并，该选项计算错误，不符合题意； C、和不能直接合并，该选项计算错误，不符合题意； D、，该选项计算错误，不符合题意． 3．在数0、、2025、、、（相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数有（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数，据此逐项判断即可解答． 【详解】解：0是整数，属于有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； 2025是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； ，仍含开方开不尽的部分，属于无理数； （相邻两个2之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数； 所以，无理数共4个． 4．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为， 最小长度为， 故箭在投壶外面部分的长度可能是， 故选：D． 5．文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入为时，输出的是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：根据题意：有理数不输出，有理数不输出，为无理数，输出， 所以输出的是． 6．第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知：正方形的面积为． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7．计算：_____________． 【答案】 【详解】∵ ，且为非负数， ∴ ． 8．如图，在中，，，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理判断 为直角三角形，再利用直角三角形面积公式求解即可． 【详解】解：，，， ，， ， 是直角三角形，且 ， ． 9．把中根号外的移入根号内得________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断的符号，再将根号外的因式移入根号化简，注意保留符号． 【详解】解：∵ 二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0， ∴， ∴，即， ∴原式 ． 10．如图，直角三角形两直角边长分别为5和12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为________． 【答案】30 【分析】由图形的构成可得图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为以为直径的半圆面积加上以为直径的半圆面积加上的面积，再减去以为直径的半圆面积． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， ∴图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和 ． 11．对于任意两个正数、，新定义一种运算“”如下，，则_____． 【答案】 【详解】解：∵新运算定义为，本题中，， ∴． 12．如图，在直角三角形纸片中，，，，点在边上，以为折痕，将折叠得到，与边相交于点．若 为直角三角形， 则的长是_______ 【答案】2或5 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，根据题意和勾股定理得，以为折痕，将折叠得到，则，，分情况讨论问题：当时，过点作，垂足为F，设，则，，在中，由勾股定理得，，即可得，进行计算即可得，当时，点C与点E重合，根据，得，设，则，在中，根据勾股定理得，，可得，进行计算可得，即可得；掌握翻折的性质，勾股定理，能考虑到分情况讨论问题是解题的关键． 【详解】解：在中，，，，根据勾股定理得， ， ∵以为折痕，将折叠得到， ∴，， 如图1所示，当时，过点作，垂足为F， 设，则，， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ∴， 如图2所示，当时，点C与点E重合， ∵，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ∴， 综上，的长为2或5， 故答案为：2或5． 三、解答题：本题共11小题，共84分。其中：13-17每题6分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23题12分。 13．解答下列各题 (1)计算：； (2)如图，在中，，点是延长线上的点，连接．若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简根式，再利用二次根式乘除法则计算，最后合并同类二次根式； （2）由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：（1）原式． （2）∵， 在中，， 在中，， ∴． 14．若是的三边长，且满足． (1)求的值； (2)是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)是直角三角形． 【分析】根据“几个非负数的和为，则每个非负数都为”求出的值； 计算两条较短边的平方和，验证是否等于最长边的平方，即可判断是否为直角三角形． 【详解】（1）解：∵且，，， ∴，，， 解得，，； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，，其中是最长边， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 15．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，画线段，使，且点在格点上； (2)在图②中，画等腰三角形，点、在格点上，且三边长均为无理数． 【答案】(1)如图所示： (2) 如图所示： 【分析】（1）选取矩形网格的对角线即可； （2）结合（1）中得到的边，选取矩形网格的对角线、小正方形对角线即可． 【详解】（1）解：如图所示： ，点即为所求； （2）解：如图所示： 由①知，同样可得，， ，且三边长均为无理数，等腰即为所求． 16．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为_________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴以及实数的运算，熟练掌握相关内容是解题的关键； （1）起始位置的数加上移动的单位长度就是m的值； （2）根据题意列出式子求得的值，即可求得的平方根． 【详解】（1）解：起始位置为，向右移动2个单位长度 ∴． （2）解：与互为相反数， ． ，， ，， ，， ， 的平方根为． 17．已知一个正数x的两个不同平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求的立方根． 【答案】(1)9 (2)1 【分析】（1）根据平方根的性质得，即可求出a的值，从而求出x的值； （2）先根据算术平方根、立方根的定义求出b、c的值，再计算，最后根据立方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 则， 所以； （2）解：由（1）知，， 所以，， 因为16的算术平方根是4，27的立方根是3，b为的算术平方根，c为的立方根， 所以，， 所以， 因为1的立方根是1， 所以的立方根为1． 18．如图，教室地面放着一个课桌，桌面与地面平行，点到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．图1中，一扫帚的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． (1)求课桌的高度； (2)在图2中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点重合，另一端挂在墙上的点处．若，彩带比桌宽长，求桌宽的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图①，过作垂直于墙面，垂足为点，然后利用勾股定理求解即可； （2）如图②，延长交墙面于点，则，设，则，，求出，然后利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图①，过作垂直于墙面，垂足为点， 由题意可知，， ∵桌面与地面平行， ∴， 在中，由勾股定理得， 答：课桌的高度为； （2）解：如图②，延长交墙面于点，则， 设，则，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， 答：桌宽的长度为． 19．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将变成，即变成，从而使得得以化简． 例如： (1)请仿照上例化简：= ， ． (2)请运用上述方法化简．（写出计算过程） (3)若，且、、均为整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)a的值为8或16． 【分析】（1）对于形如的式子，可尝试将拆分为两个数的和，且，则原式可化为． （2）对于形如的式子，可尝试将拆分为两个数的和，且，则原式可化为． （3）将等式右边展开，根据对应项系数相等，结合、为整数的条件，求出、的值，进而求出的值． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ； （3）解：∵，， ， ∵、均为整数，且， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴或． 20．已知，求的值，小明是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以 ，即， 所以， 所以 ． 请你根据小明的分析过程，解决下列问题： (1)化简：__________； (2)计算：； (3)若，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接分母有理化即可得到答案； （2）可求出（n为正整数），据此把所求式子的每一项分母有理化，再计算即可； （3）分母有理化得到，则，进而得到，再利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：设n为正整数， 则， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 21．在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2)13 (3)元 【分析】（1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为，联立等式即可求解； （2）由，根据勾股定理得，代入已知条件可得，进而求解； （3）根据题意可得，设米，则米，根据勾股定理可得，由此列方程解得米，进而求出米，最后计算学校修建这道栅栏需要的投资. 【详解】（1）略 （2）解：∵是直角三角形，． ∴， 又∵的长比的长大1， ∴， ∴， 解得． （3）解：根据题意可得， 设米，则米， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴米， ∴（米）， 学校修建这道栅栏需要投资：（元）． 答：学校修建这道栅栏需要投资600元． 22．著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【答案】(1)10 (2)①；② 【分析】本题考查了勾股定理的应用、三角形三边关系、将军饮马模型以及数形结合思想，解题的关键是根据代数式的几何意义构造直角三角形，将代数问题转化为几何最值或求解问题。 （1）构造以、和、为直角边的两个直角三角形，拼接成共边线段长为的图形，过其中一个直角三角形的顶点作平行线构造新的直角三角形，利用勾股定理计算出共线时的线段长度，即为代数式的最小值； （2）①构造以为公共直角边，斜边分别为、的两个直角三角形，结合已知等式判断出大三角形为直角三角形，利用面积法或两边平方的代数方法求解的值； ②构造两个直角三角形表示出代数式中的两个根式，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，确定三点共线时差值取得最大值，再构造直角三角形用勾股定理计算该最大值。 【详解】（1）如图（1），作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为10． （2）解：①如图（2），作与，且使，，， 则，，， 在中，，即为直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ②如图（3），作与，使，，， 则， 过点作于，连接，则，，，， 在中，由三边关系得：， 如图（4），当、、三点共线时，有最大值为． 【点睛】 23．在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，最大值为 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质与判定； （1）设，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示；此时最小；当折痕所在直线经过点时，如图2所示：此时最大，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； （2）解：设， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ． （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点时，如图2所示： 此时最大，， 由勾股定理得：； 综上所述，的最小值为，最大值为． / 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A c D A D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7.4 82v3 9.-v1-a 10.30 1.25 12.2或5 三、解答题：本题共11小题，共84分。其中：13-17每题6分，18-20题每题8分，21-22题每题9分，23 题12分。 13. 【详解】解：(4)原式35+2x 62=5+-5=2+2 .3分 (2):∠ABC=90° 在Rt△ABC中，BC=VAC2-AB2=5 在R1△ABD中，BD=VAD2-AB=9, .CD=BD-BC=4.6分 14. 【详解】4)解：：a-2+b-7+3=0且a-2≥0，b-万≥0，-3≥0， :a-2=0.b-万=0c-3=0 1/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得a=V2,b=V7c=3 :3分 (2)解：△ABC是直角三角形，理由如下： a=5,b=V万，c=3,其中是最长边 :a2+=(2+7j=2+7=9,c2=3=9, a2+b2=c2, .△ABC是直角三角形.6分 15.(1)如图所示： .3分 图① (2) 如图所示： 6分 图② 16. 【详解】①解：起始位置为V5 向右移动2个单位长度 :m=2-V2 2分 (②解：~2c+d与+4互为相反数， ∴.2c+d+Vd+4=0 2/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :|2c+d≥0√d+4≥0 .2c+d=0.d+4=0. .d=-4,c=2, .3c-2d=14. .3c-2d 的平方根为 14 .6分 17. 【详解】(1)解：根据题意得a+1+2a-7=0, 解得a=2, 则a+1=2+1=3, 所以x=32=9:3分 (2)解：由(1)知x=9,a=2, 所以x+7=9+7=16,a+25=2+25=27, 因为16的算术平方根是4,27的立方根是3，b为x+7的算术平方根，c为a+25的立方根， 所以b=4,c=3, 所以b-c=4-3=1, 因为1的立方根是1， 所以b-C的立方根为1.6分 18. 【详解】(1)解：如图①，过A作AM垂直于墙面，垂足为点M, M-- 图1 由题意可知，AM=60cm, 桌面AB与地面平行， ∴.AM⊥OM, 在RaO4M中，由勾股定理得OM=VA0-AMW=V00°-60=80cm. 3/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 答：课桌的高度为80cm;.4分 (2)解：如图②，延长BA交墙面于点N,则∠BNC=90°， W 图2 设1B=cm,则CB=(x+140)cm,BN=(c+60)cm .0C=240cm,ON=80cm, ,CN=240-80=160(cm) 在RtABCN中，由勾股定理得：BN2+CN2=BC2, :(x+60)+1602=(c+140y 解得x=60】 答：桌宽AB的长度为60cm.8分 19. 【详解】(1)解： 12+2V35 =7+5+2W7×5 =(万+(5+2W7.5 =(万+5」 9+45 =9+2√20 4/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =5+4+2W5×4 =(5+(N4+254 =(5+2:2分 (2)解：V1-230=V6+5-2V6x5 =6+(5-2w65 -6-5 =6-5 ;5分 (3)解：：(m+=m+n+2m,a+2i5-(m+. ∴.m+n=a,mn=15 ,m、n均为整数，且15=1×15=3×5， .当m=1,n=15时，a=1+15=16, 当m=15,n=1时，a=15+1=16, 当m=3,n=5时，a=3+5=8,, 当m=5,n=3时，a=5+3=8, .a=8或16.8分 20. 1 5=1-5-1,2分 【详解】(1)解：V2+1(V2+1×(2-12-1 (2)解：设n为正整数， 1 √n+l-√n Vn+i-yn=n+i-n 则n+1+n(m+1+n)n+1-m分n+1-n 1 1 1 .V2+13+√2√4+√3√2027+√2026 5/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =√2-1+V3-√2+4-√3++√2027-√2026 =V2027-1 ;5分 1 3-2V2 3-22=3-22 (3)解：：0=3+2W23+2W2)×3-29-8 a-3=-2W2, :a-3-(22,d-6a+9=8. ∴.a2-6a=-1, :3a2-l18a+1=3(a2-6a）1=3x(-1)+1=-2.…8分 21. 【详解】()证明：：大的正方形的面积可以表示为(a+b,又可以表示为c+4×b, :(a+b}=c2+4x)b 2 .a2+b2+2ab=c2+2ab, a2+b2=c2.3分 (2)解：△ABC是直角三角形，∠C=90°. .AC2+BC2=AB2, 又，AB的长比AC的长大1， .AC=AB-1, :1B=53+(AB-1护 解得AB=13.6分 (3)解：根据题意可得AD⊥BC, 设BD=x米，则CD=(4-米， 在Rt△ABD中，AD2+BD=AB2, 6/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在Rt△ACD中，AD+CD=AC2, :4D=AB-BD2=AC2-CD2132-=152-14- ,则 解得x=5, .BD=5米， :4D=VA8-D=i3-=2c米)， 学校修建这道栅栏需要投资：50×12=600（元）. 答：学校修建这道栅栏需要投资600元.9分 22 【详解】(I)如图(1)，作RtABP与Rt△CDP, 8 分 3 ~、E8-x x P 图(I) 且使BP=x,DP=8-x,BD=8,AB=3,CD=3, 则AP=V2+9,CP=V8-x}+9, 连接AC交BD于点E,则AC=V2+9+V8-x}+9 过A作AF∥BD交CD延长线于F,则AF=BD=8,DF=AB=3,CF=DF+CD=6, 在Rt△ACF中，AC=VCF2+AF=VG+8=10 故+9+8-+9的最小值为10.3分 (2)解：①如图(2)，作Rt△ABC与RtADBC,且使AC=6,CD=8,BC=x, 6 B10 图(2) 7/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则4B=V6-F,BD=V⑧-，4D=AB+BD=V36-F+V64-F=10 1x6×8 6MCD4D=4C+0D=G+8=10即MC0为直角角，Ct=2 -=4.8 在中， 3*10 1 V36-x2+V64-x=10 :V56-=10-v64-7 :.36-r=100-2064-2+64-2 ÷20W64-2=128 V64-=6,4 .64-x2=40.96, .x2=23.04, x>0, .x=4.86分 ②如图(3)，作Rt△ABC与Rt△ADE,使AC=AD+CD=x+4,BC=4,ED=L, 图(3) 则4B-AE=x+4}+16-Vx2+1 过点E作EF⊥BC于F,连接BE,则EF=CD=4,CF=DE=1,BF=3,BE=V32+4=5, 在△ABE中，由三边关系得：AB-AE<BE, 如图（④，当A、E、B三点共线时，AB-AE=x+4+16-VP+1有最大值为BE=5. 8/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 4 E 9分 y D 图(4) 23 【详解】(1)解：设BN=NE=a,NC=16-a,AC=VAB2+BC=20 EC=AC-AE=AC-AB=20-12=8 在RaEC中，由勾股定理得：a+8=(16-a 解得：a=6, BN=6;4分 (2)解：设BM=x, G D B C 由折叠的性质得：∠E=∠B=90°=∠A, 在△GAM和△GEF中， ∠A=∠E GM=GF ∠AGM=∠EGF' ∴.AGAM≌AGEF(ASA) ..AG=GE, .AF=ME=BM=x,EF AM=12-x, ∴DF=16-xCF=16-(12-x)=x+4 在RtDFC中，由勾股定理得： (x+4)2=(16-x)2+122 9/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 48 解得：x=5’ 48 .BM=5·…8分 (3)当折痕所在直线经过点A时，如图1所示： E D 图1 此时DE最小=AD-AB=16-12=4: 当折痕所在直线经过点C时，如图2所示： E 图2 此时DE最大，CE=CB=16, 由勾股定理得： DE=V162-122=4v7 v万 综上所述，DE的最小值为4，最大值为 .12分 10110