专题36 坐标平面内图形的平移（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以“点动-形动-应用”为主线，系统构建平移方法体系，通过8类题型递进训练，强化几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点的x轴平移|1典3变|左减右加横坐标，纵坐标不变|从单一方向平移到坐标变换规律| |点的y轴平移|1典3变|上加下减纵坐标，横坐标不变|与x轴平移形成正交坐标系认知| |平移方式确定坐标|1典3变|横纵分步平移，叠加坐标变化|综合应用单方向平移规则| |判断平移方式|1典3变|算坐标差定方向，绝对值定距离|逆向思维训练，巩固变换本质| |图形平移求坐标|1典3变|“左减右加，上加下减”公式法|从点到图形的平移一致性迁移| |扫过面积计算|1典3变|原图形+平移路径平行四边形|空间想象与面积分割推理| |中点坐标|1典3变|中点坐标公式（平均横纵）|平移与中点性质的综合应用| |新定义|1典3变|定义转化→代点验证→规则应用|创新情境下的知识迁移能力|

专题36 坐标平面内图形的平移 （题型突破·举一反三） 题型01 点的左右（沿x轴）移动 题型02 点的上下（沿y轴）移动 题型03 由平移方式确定点的坐标 题型04 判断平移的方式 题型05 已知图形的平移，求点的坐标 题型06 平移过程中扫过的图形的面积 题型07 中点坐标 题型08 新定义 ▌题型01 点的左右（沿x轴）移动 当图形中所有的点的横坐标都加上或者减去同一个正数，纵坐标不变时，图形会水平向右或向左平移个单位；在平面直角坐标系中，将点向右（或向左）平移个单位长度，可以得到对应点的坐标为或. 【典例1】（2025秋•博山区期末）在平面直角坐标系中，将点（1，2）向右平移3个单位长度，所得点的坐标是（　　） A．（4，2） B．（4，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，5） 【变式1-1】（2026春•高明区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（5，﹣6）向左平移3个单位得到点A′，则点A′的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣6） B．（8，﹣6） C．（2，﹣6） D．（﹣8，﹣6） 【变式1-2】（2026春•平邑县期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，1），将点A的坐标向右平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标为（　　） A．（3，﹣1） B．（3，3） C．（1，1） D．（5，1） 【变式1-3】（2026春•宝山区校级期中）若将点A（1，3）向左平移2个单位得到点B，则点B的坐标为（　　） A．（3，3） B．（﹣1，3） C．（1，1） D．（1，5） ▌题型02 点的上下（沿y轴）平移 当图形中所有的点的纵坐标都加上或者减去同一个正数，横坐标不变时，图形会水平向上或向下平移个单位；在平面直角坐标系中，将点向上（或向下）平移个单位长度，可以得到对应点的坐标为或. 【典例1】（2026春•锦江区校级月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），将点A向上平移3个单位长度后得到A′，则点A′的坐标是（　　） A．（﹣2，2） B．（1，5） C．（1，﹣1） D．（4，2） 【变式1-1】（2026•双流区校级模拟）在平面直角坐标系中，将点P（﹣1，2）向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（　　） A．（﹣1，0） B．（﹣1，4） C．（﹣3，2） D．（1，2） 【变式1-2】（2026•集美区三模）若点A（3，﹣2）向上平移1个单位长度得到点B，则点B的坐标为（　　） A．（3，﹣1） B．（3，﹣3） C．（4，﹣2） D．（4，﹣1） 【变式1-3】（2026•霸州市二模）嘉嘉和淇淇在平面直角坐标系上玩跳棋游戏，他们先将一颗棋子放在整点（x，y）处（横、纵坐标都为整数的点叫做整点），石头剪刀布定输赢后按以下规则移动此棋子：若嘉嘉赢，则将棋子左移两个单位，下移一个单位到（x﹣2，y﹣1）；若淇淇赢，则将棋子左移一个单位，下移两个单位到（x﹣1，y﹣2）；若平局，则将棋子下移三个单位到（x，y﹣3）．若棋子的初始位置为原点，则在他们移动棋子5次的过程（含第5次）中，棋子可能到达的位置有（　　） A．35个 B．24个 C．18个 D．11个 ▌题型03 由平移方式确定点的坐标 1. 当图形中所有的点的横坐标都加上或者减去同一个正数，纵坐标不变时，图形会水平向右或向左平移个单位；在平面直角坐标系中，将点向右（或向左）平移个单位长度，可以得到对应点的坐标为或. 2. 当图形中所有的点的纵坐标都加上或者减去同一个正数，横坐标不变时，图形会水平向上或向下平移个单位；在平面直角坐标系中，将点向上（或向下）平移个单位长度，可以得到对应点的坐标为或. 【典例1】（2026春•永寿县校级期末）将点P（﹣6，﹣9）向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到P′，则P′坐标为（　　） A．（﹣6，﹣8） B．（﹣6，﹣11） C．（﹣5，﹣9） D．（﹣5，﹣11） 【变式1-1】（2026春•当阳市校级期中）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣4）向左平移4个单位长度，向上平移6个单位长度后对应点B，则点B在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】（2026春•青岛校级期中）在平面直角坐标系中，将点P（2，﹣3）向上平移6个单位长度，向左平移3个单位长度得到点P′，则点P′的坐标是（　　） A．（﹣1，3） B．（﹣1，﹣9） C．（5，3） D．（5，﹣9） 【变式1-3】（2026春•渭滨区期末）在平面直角坐标系中，将点A（2，﹣1）先向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，则点B的坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（5，2） C．（﹣1，﹣4） D．（5，﹣4） ▌题型04 判断平移的方式 1. 已知原来的点、平移后的点，判断平移方式 （1）算横坐标差：； 若，向右平移个单位； 若，向左平移个单位； （2）算纵坐标差：； 若，向上平移个单位； 若，向下平移个单位。 2. 整个图形平移 图形平移，所有点平移方式完全相同。 只需要任选一组对应顶点，算出平移方式，就是整个图形的平移方式。 【典例1】（2026春•兰陵县月考）将某图形的各顶点的横坐标都保持不变，纵坐标都加3，则该图形（　　） A．沿x轴向右平移3个单位 B．沿x轴向左平移3个单位 C．沿y轴向上平移3个单位 D．沿y轴向下平移3个单位 【变式1-1】（2026春•玉树市期末）在平面直角坐标系中，点M（1，1）平移后的坐标为（1，0），则点M平移的方向为（　　） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【变式1-2】（2026春•永定区期中）在平面直角坐标系中，将点P（3，2）平移到点（﹣3，2）处，则下列方法正确的是（　　） A．向右平移6个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移4个单位长度 【变式1-3】（2026春•河北区期末）在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为A（﹣3，0），B（0，﹣1），将线段AB的端点A，B的横坐标都加上1，纵坐标都减2，得到线段A1B1，则线段AB到线段A1B1的平移方式为（　　） A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 ▌题型05 已知图形的平移，求点的坐标 1. 核心公式 点平移：左减右加，上加下减 2. 解题步骤 （1）找出平移：左/右多少，上/下多少（或算出，）； （2）横坐标：左右动，左减右加； （3） 纵坐标：上下动，上加下减； （4） 写出新坐标。 【典例1】（2026春•青羊区校级期中）如图，△OAB一边落在x轴上，将△OAB向右平移得到△CDE，已知A点坐标为，点D坐标为，则点C的坐标为（　　） A．（2，0） B．（3，0） C．（4，0） D．（5，0） 【变式1-1】（2026春•深圳期末）△DEF是由△ABC平移得到的，点A（﹣1，﹣4）的对应点为D（1，﹣1），点B（1，1）的对应点E、点C（﹣1，4）的对应点F．则E、F的坐标分别为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026春•临渭区期末）如图，平面直角坐标系中，线段AB的两端点坐标分别为（0，2），（﹣2，0），现将该线段沿x轴向右平移，使得点B与原点重合，得到线段CO，则点C的坐标是（　　） A．（2，0） B．（2，2） C． D．（，2） 【变式1-3】（2025秋•东台市期末）三角形ABC和三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出下列各点的坐标：A′　 　 ，B′　 　 ． （2）三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到？ （3）若点P′（x，y）是三角形A′B′C′内部一点，则三角形ABC内部的对应点P的坐标是　 　 ． ▌题型06 平移过程中扫过的图形的面积 平移过程中扫过的面积：原图 + 平移经过区域，是组合图形。 1. 核心原理 图形平移，扫过的区域 = 原图形 + 平移路径形成的带状区域 多边形平移扫过，一般是：原图形 + 平行四边形（矩形） 注意：不是只算移动出来的长条，要包含原来位置的图形。 2. 常见图形 （1） 线段平移扫过面积，等于平行四边形的面积； （2） 三角形平移扫过面积， 等于原来的三角形 + 一个平行四边形； 3. 解题步骤 （1） 画出草图：画出初始位置、结束位置； （2） 用阴影描出完整扫过区域； （3） 判断扫过是什么图形： - 线段：平行四边形 - 多边形：原图形 + 平移拉出的平行四边形 （4）分割计算面积，不要漏掉原始图形。 【典例1】（2026春•即墨区期末）如图，点A、B的坐标分别是（﹣6，3）、（﹣2，﹣3），如果将线段AB平移至A1B1的位置，A1与B1坐标分别是（a，9）和（6，b），那么线段AB在平移过程中扫过的图形面积为（　　） A．48 B．64 C．72 D．108 【变式1-1】（2026春•杨浦区期中）如图，点A、B的坐标分别是（﹣4，1），（﹣1，﹣3），若将线段AB平移至A1B1的位置，A1与B1坐标分别是（m，5）和（4，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为　 　 ． 【变式1-2】（2026春•赫山区期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（﹣1，1）．将三角形ABC平移，使点B与点O重合，得到三角形A′OC′，其中A，C的对应点分别为A′，C′． （1）画出三角形A′OC′； （2）在三角形ABC中，点P（a，b）经过平移后的对应点为P′，P′的坐标为　 　 ； （3）求在平移过程中，线段AC扫过的图形的面积． 【变式1-3】（2026春•临夏州期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别是A（0，0），B（7，1），C（4，5）． （1）如果将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A1B1C1，则点A1的坐标为　 　 ，点B1的坐标为　 　． （2）在（1）条件下，线段BC扫过的面积是多少？ ▌题型07 中点坐标 在平面直角坐标系中，已知点A（x1，y1），B（x2，y2），点C是线段AB的中点，则点C的坐标为。 【典例1】（2026春•宁江区校级期中）问题背景： 在平面直角坐标系中，已知点A（x1，y1），B（x2，y2），点C是线段AB的中点，则点C的坐标为．如：已知点A（﹣2，2）、B（﹣4，6），则线段AB的中点C（x，y）的坐标： x3．y4，故点C的坐标为（﹣3，4），解决问题： （1）已知点A（6，﹣2），B（﹣3，﹣3），则线段AB的中点的坐标是　 　 ． （2）若已知点M（﹣5，9），且线段MN的中点坐标为P（﹣1，5），求点N的坐标． （3）已知三点D（3，﹣2），E（﹣2，﹣3），F（1，2），若第四个点Q（x，y）与D，E、F中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，直接写出点Q的坐标． 【变式1-1】（2026春•武城县期末）在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为例如：点A（1，3），B（7，1），则线段AB的中点坐标为（4，2）．请利用以上结论解决问题： （1）若点A（2，2），B（﹣4，4），则以点A和点B为端点的线段的中点坐标为　 　． （2）已知点C（1，1），D（2，3），若D为线段CE的中点，求点E的坐标． （3）已知点G和点M的坐标分别为（﹣1，6），（3，8），线段GH与x轴平行，且GH＝6．若线段GH的中点与线段MN的中点在第一象限重合，直接写出点N的坐标． 【变式1-2】（2026春•瑞金市期中）问题背景： （1）平面直角坐标系中，已知点A（x1，y1），点B（x2，y2），点C是线段AB的中点，则点C的坐标为（，），如：A（﹣1，1），B（3，3），则AB的中点C的坐标为（，）即点C的坐标为（1，2）． 解决问题： （1）已知A（6，﹣2），B（﹣3，﹣3），求线段AB的中点M的坐标； （2）若点P（﹣3，7），线段PQ的中点坐标为（﹣1，5），求点Q的坐标； （3）已知三点E（4，﹣2），F（﹣3，﹣1），G（x，y），当任意一个点是其他两点连线的中点时，求点G的坐标． 【变式1-3】（2026春•东湖区校级期末）在平面直角坐标系中，已知点A（x1，y1），点B（x2，y2），C为线段AB的中点，则点C的坐标为，例如：A（﹣1，4），B（3，6），则线段AB的中点C的坐标为，即点C的坐标为（1，5）． （1）已知P（3，﹣1），Q（﹣3，﹣3），E为线段PQ的中点，则点E的坐标为　 　 ； （2）已知M（﹣2，8），F（﹣6，6），F为线段MN的中点，求点N坐标； （3）已知三点A（﹣2，4），B（4，2），点C在x轴上，点D在y轴上，若点A，B，C，D中的任意两点构成的线段的中点与另外两个点构成线段的中点重合，直接写出点C的坐标． ▌题型08 新定义 1.读定义：圈关键词，摘抄变换公式； 2.代点试验：拿一个已知点代入定义，演算一遍，读懂规则； 3.按定义运算：求坐标、画图、算扫过面积； 4.检验：对照定义回看结果，不要用课本平移硬套。 【典例1】（2026春•安丘市校级期末）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，已知点A（x1，y1），B（x2，y2），若点P（x3，y3）满足，则把点P（x3，y3）称作A（x1，y1），B（x2，y2）两点的“松雅点”：且把数值M＝x1x2+y1y2称作A（x1，y1），B（x2，y2）两点的“唯一值”．根据该约定，完成下列各题： （1）若点P（1，3）是，两点的“松雅点”，则t＝　 　 ，s＝　 　 ，A，B两点的“唯一值”M＝　 　 （将正确的答案填写在相应的横线上）； （2）已知点R（9，11），且点P是A（x+y，﹣2），B（4，x﹣y）两点的“松雅点”，先将点P向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点Q，若直线RQ与坐标系中其中一条坐标轴平行，A，B两点的“唯一值”M＝36，求点P的坐标； （3）已知点是A（m﹣n，2），B（1，2m+3n）两点的“松雅点”，M是A，B两点的“唯一值”，请用含有字母a的式子表示“唯一值”M． 【变式1-1】（2026春•青山区期末）对于平面直角坐标系中的图形M上的任意点P（x，y），给出如下定义：将点P（x，y）平移到P'（x+a，y﹣a）称为将点P进行“a型平移”，点P'称为将点P进行“a型平移”的对应点；将图形M上的所有点进行“a型平移”称为将图形M进行“a型平移”．例如，将点P（x，y）平移P'（x+1，y﹣1）称为将点P进行“1型平移”，将点Q（x，y）平移到Q'（x﹣1，y+1）称为将点Q进行“﹣1型平移”．已知点A（﹣1，4），B（2，3）． （1）画出线段AB进行“2型平移”后的对应线段A'B'，并直接写出A'，B'的坐标； （2）四边形ABB'A'的面积为 　 　 （平方单位）； （3）将线段AB进行“a型平移”后与x轴有公共点，直接写出a的取值范围 　 　 ； （4）将四边形ABB'A'进行“a型平移”后与坐标轴有公共点，请直接写出a的取值范围是 　 　 ． 【变式1-2】（2026春•潮阳区校级期中）背景材料： 学习了平面直角坐标系后，七年级“数学之星”小组成员联系数轴上求中点的办法，经探究发现如下规律：已知平面直角坐标系中，点A（x1，y1），B（x2，y2）那么线段AB的中点P（x0，y0）的坐标满足如下关系：，．并设计了一款“坐标编程”小游戏： 操作1（取中点）：输入两个点A，B，输出它们的中点，称为“中间节点”； 操作2（计算能量值）：输入两个点A（x1，y1），B（x2，y2），输出能量值T＝x1x2+y1y2．能量值越大，两点的“联动效果”越强，若能量值T＝0，称这两个点为“无联动点”． 解决问题： （1）若点是，的“中间节点”，则x＝　 　 ，y＝　 　 ； （2）已知点E（1，2），请写出3个与E构成“无联动点”的点F的坐标；并描述这类点的共同特征； 拓展探究： （3）已知点M（7，﹣6），点P是A（2x﹣y，﹣6），B（4，x+2y）两点的“中间节点”，先将点P向左平移2个单位，再向上平移5个单位得到点Q．若线段MQ与坐标轴平行，且MQ＝4，试确定A，B两点“联动效果”最强时的坐标． 【变式1-3】（2025秋•石景山区期末）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为单位1，网格线的交点为格点．直线l与水平网格线重合，点Q为网格中一点．直线l向上（m＞0）或向下（m＜0）平移|m|个单位得到直线l0，点Q向右（m＞0）或向左（m＜0）平移|m|个单位得到点Q1，点Q1关于直线l0的对称点记为Q2，则称点Q2是点Q的“m﹣关联点”． 例如，图中点P2是点P的“2﹣关联点”． 图中A，B，C，D，E，F，A1，A2，A3是格点． （1）图中，在点A1，A2，A3中，点　 　是点A的“1﹣关联点”； （2）点B是点A的“m﹣关联点”，则m＝　 　 ； （3）直线AB上有一点T，点T的“m﹣关联点”为T′．若T′在长方形CDEF上或其内部时，m的取值范围是　 　 ，此时点T与直线l的距离的最大值为　 　． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题36 坐标平面内图形的平移 （题型突破·举一反三） ▌题型01 点的左右（沿x轴）移动 【典例1】A． 【变式1-1】C． 【变式1-2】D． 【变式1-3】B． ▌题型02 点的上下（沿y轴）平移 【典例1】B． 【变式1-1】A． 【变式1-2】A． 【变式1-3】A． ▌题型03 由平移方式确定点的坐标 【典例1】D． 【变式1-1】B． 【变式1-2】A． 【变式1-3】A． ▌题型04 判断平移的方式 【典例1】C． 【变式1-1】B． 【变式1-2】C． 【变式1-3】D． ▌题型05 已知图形的平移，求点的坐标 【典例1】B． 【变式1-1】B． 【变式1-2】B． 【变式1-3】 【解答】解：（1）由图可得：A′（﹣3，1），B′（﹣2，﹣2）； 故答案为：（﹣3，1），（﹣2，﹣2）； （2）根据图可知：△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A′B′C′； （3）∵△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A′B′C′， 则△A′B′C′先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△ABC， ∴△ABC内部的对应点P的坐标是（x+4，y+2）． 故答案为：（x+4，y+2）． ▌题型06 平移过程中扫过的图形的面积 【典例1】C． 【变式1-1】32． 【变式1-2】 【解答】解：（1）如图所示， △A′OC′即为所求作的三角形． （2）由（1）知， 因为﹣4+4＝0，﹣1+1＝0， 所以向右平移了4个单位长度，向上平移了1个单位长度， 所以点P′的坐标为（a+4，b+1）． 故答案为：（a+4，b+1）． （3）由（1）中所画图形可知， 平移过程中，线段AC扫过的图形的面积为：3×59． 【变式1-3】 【解答】解：（1）如图所示： 点A（0，0）向上平移1个单位，再向右平移2个单位，纵坐标变为0+1＝1，横坐标变为0+2＝2，所以A1（2，1）； 点B（7，1）向上平移1个单位，再向右平移2个单位，纵坐标变为1+1＝2，横坐标变为7+2＝9，所以B1（9，2）， 故答案为：（2，1）（9，2）； （2）线段BC扫过的面积，即为平行四边形BCC1B1的面积 即：． ▌题型07 中点坐标 【典例1】 【解答】解：（1）线段AB的中点的坐标为，即． 故答案为：． （2）设点N（x，y），由条件可得： ， 解得， ∴点N（3，1）． （3）当点Q与点D的中点，点E与点F的中点重合时， 线段QD的中点为，线段EF的中点为， ∴， 解得， ∴点Q的坐标为（﹣4，1）； 当点Q与点E的中点，点D与点F的中点重合时， 线段QE的中点为，线段DF的中点为， ∴， 解得， ∴点Q的坐标为（6，3）； 线段QF的中点为，线段DE的中点为， ∴， 解得， ∴点Q的坐标为（0，﹣7）； 综上，点Q的坐标为（﹣4，1）或（6，3）或（0，﹣7）． 【变式1-1】 【解答】解：（1）∵（﹣1，3）A（2，2），B（﹣4，4）， ∴以点A和点B为端点的线段的中点坐标为，即（﹣1，3）， 故答案为：（﹣1，3）； （2）设点E的坐标为（m，n）， 由题意得，， 解得m＝3，n＝5， ∴点E的坐标为（3，5）； （3）∵点G（﹣1，6），线段GH与x轴平行，且GH＝6，GH的中点在第一象限， ∴点H在第一象限，且纵坐标为6， ∵﹣1+6＝5， ∴点H的坐标为（5，6）， ∴线段GH的中点坐标为（2，6）， ∴线段MN的中点坐标为（2，6）， ∵点M的坐标为（3，8）， ∴点N的坐标为（1，4）． 【变式1-2】 【解答】解：（1）由题知， 因为A（6，﹣2），B（﹣3，﹣3）， 则， 所以线段AB的中点M的坐标为（）； （2）设点Q的坐标（a，b）， 则， 解得a＝1，b＝3， 所以点Q的坐标（1，3）； （3）当点E是FG的中点时， ，， 解得x＝11，y＝﹣3， 此时G（11，﹣3）． 当点F是EG的中点时， ，， 解得x＝﹣10，y＝0， 此时G（﹣10，0）． 当点G是EF的中点时， ，， 解得x，y， 此时G（，）， 综上所述，点G的坐标为（11，﹣3），（﹣10，0）或（，）． 【变式1-3】 【解答】解：（1）因为P（3，﹣1），Q（﹣3，﹣3）， 则， 所以线段PQ的中点E的坐标为（0，﹣2）． 故答案为：（0，﹣2）； （2）因为M（﹣2，8），F（﹣6，6）且F为线段MN的中点， 则， 所以xN＝﹣10，yN＝4， 所以点N的坐标为（﹣10，4）； （3）由题知， 设C（x，0），D（0，y）， 当AD与BC中点重合时， ，， 解得x＝﹣6，y＝2， 故C（﹣6，0）； 当AC与BD中点重合时， ， 解得x＝6，y＝2， 故C（6，0）； 当AB与CD中点重合时，则 解得x＝2，y＝6， 故C（2，0）， 综上所述，点C的坐标为 （﹣6，0）或（6，0）或（2，0）． ▌题型08 新定义 【典例1】 【解答】解：（1）∵，， ∴A（﹣2，s），B（t，3）， ∵点P（1，3）是，两点的“松雅点”， ∴，， ∴t＝4；s＝3， ∴A（﹣2，3），B（4，3）， ∴M＝﹣2×4+3×3＝1． 故答案为：4；3；1； （2）设P（a，b）， ∵点P是A（x+y，﹣2），B（4，x﹣y）两点的“松雅点”， ∴， ∴， ∵先将点P向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点Q， ∴，即， 当RQ∥x轴时，， ∴x﹣y＝2， ∵A，B两点的“唯一值”M＝36， ∴4（x+y）﹣2（x﹣y）＝36， ∴x+3y＝18， 解，得， ∴点P的坐标是（7，0）； 当 RQ∥y轴时，同理可求点P的坐标是（6，﹣2）． 综上可知，点P的坐标是（7，0）或（6，﹣2）； （3）∵点是 A（m﹣n，2），B（1，2m+3n）两点的“松雅点”， ∴， ∴， ∴A（2a+1，2），B（1，9a﹣8）， ∴M＝2a+1+18a﹣16＝20a﹣15． 【变式1-1】 【解答】解：（1）如图，线段A′B′即为所求． （2）四边形ABB'A'的面积＝四边形BA′B′T底面积＝2×4﹣21×1﹣21×3＝4（平方单位）． 故答案为：4． （3）将线段AB进行“a型平移”后与x轴有公共点，直接写出a的取值范围3≤a≤4． 故答案为：3≤a≤4． （4）将四边形ABB'A'进行“a型平移”后与坐标轴有公共点， 点A向右平移4个单位，向下平移4个单位，点A落在x轴上， 点B′向左平移4个单位，向上平移4个单位落在y轴上， 故a的取值范围是﹣4≤a≤4． 【变式1-2】 【解答】解：（1）由题意可得：，， 解得：x＝7，． 故答案为：7，； （2）∵点E（1，2），设F（x，y）， 结合题意可得：T＝x1x2+y1y2＝x+2y＝0， ∴方程的三组解可以为：，，， ∴F（0，0）或F（2，﹣1）或F（﹣2，1），这类点的坐标（x，y）都满足关系式x+2y＝0． （3）由题意可得： ，T＝4（2x﹣y）﹣6（x+2y）＝2x﹣16y， ∴， 由题意可得： 即， ∵M（7，﹣6）， ∴当MQ∥x轴时， ∴，或， 解得：或， 当MQ∥y轴时，而， ∴，或， 解得：或， 当时，， 当时，， 当时，T＝2x﹣16y＝8+96＝104， 当时，， ∵104＜120＜184＜200， ∴2x﹣y＝14，x+2y＝﹣24， ∴A（14，﹣6），B（4，﹣24）． ∴A，B两点“联动效果”最强时的坐标为A（14，﹣6），B（4，﹣24）． 【变式1-3】 【解答】解：（1）根据题意，得到点A的“1﹣关联点”， 如图：先将直线l向上平移1个单位得到l0，点A向右平移一个单位得到A'， 再A'关于直线l0对称，图中A2与A'关于直线l0对称， 故答案为：A2； （2）点B是点A的“m﹣关联点”， 则直线l向上（m＞0）或向下（m＜0）平移|m|个单位得到直线l0， 点A向右（m＞0）或向左（m＜0）平移|m|个单位得到点A'，A'，B关于l0对称， ∴A'，B需纵向位置相同， ∴A需向左平移2个单位， ∴m＝﹣2，m＝﹣2时，如图，直线向下平移2个单位得到直线l0， 点A向左平移2个单位得到点A'，此时A'，B关于直线l0对称，符合题意， 故答案为：﹣2； （3）根据题意，作直线AB的“m﹣关联点”， 直线l向上（m＞0）或向下（m＜0）平移|m|个单位得到直线l0， 直线AB向右（m＞0）或向左（m＜0）平移|m|个单位得到直线l1， 直线l1关于直线l0对称得到直线l2，只需直线l2与长方形CDEF有交点即符合题意， 如图，m≤0时，直线l2与长方形CDEF无交点，不符合题意， m＞0时，如图，当F为T的“m﹣关联点”时， 设T'F与直线AB、l、l0分别交于点M、N、H， ∴TT'＝NH＝MT'＝m， 又∵T'、F关于l0对称， ∴T′H＝HF，即m+2+m＝4﹣m， 解得，此时点T与直线的距离为， 当D为T的“m﹣关联点”时， 由图可知，l向上平移2个单位得到l0，点A向右平移2个单位再关于l0对称后即为点D，所以此时m＝2，T与A重合，点T与直线的距离为1； 综上，m的取值范围是，点T与直线的距离的最大值为， 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题36 坐标平面内图形的平移 （题型突破·举一反三） 题型01 点的左右（沿x轴）移动 题型02 点的上下（沿y轴）移动 题型03 由平移方式确定点的坐标 题型04 判断平移的方式 题型05 已知图形的平移，求点的坐标 题型06 平移过程中扫过的图形的面积 题型07 中点坐标 题型08 新定义 ▌题型01 点的左右（沿x轴）移动 当图形中所有的点的横坐标都加上或者减去同一个正数，纵坐标不变时，图形会水平向右或向左平移个单位；在平面直角坐标系中，将点向右（或向左）平移个单位长度，可以得到对应点的坐标为或. 【典例1】（2025秋•博山区期末）在平面直角坐标系中，将点（1，2）向右平移3个单位长度，所得点的坐标是（　　） A．（4，2） B．（4，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，5） 【分析】根据平面直角坐标系中点平移的规律，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变，进行求解即可． 【解答】解：将点（1，2）向右平移3个单位长度，纵坐标保持2不变，横坐标变为1+3＝4， 因此，平移后的点坐标为（4，2）， 故选：A． 【变式1-1】（2026春•高明区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（5，﹣6）向左平移3个单位得到点A′，则点A′的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣6） B．（8，﹣6） C．（2，﹣6） D．（﹣8，﹣6） 【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可． 【解答】解：由题知， 点A（5，﹣6）向左平移3个单位得到点A′的坐标为（2，﹣6）． 故选：C． 【变式1-2】（2026春•平邑县期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，1），将点A的坐标向右平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标为（　　） A．（3，﹣1） B．（3，3） C．（1，1） D．（5，1） 【分析】根据点坐标的平移规律求解即可得． 【解答】解：将点A（3，1）向右平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标为（3+2，1），即为（5，1）， 故选：D． 【变式1-3】（2026春•宝山区校级期中）若将点A（1，3）向左平移2个单位得到点B，则点B的坐标为（　　） A．（3，3） B．（﹣1，3） C．（1，1） D．（1，5） 【分析】点A的横坐标减2即可得到平移后点的坐标． 【解答】解：将点A（1，3）向左平移2个单位得到点B，则点B的坐标为（1﹣2，3），即B（﹣1，3）． 故选：B． ▌题型02 点的上下（沿y轴）平移 当图形中所有的点的纵坐标都加上或者减去同一个正数，横坐标不变时，图形会水平向上或向下平移个单位；在平面直角坐标系中，将点向上（或向下）平移个单位长度，可以得到对应点的坐标为或. 【典例1】（2026春•锦江区校级月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），将点A向上平移3个单位长度后得到A′，则点A′的坐标是（　　） A．（﹣2，2） B．（1，5） C．（1，﹣1） D．（4，2） 【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为点A坐标为（1，2）， 所以将点A向上平移3个单位长度后得到A′的坐标是（1，5）． 故选：B． 【变式1-1】（2026•双流区校级模拟）在平面直角坐标系中，将点P（﹣1，2）向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（　　） A．（﹣1，0） B．（﹣1，4） C．（﹣3，2） D．（1，2） 【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可． 【解答】解：由题知， 将点P（﹣1，2）向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（﹣1，0）． 故选：A． 【变式1-2】（2026•集美区三模）若点A（3，﹣2）向上平移1个单位长度得到点B，则点B的坐标为（　　） A．（3，﹣1） B．（3，﹣3） C．（4，﹣2） D．（4，﹣1） 【分析】根据点的平移规律：左减右加，上加下减解答，即可判断． 【解答】解：点A（3，﹣2）向上平移1个单位长度得到点B，则点B的坐标为（3，﹣2+1），即（3，﹣1）． 故选：A． 【变式1-3】（2026•霸州市二模）嘉嘉和淇淇在平面直角坐标系上玩跳棋游戏，他们先将一颗棋子放在整点（x，y）处（横、纵坐标都为整数的点叫做整点），石头剪刀布定输赢后按以下规则移动此棋子：若嘉嘉赢，则将棋子左移两个单位，下移一个单位到（x﹣2，y﹣1）；若淇淇赢，则将棋子左移一个单位，下移两个单位到（x﹣1，y﹣2）；若平局，则将棋子下移三个单位到（x，y﹣3）．若棋子的初始位置为原点，则在他们移动棋子5次的过程（含第5次）中，棋子可能到达的位置有（　　） A．35个 B．24个 C．18个 D．11个 【分析】设移动k次（1≤k≤5，含第5次），嘉嘉赢a次，淇淇赢b次，平局c次，根据移动规则推导坐标关系，证明不同参数对应不同点，计算每一次移动的可能个数的总数和即可． 【解答】解：设移动次数为k，其中1≤k≤5，k为整数，设嘉嘉赢a次，淇淇赢b次，平局c次， 则a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c＝k， 根据移动规则，最终棋子纵坐标y＝﹣a﹣2b﹣3c，横坐标x＝﹣2a﹣b， ∵c＝k﹣a﹣b，代入y，得y＝﹣a﹣2b﹣3（k﹣a﹣b）＝﹣（3k﹣2a﹣b）＝（2a+b）﹣3k， 令s＝2a+b，得坐标为（﹣s，s﹣3k），0≤s≤2k， 若两个坐标相同，则由x相同得s相同，代入纵坐标关系得k相同， 因此不同的s，k对应不同的点， 对任意0≤s≤2k，都存在满足条件的a，b： 若s＞k，取a＝s﹣k，b＝k﹣a，满足a+b＝k，且0≤a≤k， 若s≤k，取a＝0，b＝s，满足a+b＝s≤k； 因此每个k对应2k+1个不同的点， ∴总和为3+5+7+9+11＝35． 故选：A． ▌题型03 由平移方式确定点的坐标 1. 当图形中所有的点的横坐标都加上或者减去同一个正数，纵坐标不变时，图形会水平向右或向左平移个单位；在平面直角坐标系中，将点向右（或向左）平移个单位长度，可以得到对应点的坐标为或. 2. 当图形中所有的点的纵坐标都加上或者减去同一个正数，横坐标不变时，图形会水平向上或向下平移个单位；在平面直角坐标系中，将点向上（或向下）平移个单位长度，可以得到对应点的坐标为或. 【典例1】（2026春•永寿县校级期末）将点P（﹣6，﹣9）向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到P′，则P′坐标为（　　） A．（﹣6，﹣8） B．（﹣6，﹣11） C．（﹣5，﹣9） D．（﹣5，﹣11） 【分析】利用点的平移规律进行计算即可． 【解答】解：点P（﹣6，﹣9）向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到P′，则P′坐标为（﹣6+1，﹣9﹣2）， 即（﹣5，﹣11）， 故选：D． 【变式1-1】（2026春•当阳市校级期中）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣4）向左平移4个单位长度，向上平移6个单位长度后对应点B，则点B在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据平移的性质可得点B的坐标为（﹣3，2），进而可得答案． 【解答】解：∵点P（1，﹣4）向左平移4个单位长度，向上平移6个单位长度后对应点B， ∴点B的坐标为（﹣3，2）， ∴点B在第二象限． 故选：B． 【变式1-2】（2026春•青岛校级期中）在平面直角坐标系中，将点P（2，﹣3）向上平移6个单位长度，向左平移3个单位长度得到点P′，则点P′的坐标是（　　） A．（﹣1，3） B．（﹣1，﹣9） C．（5，3） D．（5，﹣9） 【分析】根据点的平移规律即可得出结论． 【解答】解：∵将点P（2，﹣3）向上平移6个单位长度， ∴第一次平移后点的坐标为（2，﹣3+6）＝（2，3）， ∵再向左平移3个单位长度， ∴点P′的坐标为（2﹣3，3），即（﹣1，3）． 故选：A． 【变式1-3】（2026春•渭滨区期末）在平面直角坐标系中，将点A（2，﹣1）先向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，则点B的坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（5，2） C．（﹣1，﹣4） D．（5，﹣4） 【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为点A坐标为（2，﹣1）， 则向左平移3个单位长度后，所得点的坐标为（﹣1，﹣1）， 再向上平移3个单位长度后得到点B的坐标为（﹣1，2）． 故选：A． ▌题型04 判断平移的方式 1. 已知原来的点、平移后的点，判断平移方式 （1）算横坐标差：； 若，向右平移个单位； 若，向左平移个单位； （2）算纵坐标差：； 若，向上平移个单位； 若，向下平移个单位。 2. 整个图形平移 图形平移，所有点平移方式完全相同。 只需要任选一组对应顶点，算出平移方式，就是整个图形的平移方式。 【典例1】（2026春•兰陵县月考）将某图形的各顶点的横坐标都保持不变，纵坐标都加3，则该图形（　　） A．沿x轴向右平移3个单位 B．沿x轴向左平移3个单位 C．沿y轴向上平移3个单位 D．沿y轴向下平移3个单位 【分析】平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加，据此求解即可． 【解答】解：将某图形的各顶点的横坐标都减去3，纵坐标保持不变，即为将该图形沿y轴向上平移3个单位， 故选：C． 【变式1-1】（2026春•玉树市期末）在平面直角坐标系中，点M（1，1）平移后的坐标为（1，0），则点M平移的方向为（　　） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【分析】平移后坐标为（1，0），横坐标不变，纵坐标减小1，则点M的平移方向为向下． 【解答】解：∵平移后横坐标不变，纵坐标减小1， ∴点M的平移方向为向下． 故选：B． 【变式1-2】（2026春•永定区期中）在平面直角坐标系中，将点P（3，2）平移到点（﹣3，2）处，则下列方法正确的是（　　） A．向右平移6个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移4个单位长度 【分析】根据“左减右加、上加下减”的平移规律，结合平移前后点的坐标变化确定平移方向与距离． 【解答】解：∵将点P（3，2）平移到点（﹣3，2）处， ∴根据平移规律，点P需向左平移6个单位长度， 故选：C． 【变式1-3】（2026春•河北区期末）在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为A（﹣3，0），B（0，﹣1），将线段AB的端点A，B的横坐标都加上1，纵坐标都减2，得到线段A1B1，则线段AB到线段A1B1的平移方式为（　　） A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【分析】根据平移的性质即可得到结论． 【解答】解：∴将线段AB的端点A，B的横坐标都加上1，纵坐标都减2，得到线段A1B1， ∴线段AB到线段A1B1的平移方式为向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度． 故选：D． ▌题型05 已知图形的平移，求点的坐标 1. 核心公式 点平移：左减右加，上加下减 2. 解题步骤 （1）找出平移：左/右多少，上/下多少（或算出，）； （2）横坐标：左右动，左减右加； （3） 纵坐标：上下动，上加下减； （4） 写出新坐标。 【典例1】（2026春•青羊区校级期中）如图，△OAB一边落在x轴上，将△OAB向右平移得到△CDE，已知A点坐标为，点D坐标为，则点C的坐标为（　　） A．（2，0） B．（3，0） C．（4，0） D．（5，0） 【分析】根据平移时点的坐标变化规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为点A点坐标为，点D坐标为，点O坐标为（0，0）且点A和点O平移后的对应点分别为点D和点C， 所以xC﹣0＝5﹣2， 解得xC＝3， 所以点C坐标为（3，0）． 故选：B． 【变式1-1】（2026春•深圳期末）△DEF是由△ABC平移得到的，点A（﹣1，﹣4）的对应点为D（1，﹣1），点B（1，1）的对应点E、点C（﹣1，4）的对应点F．则E、F的坐标分别为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【解答】解：∵点A（﹣1，﹣4）的对应点为D（1，﹣1），点B（1，1）的对应点E、点C（﹣1，4）的对应点F， ∴向右移动了1﹣（﹣1）＝2个单位，向上移动了﹣1﹣（﹣4）＝3个单位， ∴点E、F的坐标为（3，4）、（1，7）． 故选：B． 【变式1-2】（2026春•临渭区期末）如图，平面直角坐标系中，线段AB的两端点坐标分别为（0，2），（﹣2，0），现将该线段沿x轴向右平移，使得点B与原点重合，得到线段CO，则点C的坐标是（　　） A．（2，0） B．（2，2） C． D．（，2） 【分析】根据平移后点B与原点重合，可知是向右平移了2个单位长度，根据平移法则即可得点C的坐标． 【解答】解：∵平移后点B（﹣2，0）与原点重合， ∴平移规律是向右平移2个单位长度， ∴A（0，2）平移后得点C的坐标为（2，2）． 故选：B． 【变式1-3】（2025秋•东台市期末）三角形ABC和三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出下列各点的坐标：A′　（﹣3，1）　 ，B′　（﹣2，﹣2）　 ． （2）三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到？ （3）若点P′（x，y）是三角形A′B′C′内部一点，则三角形ABC内部的对应点P的坐标是　（x+4，y+2）　 ． 【分析】（1）根据坐标与图形的特点即可求解； （2）根据图形平移的特点即可求解； （3）结合（2），根据平移规律得到点的坐标． 【解答】解：（1）由图可得：A′（﹣3，1），B′（﹣2，﹣2）； 故答案为：（﹣3，1），（﹣2，﹣2）； （2）根据图可知：△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A′B′C′； （3）∵△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A′B′C′， 则△A′B′C′先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△ABC， ∴△ABC内部的对应点P的坐标是（x+4，y+2）． 故答案为：（x+4，y+2）． ▌题型06 平移过程中扫过的图形的面积 平移过程中扫过的面积：原图 + 平移经过区域，是组合图形。 1. 核心原理 图形平移，扫过的区域 = 原图形 + 平移路径形成的带状区域 多边形平移扫过，一般是：原图形 + 平行四边形（矩形） 注意：不是只算移动出来的长条，要包含原来位置的图形。 2. 常见图形 （1） 线段平移扫过面积，等于平行四边形的面积； （2） 三角形平移扫过面积， 等于原来的三角形 + 一个平行四边形； 3. 解题步骤 （1） 画出草图：画出初始位置、结束位置； （2） 用阴影描出完整扫过区域； （3） 判断扫过是什么图形： - 线段：平行四边形 - 多边形：原图形 + 平移拉出的平行四边形 （4）分割计算面积，不要漏掉原始图形。 【典例1】（2026春•即墨区期末）如图，点A、B的坐标分别是（﹣6，3）、（﹣2，﹣3），如果将线段AB平移至A1B1的位置，A1与B1坐标分别是（a，9）和（6，b），那么线段AB在平移过程中扫过的图形面积为（　　） A．48 B．64 C．72 D．108 【分析】利用坐标的变化信息得到从A到A1，需要向上平移9﹣3＝6个单位，从B到B1，需要向右平移6﹣（﹣2）＝8个单位，再利用割补法列式运算即可． 【解答】解：∵点A、B的坐标分别是（﹣6，3）、（﹣2，﹣3），如果将线段AB平移至A1B1的位置，A1与B1坐标分别是（a，9）和（6，b）， ∴从A到A1，需要向上平移9﹣3＝6个单位，从B到B1，需要向右平移6﹣（﹣2）＝8个单位， 过A作平行于y轴的线段，交于A1作平行于x轴的线段于点C，交于B作平行于x轴的线段于点D；过B1作平行于y轴的线段，交于A1作平行于x轴的线段于点E，交于B作平行于x轴的线段于点F，如图所示： ∴由题意可得：BF＝CA1＝8，B1F＝AC＝6， ∵A（﹣6，3），B（﹣2，﹣3）， ∴AD＝EB1＝3﹣（﹣3）＝6，DB＝A1E＝﹣2﹣（﹣6）＝4， ∴， ∴ ＝144﹣24﹣12﹣24﹣12 ＝72． 故选：C． 【变式1-1】（2026春•杨浦区期中）如图，点A、B的坐标分别是（﹣4，1），（﹣1，﹣3），若将线段AB平移至A1B1的位置，A1与B1坐标分别是（m，5）和（4，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为　32　 ． 【分析】直接利用平移中点的变化规律求出m，n的值，再根据线段AB在平移过程中扫过的图形面积＝四边形ABB1A1的面积求解即可． 【解答】解：∵平移后A1与B1坐标分别是（m，5）和（4，n）， ∴可知将线段AB向右平移5个单位，向上平移4个单位， ∴m＝﹣4+5＝1，n＝﹣3+4＝1， ∴A1与B1坐标分别是（1，5）和（4，1）， 如图： ∴线段AB在平移过程中扫过的图形面积． 故答案为：32． 【变式1-2】（2026春•赫山区期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（﹣1，1）．将三角形ABC平移，使点B与点O重合，得到三角形A′OC′，其中A，C的对应点分别为A′，C′． （1）画出三角形A′OC′； （2）在三角形ABC中，点P（a，b）经过平移后的对应点为P′，P′的坐标为　（a+4，b+1）　 ； （3）求在平移过程中，线段AC扫过的图形的面积． 【分析】（1）根据题意，画出图形即可． （2）根据（1）得出平移的方向和距离，据此表示出点P′的坐标即可． （3）利用“割补法”求出线段AC扫过的面积即可． 【解答】解：（1）如图所示， △A′OC′即为所求作的三角形． （2）由（1）知， 因为﹣4+4＝0，﹣1+1＝0， 所以向右平移了4个单位长度，向上平移了1个单位长度， 所以点P′的坐标为（a+4，b+1）． 故答案为：（a+4，b+1）． （3）由（1）中所画图形可知， 平移过程中，线段AC扫过的图形的面积为：3×59． 【变式1-3】（2026春•临夏州期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别是A（0，0），B（7，1），C（4，5）． （1）如果将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A1B1C1，则点A1的坐标为　（2，1）　 ，点B1的坐标为　（9，2）　 ． （2）在（1）条件下，线段BC扫过的面积是多少？ 【分析】（1）根据点平移的规律，即向上平移纵坐标加，向右平移横坐标加，来计算A1和B1的坐标； （2）分析线段BC平移扫过的图形形状，再计算其面积． 【解答】解：（1）如图所示： 点A（0，0）向上平移1个单位，再向右平移2个单位，纵坐标变为0+1＝1，横坐标变为0+2＝2，所以A1（2，1）； 点B（7，1）向上平移1个单位，再向右平移2个单位，纵坐标变为1+1＝2，横坐标变为7+2＝9，所以B1（9，2）， 故答案为：（2，1）（9，2）； （2）线段BC扫过的面积，即为平行四边形BCC1B1的面积 即：． ▌题型07 中点坐标 在平面直角坐标系中，已知点A（x1，y1），B（x2，y2），点C是线段AB的中点，则点C的坐标为。 【典例1】（2026春•宁江区校级期中）问题背景： 在平面直角坐标系中，已知点A（x1，y1），B（x2，y2），点C是线段AB的中点，则点C的坐标为．如：已知点A（﹣2，2）、B（﹣4，6），则线段AB的中点C（x，y）的坐标： x3．y4，故点C的坐标为（﹣3，4），解决问题： （1）已知点A（6，﹣2），B（﹣3，﹣3），则线段AB的中点的坐标是　　 ． （2）若已知点M（﹣5，9），且线段MN的中点坐标为P（﹣1，5），求点N的坐标． （3）已知三点D（3，﹣2），E（﹣2，﹣3），F（1，2），若第四个点Q（x，y）与D，E、F中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，直接写出点Q的坐标． 【分析】（1）直接由线段中点坐标公式求解即可； （2）设点N（x，y），根据中点坐标公式求解即可； （3）分三种情况讨论，求解即可． 【解答】解：（1）线段AB的中点的坐标为，即． 故答案为：． （2）设点N（x，y），由条件可得： ， 解得， ∴点N（3，1）． （3）当点Q与点D的中点，点E与点F的中点重合时， 线段QD的中点为，线段EF的中点为， ∴， 解得， ∴点Q的坐标为（﹣4，1）； 当点Q与点E的中点，点D与点F的中点重合时， 线段QE的中点为，线段DF的中点为， ∴， 解得， ∴点Q的坐标为（6，3）； 线段QF的中点为，线段DE的中点为， ∴， 解得， ∴点Q的坐标为（0，﹣7）； 综上，点Q的坐标为（﹣4，1）或（6，3）或（0，﹣7）． 【变式1-1】（2026春•武城县期末）在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为例如：点A（1，3），B（7，1），则线段AB的中点坐标为（4，2）．请利用以上结论解决问题： （1）若点A（2，2），B（﹣4，4），则以点A和点B为端点的线段的中点坐标为　（﹣1，3）　 ． （2）已知点C（1，1），D（2，3），若D为线段CE的中点，求点E的坐标． （3）已知点G和点M的坐标分别为（﹣1，6），（3，8），线段GH与x轴平行，且GH＝6．若线段GH的中点与线段MN的中点在第一象限重合，直接写出点N的坐标． 【分析】（1）根据中点坐标公式代入数据计算即可； （2）设点E的坐标为（m，n），根据中点坐标公式分别建立关于m，n的方程求解即可； （3）先求出点H的坐标，再求出线段GH的中点坐标为（2，6），进而得到线段MN的中点坐标为（2，6），同理（2）即可求解． 【解答】解：（1）∵（﹣1，3）A（2，2），B（﹣4，4）， ∴以点A和点B为端点的线段的中点坐标为，即（﹣1，3）， 故答案为：（﹣1，3）； （2）设点E的坐标为（m，n）， 由题意得，， 解得m＝3，n＝5， ∴点E的坐标为（3，5）； （3）∵点G（﹣1，6），线段GH与x轴平行，且GH＝6，GH的中点在第一象限， ∴点H在第一象限，且纵坐标为6， ∵﹣1+6＝5， ∴点H的坐标为（5，6）， ∴线段GH的中点坐标为（2，6）， ∴线段MN的中点坐标为（2，6）， ∵点M的坐标为（3，8）， ∴点N的坐标为（1，4）． 【变式1-2】（2026春•瑞金市期中）问题背景： （1）平面直角坐标系中，已知点A（x1，y1），点B（x2，y2），点C是线段AB的中点，则点C的坐标为（，），如：A（﹣1，1），B（3，3），则AB的中点C的坐标为（，）即点C的坐标为（1，2）． 解决问题： （1）已知A（6，﹣2），B（﹣3，﹣3），求线段AB的中点M的坐标； （2）若点P（﹣3，7），线段PQ的中点坐标为（﹣1，5），求点Q的坐标； （3）已知三点E（4，﹣2），F（﹣3，﹣1），G（x，y），当任意一个点是其他两点连线的中点时，求点G的坐标． 【分析】（1）根据所给线段中点的坐标公式进行计算即可； （2）根据所给线段中点的坐标公式进行计算即可； （3）根据所给线段中点的坐标公式进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为A（6，﹣2），B（﹣3，﹣3）， 则， 所以线段AB的中点M的坐标为（）； （2）设点Q的坐标（a，b）， 则， 解得a＝1，b＝3， 所以点Q的坐标（1，3）； （3）当点E是FG的中点时， ，， 解得x＝11，y＝﹣3， 此时G（11，﹣3）． 当点F是EG的中点时， ，， 解得x＝﹣10，y＝0， 此时G（﹣10，0）． 当点G是EF的中点时， ，， 解得x，y， 此时G（，）， 综上所述，点G的坐标为（11，﹣3），（﹣10，0）或（，）． 【变式1-3】（2026春•东湖区校级期末）在平面直角坐标系中，已知点A（x1，y1），点B（x2，y2），C为线段AB的中点，则点C的坐标为，例如：A（﹣1，4），B（3，6），则线段AB的中点C的坐标为，即点C的坐标为（1，5）． （1）已知P（3，﹣1），Q（﹣3，﹣3），E为线段PQ的中点，则点E的坐标为　（0，﹣2）　 ； （2）已知M（﹣2，8），F（﹣6，6），F为线段MN的中点，求点N坐标； （3）已知三点A（﹣2，4），B（4，2），点C在x轴上，点D在y轴上，若点A，B，C，D中的任意两点构成的线段的中点与另外两个点构成线段的中点重合，直接写出点C的坐标． 【分析】（1）根据线段中点坐标的公式进行计算即可； （2）根据线段中点坐标的公式进行计算即可； （3）利用分类讨论的数学思想进行计算即可． 【解答】解：（1）因为P（3，﹣1），Q（﹣3，﹣3）， 则， 所以线段PQ的中点E的坐标为（0，﹣2）． 故答案为：（0，﹣2）； （2）因为M（﹣2，8），F（﹣6，6）且F为线段MN的中点， 则， 所以xN＝﹣10，yN＝4， 所以点N的坐标为（﹣10，4）； （3）由题知， 设C（x，0），D（0，y）， 当AD与BC中点重合时， ，， 解得x＝﹣6，y＝2， 故C（﹣6，0）； 当AC与BD中点重合时， ， 解得x＝6，y＝2， 故C（6，0）； 当AB与CD中点重合时，则 解得x＝2，y＝6， 故C（2，0）， 综上所述，点C的坐标为 （﹣6，0）或（6，0）或（2，0）． ▌题型08 新定义 1.读定义：圈关键词，摘抄变换公式； 2.代点试验：拿一个已知点代入定义，演算一遍，读懂规则； 3.按定义运算：求坐标、画图、算扫过面积； 4.检验：对照定义回看结果，不要用课本平移硬套。 【典例1】（2026春•安丘市校级期末）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，已知点A（x1，y1），B（x2，y2），若点P（x3，y3）满足，则把点P（x3，y3）称作A（x1，y1），B（x2，y2）两点的“松雅点”：且把数值M＝x1x2+y1y2称作A（x1，y1），B（x2，y2）两点的“唯一值”．根据该约定，完成下列各题： （1）若点P（1，3）是，两点的“松雅点”，则t＝　4　 ，s＝　3　 ，A，B两点的“唯一值”M＝　1　 （将正确的答案填写在相应的横线上）； （2）已知点R（9，11），且点P是A（x+y，﹣2），B（4，x﹣y）两点的“松雅点”，先将点P向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点Q，若直线RQ与坐标系中其中一条坐标轴平行，A，B两点的“唯一值”M＝36，求点P的坐标； （3）已知点是A（m﹣n，2），B（1，2m+3n）两点的“松雅点”，M是A，B两点的“唯一值”，请用含有字母a的式子表示“唯一值”M． 【分析】（1）先化简立方根和算术平方根，然后根据“松雅点”和唯一值”的定义列式求解即可； （2）先根据“松雅点”的定义求出点P的坐标，再根据平移的性质求出点Q的坐标，然后分当RQ∥y轴时和两种情况求解； （3）根据“松雅点”列方程组，用含a的代数式表示出 m，n，求出A（2a+1，2），B（1，9a﹣8），然后根据“唯一值”得定义求解． 【解答】解：（1）∵，， ∴A（﹣2，s），B（t，3）， ∵点P（1，3）是，两点的“松雅点”， ∴，， ∴t＝4；s＝3， ∴A（﹣2，3），B（4，3）， ∴M＝﹣2×4+3×3＝1． 故答案为：4；3；1； （2）设P（a，b）， ∵点P是A（x+y，﹣2），B（4，x﹣y）两点的“松雅点”， ∴， ∴， ∵先将点P向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点Q， ∴，即， 当RQ∥x轴时，， ∴x﹣y＝2， ∵A，B两点的“唯一值”M＝36， ∴4（x+y）﹣2（x﹣y）＝36， ∴x+3y＝18， 解，得， ∴点P的坐标是（7，0）； 当 RQ∥y轴时，同理可求点P的坐标是（6，﹣2）． 综上可知，点P的坐标是（7，0）或（6，﹣2）； （3）∵点是 A（m﹣n，2），B（1，2m+3n）两点的“松雅点”， ∴， ∴， ∴A（2a+1，2），B（1，9a﹣8）， ∴M＝2a+1+18a﹣16＝20a﹣15． 【变式1-1】（2026春•青山区期末）对于平面直角坐标系中的图形M上的任意点P（x，y），给出如下定义：将点P（x，y）平移到P'（x+a，y﹣a）称为将点P进行“a型平移”，点P'称为将点P进行“a型平移”的对应点；将图形M上的所有点进行“a型平移”称为将图形M进行“a型平移”．例如，将点P（x，y）平移P'（x+1，y﹣1）称为将点P进行“1型平移”，将点Q（x，y）平移到Q'（x﹣1，y+1）称为将点Q进行“﹣1型平移”．已知点A（﹣1，4），B（2，3）． （1）画出线段AB进行“2型平移”后的对应线段A'B'，并直接写出A'，B'的坐标； （2）四边形ABB'A'的面积为 　4　 （平方单位）； （3）将线段AB进行“a型平移”后与x轴有公共点，直接写出a的取值范围 　3≤a≤4　 ； （4）将四边形ABB'A'进行“a型平移”后与坐标轴有公共点，请直接写出a的取值范围是 　﹣4≤a≤4　 ． 【分析】（1）根据2型平移，画出图形即可． （2）四边形ABB'A'的面积＝四边形BA′B′T底面积，利用分割法求解． （3）根据a型平移的定义判断即可． （4）根据a型平移的定义判断即可． 【解答】解：（1）如图，线段A′B′即为所求． （2）四边形ABB'A'的面积＝四边形BA′B′T底面积＝2×4﹣21×1﹣21×3＝4（平方单位）． 故答案为：4． （3）将线段AB进行“a型平移”后与x轴有公共点，直接写出a的取值范围3≤a≤4． 故答案为：3≤a≤4． （4）将四边形ABB'A'进行“a型平移”后与坐标轴有公共点， 点A向右平移4个单位，向下平移4个单位，点A落在x轴上， 点B′向左平移4个单位，向上平移4个单位落在y轴上， 故a的取值范围是﹣4≤a≤4． 【变式1-2】（2026春•潮阳区校级期中）背景材料： 学习了平面直角坐标系后，七年级“数学之星”小组成员联系数轴上求中点的办法，经探究发现如下规律：已知平面直角坐标系中，点A（x1，y1），B（x2，y2）那么线段AB的中点P（x0，y0）的坐标满足如下关系：，．并设计了一款“坐标编程”小游戏： 操作1（取中点）：输入两个点A，B，输出它们的中点，称为“中间节点”； 操作2（计算能量值）：输入两个点A（x1，y1），B（x2，y2），输出能量值T＝x1x2+y1y2．能量值越大，两点的“联动效果”越强，若能量值T＝0，称这两个点为“无联动点”． 解决问题： （1）若点是，的“中间节点”，则x＝　7　 ，y＝　　 ； （2）已知点E（1，2），请写出3个与E构成“无联动点”的点F的坐标；并描述这类点的共同特征； 拓展探究： （3）已知点M（7，﹣6），点P是A（2x﹣y，﹣6），B（4，x+2y）两点的“中间节点”，先将点P向左平移2个单位，再向上平移5个单位得到点Q．若线段MQ与坐标轴平行，且MQ＝4，试确定A，B两点“联动效果”最强时的坐标． 【分析】（1）根据“中间节点”的含义建立方程求解即可． （2）点E（1，2），设F（x，y），结合题意可得：T＝x1x2+y1y2＝x+2y＝0，再确定方程的三组解即可． （3）由点P是A（2x﹣y，﹣6），B（4，x+2y）两点的“中间节点”，可得T＝4（2x﹣y）﹣6（x+2y）＝2x﹣16y，将点P向左平移2个单位，再向上平移5个单位得到点Q．可得，结合线段MQ与坐标轴平行，且MQ＝4，M（7，﹣6），再分类讨论即可． 【解答】解：（1）由题意可得：，， 解得：x＝7，． 故答案为：7，； （2）∵点E（1，2），设F（x，y）， 结合题意可得：T＝x1x2+y1y2＝x+2y＝0， ∴方程的三组解可以为：，，， ∴F（0，0）或F（2，﹣1）或F（﹣2，1），这类点的坐标（x，y）都满足关系式x+2y＝0． （3）由题意可得： ，T＝4（2x﹣y）﹣6（x+2y）＝2x﹣16y， ∴， 由题意可得： 即， ∵M（7，﹣6）， ∴当MQ∥x轴时， ∴，或， 解得：或， 当MQ∥y轴时，而， ∴，或， 解得：或， 当时，， 当时，， 当时，T＝2x﹣16y＝8+96＝104， 当时，， ∵104＜120＜184＜200， ∴2x﹣y＝14，x+2y＝﹣24， ∴A（14，﹣6），B（4，﹣24）． ∴A，B两点“联动效果”最强时的坐标为A（14，﹣6），B（4，﹣24）． 【变式1-3】（2025秋•石景山区期末）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为单位1，网格线的交点为格点．直线l与水平网格线重合，点Q为网格中一点．直线l向上（m＞0）或向下（m＜0）平移|m|个单位得到直线l0，点Q向右（m＞0）或向左（m＜0）平移|m|个单位得到点Q1，点Q1关于直线l0的对称点记为Q2，则称点Q2是点Q的“m﹣关联点”． 例如，图中点P2是点P的“2﹣关联点”． 图中A，B，C，D，E，F，A1，A2，A3是格点． （1）图中，在点A1，A2，A3中，点A2 是点A的“1﹣关联点”； （2）点B是点A的“m﹣关联点”，则m＝　﹣2　 ； （3）直线AB上有一点T，点T的“m﹣关联点”为T′．若T′在长方形CDEF上或其内部时，m的取值范围是　　 ，此时点T与直线l的距离的最大值为　　 ． 【分析】（1）根据“m﹣关联点”的定义作图即可求解； （2）根据“m﹣关联点”的特征可知，A需向左平移2个单位，再检验即可； （3）分m≤0和m＞0进行讨论，当m＞0时，寻找两临界点，F为T的“m﹣关联点”和D为T的“m﹣关联点”，分别作图得到m的值及点T与直线的距离即可求解． 【解答】解：（1）根据题意，得到点A的“1﹣关联点”， 如图：先将直线l向上平移1个单位得到l0，点A向右平移一个单位得到A'， 再A'关于直线l0对称，图中A2与A'关于直线l0对称， 故答案为：A2； （2）点B是点A的“m﹣关联点”， 则直线l向上（m＞0）或向下（m＜0）平移|m|个单位得到直线l0， 点A向右（m＞0）或向左（m＜0）平移|m|个单位得到点A'，A'，B关于l0对称， ∴A'，B需纵向位置相同， ∴A需向左平移2个单位， ∴m＝﹣2，m＝﹣2时，如图，直线向下平移2个单位得到直线l0， 点A向左平移2个单位得到点A'，此时A'，B关于直线l0对称，符合题意， 故答案为：﹣2； （3）根据题意，作直线AB的“m﹣关联点”， 直线l向上（m＞0）或向下（m＜0）平移|m|个单位得到直线l0， 直线AB向右（m＞0）或向左（m＜0）平移|m|个单位得到直线l1， 直线l1关于直线l0对称得到直线l2，只需直线l2与长方形CDEF有交点即符合题意， 如图，m≤0时，直线l2与长方形CDEF无交点，不符合题意， m＞0时，如图，当F为T的“m﹣关联点”时， 设T'F与直线AB、l、l0分别交于点M、N、H， ∴TT'＝NH＝MT'＝m， 又∵T'、F关于l0对称， ∴T′H＝HF，即m+2+m＝4﹣m， 解得，此时点T与直线的距离为， 当D为T的“m﹣关联点”时， 由图可知，l向上平移2个单位得到l0，点A向右平移2个单位再关于l0对称后即为点D，所以此时m＝2，T与A重合，点T与直线的距离为1； 综上，m的取值范围是，点T与直线的距离的最大值为， 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $