2.2.4 均值不等式及其应用-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第一册练习手册（人教B版）

高中数学必修第一册人教B版 2.2.4均值不 效果评价 1.给出下列条件：①ab>0:②ab<0: ③a0,6>0:④a<0,b<0.其中能使合+号 ≥2成立的条件的个数有(） A.1 B.2 C.3 D.4 2.设a,b为正数，且a+b=4,则下列各 式中正确的是（) A.L+<1 B.1+1≥1 a b a b C.1+1<2 D.1+1≥2 a'b a'b 3.如果m>0,那么当m+16取得最小值 m 时，m的值为() A.-4 B.4 C.8 D.16 4.已知a>0,b>0且ab=1,则1+ 2a+26+ 8的最小值为(） at A.2 B.4 C.6 D.8 5.(多选题)16世纪中叶，英国数学家 雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作 为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次 使用“<”和“>”，并逐渐被数学界接受， 不等号的引入对不等式的发展影响深远.若 实数a>b,则下列不等式不一定成立的有 () 26)练 等式及其应用 A8>1 B.ab≤+b2 C.b+0≥2 a b D&分 6.当x∈[0,3]时，不等式x2+(a-4)x+ 4>0恒成立，则a的取值范围为 7.某种饮料分两次提价，提价方案有两 种.方案甲：第一次提价p%,第二次提价q%: 方案乙：每次都提价P9%.若p>q>0,则提 价多的方案是 8.(多选题)设a>0,b>0,a+b=1,则 下列不等式中一定成立的是() Ab≤4 B.Va+Vb≥V2 C+6≥习 D.b+4≥8 a b 9.设a>b>6,且1+≥m恒成 a-b+b-c a-c 立，求m的取值范围. 10.已知xe0,,求函数y=+ ,8的最小值。 1-2x 提升练习 11.如果x>0,y>0,x+y+xy=2,则x+y 的最小值为() A多 B.1+V3 C.2V3-2 D.2-V3 12.已知正实数a,b满足，1 2a+b a+2b 1,则a+b的最小值为 第二章等式与不等式。 *13.经观测，某公路段在某时段内的车 流量y(千辆h)与汽车的平均速度v(kmh) 900 (>0) 之间的函数关系为)，+5000 (1)在该时间段内，当汽车的平均速度 v为多少时车流量y最大 (2)为保证在该时段内车流量至少为 12千辆h,则汽车的平均速度应控制在什么 范围内？ 练(27N 高中数学必修第一册人教B版 解集是{xl<-3或>2.故选C. 2.D【解析】由题意，得4=m2-4×受<0，即m2- 2m<0,解得0<m<2.故选D. 3.B【解析】由题意，知方程a2+5x+c=0的两根为 兮，弓，由根与系数的关系，得+了+了名 兮×分台，解得6，=1故选B 4A【解折】不等式a-日>0ec-- 0.0<acl,故a<,不等式的解朱是<x。 a 故选A. (x-3)(x+1)<0, 5.A【解析】原不等式等价于x+1≠0， (x-2)2≠0， 解得-1<x<3且x≠2.故选A. △=(m-3)2-4m≥0， 6.{mlm≥9}【解析】x+x=3-m<0, m≥9 x化=m>0, 7.(-0,-7]U[1,+∞)【解析】由x2+3x-4<0,得 xe(-4,1.当x2-(2k+3)x+2+3k>0,即(x-k)[x-(k+3)]> 0,解得x<k或>k+3.由题意，知(-4,1)军(-0，k)U (k+3,+∞)，.k≥1或k+3≤-4，即k∈(-∞，-7]U[1, +∞). 8.AC【解析】由已知条件，可知二次函数y=2+ bx+c图象的开口向上，即a>0,故A正确；由已知，得 方程a2+bx+c=0的两根为-3,4，由根与系数关系得 [b=-3+4, a 解得b=-a,因此x+c>0台--12a>0. 8=(-3x4. lc=-12a, b=-a, 又a>0,x<-12,因此B不正确；“c=-2a, .∴cx2 bx+nc0e-12am+mta<0e12r2--1>0ex<-或x>号， 4 :c-bxn0的解集为K或心号}，故C正确： 而a+b+c=-a-12a=-12a<0,故D不正确.故选AC. 9.解：①当a-0时，原不等式即为-+1<0，解得o1 ②当a0时，原不等式化为日x-1>0,解得K 度o1. ③当心0时，原不等式化为x-2x-1)<0, 若al,即】=1时，不等式无解： 若心1，即1<1时，解得1<<1； 62 若0a<l,即合>1时，解得1k< 综上，当a0时，不等式的解年为<或小： 当a=0时，不等式的解集为{>1： 当0<a<1时，不等式的解集为x1<< a 当a=1时，不等式的解集为☑； 当心1时，不等式的解集为<小 10.解：（1).不等式ax2-3x+b<0的解集为{x1< x<2},1和2是关于x的方程ax2-3x+b=0的两根， 1+23 由根与系数的关系，知 解得a=1,b=2. 1x26 a (2)由(1)知，不等式mx2+mx+3≥0对于xeR均 成立， 当m=0时，不等式为3≥0恒成立， 当m≠0时，应满足 fm>0, 4=m2-12m≤0，解得0< m≤12. 综上，实数m的取值范围是[0,12]. 提升练习 11.C【解析】M={xeZ-2<x<3=1,0,1,2}, 由2+x-6<0,得(x-2)(x+3)<0,解得-3<x<2,N= xl-3<x<2},.M∩N=-1,0,1.故选C. 12.解：由1-x2≥+a+1(xeR)的解集为☑，得 (1-x2)m<a2+a+1.而(1-x2)mx=1,.2+a+1>1,∴a<-1或 a>0,即a∈(-∞，-1)U(0,+∞). 13.解：由题意，不等式ax2-x+1-a≤0对a∈ [2,3]恒成立，可设f(a)=(x2-1)a+(-x+1),a∈ [2,3],则f(a)是关于a的一次函数，要使题意成立， 只需050。一0解得-之≤e1,x的取 f3)≤0→3-x-2≤0， 值范图足}1小 2.2.4均值不等式及其应用 效果评价 1C【解析】当名，号均为正数时，合+号≥2， 故只需a,b同号即可，∴.①③④均可以.故选C. 2B【解标】≤生≤号户-4，+公≥ 2V需≥2V牙-1放选B. 3.B【解行】由于m>0,放m+≥2Vm=8, m 当且仅当m=16,即m=4时，取等号.故选B. m 4B【得桥】六方品器品学品之 2V学r品4 当且仅当=3时，取等号，即ab16 2 a+b lab=1 -2-V3,或 -2+V3,时取等号. b=2+V3b=2-V3 5.ACD【解析】当a=-1,b=-2时，满足a>b,此 时号=分<1，放A符合题意：r+-2=a-b0. 46>2,b,即ac纱，ah≤少-定 2 2 成立，故B不符合题意；当a=1,b=-1时，满足a>b 此时冬+号=-1-1-2<2，故C符合题意：当l,- 时，满足b,此时少}=1，故D符合题意放选 ACD. 6.(0,+∞)【解析】由题知x2+ax-4x+4>0, .ax>-x2+4x-4. ①当x=0时，0>-4恒成立，∴.a∈R; ②当xe0,3]时，心4-+4 e0,.t=2V4 -+1)4≤-44-0，a80 综上①②，a的取值范围为(0，+o). 7.乙【解析】设原价为1，则提价后的价格为方案 甲：(1p%)(19%),方案乙：1+生% V+p%1g0≤1+p%+1+y%-1+卫99%，且p>g>0, 2 .V(1+p%)(1+9%)<1+p9%,即(1+p%)(1+9%)< 1+P%2,“提价多的方案是乙 &.ACD【解析】ab≤a-子，当且仅当-b 2 号时，取等号，A正确面(Va+V万-a6+2V面 ≤1+2V牙-2Va+VD≤Vz,当且仅当a-b 号时，取等号，B媚误又46≥a号，当且 仅当a=号时，取等号，C正确又合+号-名 4-2+告4≥2V:晋+44，当且假当名-老 b a b a b 参考答案。 即号，b=号时，等号成立，放D正确，放选ACD, 9.解：由a>b>c,知a-b>0,b-c>0,a-c>0. 因此，原不等式等价于6+侣≥m 要使原不等式恒成立，只需需+的最小值不 小于m即可 :4e+c-a-b)+b-c）+a-b)+b-c=2+b-e a-bb-c a-b b-c a-b +b≥2+21/0--b=4, b-c Va-b b-c 当且仅当名话完，即2办a时，等号成立. .m≤4，即m∈{mlm≤4. 10解：8=层+2x+1-2 =1042.1-2x+8.2x 2x 1-2x 而xe0,,2122+825≥2V6=8, 2x 当组仅当212-8： 2x 即古e0,号时，取等号，则≥18， :函数+受的放小值为18 提升练习 11.C【解析】已知x>0,y>0,且x+y+xy=2,即xy= 2-(+y),利用均值不等式y≤字，可得2-(+) ≤告，解得x≥2V了2，当且仅当x可V3-1 时，取等号，则x+y的最小值为2V3-2.故选C. 12.号（解析】令x2a+b,a+2b,则+l,且 x Y 0,aat-3w-g号号号++2j 号2V号子2号，当且仅当2时，原等号 900m 900 13.解：(D）Fr501004005 w+1000≥21/.00-20V10, .∴y= 900—≤900 =180—,当且仅 +1000+520V0+54V10+1 当=1000，即=10V10时，等号成立.当汽车的 平均速度v=I0V0kmh时车流量y最大. 63 N 高中数学必修第一册人教B版 900w (2)令，+50+1000≥12，则可化为2-70+1000≤ 0,即(v-20)(v-50)≤0，解得20≤v≤50..汽车的平均 速度应控制在20kmh到50km/h范围内. >"阶段性练习卷（二） 1.A【解析】由题意，得M={xl-1≤x<4,N={1≤ x≤5}，则M∩N={x1≤x<4}.故选A. 2.D【解析】.x2-3x+2=0,△=9-8=1>0，.当x<1或 x>2时，x2-3x+2>0成立，故A是假命题；x2=3,当且 仅当x=±V3,不是有理数，故B是假命题；xeR, x2+1≥1，故C是假命题：移项，得4x2-(2x-1+3x2)=x2- 2x+1=(x-1)2≥0，即4x2≥2x-1+32,故D是真命题.故 选D. 3.C【解析】.不等式a2-bx+c>0的解集为{xl-2<x< -2+1=b a b=-a, 1,-2x1=,c=-2a, a, a<0, a<0, y=a2+bx+c=ax2-ac-2a=a(x2-x-2),图象开口方向向 下，与x轴的交点为(-1,0)和(2,0).故选C. 4.B【解析】x>2,y>1,(x-2)0-1)=4,x+y= a-24g-+322V20+37.当且仅当 时，等号成立.故选B 5.A【解折】若cl,则记，止， -1 ab' a6d女止-信记品女产品女≥ 12+2+2=1+1+1 2 Vabe Vabe VabcVa b Ve :bc=1是a+h+c≥1++的充分条件；当 Va v ve a=2,b=L,c=1时，a+b+e>1+1+成立， Va vb ve 但abc=2≠1，.abc=1不是必要条件.故选A 6.A【解析】a,b∈R,a山>0，.4464l≥ ab =2b2, 1-+古≥2y4地话=，当且仅当 ab ab=1 ab' V② 即 2 时，取等号，故44641的最小值为4 V2 ab 4 故选A. 7.CD【解析】原式变式为：存在正数x,y使得≥ 64 +的+成立，即≥(+2+ 由题知，正数x,y满足+2y=4. 安2+}4公号》 4+42 含++=号3+2yV号 智，当且仅当可时，取等号.故选CD. 8.ACD【解析】a+2b+3c=0,a>b>C,c<0,a>0. .a>b,c<0,.ac<bc,A正确：当b=0时，满足a>b>c, 此时abl=elb1,B错误；a>b>c,a-c>b-c>0,L< a-c 又ee0,品>c,C正确：a0,n-b>0, ∴.a(a-b)>c(a-b),即d-ab>ac-bc,整理，可得d+bc> ac+ab=a(b+c),D正确.故选ACD. 9.4【解析】将x=2,=3代人方程组2-=m,得 (x+my=n, m=1..m-nl-4. ln=5, 10.(1,+∞)【解析】若“3x∈R,x2-2x+a≤0" 是假命题，则“Hx∈R,x2-2x+a>0恒成立”是真命题， 则需满足△=4-4a<0,解得a>1. 11.(-,3]【解析】原不等式变形为adlx≤2+lxl+ 1.当x=0时，0≤1恒成立，.aeR.当x≠0时，a≤lxl+ 高.0，+≥2.当且仅当订即1时， 取等号，a≤3.综上，a∈(-0,3]. 12.[9,+∞)【解析】由a+b≥2Vab,可得ab= a+h+3≥2Vab+3,即ab≥2Vab+3,整理，得ab-2Vab -3≥0，即(Vab-3)(Vab+1)≥0.又：>0，b>0,解得 Vab≥3，即abe[9,+∞)，当且仅当a=b=3时，取等号. 13.解：设BC的长为xm,则与其相邻的一边长为 (46-43)m, 依题意列方程，得子（46-+3x-29, 即x2-49x+598=0,解得x=26或x=23. .25<26,.=26（不符合题意，舍去)..x=23. 答：矩形花园的长BC为23m. 14.解：(1)关于x的不等式a2-5x+(b+4)>0的 解集为xlx<2或>3引，2和3是方程ax2-5x+(b+4)=0的 2+3=5 两个实数根，且a>0,. a解得-2.∴a=1、 2x3=b+4