13.3.1 课时1 三角形的内角 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 人教版数学八年级上册“三角形内角”同步练，以“基础认知—直接应用—综合拓展”分层递进，通过定理理解、多角度证明及方程思想应用，构建从单一到综合的知识巩固路径，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|三角形内角和定理及证明方法|以撕纸拼接、作平行线证明题为主，强化几何直观与转化思想| |直接应用|已知两角求第三角|通过选择、填空题考查基本计算，夯实运算能力| |综合拓展|倍分/和差关系、多角求和、方程思想|结合折叠、旋转情境的解答题，渗透模型意识与逻辑推理|

2026-2027学年度人教版数学八年级上册课时同步训川练 第十三章三角形 13.3.1三角形的内角 课时1三角形的内角 课时目标 1. 理解并掌握三角形内角和定理，能复述定理内容，明确三角形三个内角之和为 180°。 2.了解三角形内角和的多种证明方法（如撕纸拼接、作平行线转化角），体会“几何直 观”与“推理证明”的联系。 3.能熟练运用三角形内角和定理进行角度计算，解决直接求角、已知两角求第三角、角 之间的倍分和差关系及结合方程思想的计算问题。 课时目录 知识点01：三角形内角和定理 知识点02：三角形内角和的证明方法 知识点03：直接利用内角和求未知角 知识点04：已知两角求第三角 1/19 知识点05：三角形中角之间的倍分、和差关系计算 知识点06：多角求和问题 知识点07：三角形内角与方程思想的结合 知识点01：三角形内角和定理 三角形的内角和等于180°。即在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。 这是三角形的基本性质之一，适用于所有类型的三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角 三角形)。 1.(25-26七年级下江西抚州期末)如图，B,F,E,C在同一条直线上，∠A=∠D,若 ∠AEB=∠DFC ABI‖CD ,求证： E D 2.(25-26七年级下·湖北武汉期末)如图，AB∥DE,∠BFD=∠I F 、2 B D (I)证明：DF∥AC: (②)若∠I=65°，DF平分∠BDE,直接写出∠C的度数， 3.(25-26七年级下·天津滨海新区·期末)如图，已知直线AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E, F,FG平分LEFD交AB于点G,EM平分∠GEF交FG于点M,过点G作NG⊥GF,G为垂足， 交直线EF于点N. 2/19 (I)若∠EGF=27°，求∠AEF的度数， (2)求证：∠AGN=∠N EF∥CDGD∥CA 4.(25-26七年级下·安徽芜湖期末)已知：如图， C 1)求证：∠1+∠2=180°： 2)若CD平分∠ACB,DG平分∠CDB,且∠A=35°，求∠ABC的度数 知识点02：三鱼形内角和的证明方法 常用证明方法（基于平行线性质）： 撕纸拼接法：将三角形的三个内角撕下，拼在一起，可直观看到一个平角(180°)，感受 “和为180°”的事实。 作平行线法（严格推理）：在△ABC中，过顶点A作直线EFBC。 BE ∴.∠B=∠EAB(两直线平行，内错角相等)， ∠C=∠FAC(两直线平行，内错角相等)。 又，∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°（平角定义）， ∴.∠B+∠BAC+∠C=180°. 3/19 此方法是后续学习几何证明的基础，需理解“通过平行线将分散的角集中到一个平角”的 转化思想。 5.(25-26七年级下·山东菏泽期末)如图，在△ABC中，试说明：∠A+∠B+∠C=180° 6.(25-26七年级下广东佛山期末)学习完七年级下册第86页“三角形内角和定理”后，小华发现：不 通过撕、拼的方法，而是在△ABC的顶点A处，通过尺规作图添加适当辅助线，也可说明 ∠A+∠B+∠C=180° (1)请在图中用尺规作图作出所需辅助线（保留作图痕迹，不写作法）： (2)根据所作辅助线，完成下面的证明过程. 如图，在△ABC中，过点A作直线MN∥BC, 根据 得到∠B=∠ ∠C=∠ 根据平角定义，∠ +∠BAC+∠ 因此，∠B+∠BAC+∠C=180°，即∠A+∠B+∠C=180° 7.(25-26七年级下河南郑州期末)【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察 得到三角形内角和为180°，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了. > 图1 图2 图3 图4 (I)如图1，过△ABC的项点A作BC的平行线ED,请你证明三角形的内角和为180° 证明：，BC∥ED ∴.∠EAB=∠B,∠DAC= (依据是： 4/19 ,∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°（平角的定义） +∠BAC+ =180°（等量代换） 即三角形的内角和为180° 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能. 【迁移应用】 (②)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢.自行车的示意图如图 2,其中ABIICD,请你求∠AEC,∠EAB,∠ECD这三个角的关系： 【学以致用】 3)如图3是超市购物车，图4是其侧面示意图，已知AB/CD,FD⊥CD,测量得知∠ABE=70°， ∠BEF=90°，则∠DFE= 8.(25-26八年级下·宁夏银川期末)问题解决 问 三角形内角和为什么等于180° 题 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实 验会存在误差.不符合数学的严谨性.是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和 问 等于180°呢？ 题 提 出 图1 思 路 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动”、组成一个平角 启 呢？ 迪 尝 请过三角形的顶点A添加辅助线.使角“移动”到合适位置.便于说明三角形内角 试 和等于180°.要求如下： 思 1.用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线：2.用简短、专业的数学语言对添 考 加辅助线的操作进行描述. 5/19 图2 图3 逻 辑 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于180°的理由. 说 理 小华同学通过思考，发现在△ABC边AB上任意取一点P(不与点A、B重合)， 触 如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”· 类 P 旁 通 B 图4 ()完成“尝试思考”中的操作与描述： 方法一：如图2，延长BA至点D,过点A作 利用平行线的性质得到 ∠B=∠DAE、∠C=∠EAC即可求解. 方法二：如图3，过点A作DE∥BC,利用平行线的性质得到 再利用平角定义和等量代换可得结论： D E B 图2 图3 (2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图 证明过程如下： 3)写出“触类旁通”中的说理过程.（在图4画出图形，写出证明过程） D B 图4 知识点03：直接利用内角和求未知角 6/19 己知三角形中两个角的度数，可直接利用内角和定理求出第三个角的度数。 公式：∠C=180°-∠A-∠B。 示例：在△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，则∠C=180°-30°-70°=80°。 9.(25-26八年级下·甘肃平凉期末)如图，在△ABC中，∠A=50°，将△ABC沿虚线剪去∠A,则∠I+∠2 的度数为() 2 B A.180° B.230° C.240° D.270° 10.(25-26七年级下福建泉州期末)如图所示，摆放一副三角板（∠A=∠D=90°，∠C=30°， ∠E=45°)，其中AC∥EF,则∠a的度数为() A.65° B.70 C.75° D.80° 11.(25-26七年级下·福建福州期末)已知△ABC的三个内角分别是∠A、∠B、∠C,若∠A=60°， ∠C=2∠B,则∠C=】 12.(25-26七年级下福建福州期末)如图，己知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高， ∠ACE=20°，∠B=50°，∠ADC= 知识点0：已知函角求第三鱼 与知识点03本质相同，强调“已知两个内角，求第三个内角”的直接应用。 7/19 需注意角度计算的准确性，单位为“度”（°）。 13.(25-26七年级下~湖南湘潭·期末)如图，把△ABC绕点C顺时针旋转28°，得到△4'B'C,AB交AC 边于点D.若∠A'DC=90°，则∠A=() A B A.72° B.62° C.52° D.28° 14.(25-26七年级下·陕西咸阳阶段检测)如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，CE平分∠ACD交 AD于点E,∠CAD=20°，则∠BCE的度数为°. 15.(25-26八年级下辽宁大连期末)如图，AB‖CD,BE与CD相交于点C,∠B=I10°，∠D=∠E, 则∠D= 16.(25-26七年级下贵州黔南期末)如图，AD⊥BC,EF⊥BC,垂足分别为D,F,∠GDC=∠B 12 3 (1)求证：∠2+∠3=180° 请同学们完成下面的证明： 证明：：AD⊥BC,EF⊥BC(已知)， 8/19 .∠ADB=∠EFB=90°( .EF∥AD, .∠1+∠2=180°( :∠GDC=∠B(已知)， .AB∥DG( .∴∠1=∠3( .∠1+∠2=180° .∠2+∠3=180° 2)若DG平分∠ADC,∠C=55°，求∠BAC的度数. 知识点05：三角形中鱼之间的倍分和差关系计算 当三角形内角之间存在倍数（如∠A=2∠B)、和差（如∠A十∠B=∠C)等关系时，可 结合内角和定理列方程求解。 示例：在△ABC中，∠A=2∠B,∠C=3∠B,求∠A、∠B、∠C的度数。 解：，∠A十∠B十∠C=180°， ∴.2∠B+∠B+3∠B=180°， 即6∠B=180°，∠B=30°， ∴.∠A=60°，∠C=90°。 17.(24-25七年级下河北唐山期末)如图，△ABC中，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线， ∠A=50°，则∠B0C等于(). A.110° B.115 C.120° D.130° 18.(25-26七年级下·上海浦东新期末)如图，△ABC中，CD是边AB上的高，∠BCD=30°， LACB=80°，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数为， 9/19 D 19.(25-26七年级下陕西咸减阳阶段检测)如图，AD为△ABC的角平分线，DE‖AB交AC于点E,若 ∠B=50°，∠ADE=47°，则∠C的度数为 E B D C 20.(25-26七年级下·河南期末)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分 线，CF交AD于点G,交BE于点H,给出以下结论：①BF=AF;②∠AFG=∠AGF;③ ∠FAG=2∠4CF,①BH=CH,⑤4D-BC=4B:4C,OS=Sa.其中-定正确的结论有 (填序号)· 知识点06：多角求和问题 在复杂图形中，若涉及多个三角形，可利用“每个三角形内角和为180°”逐步求解。 例如：求△ABC中，∠A+∠B+∠C十∠D十∠E(如五角星的一个角或组合图形)时， 可通过构造辅助线或分解为多个三角形，利用内角和定理及外角性质求解，但本课重点在 单个三角形内的多角关系，如直角三角形中两锐角互余（∠A十∠B=90°，因∠C= 90°)。 21.(23-24七年级下·河南南阳期末)如图1，先将一张长方形纸片对折，然后沿图2的虚线折叠得到图 3,再按图3所示沿BC剪下△ABC并展开.若展开后是图4所示的正五角星（每个锐角都是36°）则 图3中∠ABC的度数是 10119 图1 图2 图3 图4 22.(24-25七年级下福建泉州期末)如图1是常见的“8字型”平面图形，设AB,CD的交点为0，根据 “三角形的内角和”等相关几何知识，易证得∠A+∠D=∠C+∠B这个重要数学结论 图1 图2 图3 图4 (I)【模型求解】如图2，线段EF位于四边形ABCD内部，连结BE,CF交于点O,运用上述结论，求 出∠A+∠ABE+∠DCF+∠D+∠E+∠F的度数： (②)【构造模型】如图3是常见的“五角星”平面图形，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的角度之和（要 求：用两种思路进行求解)， (3)【拓展运用】若将图3中“五角星”的五个角截去，得到如图4，请求出图4中 ∠A+∠B+∠C+∠D+LE+∠F+LG+∠H+∠M+∠N的角度之和 23.(23-24八年级上·贵州黔西南期末)中华人民共和国五星红旗上大五角星代表中国共产党，四颗小五 角星代表工人、农民、小资产阶级和民族资产阶级四个阶级.五颗五角星互相连缀、疏密相间，象征 中国人民大团结.每颗小星各有一个尖角正对大星中心点，表示人民对党的向心之意，如图①：根据 图形填空： 11/19 人2 B E 图① 图② (1)∠1=∠C+,∠2=∠B+: (2)∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=+∠I+∠2=-： 【应用】 (3)如图②.求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 24.(23-24七年级下江苏宿迁期末)已知：如图1，三条线段 B.C2 B,C3 B3C 两两相交于点、 A B: B C C A: A A A21B A C B C 图1 图2 求B、G、、C,∠B∠C 的度数之和： ②如图2，四条线段两两相交于点4、本、4、4，求：B、C、丛、∠C、及、∠C ∠B4∠C4 的度数之和 ⑧)猪想：类比图1、图2的面法，”条线段两两相交于点4、4、、44，郑么 ∠B+∠C+∠B2+∠C2+…+∠Bn+∠Cn= 12119 知识点07：三鱼形内鱼与方程思想的结合 将三角形内角的关系转化为一元一次方程求解，是本课的重点应用。 步骤： 设未知数（通常设最小的角或倍数关系中的基准角为x): 用含x的代数式表示其他角： 根据“∠A+∠B十∠C=180°”列出方程； 解方程求出x,进而求出各角的度数： 检验所求角度是否符合三角形内角的取值范围(0°<每个角<180°)。 示例：在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:23,求各角的度数。 解：设∠A=x,则∠B=2x,∠C=3x, x+2x+3x=180°， 6x=180°， x=30°， ∴.∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°。 25.(25-26七年级下·四川绵阳阶段检测)已知直线AB∥CD,将30°的直角三角板MNP(其中 ∠P=90°∠MNP=30 )的顾点MN分别放在B,CD上，T交4B于点Q,且∠M=40 现 将三角形MP2绕点P以每秒15°的速度顺时针旋转一周，当三角形MPQ的一条直角边与MN平行时， 则运动的时间为_秒. D 26.(25-26七年级下·四川成都期末)当三角形中一个内角“是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为 “特征三角形”，其中内角称为“特征角”.如果一个钝角三角形是“特征三角形”，其中一个内 角为42°，那么这个“特征角”“的度数为 27.(25-26七年级下·四川绵阳阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别是 13119 4Q,2),B(-1,0),将线段B向右平移4个单位长度后得到线段DC,连接4D,CE平分∠BCD交 AD于点E. V角 BO (I)点D的坐标为一，线段AB扫过的面积为一；（请直接作答） (2)求证：∠DCE=∠DEC: B)如图，AF∥CE交BC于点F,M是线段CE上一点，且∠CDM=k∠EDM,若N是直线CE上一点， 且满足∠NDM=∠OAF.若∠CDN=1∠EDN,当=5时，求常数t的值. 28.(25-26七年级下黑龙江齐齐哈尔期末)如图，FG∥HK,一块三角板的顶点A在直线HK上， BC、AC分别交FG于点D、E.已知∠BAC=60°，∠B=90°，∠C=30° D G H H A 图1 图2 图3 (1)如图1，∠BAH=40°，求∠FDB的度数； (②)如图2，在(1)的条件下，当∠CDE和∠CAK的角平分线交于点I时，求∠I的度数. B)如图3，点I在∠EDC的角平分线上，连接AL,使∠CA:∠KAI=1:3,且∠I=35°，此时∠FDB 的度数为 课时训练 一、选择题 1.(25-26七年级下湖南永州期中)如图，直线m∥n,点A在直线m上，点B在直线n上，连接AB, 过点A作AC1AB,交直线n于点C.若∠1=50°，则∠2的度数为()· 14119 A m 人2 Cn A.30° B.40° C.50° D.60° 2.(25-26七年级下四川广元期末)如图，AB/CD,E为AB上一点，CEFH,过点E作EG⊥FH于 点G,EH平分∠BEG,且∠BEG=2LC,则下列结论中：①CE⊥GE；②2∠C+∠HFD=90°： ③∠H=60°，④EF平分∠CEG;其中正确的结论有() A B H G D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(25-26七年级下·河南洛阳期末)如图，在△ABC中，∠A=100°，1=∠2，∠3=∠4.则∠1+∠4的 值为() 100° A.45 B.60 C.50° D.40° 4.(25-26七年级下浙江衢州期末)如图，在三角形纸片ABC中，∠B=20°，∠C=60°，点D在AB上 且BD<2AB.若在BC上找一点E,将纸片沿DE折叠，点B落在点F处，EF怡好与三角形ABC的一 边平行，则满足所有平行条件的∠BDE度数为() D B A.40°或80° B.50°或130° C.50°或80°或130° D.40°或80°或130° 二、填空题 15119 5.(25-26七年级下·广东深圳期末)如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠A=60°，沿过点B的直 线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD.则∠EDB= B 6.(25-26七年级下·上海浦东新期末)小华将一副三角板（∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°）按 如图所示的方式摆放，其中AB∥EF,则∠I的度数为 7.(25-26九年级下·湖南长沙阶段检测)如图，在五边形ABCDE中，AB∥DE,A0,E0分别平分 ∠EAB和∠AED,则∠AOE的度数为 8.(25-26七年级下河南开封期中)如图，GA∥FD,一副三角板如图摆放，∠EDF=60°， ∠BAC=45°BC∥DE EFI‖AB∠GAB=30°EC ,若 ,下列结论：① :②1 :③平分∠FBD ④ ∠AED=135°.其中正确的是 G B 三、解答题 9.(25-26七年级下河南濮阳期末)【问题探究】 16119 己知AB∥CD,点E,F分别为AB和CD上的点，点P是平面内一点.数学兴趣小组的同学们想探究 ∠EPF与∠PEB,∠PFD的数量关系（∠EPF,∠PEB,∠PFD均为大于O°且小于18O°的角）. (I)当点P在直线AB和CD之间时. ①若点P在线段EF右侧，如图1，小明和小亮给出了不同的解决方法，请你将两位同学的过程补充 完整. E A B 图1 小明：如图2，过点P作PM∥AB E A B M C F D 图2 .∴.∠EPM=∠PEB :CD∥AB,PM∥AB .PM∥CD( .∠MPF=∠PFD .·∠EPM=∠PEB .∠MPF+∠EPM=∠PFD+∠PEB .∠EPF=∠PEB+∠PFD 小亮：如图3，过点F作FN∥PE交AB于点N.… 、N E A B FO D 图3 ②若点P在线段EF左侧，如图4，请直接写出∠EPF与∠PEB,∠PFD的数量关系. 17119 E A B P F D 图4 2)若∠PEB=30°，∠PFD=50°，直接写出∠EPF的度数. 【方法应用】 (3)上述两位同学都是过某个点作已知直线的平行线，利用平行线的性质来解决问题.请你利用上述方 法解决下面的问题. 已知：如图5，三角形SHT, 求证：∠S+∠H+∠T=180°， S H 图5 10.(25-26七年级下北京期末)如图1，已知直线AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点MN, ∠END=60,∠END的角平分线交∠EMB最靠近MB的n等分线>2)于点P. E A M M -D 图1 图2 (1)若n=3,则∠MPN= (2)如图2，直线GH分别交直线AB、直线CD、直线PM、直线PN于点G、H、Q、R,设 ∠GHC=a(0°<a<90) ①若GH⊥PM,求a与n的数量关系： 18119 ②将直线GH沿直线CD进行平移，直接写出平移过程中∠MQR与∠NRG的数量关系. 19/19 2026－2027学年度人教版数学八年级上册课时同步训练 第十三章 三角形 13.3.1 三角形的内角 课时1 三角形的内角 ▌课时目标 1. 理解并掌握三角形内角和定理，能复述定理内容，明确三角形三个内角之和为180°。 2. 了解三角形内角和的多种证明方法（如撕纸拼接、作平行线转化角），体会“几何直观”与“推理证明”的联系。 3. 能熟练运用三角形内角和定理进行角度计算，解决直接求角、已知两角求第三角、角之间的倍分/和差关系及结合方程思想的计算问题。 ▌课时目录 知识点01：三角形内角和定理 知识点02：三角形内角和的证明方法 知识点03：直接利用内角和求未知角 知识点04：已知两角求第三角 知识点05：三角形中角之间的倍分、和差关系计算 知识点06：多角求和问题 知识点07：三角形内角与方程思想的结合 ▌知识点01：三角形内角和定理 三角形的内角和等于180°。即在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°。 这是三角形的基本性质之一，适用于所有类型的三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）。 1．（25-26七年级下·江西抚州·期末）如图，B，F，E，C在同一条直线上，，若，求证：． 【答案】证明：，，，， ， ∴． 【分析】根据三角形内角和定理并结合题意得出，再结合平行线的判定定理即可得证． 【详解】略． 2．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图，，． (1)证明：； (2)若，平分，直接写出的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据平行线性质推出，再结合题意进行等量代换推出，进而即可证明； （2）利用角平分线定义求出，进而得到，再根据求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：平分， ， ， 结合（1）可知， ， ． 3．（25-26七年级下·天津滨海新区·期末）如图，已知直线，直线分别交，于点，，平分交于点，平分交于点，过点作，为垂足，交直线于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明：平分，平分， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ． 【分析】（1）根据平行线的性质求出，再由角平分线的定义求出，最后由平行线的性质即可求解； （2）由角平分线的定义得到，，由平行线的性质得到，因此，从而可推出，从而得到，因此，，通过等量代换得证结论． 【详解】（1）解：∵，， ∵平分， ∴， ∵， ． （2）略 4．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，据此可证明结论； （2）根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，进而求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， 平分， ， ，        平分， ， ． ▌知识点02：三角形内角和的证明方法 常用证明方法（基于平行线性质）： 1. 撕纸拼接法：将三角形的三个内角撕下，拼在一起，可直观看到一个平角（180°），感受“和为180°”的事实。 2. 作平行线法（严格推理）：在△ABC中，过顶点A作直线EF∥BC。 ∵EF∥BC， ∴∠B＝∠EAB（两直线平行，内错角相等）， ∠C＝∠FAC（两直线平行，内错角相等）。 又∵∠EAB＋∠BAC＋∠FAC＝180°（平角定义）， ∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°。 此方法是后续学习几何证明的基础，需理解“通过平行线将分散的角集中到一个平角”的转化思想。 5．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，试说明：． 【答案】解：过点作， 则，， 因为， 所以． 【分析】过点作，则，，根据平角的定义即可得出结论． 【详解】略 6．（25-26七年级下·广东佛山·期末）学习完七年级下册第86页“三角形内角和定理”后，小华发现：不通过撕、拼的方法，而是在的顶点处，通过尺规作图添加适当辅助线，也可说明 (1)请在图中用尺规作图作出所需辅助线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据所作辅助线，完成下面的证明过程． 如图，在中，过点作直线， 根据_____________________________ 得到_________，_________， 根据平角定义，___________________________， 因此，，即． 【答案】(1)如图所示，直线即为所求 (2)如图，在中，过点作直线， 根据两直线平行，内错角相等， 得到，， 根据平角定义，． 因此，，即 【分析】（1）根据作一个角等于已知角，作出辅助线即可； （2）利用平行线的性质及平角的定义可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 7．（25-26七年级下·河南郑州·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（依据是：______） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系； 【学以致用】 (3)如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；； (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质，补全证明过程即可； （2）由平行线的判定和性质，可得，，等量代换即可得，，这三个角的关系； （3）作，，由平行线的性质可得，，据此计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 过点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） 即； （3）解：如图，作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 作，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）问题解决 问题 三角形内角和为什么等于 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实验会存在误差．不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于呢？    思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动"、组成一个平角呢？ 尝试思考 请过三角形的顶点A添加辅助线．使角“移动”到合适位置．便于说明三角形内角和等于．要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述．    逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于的理由． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点（不与点、重合）．如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”．    (1)完成“尝试思考”中的操作与描述； 方法一：如图2，延长至点，过点作___________、利用平行线的性质得到即可求解． 方法二：如图3，过点作，利用平行线的性质得到___________． 再利用平角定义和等量代换可得结论：_________．    (2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图___________，证明过程如下： (3)写出“触类旁通”中的说理过程．（在图4画出图形，写出证明过程）    【答案】(1)． ，内角和为． (2)选择图2，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和为； 选择图3，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和为； (3)证明：过点作交于点，过点作交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴ 即内角和为． 【分析】（1）方法一：过点A作，利用平行线的性质得到，即可求解． 方法二：过点A作，利用平行线的性质得到，，再利用平角定义和等量代换可得结论； （2）根据平行线的性质进行证明即可； （3）过点作交于点，过点作交于点，由两直线平行，同位角相等，内错角相等易证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 ▌知识点03：直接利用内角和求未知角 已知三角形中两个角的度数，可直接利用内角和定理求出第三个角的度数。 公式：∠C＝180°－∠A－∠B。 示例：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，则∠C＝180°－30°－70°＝80°。 9．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合三角形内角和性质得出，再根据四边形内角和为列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴． 10．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图所示，摆放一副三角板（，，），其中，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由平行线性质及三角形的内角和求得，再利用三角形内角和定理求出，最后根据邻补角互补算出∠α的度数． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（25-26七年级下·福建福州·期末）已知的三个内角分别是、、，若，，则________°． 【答案】 80 【详解】解：∵三角形内角和为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，已知是的角平分线，是的高，，，________． 【答案】 【分析】由直角三角形两个锐角互余得出，，得到，由角平分线的定义得出，最后由三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． ▌知识点04：已知两角求第三角 与知识点03本质相同，强调“已知两个内角，求第三个内角”的直接应用。 需注意角度计算的准确性，单位为“度”（°）。 13．（25-26七年级下·湖南湘潭·期末）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得旋转角，再根据三角形的内角和求解即可． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转，得到， ∴， 又∵， ∴． 14．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，为边上的高，平分交于点E，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据三角形内角和求得，即可求得，再求即可解答． 【详解】解：为边上的高， ， ， 平分， ， ． 15．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，，与相交于点 C，，，则________． 【答案】/度 【详解】解：， ， ． 16．（25-26七年级下·贵州黔南·期末）如图，，，垂足分别为D，F，． (1)求证：． 请同学们完成下面的证明： 证明：，（已知）， （______________）， ， （________________）． （已知）， （_________________）， （________________________）． ， ． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)垂直的定义；两直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质与判定结合垂直的定义进行证明即可． （2）由垂直的定义得，由角平分线的定义求出，可得，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：， ， 平分， ， ， ， ， ． ▌知识点05：三角形中角之间的倍分、和差关系计算 当三角形内角之间存在倍数（如∠A＝2∠B）、和差（如∠A＋∠B＝∠C）等关系时，可结合内角和定理列方程求解。 示例：在△ABC中，∠A＝2∠B，∠C＝3∠B，求∠A、∠B、∠C的度数。 解：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴2∠B＋∠B＋3∠B＝180°， 即6∠B＝180°，∠B＝30°， ∴∠A＝60°，∠C＝90°。 17．（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，中，、分别是、的平分线，，则等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∴． 18．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 【答案】 【分析】先根据角的和差关系求出的度数，再在中，利用三角形的内角和定理求出，结合角平分线的定义求出，最后根据三角形的内角和定理求解． 【详解】解：，， ∴， ∵是边上的高， ， ， 是的平分线， ， ∴, ∴． 19．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，为的角平分线，交于点E，若，，则的度数为________． 【答案】36 【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 20．（25-26七年级下·河南·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定正确的结论有____________（填序号）． 【答案】②③⑤ 【分析】根据三角形的中线的性质判断④和⑤；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断①和③，根据三角形的面积公式判断⑥． 【详解】解：是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ，故正确； ，， ，故③正确； 由已知条件不能确定， 不能得出，故④错误； F不一定是的中点， 不能得出，故错误； 不能得出， 不能得出， 不能得出，即不能得出， 故⑥错误； ，， ， ，故⑤正确； 综上可知，正确的有②③⑤． ▌知识点06：多角求和问题 在复杂图形中，若涉及多个三角形，可利用“每个三角形内角和为180°”逐步求解。 例如：求△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E（如五角星的一个角或组合图形）时，可通过构造辅助线或分解为多个三角形，利用内角和定理及外角性质求解，但本课重点在单个三角形内的多角关系，如直角三角形中两锐角互余（∠A＋∠B＝90°，因∠C＝90°）。 21．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图1，先将一张长方形纸片对折，然后沿图2的虚线折叠得到图3，再按图3所示沿剪下并展开．若展开后是图4所示的正五角星（每个锐角都是）则图3中的度数是________． 【答案】/126度 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握折叠的性质，三角形内角和定理是解题的关键．如图，由折叠的性质可得，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图， 由折叠的性质可得，，， ∴， 故选：C． 22．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1是常见的“8字型”平面图形，设的交点为，根据“三角形的内角和”等相关几何知识，易证得这个重要数学结论． (1)【模型求解】如图2，线段位于四边形内部，连结交于点，运用上述结论，求出的度数； (2)【构造模型】如图3是常见的“五角星”平面图形，求出的角度之和（要求：用两种思路进行求解）． (3)【拓展运用】若将图3中“五角星”的五个角截去，得到如图4，请求出图4中的角度之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线构造三角形和“8”字模型是解答此题的关键． （1）利用“8”字模型和四边形内角和进行计算即可； （2）连接，构造三角形和“8”字模型即可求解； （3）构造三角形，利用（2）中的结论可得结论． 【详解】（1）解：（1）由“8字型”可知，， ； （2）如图3：连接， 由（1）得：， ， ， 即五角星的五个内角之和为． （3）如图4，延长，于点，延长，于点，延长，于点，延长，于点，延长，于点， 由（3）得， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ． 23．（23-24八年级上·贵州黔西南·期末）中华人民共和国五星红旗上大五角星代表中国共产党，四颗小五角星代表工人、农民、小资产阶级和民族资产阶级四个阶级．五颗五角星互相连缀、疏密相间，象征中国人民大团结．每颗小星各有一个尖角正对大星中心点，表示人民对党的向心之意，如图①：根据图形填空： （1）______，______； （2）____________； 【应用】 （3）如图②．求的度数． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形三个内角的和为，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）由三角形外角的性质解答即可； （2）由三角形内角定理解答即可； （3）由三角形外角的性质得，，由三角形内角定理得，从而问题得解． 【详解】解：（1）由三角形外角的性质得，， 故答案为：，； （2）由三角形内角定理得， ， 故答案为：，； [应用] （3）如图②，由三角形外角的性质得，， 由三角形内角定理得， ． 24．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：如图1，三条线段、、两两相交于点、、．    (1)求、、、、、的度数之和； (2)如图2，四条线段两两相交于点、、、，求：、、、、、、、的度数之和； (3)猜想：类比图1、图2的画法，条线段两两相交于点、、、……，那么________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，几何中角度的规律探究． （1）利用三角形内角和定理求解； （2）同理（1）利用三角形内角和定理求解； （3）结合（1）（2）结论即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：同理（1）得：， ， ； （3）解：， ， ， ． ▌知识点07：三角形内角与方程思想的结合 将三角形内角的关系转化为一元一次方程求解，是本课的重点应用。 步骤： 1. 设未知数（通常设最小的角或倍数关系中的基准角为x）； 2. 用含x的代数式表示其他角； 3. 根据“∠A＋∠B＋∠C＝180°”列出方程； 4. 解方程求出x，进而求出各角的度数； 5. 检验所求角度是否符合三角形内角的取值范围（0°＜每个角＜180°）。 示例：在△ABC中，∠A:∠B:∠C＝1:2:3，求各角的度数。 解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x， x＋2x＋3x＝180°， 6x＝180°， x＝30°， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°。 25．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）已知直线，将的直角三角板（其中，）的顶点M，N分别放在上，交于点Q，且，现将三角形绕点P以每秒的速度顺时针旋转一周，当三角形的一条直角边与平行时，则运动的时间为______秒． 【答案】或或或 【分析】根据题意得出，，然后分四种情况分析：分别作出相应图象，然后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 当时，如图所示： ∴， ∵三角形绕点P以每秒的速度顺时针旋转一周， ∴时间为：秒； 当时，如图所示： ∴， ∴， ∵三角形绕点P以每秒的速度顺时针旋转一周， ∴时间为：秒； 当时，如图所示： ∴， ∴， ∴旋转角为：， ∴时间为：秒； 当时，如图所示： ∴， ∴旋转角为：， ∵三角形绕点P以每秒的速度顺时针旋转一周， ∴时间为：秒； 综上可得：运动的时间为或或或秒． 26．（25-26七年级下·四川成都·期末）当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中内角称为“特征角”．如果一个钝角三角形是“特征三角形”，其中一个内角为，那么这个“特征角”的度数为_______． 【答案】或 【分析】设三角形三个内角为，，，已知一个内角为，分三种情况讨论后，结合钝角三角形的条件筛选符合要求的结果． 【详解】解：设三角形的三个内角分别为，，， 当时，则， ∴， 此时三角形是钝角三角形，符合题意； 当时，则， ∴， 此时三角形是锐角三角形，不符合题意； 当时， ∴，解得：， 此时三角形是钝角三角形，符合题意； 综上：或． 27．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别是，，将线段向右平移4个单位长度后得到线段，连接，平分交于点． (1)点D的坐标为______，线段扫过的面积为______；（请直接作答） (2)求证：； (3)如图，交于点F，M是线段上一点，且，若N是直线上一点，且满足．若，当时，求常数t的值． 【答案】(1)，8 (2)证明：线段向右平移4个单位长度后得到线段， ， ， 平分交于点E， ， ． (3)， 【分析】（1）根据线段平移的距离和点的坐标，即可求出点坐标和的长度，再根据面积法即可求出扫过的面积． （2）根据线段平移的性质推出，根据两直线平行，内错角相等和角平分线的定义即可推出． （3）先利用已知条件，设参数，，求出，再利用第（2）问的结果和三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质推出，结合直角三角形的性质求出，利用点在直线上分情况讨论①当点在点上方，②当点在线段上，③当点在点下方，结合和，即可求出的值． 【详解】（1）解：线段向右平移4个单位长度后得到线段，， 点横坐标为，点纵坐标不变， ，扫过形成的平行四边形的面积为． （2）略 （3）解：，， ， 设，则， 由（2）可知， ， ， ， ． ①当点在点上方时，如图所示， ，， ，， ， ， ， ． ②当点在线段上时，如图所示， ，， ，， ， ， ， ． ③当点在点下方时，如图所示， ，， ， ， 此时点不存在． ，． 28．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，，一块三角板的顶点在直线上，、分别交于点、．已知，，． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，当和的角平分线交于点时，求的度数． (3)如图3，点在的角平分线上，连接，使，且，此时的度数为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点B作，可得，从而得到，即可求解； （2）设交于点M，根据角平分线的定义可得，再由，可得，即可求解； （3）设交于点M，由（1）得：，设，则，，再由角平分线的定义以及，可得，， 根据，可得，从而得到，再由三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图，设交于点M， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，设交于点M， 由（1）得：， 设，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 即． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26七年级下·湖南永州·期中）如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据平行线的性质求出的度数，然后利用三角形内角和性质列式，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·四川广元·期末）如图，，E为上一点，，过点E作于点G，平分，且， 则下列结论中： ①； ②；③； ④平分；其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质及垂直定义可得，结合及平行线性质求出，进而判断①②；利用角平分线及三角形内角和定理求出，即可判断③；通过已证结论即可判断④． 【详解】解：，， ，即，故①正确； ， ， ， ， ， ，即，， ， ， ，故②正确； 平分， ， 在中，，故③正确； ∵，若平分，则需， 但根据已知条件不能推出，因此不能推出平分，结论④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个． 3．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义得出，最后代入计算即可． 【详解】解：在中，， ， ，， ，， ， ． 4．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）如图，在三角形纸片中，，，点在上且．若在上找一点，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好与三角形的一边平行，则满足所有平行条件的度数为（     ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】分时和时两种情况，再结合平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和性质，列式计算即可． 【详解】解：当时，如图，则， 由折叠性质得：， ， 则 当时，如图，则， 由折叠性质得：，， ∴ ∵ ∴ 当时，如图，则， ， ∴ 综上，的度数为或或 二、填空题 5．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在三角形纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为．则___________． 【答案】/度 【分析】根据折叠的性质得出，从而得到对应角相等，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 由折叠的性质可知，，． ∴在中，． 6．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为________． 【答案】 【分析】设交于点G，根据平行线的性质可得的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图所示，设交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴． 7．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，在五边形中，，，分别平分和，则的度数为________． 【答案】/90度 【分析】根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义求出，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·河南开封·期中）如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是______． 【答案】①②③④ 【分析】根据平行线的判定与性质、三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义判断求解即可． 【详解】解：如图，交于点， ， ， ， ， ， ， ， 故①符合题意； ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②符合题意； ，， ， ， ， ， ， 平分， 故③符合题意； ，， ， 故④符合题意， ∴符合题意的有①②③④． 三、解答题 9．（25-26七年级下·河南濮阳·期末）【问题探究】 已知，点E，F分别为和上的点，点P是平面内一点．数学兴趣小组的同学们想探究与，的数量关系（，，均为大于且小于的角）． (1)当点P在直线和之间时． ①若点P在线段右侧，如图1，小明和小亮给出了不同的解决方法，请你将两位同学的过程补充完整． 小明：如图2，过点P作． ． （____________________） 小亮：如图3，过点F作交于点N．… ②若点P在线段左侧，如图4，请直接写出与，的数量关系． (2)若，，直接写出的度数． 【方法应用】 (3)上述两位同学都是过某个点作已知直线的平行线，利用平行线的性质来解决问题．请你利用上述方法解决下面的问题． 已知：如图5，三角形． 求证：． 【答案】(1)①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； 小亮：如图，过点F作交于点N． （两直线平行，同位角相等） （两直线平行，内错角相等） 又 ② (2)或 (3)证明：过点S作 ， 【分析】（1）①两直线平行，内错角相等；②两直线平行，同旁内角互补； （2）根据，，分类讨论进行求解； （3）两直线平行，内错角相等；三角形内角和为． 【详解】（1）①略 ②过点P作． ， ． ， ； （2）解：，， 当到的右侧且在之间时， ； 当到的右侧且在上方时， ， ， ； （3）略 10．（25-26七年级下·北京·期末）如图1，已知直线，直线分别交、于点M、N，，的角平分线交最靠近的n等分线于点P． (1)若，则__________； (2)如图2，直线分别交直线、直线、直线、直线于点G、H、Q、R，设： ①若，求与n的数量关系； ②将直线沿直线进行平移，直接写出平移过程中与的数量关系． 【答案】(1)10 (2)①；②或或 【分析】（1）过P作，根据平行线的性质，结合已知求得，，进而可求解； （2）①根据平行线的性质，平移性质以及G、Q、H、R的相对位置分情况画出图形，结合已知和三角形的内角和定理可求解； ②先求得，再根据平移性质以及G、Q、H、R的相对位置分情况画出图形，利用三角形的内角和定理和平角定义分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过P作，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵的角平分线交最靠近的n等分线于点P，， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：根据题意，点G、H、Q、R的位置有六种情况，如图2、图3、图4、图5、图6、图7， ①如图2，∵，，， ∴，， ∵直线， ∴，则， ∵， ∴， 同理，由图3、图4、图5、图6、图7，可知， 综上，当时，与n的数量关系为； ②由（1）和①可知，， ∴， 由图2知，，，， ∴， ∴； 由图3知，，，， ∴， ∴； 由图4知，，， ∴， ∴； 由图5知，， ∵， ∴， ∴； 由图6知， ， ∴； 由图7知， ， ∴ 综上，与的数量关系为或或． / 学科网（北京）股份有限公司 $