专题01 图形的平移十一大题型（专项训练）数学新教材青岛版八年级下册

**基本信息** 聚焦图形平移的十一大题型，从性质应用到坐标系综合，构建从基础到复杂的知识逻辑链，通过各地期中真题强化迁移应用，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A题型建模·专项突破|33道（含选择/填空/解答）|覆盖性质应用、作图、坐标变换等单一及综合场景|平移概念→性质推导→坐标表达→几何综合，形成“概念-性质-应用”递进逻辑| |B综合攻坚·能力跃升|15道综合题|结合动点、几何变换等复杂情境|整合平移与平面几何、坐标系知识，强化推理意识与模型应用能力|

专题01 图形的平移十一大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一 利用平移的性质求解 1 题型二 利用平移解决实际问题 2 题型三 平移（作图） 4 题型四 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 6 题型五 由平移方式确定点的坐标 7 题型六 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 9 题型七 已知图形的平移，求点的坐标 10 题型八 已知平移后的坐标求原坐标 11 题型九 平移综合题几何变换） 12 题型十 坐标系中的平移 14 题型十一 坐标系中的动点问题（不含函数） 17 B 综合攻坚 能力跃升 19 题型一 利用平移的性质求解 1．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在四边形中，，，，将，分别平移到和的位置． (1)求证：为直角三角形． (2)若，，，求的长． 2．（25-26八年级下·河南·期中）如图，在Rt中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，此时点恰好在的角平分线上． (1)求平移的距离； (2)求的周长． 3．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，两个直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，平移距离为的长度，其中，，，阴影部分的面积为______． 题型二 利用平移解决实际问题 4．（25-26七年级下·上海奉贤·开学考试）图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 5．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）如图，某住宅小区内有一块长方形空地，想在长方形空地内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为，则两条小路的总面积是____． 6．南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 题型三 平移（作图） 7．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标为：，，，将向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得． (1)画出，并写出的顶点坐标； (2)若内部有一点，则平移后点P的对应点的坐标为______． 8．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，长方形各顶点的坐标分别为，，，，长方形EFGH各顶点的坐标分别为，，，．平移长方形得到长方形，且点的坐标为． (1)画出长方形，则平移的距离为______； (2)在（1）平移的过程中，设长方形与长方形重叠的面积为S，与之间的距离为d． ①请直接写出平移过程中S的最大值为______； ②求当S取得最大值前S与d之间的函数表达式； ③若平移的速度为每秒个单位，求时的运动时间． 9．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，已知每个小正方形的边长为1，且正方形的顶点称为格点，网格中有一艘小船，若小船平移滑动（先向右平移，再向上平移），平移后的船身部分已画出（船身顶点都在格点上）． (1)请在网格中补全平移后的船帆； (2)说明图中小船平移的方向，并计算小船平移的距离； (3)求平移过程中扫过的面积__________． 题型四 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 10．（25-26七年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，在平面直角坐标系中点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为的面积为15． (1)求出点的坐标； (2)线段是由线段平移所得，其中点与点对应，点与点对应，与轴的交点为点，求的长； (3)在（2）的条件下，若点为轴上的一个动点，且点的横坐标为，并且满足，请写出的取值范围___________． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）若网格中小正方形的边长为1，请建立一个合适的平面直角坐标系，使得教学楼的坐标为，并分别写出图书馆、宿舍楼、实验楼的坐标； （2）由于学校扩大建设，教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼需要等距离整体迁移，已知迁移后新的教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼分别用，，，表示，且这四点的坐标均用原来各地的纵坐标减5，横坐标不变得到的．请先在图中描出，，，的位置，画出四边形，再说明四边形是以教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼所在地为顶点的四边形经过怎样平移得到的． 12.（25-26八年级下·全国·课后作业）下图所示的“鱼”图案是将坐标为，，，，，，，的点用线段依次连接而成的． (1)若纵坐标保持不变，横坐标分别加上3，在上图中画出所得的图案． (2)若横坐标保持不变，纵坐标分别减去2，在上图中画出所得的图案． (3)通过以上两种变换，你发现了什么规律？请用简洁的语言加以概括． 题型五 由平移方式确定点的坐标 13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）． (2)分别是线段，上的动点，点从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点P是直线上一个动点，连接，当点P在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 14．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到对应线段，连接．分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，点从点出发向点运动，两点同时出发，速度均为每秒个单位长度； (1)请直接写出坐标：(________，______)，(______，______)； (2)能否平行于轴？若能，请求出几秒后轴；若不存在，请说明理由； (3)点是线段上一点，在点运动过程中是否存在点使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 15．（25-26八年级下·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)将点向左平移6个单位得到点，若点在直线上，求点的坐标． 题型六 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 16．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，，交y轴于点C，点在点C上方，连接． (1)求直线的解析式； (2)当的面积是2时，求n的值； (3)在（2）的条件下，以点B、C、D、E为顶点组成的四边形为平行四边形，直接写出点E的坐标． 17．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，各顶点坐标依次为，．平移，使点的对应点的坐标是． (1)请在图中画出平移后的； (2)将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移___________个单位长度，再___________； (3)如果看成一次平移，则平移的距离是___________个单位长度，平移的方向是直线___________所在的方向． 18．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知点，将线段平移至线段（点与对应，点与对应），且点坐标为． (1)求点的坐标． (2)若点在轴上，且的面积是面积的2倍，求点坐标． 题型七 已知图形的平移，求点的坐标 19．（25-26八年级下·河北沧州·期中）如图，在中，，点B的坐标为，点C的坐标为．将平移，使得点C与原点重合，则平移后点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级下·广东广州·期中）已知线段平移后得到对应线段，进而可得平行四边形．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，． (1)是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (2)求平行四边形的面积． 21．（25-26八年级下·广西桂林·期中）在平面直角坐标系中，定义：把点先向上平移2个单位，再向右平移3个单位后得到的点，叫做点P的相伴点． (1)直接写出点的相伴点坐标； (2)若点A的相伴点是，求点A的坐标； (3)若点的相伴点在y轴上，求a的值． 题型八 已知平移后的坐标求原坐标 22．（24-25七年级下·河南信阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形． (1)画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)若点是三角形内部的一点，经过平移后对应点的坐标为，求和的值． 23．在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位得到点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 24．如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为______． 题型九 平移综合题几何变换） 25．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 26．（24-25七年级下·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C．顺次连接A，B，C，D得到四边形． (1)直接写出点C和点D的坐标； (2)若将四边形沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形，图中阴影部分的面积是，求与x轴的交点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是坐标系内一动点，连接，，当三角形的面积是四边形的面积的时，求点P的坐标． 27．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴． (1)直接写出点、点的坐标； (2)点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）； (3)在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当的面积比的面积大2时，，求点的坐标．（直接写出答案，无需解题过程） 题型十 坐标系中的平移 28.（25-26八年级下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点A位于第三象限，且到x轴的距离为1，到y轴的距离为3． (1)写出图中点C的坐标，并在图中画出； (2)将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于______轴对称； (3)若，且，直接写出点D的坐标． 29．（25-26八年级下·山东济南·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于，两点，C是上一点，连接，过点C作交直线于点D，且． (1)求直线的函数表达式； (2)求的长； (3)P是y轴上一点，Q是坐标系内任意一点，当P、Q、C、D构成菱形时，求点Q的坐标． 30．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在直角坐标系中，四边形的顶点的坐标是，，平分，点的横坐标是3，，点是对角线中点，点是射线上的一个动点，点是线段上的一个动点，且有，以，为边构造． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当的顶点落在四边形的边所在的直线上时，求的长度； (3)当时，求点的坐标． 题型十一 坐标系中的动点问题（不含函数） 31．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边与轴重合，直角边与轴重合，，，将折叠，使它落在轴上，得到，折痕为，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段运动，点P运动到点B时停止．设运动时间为秒（）． (1)求D点坐标； (2)设的面积为，求与的关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在平面内是否存在点Q，使以，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 32．（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，．四边形为矩形，点是的中点，点在边上以每秒个单位长的速度由点向点运动（点到达点则停止运动）．设动点的运动时间为秒． (1)______，_____；（用含的代数式表示） (2)当四边形是平行四边形时，求的值； (3)在线段上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形为菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（25-26八年级下·贵州铜仁·月考）如图1，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，、．点是的中点，点P在边上以每秒2个单位长的速度由点向点B运动．设动点P的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且以O、D、P、M四点为顶点的四边形构成菱形，请直接写出符合条件的的坐标． 1．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）将点向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点H，，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南·期中）下列说法正确的是（    ） A．图形经过平移，对应线段平行且相等 B．在三角形中，如果一边是另一边的一半，那么这条边所对的角等于 C．两边分别相等的两个直角三角形全等 D．到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点 4．（25-26八年级下·河北沧州·月考）题目：“在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点．将长为3，宽为2的长方形按如图所示的方式摆放(其中一条边与坐标轴平行)，并将其在第一象限内平移，求长方形内部(不含边界)的整点个数．”对于其答案，甲答：2个或3个，乙答：5个，丙答：4个或6个，则正确的是(     ) A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 5．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，将三角形沿方向平移8个单位长度，得到三角形．若，三角形面积为15，则梯形的面积为 _______ ． 7．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为30，则的长是___________． 8．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，沿方向平移得到，，连接，．则的度数为________． 9．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系平行四边形中，点坐标为，点在轴上，，．动点从点出发，沿射线以每秒2个单位的速度运动，同时，动点从点出发沿边向点O以每秒1个单位的速度运动．当点到达点时，点也随之停止运动． （1）的长为___________； （2）若在轴上有一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为___________． 10．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）将和按图1方式摆放，点A与点F重合，点C与点D重合，其中，，．现固定，将沿射线方向平移，平均速度每秒1个单位长度，平移时间为t秒，连接、，如图2．在平移过程中，当________时四边形是轴对称图形． 11．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标为、、． (1)在平面直角坐标系中，画出； (2)画出将向右平移个单位，再向下平移个单位后的，并写出、、的坐标． 12．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，，，． (1)平移线段，使点A与点C重合，点B的对应点为点D． ①画出平移后的线段，并写出点D的坐标； ②若线段上有一点，其平移后在线段上的对应点为点Q，写出点Q的坐标； (2)平移线段，使其两端点都在坐标轴上，直接写出点A的对应点的坐标． 13．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图1，为水平线，于点E，于点A，于点D．若，，． (1)求的长度； (2)如图2，点G为延长线上一点，，将沿着方向平移到，此时，判断平移后的点会与点G重合吗？请说明理由． 14．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）按要求完成各题： (1)如图1，已知等腰直角三角形中，，在三角形内取一点，使得，，求的度数； 小亮通过挖掘已知条件，获得，线段，这样本题就具备了一边一角的图形特征，所以小明果断的在上截取，构造出全等三角形，从而使问题得以解决．请按照小亮的思路完整解答； (2)如图2，在四边形中，，，求证：；小亮深入研究已知条件，迅速想到：延长到点，使得，连接，从而使问题得以解决．请按照小亮的思路完整解答； (3)如图3，在中，，，射线于点．若点，分别是射线，边上的动点，，连接，，直接写出最小值． 15．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 图形的平移十一大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一 利用平移的性质求解 1 题型二 利用平移解决实际问题 4 题型三 平移（作图） 7 题型四 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 12 题型五 由平移方式确定点的坐标 16 题型六 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 22 题型七 已知图形的平移，求点的坐标 26 题型八 已知平移后的坐标求原坐标 30 题型九 平移综合题几何变换） 32 题型十 坐标系中的平移 38 题型十一 坐标系中的动点问题（不含函数） 46 B 综合攻坚 能力跃升 53 题型一 利用平移的性质求解 1．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在四边形中，，，，将，分别平移到和的位置． (1)求证：为直角三角形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路引导】（）由平移的性质，得，，则，，得出，从而求证； （）由平移的性质，得，，，，由（）得是直角三角形，然后通过勾股定理和线段的和与差即可求解． 【规范解答】（1）证明：由平移的性质，得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由平移的性质，得，，，， 由（）得是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·河南·期中）如图，在Rt中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，此时点恰好在的角平分线上． (1)求平移的距离； (2)求的周长． 【答案】(1)平移的距离是； (2)的周长为． 【思路引导】（1）过点作于点，则 ，由角平分线的性质，可得 ，证明，可得 ， ，由勾股定理可得，设 ，则 ，由勾股定理可得，即可得平移的距离； （2）由角平分线的定义可得，由平移，结合平行线的性质，可得，由等角对等边可得，即可得的周长． 【规范解答】（1）解：过点作于点，则 ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，，， ， 设 ，则 ， 在Rt中，， ， 解得， ， 平移的距离是． （2）解：平分， ， 由平移得， ， ， ， 由（1）得，， ， ∴ 的周长为． 3．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，两个直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，平移距离为的长度，其中，，，阴影部分的面积为______． 【答案】140 【思路引导】首先由平移的性质得，，然后得到，代数求解即可． 【规范解答】解：由平移的性质，得，， ∴， ∴． 题型二 利用平移解决实际问题 4．（25-26七年级下·上海奉贤·开学考试）图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 【答案】(1)，， (2)平方米 (3)平方米 【思路引导】（1）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，且长方形的长为10米，宽为米，从而得到平方米； （2）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出草地面积； （3）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出耕地面积． 【规范解答】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，， 根据平移的性质可得（平方米），（平方米）； ． （2）解：原长方形的长为米，宽为米，小路的宽度是1米， 原长方形去掉弯曲小路后，剩下的图形重新拼接仍为长方形， 此时新长方形的长为米，宽为米， 空白部分表示的草地的面积是平方米； （3）解：长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米， 空白部分表示的耕地的面积是平方米． 5．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）如图，某住宅小区内有一块长方形空地，想在长方形空地内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为，则两条小路的总面积是____． 【答案】96 【思路引导】将小路平移后绿化部分即是长，宽的长方形，再利用长方形空地的面积减去绿化部分的面积求解即可． 【规范解答】解析：解：根据题意，得， 故答案为：96． 6．南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 【答案】(1)； (2)； (3) 【思路引导】（1）图1中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （2）图2中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （3）图3中，将路线的横向部分平移后总长度等于长方形的长，纵向部分平移后总长度为2(宽)米，相加得到路线总长． 【规范解答】（1）解：将图1中小路往左平移，直到E、F分别与A、B重合， 则平移后可得到草地是长为米，宽为米的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （2）解：将图2中将小路往、边平移，直到小路与草地的边重合，则平移后可得到草地是长为(米)，宽为(米)的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （3）解：将路线的横向部分平移，总长度为米； 将路线的纵向部分平移，总长度为(米)； ∴所走路线的长度为(米)． 题型三 平移（作图） 7．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标为：，，，将向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得． (1)画出，并写出的顶点坐标； (2)若内部有一点，则平移后点P的对应点的坐标为______． 【答案】(1)图见解析，的顶点坐标分别为 (2) 【思路引导】（1）根据平移规律描出点，再顺次连接成三角形即可得到，再根据图形写出的顶点坐标即可； （2）根据平移规律写出点的坐标即可． 【规范解答】（1）解：所画如下图所示： 由上图可知，的顶点坐标分别为； （2）解：由平移的规律可知，点平移后得到点． 8．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，长方形各顶点的坐标分别为，，，，长方形EFGH各顶点的坐标分别为，，，．平移长方形得到长方形，且点的坐标为． (1)画出长方形，则平移的距离为______； (2)在（1）平移的过程中，设长方形与长方形重叠的面积为S，与之间的距离为d． ①请直接写出平移过程中S的最大值为______； ②求当S取得最大值前S与d之间的函数表达式； ③若平移的速度为每秒个单位，求时的运动时间． 【答案】(1)图见解析，； (2)①；②；③或． 【思路引导】（1）根据题意画出长方形，再算出平移距离即可； （2）①由平移过程中S的最大值为长方形的面积即可求解； ②由长方形的面积为长乘以宽，在平移的过程中，长度始终不变，可得答案； ③分两种情况分别求解即可． 【规范解答】（1）解：如图， 长方形即为所求， 平移的方向为点到， ∴平移的距离为：； （2）解：①平移过程中S的最大值为长方形的面积， ， ， ∴； ②∵长方形的面积为长乘以宽，在平移的过程中，长度始终不变，， ∴S与d之间的函数表达式为； ③最大面积为4，则重叠面积为2有两种情况： 第一种情况：如图，刚进入有重叠，，则， ∴， 第二种情况：离开时， 当时，由图可知，此时平移的距离d为， ∴， 综上所述：t的值为或． 9．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，已知每个小正方形的边长为1，且正方形的顶点称为格点，网格中有一艘小船，若小船平移滑动（先向右平移，再向上平移），平移后的船身部分已画出（船身顶点都在格点上）． (1)请在网格中补全平移后的船帆； (2)说明图中小船平移的方向，并计算小船平移的距离； (3)求平移过程中扫过的面积__________． 【答案】(1)作图见详解 (2) (3)12 【思路引导】（1）根据平移的性质，补全图形即可； （2）连接，找到小船平移的方向，结合网格图特征利用勾股定理即可求得结果； （3）连接，，过点作交于点D，此时四边形为平行四边形，利用平行四边形的面积公式即可得出结果． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求作的图形， （2）解：如图，连接，小船平移的方向为：点A到点的方向， ∴小船平移的距离为：． （3）解：如图，连接，，过点作交于点D， ∴． 题型四 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 10．（25-26七年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，在平面直角坐标系中点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为的面积为15． (1)求出点的坐标； (2)线段是由线段平移所得，其中点与点对应，点与点对应，与轴的交点为点，求的长； (3)在（2）的条件下，若点为轴上的一个动点，且点的横坐标为，并且满足，请写出的取值范围___________． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【思路引导】（1）首先根据题意确定的长度，结合三角形面积公式计算的长度，即可获得答案； （2）根据平移的性质，可得，然后结合求解即可； （3）首先确定点的纵坐标为，结合题意可得，进而可得，根据的面积为15建立关于t的不等式并整理，可得，然后分情况讨论，即可获得答案． 【规范解答】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵的面积为15，即， ∴，解得， ∵点在轴的正半轴上， ∴； （2）解：∵点的坐标为， ∴， ∵线段是由线段平移所得， ∴， ∵， ∴， 即， 解得； （3）解：由（2）可知，， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵点为轴上的一个动点，且点的横坐标为， ∴， ∴， 若，可得， 整理可得， 当时，可得，解得， 当时，可得，解得， 综上所述，的取值范围为或． 【考点剖析】解题的关键是运用数形结合的思想和分类讨论的思想分析问题，避免遗漏． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）若网格中小正方形的边长为1，请建立一个合适的平面直角坐标系，使得教学楼的坐标为，并分别写出图书馆、宿舍楼、实验楼的坐标； （2）由于学校扩大建设，教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼需要等距离整体迁移，已知迁移后新的教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼分别用，，，表示，且这四点的坐标均用原来各地的纵坐标减5，横坐标不变得到的．请先在图中描出，，，的位置，画出四边形，再说明四边形是以教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼所在地为顶点的四边形经过怎样平移得到的． 【答案】（1）见解析,图书馆，宿舍楼，实验楼；（2）见解析． 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系的建立，坐标与图形的平移，掌握平面直角坐标系中点的坐标确定方法和图形平移的坐标变化规律是解题的关键． （1）根据教学楼坐标确定平面直角坐标系的原点位置，再结合网格边长为，确定图书馆、宿舍楼、实验楼的坐标； （2）根据新坐标与原坐标的变化规律，判断图形的平移方向与距离． 【规范解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示， 图书馆，宿舍楼，实验楼； （2）点，，，的坐标均用原来各地的纵坐标减5，横坐标不变得到的， ，，，的位置如图所示，则四边形是以教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼所在地为顶点的四边形向下平移个单位长度得到的． 12.（25-26八年级下·全国·课后作业）下图所示的“鱼”图案是将坐标为，，，，，，，的点用线段依次连接而成的． (1)若纵坐标保持不变，横坐标分别加上3，在上图中画出所得的图案． (2)若横坐标保持不变，纵坐标分别减去2，在上图中画出所得的图案． (3)通过以上两种变换，你发现了什么规律？请用简洁的语言加以概括． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)通过以上两种变换，我发现：横坐标（纵坐标）加上或减去n，图案形状不变，即向右（向上）或向左（向下）平移n个单位长度． 【思路引导】（1）（2）根据平移的规律即可得出答案； （3）根据（1）（2）中画出的相应图形，由图形可以得到两幅图形的位置关系，从而找到相应的规律． 【规范解答】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：示例：通过以上两种变换，我发现：横坐标（纵坐标）加上或减去，图案形状不变，即向右（向上）或向左（向下）平移个单位长度． 【考点剖析】本题考查坐标与图形性质，主要利用了点的位置的确定，几何图形的变化，能根据题意画出图案是解题的关键． 题型五 由平移方式确定点的坐标 13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）． (2)分别是线段，上的动点，点从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点P是直线上一个动点，连接，当点P在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)； (2)秒 (3)当点在线段上时，； 当点在的延长线上时，； 当点在的延长线上时， 【思路引导】（1）根据点的平移规律求解即可． （2）根据轴得出、两点纵坐标相等这一关系，再结合两点的运动速度和初始坐标列出方程求解． （3）需要分三种情况讨论点在直线上的位置，然后根据三角形外角的性质得出与、的数量关系． 【规范解答】（1）解：已知点向下平移个单位长度， 再向左平移个单位长度得到点， 则点的横坐标为，纵坐标为，即， 点向下平移个单位长度， 再向左平移个单位长度得到点， 则点的横坐标为，纵坐标为，即． 故答案为：． （2）解：设运动时间为秒，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度， 因为是向下运动，所以点的纵坐标为， 点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度， 因为是向上运动， 所以点的纵坐标为， 当轴时，、两点纵坐标相等，即， 移项可得，合并同类项得，两边同时除以， 解得． （3）解：当点在线段上时，过点作，如图， 因为， 所以，可得，， 所以． 当点在的延长线上时，过点作， 因为， 所以， 可得，， 此时． 当点在的延长线上时，过点作， 因为， 所以， 可得，， 此时． 14．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到对应线段，连接．分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，点从点出发向点运动，两点同时出发，速度均为每秒个单位长度； (1)请直接写出坐标：(________，______)，(______，______)； (2)能否平行于轴？若能，请求出几秒后轴；若不存在，请说明理由； (3)点是线段上一点，在点运动过程中是否存在点使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)能平行，秒 (3)存在， 【思路引导】（1）由图形的平移方式，得到点的平移方式即可得出答案； （2）设秒后轴，由平行于轴的直线上点的纵坐标相等列方程求解即可； （3）由等腰直角三角形的性质，结合“一线三垂直”模型求，根据列方程组求解即可． 【规范解答】（1）解：点的坐标为，将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到对应点， ， 点的坐标为，将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到对应点， ； （2）解：能平行， 理由如下： 设秒后轴， 由题意得， 解得， 即时，轴； （3）解：存在． 设运动秒时成为以点为直角顶点的等腰直角三角形， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴的平行线，过作于点，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点坐标为， 由题可知， 则，， 由可得， 解得， 当时，， ∴， ∴当点坐标为时，成为以点为直角顶点的等腰直角三角形． 15．（25-26八年级下·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)将点向左平移6个单位得到点，若点在直线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据坐标轴上点的坐标特征列出方程求解； （2）根据平移的性质以及函数解析式求解． 【规范解答】（1）解：点在轴上， ， ， ， 点的坐标为； （2）解：点向左平移6个单位得点， 点的坐标为， 点的坐标为在图像上， ， ， ， 点的坐标为． 题型六 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 16．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，，交y轴于点C，点在点C上方，连接． (1)求直线的解析式； (2)当的面积是2时，求n的值； (3)在（2）的条件下，以点B、C、D、E为顶点组成的四边形为平行四边形，直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或或 【思路引导】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求点坐标，然后由建立方程求解； （3）先画出图形，再根据平行四边形的性质以及平移的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：设直线的解析式为：， 把点，代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为：． （2）解：对于，当时， ∴， ， ∵ ∴， ∴ ， ； （3）解：如图， 当时，，，则； 当时，同理可求； 当时，则, ∵，，， ∴点向点的平移方式与点向点的平移方式一样， ∵点向点的平移方式为向左平移2个单位，向上平移2个单位， ∴点向左平移2个单位，向上平移2个单位得到 综上，点的坐标为或或． 17．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，各顶点坐标依次为，．平移，使点的对应点的坐标是． (1)请在图中画出平移后的； (2)将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移___________个单位长度，再___________； (3)如果看成一次平移，则平移的距离是___________个单位长度，平移的方向是直线___________所在的方向． 【答案】(1)见解析 (2)，向下平移个单位长度 (3)，（或，或） 【思路引导】本题主要考查用坐标表示平移： （1）点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，所以可得点的坐标为，即，可得点的坐标为，即； （2）由平移前后的对应点和的坐标关系可知，将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度； （3）可由沿射线的方向，经过一次平移得到，平移的距离为线段的长度． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：由平移前后的对应点和的坐标关系可知，将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度． （3）解：可由沿射线的方向，经过一次平移得到． 因为， 所以平移的距离为个单位长度，平移方向是射线（或，或）的方向． 18．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知点，将线段平移至线段（点与对应，点与对应），且点坐标为． (1)求点的坐标． (2)若点在轴上，且的面积是面积的2倍，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，熟知“上加下减，左减右加”的平移规律是解题的关键． （1）根据点B和点D的坐标可得平移方式，根据平移方式和点A的坐标可得点C的坐标； （2）设点的坐标为，则，根据三角形的面积公式可得方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵点B的坐标为，点坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵点A的坐标为， ∴点C的坐标为，即； （2）解：设点的坐标为， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 题型七 已知图形的平移，求点的坐标 19．（25-26八年级下·河北沧州·期中）如图，在中，，点B的坐标为，点C的坐标为．将平移，使得点C与原点重合，则平移后点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据将向右上方平移，使得点C与原点重合，得出应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位，然后求出点A平移后的坐标即可． 【规范解答】解：如图，过点C作轴，过点A作于点M，过点B作于点N， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵将平移，使点与原点O重合， ∴应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位， ∴点A平移后的对应点为：，即． 20．（25-26八年级下·广东广州·期中）已知线段平移后得到对应线段，进而可得平行四边形．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，． (1)是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (2)求平行四边形的面积． 【答案】(1)存在，点D的坐标为或或 (2) 【思路引导】（1）设，然后根据题意分三种情况讨论，分别根据平行四边形的性质和平移的性质求解即可； （2）利用割补法求解即可． 【规范解答】（1）解：存在，设 如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段， ∴点A和点D是对应点，点B和点C是对应点， ∴， ∴， ∴； 如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段， ∴点A和点C是对应点，点B和点D是对应点， ∴， ∴， ∴； 如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段， ∴点A和点D是对应点，点C和点B是对应点， ∴， ∴， ∴； 综上所述，存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或； （2）解：∵平行四边形的顶点坐标分别为，，，，如图 ∴平行四边形的面积． 21．（25-26八年级下·广西桂林·期中）在平面直角坐标系中，定义：把点先向上平移2个单位，再向右平移3个单位后得到的点，叫做点P的相伴点． (1)直接写出点的相伴点坐标； (2)若点A的相伴点是，求点A的坐标； (3)若点的相伴点在y轴上，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】根据相伴点的定义，结合点的平移规律得到： 点的相伴点坐标为． （1）直接代入原坐标计算即可； （2）由相伴点反向推导点A的坐标； （3）先写出点B的相伴点坐标，再利用y轴上点的横坐标为0的性质求解． 【规范解答】（1）解 根据题意, 点先向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到相伴点，因此点的相伴点坐标为． 将代入得 ， 因此，点的相伴点坐标为． （2）设点的坐标为，则点的相伴点满足， 解得 ， 因此点的坐标为． （3）点 的相伴点坐标为，即， 因为点的相伴点在轴上, 轴上点的横坐标为 ， 可得 ， 解得． 题型八 已知平移后的坐标求原坐标 22．（24-25七年级下·河南信阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形． (1)画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)若点是三角形内部的一点，经过平移后对应点的坐标为，求和的值． 【答案】(1)作图见解析；，， (2) (3)；5 【思路引导】本题主要考查了平移作图，根据平移确定点的坐标，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握平移的性质． （1）作出点A、B、C平移后的对应点，，，然后顺次连接即可，根据图形求出，，的坐标即可； （2）利用割补法求出三角形的面积即可． （3）根据平移列出关于m、n的方程组，然后解方程组即可； 【规范解答】（1）解：为所求作的三角形．   ，，． （2）解：． （3）解：∵点是内部的一点，经过平移后对应点的坐标是为， ∴， 解得：． 23．在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位得到点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【思路引导】利用平移变换的性质判断出点的坐标，根据四个象限的符号特点即可得结论． 【规范解答】解：将点向上平移个单位得到点， ， 点在第四象限， 故选：． 【考点剖析】考查坐标与图形变化一平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，以及记住各象限内点的坐标的符号． 24．如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为______． 【答案】 【思路引导】设顶点A的坐标为：，根据平移规律可知：，再利用即可求出x，y的值． 【规范解答】解：设顶点A的坐标为：． 由题意可知： ∵是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的， ∴， ∵， ∴，，解得：，， ∴， 故答案为： 【考点剖析】本题考查平移，解题的关键是掌握平移规律“左减右加，上加下减”． 题型九 平移综合题几何变换） 25．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)且 (3)线段扫过的面积为16 【思路引导】本题考查了图形的平移变换及其性质，包括平移后图形的画法、平移后对应线段的关系以及图形平移过程中线段扫过的面积计算，解题的关键是掌握平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小，平移后对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平移的性质得出两条线段之间的关系； （3）线段扫过的面积为平行四边形，然后利用“割补法”可求得面积是多少． 【规范解答】（1）解：找出对应点然后连接即可； （2）解：根据平移的性质，平移后对应点所连的线段平行且相等．因为A与、B与是平移前后的对应点，所以与平行且相等． 故答案为：且． （3）解：线段扫过的面积即为平行四边形的面积， 利用“割补法”得到： ∴线段扫过的面积为16． 26．（24-25七年级下·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C．顺次连接A，B，C，D得到四边形． (1)直接写出点C和点D的坐标； (2)若将四边形沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形，图中阴影部分的面积是，求与x轴的交点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是坐标系内一动点，连接，，当三角形的面积是四边形的面积的时，求点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【思路引导】（1）根据平移的性质解答即可； （2）设点E的坐标为由题意，得，，．根据题意得到，解答即可． （3）根据列式解答即可． 本题考查了平移的性质，图形的面积表示法，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C． ∴即，即， 故，． （2）解：设点E的坐标为由题意，得，，． ∵． ∴ ∴， 解得． ∴， 解得． ∴点E的坐标是． （3）解：∵ ∴ ∴ 则点P的坐标是或． 27．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴． (1)直接写出点、点的坐标； (2)点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）； (3)在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当的面积比的面积大2时，，求点的坐标．（直接写出答案，无需解题过程） 【答案】(1)， (2) (3)或 【思路引导】本题考查平面直角坐标系中点的平移、坐标与图形性质及三角形面积计算，解题关键是利用平移性质确定点的坐标，结合坐标特征分析图形关系并计算． （1）由轴得纵坐标与相同，结合平移后在轴，通过平移量确定、坐标； （2）根据的横坐标，结合、坐标，用三角形面积公式列式； （3）设平移距离，结合面积关系列方程求平移量，再利用建立等式求，得坐标． 【规范解答】（1）解：∵点平移后在轴上， ∴点先向右平移4个单位， ∵轴， ∴点纵坐标为2， ∴点向上平移2个单位， ∴平移规则为，先向右平移4个单位，再向上平移2个单位， ∴． （2）解：如图： ∵ ∴， ∵的横坐标为， ∴的面积为． （3）解：当在上时，如图： 设，则， 的面积比三角形的面积大2， 解得， ∴， ∴； 当在的延长线上时，如图： 设，则， ∵的面积比三角形的面积大2， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上：或． 题型十 坐标系中的平移 28.（25-26八年级下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点A位于第三象限，且到x轴的距离为1，到y轴的距离为3． (1)写出图中点C的坐标，并在图中画出； (2)将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于______轴对称； (3)若，且，直接写出点D的坐标． 【答案】(1)，见解析 (2)x (3)或 【思路引导】（1）由点在坐标系中的位置直接写出坐标，由点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3得到，在图中标出，连接即可得到； （2）由关于轴对称的点的坐标特征即可得到答案； （3）根据题意，过点作，且，如图所示，数形结合即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由图可知，点的坐标为，由题可知，点的坐标为； 如图所示： 点及即为所求； （2）解：将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于轴对称； （3）解：过点作，且，如图所示： 或． 29．（25-26八年级下·山东济南·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于，两点，C是上一点，连接，过点C作交直线于点D，且． (1)求直线的函数表达式； (2)求的长； (3)P是y轴上一点，Q是坐标系内任意一点，当P、Q、C、D构成菱形时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，， 【思路引导】（1）将点与代入直线的函数表达式求解即可； （2）添加辅助线，证明与全等，由此可得，，设出点C的坐标，表示出点D的坐标，利用点D在直线上，由此可求解点C的坐标，使用勾股定理求解的值，再结合为等腰直角三角形求解即可； （3）设出点P的坐标，以为菱形的边和为菱形的对角线分类讨论，结合菱形的四条边相等，求解点P的坐标，再结合菱形的性质，以及点的平移求解点Q的坐标即可． 【规范解答】（1）解：∵点，在直线上， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：过点D作轴，如图， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， 又∵，且． 在与中， ， ∴， ∴，， 设点， 则，， ∴点， ∵点D在直线上， ∴，解得， ∴，且， 在中，， ∴， ∵，且． ∴为等腰直角三角形， ∴； （3）解：设点，点， 由（2）可知，，点，点， ①为菱形的边时，则有， ∴，解得， 当时，点， 根据菱形的性质可知，， 根据点的平移的性质可知，点平移到点， ∴点平移到点Q，可得点； 当时，点， 根据菱形的性质可知，， 根据点的平移的性质可知，点平移到点， ∴点平移到点Q，可得点； ②为菱形的边时，则有， ∴，解得m无解； ③为菱形的对角线时，则有， ∴，解得， 当时，点， 根据菱形的性质可知，， 根据点的平移的性质可知，点平移到点， ∴点平移到点Q，可得点； 综上，点Q的坐标为，，． 30．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在直角坐标系中，四边形的顶点的坐标是，，平分，点的横坐标是3，，点是对角线中点，点是射线上的一个动点，点是线段上的一个动点，且有，以，为边构造． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当的顶点落在四边形的边所在的直线上时，求的长度； (3)当时，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)3或6 (3) 【思路引导】（1）延长交y轴于点K，根据，可得轴，，从而得到，再结合直角三角形的性质可得，根据平分，可得到，从而得到，再由点的坐标是，可得，即可求证； （2）连接，则交于点D，由（1）可得到四边形是菱形，证明是等边三角形，可得，，，然后分两种情况：当点G在上时，当点G在直线上时，再结合等边三角形的判定和性质，即可求解； （3）过点D作轴于点M，由（2）得：，，，可得，，从而得到，可求出点，设，则，则，，再由直角三角形的性质可得，从而得到，进而得到，，，，可得到点，，进而得到点D先向右平移个单位，再向下平移个单位到达点F的位置，再结合四边形为平行四边形，点E先向右平移个单位，再向下平移个单位到达点G的位置，即可求解． 【规范解答】（1）证明：如图，延长交y轴于点K， ∵， ∴轴，， ∵点的横坐标是3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标是， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接，则交于点D， 由（1）得：四边形是平行四边形，，， ∴四边形是菱形， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 如图，当点G在上时，则， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 如图，当点G在直线上时，此时， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长度为3或6； （3）解：如图，过点D作轴于点M， 由（2）得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点， 设，则，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∴点，， ∴点D先向右平移个单位，再向下平移个单位到达点F的位置， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴点E先向右平移个单位，再向下平移个单位到达点G的位置， ∴点G的坐标为，即． 题型十一 坐标系中的动点问题（不含函数） 31．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边与轴重合，直角边与轴重合，，，将折叠，使它落在轴上，得到，折痕为，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段运动，点P运动到点B时停止．设运动时间为秒（）． (1)求D点坐标； (2)设的面积为，求与的关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在平面内是否存在点Q，使以，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【思路引导】（1）设，则，根据勾股定理，得，故，求解即可； （2）设运动时间为秒，则，根据三角形的面积公式，分类求解即可； （3）根据平行四边形的性质，中点坐标公式求解即可 【规范解答】（1）解：，， ， 根据题意，得，， 故， 故，，， 设，则， 根据勾股定理，得， 故， 解得， 故； （2）解：设运动时间为秒，根据题意，得， 当时，； 当时，过点D作于点M，连接，根据题意，得，， 故， ； 综上所述，． （3）解：根据题意，设点与点构成一个平行四边形， 当为对角线时，由中点坐标公式得： 解得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式得： 解得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式得： 解得：， ∴； 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 32．（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，．四边形为矩形，点是的中点，点在边上以每秒个单位长的速度由点向点运动（点到达点则停止运动）．设动点的运动时间为秒． (1)______，_____；（用含的代数式表示） (2)当四边形是平行四边形时，求的值； (3)在线段上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形为菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)． (3)存在满足条件的点，，或，． 【思路引导】（1）根据点P的运动速度和时间，直接用含的代数式表示线段长度； （2）根据平行四边形对边相等的性质，建立关于的方程求解； （3）分三种情况讨论菱形的对角线：以为对角线、以为对角线、以为对角线，利用中点坐标公式和菱形四边相等的性质，列方程求解和点的坐标． 【规范解答】（1）解：∵点的运动速度为每秒个单位，运动时间为秒， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵点是的中点，， ∴， ∴，， 设，，，． ①以为对角线时， ∵菱形对角线互相平分， ∴中点与中点重合， ，， 得， ∵菱形四边相等，， ∴， ， ， 当时，， ∴． ②以为对角线时， ∵菱形对角线互相平分， ∴中点与中点重合， ∴，， 得， ∵菱形四边相等，， ∴， ， ， 当时，， ∴． ③以为对角线： ∵菱形对角线互相平分， ∴中点与中点重合， ，， 第二个方程无解，此情况不成立． 综上，存在满足条件的点，，或，． 33．（25-26八年级下·贵州铜仁·月考）如图1，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，、．点是的中点，点P在边上以每秒2个单位长的速度由点向点B运动．设动点P的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且以O、D、P、M四点为顶点的四边形构成菱形，请直接写出符合条件的的坐标． 【答案】(1)3 (2)； (3)点坐标为或或或 【思路引导】（1）根据矩形的性质得到，进而得到，由题意得，则，根据平行四边形的性质得到，据此列方程求解即可； （2）要使四边形为菱形，得到，利用勾股定理求出的值，进而求出的值； （3）分情况讨论：①当、为菱形的边且点在点的右侧或②当点在点的左侧且在线段上或③当点在点的左侧且在延长线上或④为菱形的对角线时，根据菱形的性质得到，再利用勾股定理求出或的长即可． 【规范解答】（1）解：四边形为矩形，、， 、， 点是的中点， ， 由题意得：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得； （2）解：存在，理由如下： 由题意得：， 四边形为菱形， ， 在中，， ， 解得或（舍去）， 当时，， ， 点坐标为； （3）解：①当、为菱形的边，且点在点的右侧时，如图： 四边形为菱形， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 点坐标为； ②当点在点的左侧且在线段上时，如图： 四边形为菱形， ， 在中，由勾股定理得：， 点坐标为； ③当点在点的左侧且在的延长线上时，如图： 四边形为菱形， ， 在中，由勾股定理得：， 点坐标为； ④当为菱形的对角线时，如图，过点作， 四边形为菱形， ，且点和点关于对称， 在中，， ， ， ； 综上所述，点坐标为或或或． 【考点剖析】本题考查矩形的性质、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理、分类讨论和数形结合的思想方法是解题的关键． 1．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）将点向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【规范解答】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，平移中点的变化规律是横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减，根据规律逐步计算即可得到答案． 已知点的坐标为， 向下平移个单位，纵坐标需要减， 平移后纵坐标为， 再向左平移个单位，横坐标需要减， 平移后横坐标为， 最终得到的点的坐标是， 故选B． 2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点H，，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据平移的性质可得，，，进而推出，求出的长，利用梯形面积公式计算即可． 【规范解答】解：根据平移的性质可得， 则有， ∵， ∴， ∵将直角三角形沿方向平移得到， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 3．（25-26八年级下·河南·期中）下列说法正确的是（    ） A．图形经过平移，对应线段平行且相等 B．在三角形中，如果一边是另一边的一半，那么这条边所对的角等于 C．两边分别相等的两个直角三角形全等 D．到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点 【答案】D 【规范解答】解：A．图形平移后，对应线段可能共线，不一定平行，故A错误； B．结论“一边是另一边的一半，这条边所对的角为”仅在直角三角形中成立（且需满足短边为斜边的一半），任意三角形不满足该结论，故B错误； C．若两个直角三角形中，相等的两边分别为一个三角形的直角边和另一个三角形的斜边，两个三角形不全等，故C错误； D．∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， ∴三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故D正确． 4．（25-26八年级下·河北沧州·月考）题目：“在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点．将长为3，宽为2的长方形按如图所示的方式摆放(其中一条边与坐标轴平行)，并将其在第一象限内平移，求长方形内部(不含边界)的整点个数．”对于其答案，甲答：2个或3个，乙答：5个，丙答：4个或6个，则正确的是(     ) A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【思路引导】通过题意画出图形，即可求解． 【规范解答】解：如图所示， 有2个整点， 图1有3个整点， 图2有4个整点， 图3有6个整点， ∴甲、丙答案合在一起才完整，故选：B． 5．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【规范解答】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， ∴不可能的值为． 6．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，将三角形沿方向平移8个单位长度，得到三角形．若，三角形面积为15，则梯形的面积为 _______ ． 【答案】25 【思路引导】由平移的性质得到，进而求出，由三角形的面积公式求出h，根据梯形的面积公式即可求出结论． 【规范解答】由平移的性质得， ∵， ∴， 设的边上的高为h， ∵三角形面积， ∴， ∴， ∴， ∴梯形的面积． 7．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为30，则的长是___________． 【答案】 【思路引导】根据平移的性质可得与面积相等，减去公共部分的面积后，剩余部分面积相等，即阴影部分的面积等于梯形的面积，利用梯形面积公式列方程求解即可． 【规范解答】解：由平移的性质可知，，． ，． ． ． ． ． 解得． 8．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，沿方向平移得到，，连接，．则的度数为________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了平移的性质，等腰三角形的判定与性质等知识． 根据平移可得，，进而根据平行线的性质可得的角度，再证明是等腰三角形，问题得解． 【规范解答】解：∵沿方向平移得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴． 9．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系平行四边形中，点坐标为，点在轴上，，．动点从点出发，沿射线以每秒2个单位的速度运动，同时，动点从点出发沿边向点O以每秒1个单位的速度运动．当点到达点时，点也随之停止运动． （1）的长为___________； （2）若在轴上有一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为___________． 【答案】 8 或 【思路引导】(1)过C作于E， 根据含角的直角三角形的性质，结合点C坐标求出，从而求出的长，最后求出的长； (2)首先， 设运动时间为秒，则，接着， 求得， ，，然后，设，再分为平行四边形对角线，为平行四边形对角线两种情况，结合平行四边形的性质求解． 【规范解答】解：（1）如图1，过C作于E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）：设运动时间为秒，则． 在中，，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图1，过P作于F，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵D在y轴上， ∴设， 如图2，当为平行四边形对角线时， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ， ∴， ∴； 如图3，当为平行四边形对角线时， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 综上，点D的坐标为或． 10．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）将和按图1方式摆放，点A与点F重合，点C与点D重合，其中，，．现固定，将沿射线方向平移，平均速度每秒1个单位长度，平移时间为t秒，连接、，如图2．在平移过程中，当________时四边形是轴对称图形． 【答案】6或 【思路引导】根据题意判断出当四边形是轴对称图形时，四边形是菱形或矩形，再分类求解，即可解答． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∴， 由平移的性质得，点A，F，C，D共线， ∴， ∴四边形始终是平行四边形， ∴当四边形是轴对称图形时，四边形是菱形或矩形． ①当四边形是菱形时，此时点重合，如图 ∴． ∴， ②当四边形是矩形时，如图 ∴， 设， ∵，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． ∴， ∴． 综上所述：当6或时四边形是轴对称图形． 11．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标为、、． (1)在平面直角坐标系中，画出； (2)画出将向右平移个单位，再向下平移个单位后的，并写出、、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，；； 【思路引导】（1）根据坐标，描点连线，画，即可求解； （2）根据平移的性质找到对应点、、的坐标，并写出、、的坐标，顺次连接画出即可求解． 【规范解答】（1）解：即为所求； （2）解：如图所示，即为所求；；； 12．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，，，． (1)平移线段，使点A与点C重合，点B的对应点为点D． ①画出平移后的线段，并写出点D的坐标； ②若线段上有一点，其平移后在线段上的对应点为点Q，写出点Q的坐标； (2)平移线段，使其两端点都在坐标轴上，直接写出点A的对应点的坐标． 【答案】(1)①见解析，；②； (2)或． 【思路引导】（1）①根据平移的性质作图，再写出坐标即可；②由题意可知，线段的平移方式为向左平移5个单位长度，即可得到点Q的坐标； （2）设线段向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，则点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，再根据坐标轴上的点的坐标特征求解即可． 【规范解答】（1）解：①线段即为所求作，； ②由题意可知，线段的平移方式为向左平移5个单位长度， 若线段上有一点，则其平移后在线段上的对应点Q坐标为； （2）解：设线段向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， 则点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为， 若点在轴上，点在轴上， 则，解得：， 则的坐标为； 若点在轴上，点在轴上， 则，解得：， 则的坐标为； 综上可知，点A的对应点的坐标为或． 13．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图1，为水平线，于点E，于点A，于点D．若，，． (1)求的长度； (2)如图2，点G为延长线上一点，，将沿着方向平移到，此时，判断平移后的点会与点G重合吗？请说明理由． 【答案】(1)13.6 (2)不会，见解析 【思路引导】（1）先证明四边形是矩形，则，然后对运用勾股定理求解即可； （2）先在求出，则，再比较即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∵，， ∴在中，， ∴； （2）解：不会，理由如下： 当时，在中， ∴ ∴ ∴平移后的点不会与点G重合． 14．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）按要求完成各题： (1)如图1，已知等腰直角三角形中，，在三角形内取一点，使得，，求的度数； 小亮通过挖掘已知条件，获得，线段，这样本题就具备了一边一角的图形特征，所以小明果断的在上截取，构造出全等三角形，从而使问题得以解决．请按照小亮的思路完整解答； (2)如图2，在四边形中，，，求证：；小亮深入研究已知条件，迅速想到：延长到点，使得，连接，从而使问题得以解决．请按照小亮的思路完整解答； (3)如图3，在中，，，射线于点．若点，分别是射线，边上的动点，，连接，，直接写出最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）在对应边上截取线段，通过证明，利用全等得等腰三角形，推导目标角度； （2）由，可推出；按思路延长到点，使得，连接，通过证明，得到、；再结合，得，利用等角对等边得，进而得； （3）利用，建立直角坐标系，设，写出的表达式，将分别表示为两点间距离，从而求出最小值． 【规范解答】（1）解：已知等腰中，，， ， , 且， 在中，，     ， , ， 在上截取,连接， 在和中： ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 在 中，内角和为， ， 解得， ． （2）解：延长到点，使得，连接， ，， ， 在和中： ， ， ， 又， ， ， ． （3）解：设， 建立平面直角坐标系：设 ，，，射线作为x轴正半轴，射线作为y轴正半轴， 射线为直线，则点坐标为 ，点坐标为 ， 的长度为， 的长度为， 将其转化为几何意义：轴上的点到点和的距离之和，最小值为点关于轴的对称点到点的距离，计算得： ， 故 的最小值为 ． 15．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)平行四边形， (3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【思路引导】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $