13.3.1三角形的内角分层训练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 分层递进式训练，以三角形内角和定理为核心，整合基础计算、综合推理与规律探究，提炼方程思想、转化策略及模型迁移方法，培养推理意识与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A夯实基础|14题（如第7题性质辨析）|内角和直接应用与概念辨析|从内角和基本计算到简单推理，构建概念认知| |B能力提优|10题（如第17题折叠问题）|角平分线模型、折叠角转化|结合平行线、垂直等知识，深化综合应用| |C压轴拓展|1题（第25题规律探究）|递推规律探究|通过角平分线交点规律，实现知识迁移与创新|

八年级数学 · 13.3.1 三角形的内角 · 分层训练 三角形的内角 分层训练 · A 夯实基础 第一部分（必做） 一、选择题（共 7 题） 1．如图，在△ABC中，∠A=38°，∠B=72°，则∠C的度数为（ ） A．60° B．65° C．70° D．75° 2．一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶4，则这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 3．一个直角三角形中，一个锐角的度数是另一个锐角的2倍，则较小锐角的度数为（ ） A．20° B．30° C．40° D．60° 4．一个三角形中，若一个内角等于另外两个内角的和，则这个三角形一定是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 5．一个三角形中，一个内角的度数是另一个内角的3倍，第三个内角比这个较小内角大20°，则这个三角形最大的内角为（ ） A．86° B．90° C．96° D．100° 6．如图，过△ABC的顶点A作直线DE∥BC，若∠DAB=52°，∠CAE=67°，则∠BAC的度数为（ ） A．51° B．61° C．71° D．81° 7．下列说法：①三角形至少有两个锐角；②若一个三角形有两个内角的和为90°，则第三个内角为90°；③三角形的最大内角不小于60°；④三角形的三个内角都可以小于60°。其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共 4 题） 8．一个三角形的两个内角分别为47°、68°，则第三个内角为________。 9．在直角三角形中，两个锐角分别为(x+10)°和(2x-10)°，则x=________，较大的锐角为________。 10．一个三角形的三个内角成等差数列，最小内角为48°，则最大内角为________。 11．如图，测绘员在点O观察两个目标A、C，A在O的北偏东25°方向，C在O的北偏东80°方向，连接OA、OC，则△AOC的∠AOC=________。 三、解答题（共 3 题） 12．一个三角形的三个内角度数分别为(x+15)°、(2x-5)°、(3x+20)°。 （1）求x的值； （2）求三个内角的度数，并判断这个三角形按角分类属于哪一类三角形。 13．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，D在BC上，过点D作DE∥AC，交AB于点E。已知∠B=50°，∠ADE=35°。 （1）求∠CAD的度数； （2）求∠C的度数。 14．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAD=28°，∠CAD=34°。 （1）求∠B、∠C的度数； （2）求∠A的度数，并判断△ABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。 B 能力提优 第二部分（必做） 四、选择题（共 4 题） 15．一副三角板按如图叠放，两个锐角的顶点均为O，一条直角边重合在射线OA上；30°角所在三角板的斜边为OB，45°角所在三角板的斜边为OC，则∠BOC的度数为（ ） A．10° B．15° C．20° D．25° 16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB上一点，CD⊥AB。若∠A=34°，则∠BCD的度数为（ ） A．34° B．46° C．56° D．66° 17．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A落在△ABC内部的点A′处。若∠A=56°，∠1=∠BDA′，∠2=∠CEA′，则∠1+∠2的度数为（ ） A．56° B．84° C．112° D．124° 18．如图，在△ABC中，∠A=68°。在△ABC外侧，过B、C分别作BP⊥BA、CP⊥CA，两线交于点P，且P与A位于直线BC的两侧，则∠BPC的度数为（ ） A．68° B．90° C．112° D．122° 五、填空题（共 4 题） 19．如图，在△ABC中，∠A=64°，∠B、∠C的角平分线交于点I，则∠BIC=________。 20．如图，在△ABC中，∠B=68°，∠C=52°，AD平分∠BAC并交BC于点D，AE⊥BC于点E，则∠DAE=________。 21．一个三角形的三个内角中，其中一个内角与另外两个内角的度数和分别为100°、130°，则这个内角为________。 22．一个直角三角形的两个锐角度数均为正整数，且相差18°，则这两个锐角分别为________、________。 六、解答题（共 2 题） 23．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点I。 （1）若∠A=52°，求∠BIC的度数； （2）证明：∠BIC等于90°与∠A的一半的和。 24．如图，点D在△ABC内部，且∠BDC=90°。 （1）若∠A=42°，求∠ABD+∠ACD的度数； （2）若∠A的度数为α，探究∠ABD+∠ACD与α的数量关系，并说明理由。 C 压轴拓展 第三部分（选做·附加） 25．如图，在△ABC中，∠A=60°，点P₁为△ABC的∠B、∠C的角平分线交点；点P₂为△BP₁C的∠P₁BC、∠P₁CB的角平分线交点；点P₃为△BP₂C相应两个内角平分线的交点；依此规律得到点Pₙ。记xₙ=∠BPₙC。 （1）求x₁； （2）求x₂、x₃； （3）写出xₙ与n之间的数量关系，并说明理由。 详细答案与解析 第一部分（必做） 1．答案：C 解析：由三角形内角和为180°，得∠C=180°-38°-72°=70°，故选C。 2．答案：A 解析：设三个内角分别为2k°、3k°、4k°，则2k+3k+4k=180°，解得k=20。三个内角分别为40°、60°、80°，均小于90°，所以是锐角三角形。 3．答案：B 解析：直角三角形的两个锐角之和为90°。设较小锐角为x°，则另一个锐角为2x°，所以x+2x=90，解得x=30。故较小锐角为30°。 4．答案：B 解析：设这个内角为α，另外两个内角的和也为α。由三角形内角和为180°，得2α=180°，所以α=90°。因此这个三角形一定是直角三角形。 5．答案：C 解析：设较小内角为x°，则另一个内角为3x°，第三个内角为(x+20)°。由三角形内角和为180°，得3x+x+x+20=180，解得x=32。三个内角分别为32°、96°、52°，所以最大内角为96°。 6．答案：B 解析：因为DE∥BC，所以∠DAB=∠B=52°，∠CAE=∠C=67°。又D、A、E在同一直线上，故∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°，所以∠BAC=180°-52°-67°=61°。 7．答案：C 解析：①正确。三角形至多有一个直角或钝角，因此至少有两个锐角。 ②正确。第三个内角=180°-90°=90°。 ③正确。若三个内角都小于60°，则三个内角的和小于180°，与三角形内角和为180°矛盾。 ④错误。三个内角不可能都小于60°。因此正确的有3个，故选C。 8．答案：65° 解析：第三个内角=180°-47°-68°=65°。 9．答案：30；50° 解析：直角三角形两个锐角互余，所以(x+10)+(2x-10)=90，得3x=90，x=30。两个锐角为40°和50°，较大的锐角为50°。 10．答案：72° 解析：设三个内角为a-d、a、a+d。由(a-d)+a+(a+d)=180°，得3a=180°，所以中间角a=60°。最小角为48°，故d=12°，最大角为60°+12°=72°。 11．答案：55° 解析：以正北方向为共同始边，两条观测射线分别偏东25°和80°，所以∠AOC=80°-25°=55°。 12．答案：（1）x=25；（2）三个内角依次为40°、45°、95°，这个三角形是钝角三角形。 解析：（1）由三角形内角和为180°，得(x+15)+(2x-5)+(3x+20)=180，化简得6x+30=180，所以x=25。 （2）代入x=25，三个内角依次为40°、45°、95°。因为最大内角95°>90°，所以这个三角形是钝角三角形。 13．答案：（1）35°；（2）60°。 解析：（1）因为DE∥AC，且AD为截线，所以∠ADE=∠DAC=35°，即∠CAD=35°。 （2）AD平分∠BAC，所以∠BAC=2∠CAD=70°。由三角形内角和，∠C=180°-70°-50°=60°。 14．答案：（1）∠B=62°，∠C=56°；（2）∠A=62°，△ABC是锐角三角形。 解析：（1）AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°。在Rt△ABD中，∠B=90°-28°=62°；在Rt△ACD中，∠C=90°-34°=56°。 （2）∠A=∠BAD+∠CAD=28°+34°=62°。三个内角62°、62°、56°都小于90°，故△ABC是锐角三角形。 第二部分（必做） 15．答案：B 解析：两块三角板的一条直角边重合在射线OA上，OB与OA的夹角为30°，OC与OA的夹角为45°。因此∠BOC=45°-30°=15°。 16．答案：A 解析：CD⊥AB，所以∠ADC=90°。在Rt△ACD中，∠ACD=180°-90°-34°=56°。又∠ACB=90°，所以∠BCD=90°-56°=34°。 17．答案：C 解析：由折叠的性质，∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，所以∠ADA′=2∠ADE，∠AEA′=2∠AED。 因为A、D、B三点共线，所以∠1=∠BDA′=180°-2∠ADE；因为A、E、C三点共线，所以∠2=∠CEA′=180°-2∠AED。 在△ADE中，∠ADE+∠AED=180°-∠A，因此∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A=112°，故选C。 18．答案：C 解析：因为BP⊥BA，所以∠PBC=90°-∠ABC；因为CP⊥CA，所以∠PCB=90°-∠ACB。 在△PBC中，∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=∠ABC+∠ACB。又∠ABC+∠ACB=180°-∠A=112°，故选C。 19．答案：122° 解析：设∠B、∠C的角平分线交于I，则∠IBC=∠B的一半，∠ICB=∠C的一半。 在△BIC中，∠BIC=180°-(∠B+∠C)的一半。又∠B+∠C=180°-64°=116°，所以∠BIC=180°-58°=122°。 20．答案：8° 解析：由三角形内角和，∠A=180°-68°-52°=60°。AD平分∠BAC，所以∠BAD=30°。 AE⊥BC，在Rt△ABE中，∠BAE=90°-∠B=22°。图中AE位于AB与AD之间，因此∠DAE=∠BAD-∠BAE=30°-22°=8°。 21．答案：50° 解析：设所求内角为x°，另外两个内角分别为y°、z°。由题意，x+y=100，x+z=130。两式相加，得2x+y+z=230。又x+y+z=180，两式相减得x=50，所以这个内角为50°。 22．答案：36°；54° 解析：设较小锐角为x°，较大锐角为y°。直角三角形中x+y=90，且y-x=18。联立解得x=36，y=54。 23．答案：（1）116°；（2）见解析。 解析：（1）因为BI、CI分别平分∠B、∠C，所以在△BIC中，∠IBC=∠B的一半，∠ICB=∠C的一半。于是∠BIC=180°-(∠B+∠C)的一半。 又∠B+∠C=180°-∠A。当∠A=52°时，∠B+∠C=128°，故∠BIC=180°-64°=116°。（2）一般地，∠BIC=180°-(180°-∠A)的一半，即： 24．答案：（1）48°；（2）∠ABD+∠ACD=90°-α。 解析：（1）在△BDC中，∠BDC=90°，所以∠DBC+∠BCD=90°。 又∠B=∠ABD+∠DBC，∠C=∠ACD+∠BCD，故∠ABD+∠ACD=(∠B+∠C)-(∠DBC+∠BCD)。∠B+∠C=180°-42°=138°，所以∠ABD+∠ACD=138°-90°=48°。（2）同理，∠B+∠C=180°-α，而∠DBC+∠BCD=90°，所以∠ABD+∠ACD=90°-α。 第三部分（选做·附加） 25．答案：（1）x₁=120°；（2）x₂=150°，x₃=165°；（3）见解析。 解析：（1）P₁为△ABC的内角平分线交点，由第23题结论，x₁=90°+30°=120°。 （2）P₂为△BP₁C的两个底角平分线交点，所以x₂=90°+x₁的一半=150°；同理x₃=90°+x₂的一半=165°。 （3）一般地，有xₙ₊₁=90°+xₙ的一半。令yₙ=180°-xₙ，则yₙ₊₁=yₙ的一半，且y₁=60°，故： 检验：n=1、2、3时分别得到120°、150°、165°，与前两问一致。 学科网（北京）股份有限公司 $