3.1.3 函数的奇偶性-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第一册练习手册（人教B版）

N 高中数学必修第一册人教B版 数的图象如下」 1y=-x+6 1y=-x2+4x+6 第9题答图 由图可知f(x)的图象是图中的实线部分，观察图 像可知此函数的最大值为6. 10.解：(1)设f(x)=kx+b(k≠0)， 则3f(x+1)-2f(x-1)=3k(x+1)+3b-[2k(x-1)+2b] =kx+5k+b. .3f(x+1)-2f(x-1)=x+3,.kx+5k+b=x+3 k=1且5k+b=3,.b=-2,fx)=x-2. (2)xe[1,2]时，g(x)=x2-2x-2a+2=x2-2(1+a)x+2, 对称轴=+1. ①当a+1≤1时，即a≤0时，g(x)m=g(1)=1-2a, 则1-2子，得名，此时不成立 ②当1<a+1<2,即0<a<1时， g(x)mib=g(a+l)=-d-2a+l, 则2a1冬得a}或a=号（合去）归 ③当a+1≥2，即a≥1时，g(x)m=g(2)=2-4a, 则24=子，得=名此时不成立。 综上可得，分 提升练习 11.A【解析】对Vx1,∈R,且x<2,则x2-x>0, >0时，fx)<0,.fxx)<0. 又f)-fx)=f2-x)<0, ∴fx2)fx).f(x)是R上的单调递减函数 ∴.f(x)在[-3,3]上的最小值为f(3)=f(1)+f(2)= 31-3x号-2故选A 12.BCD【解析】当1时，fx)=+4+a≥4ta, 当且仅当=2时，等号成立： 当x≤1时，f代x)=x2-2ax+9为二次函数，要想在x=1 处取得最小值， 则对称轴要满足x=a≥1，且f1)≤4+a, 即1-2a+9≤a+4,解得a≥2.故选BCD. 68 3.1.3函数的奇偶性 第1课时函数奇偶性的概念 效果评价 1.B【解析】选项A中的图象关于x=-1对称，故 排除；选项C,D中的图象所示的函数的定义域不关于 原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关 于y轴对称，其表示的函数是偶函数.故选B. 2.C【解析】f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， .f(x)为偶函数，g(x)为偶函数.再根据两个奇函数的 积是偶函数，两个偶函数的积还是偶函数，一个奇函数 与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)g(x)为奇函数 故选C. 3.C【解析】f(x)-g(x)=x+x2+1,∴f-1)-g(-1)= -1+1+1=1,又由题意，可知f-1)=f(1),g(-1)=-g(1), ∴.f(1)+g(1)=1.故选C. 4.D【解析】对任意x∈R,都有f(x)=0成立，可 得f(x)为偶函数且f(x)为奇函数，而当f(x)为偶函数时， 不一定有对任意xeR,f(x)=O,A错误；当函数y= f(x)的图象关于原点成中心对称，可知f(-x)=一f(x),函 数f(x)为奇函数，B错误；由偶函数的定义可知，对 于任意x∈R,都有f-x)=fx),即f-x)f(x)=0,当 f(x)为偶函数时，任意x∈R,f(-x)-f(x)=0,反之，当 任意x∈R,f(-x)-f(x)=0,则f(x)为偶函数，.C错误， D正确.故选D. 5.B【解析】设x<0,则-x>0,f(-x)=-(-x)2-2x, .∴.f(x)=-f-x)=x2+2x.故选B. 6.B【解析】：函数f(x)的定义域为R,且f(2x+1) 为奇函数，f(2×0+1)=0,即f(1)=0,且f(-2x+1)= -f2x+1). 令1-2x=t,则2=1-t,∴.ft)=f2-t), ∴fx)=f2-x),① 又fx+2)为偶函数，f(-x+2)=fx+2),② 由①②，得fx)=f(x+2), ∴f-1)=-f(-1+2)=f1)=0,故选B. 7.BD【解析】函数y=xlx是奇函数，但在(-∞， +∞)上单调递增，故排除A；函数y=-2x是R上的奇 函数也是减函数，故B正确；函数y=上在定义域上是 奇函数，但在(-∞，0)和(0，+∞)上是减函数，在 定义域上不具有单调性，故排除C；函数y=-x是R上 的奇函数也是减函数，故D正确.故选BD x+x+1,>0, 8.f(x)=0,x=0,【解析】设x<0,则->0，. x3+x-1,x<0. f(-x)=(-x)3+(-x)+1=-x3-x+1. f(x)是奇函数，∴f(-x)=f(x)..-x3-x+1=-f(x), 即fx)=x3+x-1.ax<0时，f(x)=x+x-1. 又f(x)是奇函数，f0)=0, {x2+x+1,x>0. .f(x)=0,x=0, x3+x-1,x<0, 9.0【解析】由于f(x)是奇函数，图象关于原点对 称，∴.最高点和最低点也关于原点对称，M+=0 10.解：(1)当x>2时，设fx)=a(x-3)244. fx)的图象过点A(2,2), ∴a(2-3)244=2,∴.a=-2,∴fx)=-2(x-3)244. 设x∈(-∞，-2)，则-x>2,.∴.f(-x)=-2(-x-3)2+4 又f(x)在R上为偶函数 f-x)=fx),fx)）=-2(-x-3)2+4, 即f(x)=-2(x+3)2+4,x∈(-0，-2) (2)函数图象如图所示. 5-43-2-1012345x 第10题答图 (3)观察图象，知f(x)的值域为{yy≤4.单调递 增区间为(-0，-3]和[0,3]；单调递减区间为[-3， 0]和[3，+∞). 提升练习 11.B【解析】A和C的定义域不关于原点对称，不 正确；B的定义域为[-2,0)U(0,2],函数可化为 fx)=V4元，f-x)=V4,∴fx)=f-),fx)为 一 奇函数，B正确；D为偶函数.故选B. 12.AB【解析】y=f(x)(xeR)是奇函数，∴f-x) =f孔x).又xeR,∴.令x=0,则f-0)=-f(0),得f0)= 0,点(0,0)，(-a,fa)一定在yf(x)的图象上. 故选AB. 13.D【解析】fx)为奇函数，f-x)=f代x). f1)=-1,f-1)=f1)=1 又由-1≤f代x-2)≤1，得f1)≤f代x-2)≤f(-1) 又fx)在(-0，+∞)上单调递减，-1≤-2≤1， .1≤x≤3.故选D. 第2课时函数奇偶性的应用 效果评价 1.D【解析】根据题意，有f代x)+g(x)在(0，+∞)上 参考答案。 有最大值6，又fx)和g(x)都是奇函数，.fx)+g(x)是 奇函数且f(x)+g(x)在(-∞，0)上有最小值-6，则F(x) 在(-0,0)上有最小值-6+2=-4.故选D. 2.C【解析】f(x)为奇函数，fx)f-<0,即 x<0,x)在(0，+∞)上为减函数且f1)=0, .当>1时，fx)<0. 奇函数的图象关于原点对称， .在(-0,0)上f(x)为减函数且f(-1)=0,即x<-1 时，f(x)>0. 综上，fx)上=<0的解集为(0，-1)U(1,+0). 故选C. 3.A【解析】设g(x)=f(x-1)+x2, .:函数yf(x-1)+x2是定义在R上的奇函数，f(-2)=1, :g(-1)=f-2)+1=1+1=2, 即g(-1)=-g(1)=2,则g(1)=-2, :g(1)=f0)+1=-2,则f0)=-3.故选A. 4.D【解析】对任意的：≠2，有x)上2>0恒 X-2 成立，可得fx)是R上的增函数，又f(x)是R上的奇函数 ∴.f2x+1)Kf2-x)=fx-2),2x+1<x-2,解得x<-3, .不等式f(2x+1)+f2-x)<0的解集为(-∞，-3).故 选D 5.D【解析】f(x)是定义在R上的偶函数，f(-x) fx).fx)f),f-t)f().又f(x)在(-0,0) 上是增函数，且-x<0,2<0,.-x1<2,即+2>0.故 选D. 6.D【解析】·f(x)为偶函数，在区间[-3，-1]上 是增函数且有最大值5，f(-1)=5.f(x)在[1,3]上 的单调性与[-3，-1]上相反，f(x)在[1,3]上单 调递减，.f代1)为最大值，.f1)=f代-1)=5.故选D. 7.C【解析】f(x)是定义域为(-∞，+∞)的奇函 数，.f0)=0,且f-x)=f(x),① 又f八1-x)=f1+x),令1-x=t,.∴x=1-t, ∴ft)=f2-t),即fx)=f2-x),② 由①②，得f代-x)=f2-x), 即fx)=f2+x),③ 同理f2+x)=-f4+x),④ 由③④，得f(x)=f4+x), ∴.f4)=f0)=0,f3)=f1)=-2,f2)=f0)=0, .f1)+f2)+f3)+f(4)=0.故选C. 8.ACD【解析】f(x)是R上的奇函数，故f(0)=a- 2=0,得a=2,故A正确；f(2)=4+2=6,故B错误；当 x≥0时，f(x)=x2+x在[0，+∞)上为增函数，利用奇函 数的对称性可知，f(x)在(-∞，0]上为增函数，故fx) 是R上的增函数，故C正确；f(-3)=f(3)=-9-3=-12, 69 N 高中数学必修第一册人教B版 故D正确.故选ACD 9点【解析】)是奇函数，8x)是偶 函数，f-x)=-fx),g(-x)=g(x) fx)+g(x)=1 -1’ fx)+g(x)=1 则 即 -x)+g(-x)=1 -x-1 fx)+g(x)=1 x-1 两式相碱，解得高两式相加，解得 x21 10.兮【解析】由题意，得2-l=2-1 kP3x2-4+1<0=写<1 提升练习 1山.（子，+）【解析】m-1)+fm4k0, .f(m-1)<-f(m2+t). .f(x)是奇函数，fm-1)<f(-t-m2). 又fx)为R上的单调递减函数，∴m->t-m2恒成立， Dm2mt1-m*分月至恒成立，至 12.解：(1)令a=b=0,则f0x0)=0xf0)+0xf(0)= 0,.∴.f0)=0. 令a=b=1,则f1×1)=f1)=f1)+f1),f1)=0. (2)fx)是奇函数.理由如下： f1)f(-1)2]=-f-1)-f-1)=0,∴f-1)=0. 令a=-1,b=x,则f-x)=f-1x)=-fx)+f-1)=fx). 故f(x)为奇函数. "阶段性练习卷（三） 1.B【解析】由题意，得-2≤2x+1≤3，解得-多≤ x≤1，由x+1≠0，解得x≠-1，故函数的定义域是 [弓-1U(1,1放选B 2D【解折】41≥10石≤1，放选D 3.A【解析】函数定义域为(-∞，0)U(0,+∞)， 关于原点对称，又归（日， 放)2是为奇函数 又(x)=,万)=是在(0，+)上均为增函数， “fx之是在(0，+)上也为增函数，放选A 4.A【解析】：函数fx)满足fe)+2)=2+1,① ∴0+2)-2+1，② 70 x0+2-2+1, 联立①②，得 +2=2+1, 解得fx)去 音+的2合号有做选A 63+3=3 5B【解折】九)：1：品，其图象的对称中心为 (-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位 长度，再沿y轴向上平移1个单位长度，得到函数f(x- 1)+1的图象，其关于(0,0)对称，故函数f(x-1)+ 1是奇函数，故选B. 6.B【解析】由题可知，函数f(x)的二次项系数为 固定值，则二次函数图象的形状一定，随着b的变动， 相当于图象上下移动，若为增大飞个单位长度，则最大 值与最小值分别变为M+h,m+h,而(M+h)-(m+h)=M- m,故与b无关.随着a的变化，相当于图象左右移动， 则M-m的值在变化，故与a有关，故选B. 7D僻标】21-2 x-2 x-2 将)=图象向右平移2个单位长度，再向上平移2 个单位长度，得)=2+2 1 y士对称中心为0,0，=24点的对称中心 为(2,2)，D正确；定义域、值域均为(-∞，2)U(2, +∞)，A正确，B错误 函数在定义域的每一个子区集(-0,2)，(2，+∞) 上单调递减，D错误.故选AD. &Bc懈折】九--1+2由 4-x 于名0)≠-山，训e0,,不有在正数 M,使得(x)川≤M成立，不满足题意，故A不符合题 意；令y=4-x2,y≥0，则f(x)=Vy,y=4-x2,当 x=0时，函数y=4-x2的最大值为ym=4,ye[0,4], 即f(x)∈[0,2]，f(x)川≤2，故B符合题意；令y=22- 4+3(y≠0)，当x=2号=1时，函数)=2x2-4红+30g产 0)有最小值2×12-4×1+3=1，即22-4x+3≥1，.0< 2写月-5，e训≤5，放函数/)25 5 为有界函数；令t=V4-x,t≥0，则x=4-子，即f(x) =-4,≥0.当=号时，e)=分片号+4子 无最小值，即fx)子，x川e[0,+),此时不存在 正数M,都有f(x)川≤M成立，故该函数不是有界函数. 故选BC.N 高中数学必修第一册人教B版 3.1.3 函数的奇偶性 第1课时 函数奇偶性的概念 4.若函数y=f(x)的定义域为R,则y= 效果评价 (x)为偶函数的一个充要条件是()】 1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的 A.对任意x∈R,都有f(x)=0成立 是() B.函数y=f(x)的图象关于原点成中心 对称 C.存在某个o∈R,使得f(-xo)-f(xo)=0 D.对任意给定的xeR,都有f-x)-f(x) =0 5.函数f(x)是定义域为R的奇函数，当 x>0时，f(x)=-x2+2x,则当x<0时，f(x)的 表达式为() A.f(x)=-x2+2x B.f(x)=x2+2x C.f(x)=x2-2x D.f(x)=-x2-2x 6.设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)》 为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则() 2.设函数f(x),g(x)的定义域都为R, Af13-0 B.f-1)=0 且不是常函数，f(x)是奇函数，g(x)是偶函 C.f2)=0 D.f4)=0 数，则下列结论中正确的是() 7.(多选题)下列函数中，在其定义域 A.f(x)g(x)是偶函数 内既是奇函数又是减函数的有(） B.f(x)g(x)是奇函数 A.y=xll B.y=-2x C.fx)g(x)是奇函数 C.=1 D.y=-x3 D.f(x)g(x)1是奇函数 8.已知f(x)是定义在R上的奇函数， 3.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的 当>0时，fx)=x+x+l,则fx)的解析式为 偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则 f(1)+g(1)=() 9.定义在[-a,a](a>0)上的函数 A.-3 B.-1 f(x)是奇函数，且f(x)的最大值为M,最小 C.1 D.3 值为m,则M+m的值等于 38)练 第三章函 10.设f(x)为定义在R上的偶函数，当 提升练习 0≤x≤2时，y=x;当x>2时，y=f(x)的图象 是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物 11.以下奇偶性判断正确的是() 线的一部分， A.函数f(x)=x2(-1<x≤1)是偶函数 (1)求函数f(x)在(-0，-2)上的解 B.函数fx)=Y4是奇函数 析式 13-xl-3 (2)在图中的直角坐标系中画出函数 C.函数x)-(-1Vt 是偶函数 f(x)的图象 -x2+2x,x≤0， (3)写出函数f(x)的值域和单调区间， D.函数f(x)= 是奇函数 -x2-2x,x>0 12.(多选题)若y=f(x)(x∈R)是奇函 数，则下列点一定在函数yf(x)图象上的有 54-92- 入 012345x A.(0,0) t-2 B.(-a,-f(a)) 3 C.(-a,-f-a)) D.(a,f-a)) 第10题图 13.函数f(x)在(-∞，+∞)上单调递 减，且为奇函数，若f(1)=-1,则满足-1≤ f(x-2)≤1的x的取值范围是() A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3] 练(39 N 高中数学必修第一册人教B版 第2课时函数奇偶性的应用 B.f(-x1)f(-x2)<0 效果评价 C.f-x)>f(-x2) 1.若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)= D.x1+x2>0 f(x)+g(x)+2在(0，+∞)上有最大值8，则在 6.如果偶函数f(x)在区间[-3，-1]上 (-0,0)上F(x)有() 是增函数且有最大值5，那么f(x)在区间 A.最小值-8 [1,3]上是() B.最大值-8 A.增函数且最小值为-5 C.最小值-6 B.增函数且最大值为5 D.最小值-4 C.减函数且最小值为-5 2.设奇函数f(x)在(0，+∞)上为减函 D.减函数且最大值为5 数，且f1)=0,则不等式fx)f=)<0的解 7.已知f(x)是定义域为(-∞，+∞)的奇 函数，满足f(1-x)=f(1+x.若f1)=2,则 集为() f1)+f(2)+f3)+f(4)的值为( A.(-1,0)U(1,+∞) A.2 B.-2 B.(-0,-1)U(0,1) C.0 D.4 C.(-∞，-1)U(1,+∞) 8.(多选题)已知函数f(x)是R上的奇 D.(-1,0)U(0,1) 函数，且当x≥0时，f(x)=x2+x+a-2,则 3.已知函数y=f(x-1)+x2是定义在R上 () 的奇函数，若f-2)=1,则f(0)=() A.a=2 A.-3 B.-2 B.f2)=2 C.-1 D.0 C.fx)是增函数 4.已知定义在R上的奇函数f(x)满足： D.f(-3)=-12 对任意的≠，有fx)f)>0恒成立，则 9.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， x1-X2 不等式f八2x+1)+f(2-x)<0的解集为( 且fx)tg(x)=,xe(-l,1),则f) A3,+0B.-, g(x)= 10.已知偶函数f(x)在区间[0，+o)上 C.(-3,+∞) D.(-0,-3) 单调递增，则满足f(2x-1)<f(x)的x的取值 5.设f(x)是定义在R上的偶函数，且在 范围是 (-0,0)上是增函数，已知x1>0,2<0且 f(x)<f(x2),那么一定有() 提升练习 A.x+x2<0 11.奇函数y=f(x)在R上单调递减，若 40)练 第三章函数。 对任意的实数m,f(m-1)+f(m+t)<0恒成立， 求实数t的取值范围 12.已知f代x)是定义在R上的不恒为零的 函数，且对于任意的a,b∈R都满足f(ab)= af(b)+bf(a). (1)求f(0),f1)的值. (2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的 结论 练（41