专题13.2 与三角形有关的线段（培优讲义）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦“与三角形有关的线段”核心知识点，系统梳理三角形的边（三边关系定理及推论）、三条重要线段（角平分线、中线、高的定义与性质）、三角形稳定性与四边形不稳定性，构建从基础概念到应用的学习支架。 资料亮点在于11类题型精准覆盖边的关系、线段计算等核心内容，探究式学习（如面积平分问题）培养创新意识与几何直观，课后检测与复盘笔记助力学生查漏补缺，体现数学思维的推理能力与数学语言的应用意识，提升教学效果与学习效率。

简一数理 初中专题讲义 专题13.2 与三角形有关的线段 （新教材人教版） 2 2 3 4 6 8 9 11 12 15 17 20 22 24 28 33 41 知识点一、三角形的边 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 三角形三边关系定理的推论:三角形任意两边之差小于第三边． 即a、b、c三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段． 注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形． 知识点二、三角形中三条重要的线段 定 义 示例剖析 三角形的角平分线： ①定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． ②性质：三角形的三条角平分线交于一点． 线段AD为的一条角平分线 三角形的中线： ①定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． ②性质：三角形的三条中线交于一点． 线段AD为BC边上的中线 三角形的高： ①定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． ②性质：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点． 线段AD为BC边上的高 知识点三、三角形具有稳定性、四边形不具有稳定性 1. 核心性质 三角形的稳定性：三角形三边长度确定，其形状、大小就唯一确定，无法发生形变，结构稳定。 四边形的不稳定性：四边形四条边长固定，但内角可以自由改变，图形整体形状可发生形变，结构不稳定。 2. 多边形稳定性规律 所有多边形中，仅有三角形具有稳定性；边数大于3的多边形（四边形、五边形、六边形等）均无稳定性。 3. 四边形形变特征 四边形发生变形时，四条边长度、图形内角和保持不变，仅内角度数与图形形状发生改变。 4. 四边形加固方法与原理 加固方法：连接四边形的对角线。原理：将四边形分割为两个三角形，利用三角形的稳定性，使四边形固定不变形。 5. 生活实际应用 利用三角形稳定性：自行车车架、篮球架支架、屋顶三角支架、桥梁斜拉支架、塔吊结构。 利用四边形不稳定性：电动伸缩门、伸缩晾衣架、折叠栅栏、活动升降支架。 【题型1 构成三角形的条件】 【例1】若三根长度分别为2、4、x（x为正整数）的木棒顺次相接能够组成三角形，则（     ） A．组成的三角形中，周长最小为8 B．组成的三角形中，周长最小为7 C．组成的三角形中，周长最大为 D．组成的三角形中，周长最大为 【答案】D 【详解】∵三角形三边长为，，， ∴，即， 又∵为正整数， ∴的可能取值为，，， 当时，周长最小，最小周长为，因此选项A，B错误， 当时，周长最大，最大周长为，因此选项C错误，选项D正确． 【变式1-1】在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为12和15两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（     ） A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 【答案】B 【分析】分两种情况讨论中线分周长的组合，结合等腰三角形性质列方程组，求解后验证三边关系． 【详解】解：如图，设等腰的腰长，底边长， ∵是边上的中线， ∴， 分两种情况：情况①当时， 解得， ∵， ∴能构成三角形； 情况②当时， 解得， ∵， ∴能构成三角形． 综上，底边长为7或11． 【变式1-2】等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】分腰长为、腰长为两种情况讨论，结合三角形三边关系排除不成立的情况后计算周长． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为和， 分两种情况讨论： ①当腰长为时，三边长为，，， ， 不能构成三角形； ②当腰长为时，三边长为，，， ， 能构成三角形，周长为． 【变式1-3】下列线段长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用构成三角形的三边条件，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故此选项不合题意； B、，不能构成三角形，故此选项不合题意； C、，能构成三角形，故此选项符合题意； D、，不能构成三角形，故此选项不合题意． 【题型2 确定第三边取值范围】 【例2】三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】设第三根小棒的长度是x，由三角形的三边关系可得，再由图中挡板高度进一步确定，然后结合选项即可解答． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为10，另一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x， 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知，即， 由图中挡板高度为5，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，即C选项符合题意． 【变式2-1】如图，某校实践小组测得地面上一点A到池塘两端、的距离分别是米，米．则池塘两端、之间的距离可能是（     ） A．3米 B．4米 C．12米 D．13米 【答案】C 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，计算即可得出结果． 【详解】解：设池塘两端、之间的距离为米， 由三角形三边关系可得：， 即， ∴池塘两端、之间的距离可能是12米． 【变式2-2】两根木棒的长度分别是和，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】利用三角形三边关系求出第三根木棒的取值范围，再根据第三边长度为偶数的条件，找出符合条件的取值即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， 根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得， ∴， 又∵第三根木棒的长为偶数， ∴满足条件的为，，，，共4种取值． 【变式2-3】在中，三边长分别为a，b，c，且都是整数，，，则满足条件的三角形的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，结合已知边长的大小关系和整数条件，枚举所有可能的边长即可得到结果． 【详解】解：∵，，且为整数， ∴，的可能取值为． ∵是最长边，因此只需满足即可构成三角形， 当时，得，结合，可得整数，共2种， 当时，得，结合，没有符合条件的整数， 当时，得，结合，没有符合条件的， 综上，满足条件的三角形共2个． 【题型3 三角形三边关系的应用】 【例3】若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】未明确的边是腰还是底，需分类讨论并验证三角形三边关系. 【详解】解：当为腰长时，底边长为， ∵，不能构成三角形， ∴此情况不成立； 当为底边长时，腰长为， ∵，能构成三角形， ∴腰长为. 【变式3-1】一个三角形的三边为且周长为不大于的偶数，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系及取不等式组的特殊解．由三角形三边关系和周长条件列不等式组确定的取值范围，结合周长为偶数的条件验证选项． 【详解】解：三角形最长边为，由三边关系得，解得． 周长为，由周长不大于，得，解得． 由周长为偶数，得为偶数，即为奇数． 综上，的取值范围是，且为奇数． 选项A、B、D均满足上述条件，选项C中不满足，无法构成三角形，不符合条件． 【变式3-2】若，，是的三边，化简：（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形三边关系确定绝对值内式子的符号，再去绝对值号化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵是的三边， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴原式 ． 【变式3-3】三角形三边长分别为：2，x，6，化简（     ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据绝对值的化简法则去掉绝对值符号，合并计算得到结果． 【详解】解：∵三角形的三边长为，，， 根据三角形三边关系可得， ∴， ∴，， ∴． 【题型4 三角形的稳定性及其应用】 【例4】劳动实践课上，小明用4根木棒钉成一个四边形木架，它容易变形，现需增加一根木棒，使其具有稳定性，则下列做法不能使其具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出图形只被分割成了三角形的选项即可． 【详解】解：对于选项A，两个四边形不具有稳定性，所以A选项符合题意； 对于B选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边,固定住，所以,,三点也是相对固定的，所以B选项不符合题意； 对于C选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边,固定住，所以,,三点也是相对固定的，所以C选项不符合题意； 对于D选项，如下图，四边形分成了两个三角形，所以它具有稳定性，所以D选项不符合题意． 【变式4-1】如图，把平板电脑放在一个支架上面，就可以将它固定好使用，这样做的数学道理是（   ） A．两点间线段最短 B．三角形的稳定性 C．点到直线的距离，垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性在生活中的应用，根据三角形的稳定性即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：把平板电脑放在一个支架上面，就可以将它固定好使用，这样做的数学道理是三角形的稳定性， 故选：B． 【变式4-2】下列图形中，具有稳定性的是（    ） A．直角三角形 B．长方形 C．五边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】根据三角形的稳定性即可得到答案． 【详解】解：A、直角三角形具有稳定性，故此选项正确； B、长方形不具有稳定性，故此选项不正确； C、五边形不具有稳定性，故此选项不正确； D、正六边形不具有稳定性，故此选项不正确． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的性质，解题的关键是掌握三角形具有稳定性． 【变式4-3】下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：选项D中活动衣架上没有三角形，其余A、B、C选项中都含有三角形， 由三角形的稳定性可知，选项D中没有利用三角形的稳定性， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键． 【题型5 四边形的不稳定性】 【例5】如图，许多学校门口都装有四边形可收缩门，它反映了四边形具有（     ）的特点． A．稳定性 B．不稳定性 C．对称性 D．旋转不变性 【答案】B 【详解】解：由题意得许多学校门口都装有四边形可收缩门，它反映了四边形具有不稳定性的特点． 【变式5-1】下列物体应用了四边形的不稳定性的是（   ） A．木质梯子 B．学校门口的伸缩门 C．矩形门框 D．正方形地砖 【答案】B 【详解】解：四边形的不稳定性是指四边形边长固定时形状容易改变，只有需要灵活改变形状的场景才会利用该性质． A选项木质梯子需要保持固定形状保障安全，利用的是结构稳定性，不符合要求； B选项学校门口的伸缩门需要改变形状实现伸缩开合，正是利用了四边形的不稳定性，符合要求； C选项矩形门框和D选项正方形地砖都需要保持固定形状，不符合要求． 【变式5-2】以下生活现象利用四边形的不稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性，不符合题意； B、活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上梯子变形，是利用三角形的稳定性，不符合题意； C、伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，符合题意； D、使用梯子的过程中，墙壁、地面和梯子形成三角形，三边和三角固定，防止登上梯子变形，是利用三角形的稳定性，不符合题意． 【变式5-3】从数学角度看下列四幅图片有一个与众不同，该图片是（   ） A．屋顶支撑架 B．自行车三角架 C．伸缩门 D．旧木门钉木条 【答案】C 【分析】利用三角形的稳定性和四边形的不稳定性进行解答即可． 【详解】解；A、B、D这三个选项中的图形应用的是三角形的稳定性，C选项中的图形应用的是四边形的不稳定性． 【题型6 根据三角形中线求长度】 【例6】如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中线的定义解题． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴ ， ∴， 解得． 【变式6-1】在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．再根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， 是的角平分线； 由图2得，， ， 即， ， 是的高线； 由图3得，， 是的中线； 综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 【变式6-2】如图，中，________，，，要使和的周长的差是，则横线上加的条件为（    ） A．是边上的中线 B．是的平分线 C．是边上的垂线 D．以上说法都不对 【答案】A 【分析】先表示出和的周长，再根据其差为，可得，进而可得，从而求解． 【详解】解：的周长为，的周长为， ∵，，要使和的周长的差是， ∴， 即， ∴， ∴， ∴是边上的中线． 【变式6-3】如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用和三角形中线的定义可判断C选项的正确；利用平分和角平分线的定义即可判断出B选项的正确；由三角形的高线的定义，可判断D选项的正确；利用角平分线的定义只能得到，但没有办法得到，可判断出A选项错误． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故C正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意； ∵平分， ∴． 但没有办法得到，故A错误，符合题意． 故选：A． 【题型7 根据三角形中线求面积】 【例7】中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵，点D是边上的中点， ∴， ∵点E是边上的中点， ∴，， ∴， ∵点F是边上的中点， ∴． 【变式7-1】如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求解． 【详解】解：∵的面积为，的面积为， ∴， ∵、分别是的两条中线， ∴，， ∴，， ∴． 【变式7-2】如图，的面积为，为边上的中线，为上任意一点，连接，，图中阴影部分的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据三角形中线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：为边上的中线， ， 的面积为， ，， ． 【变式7-3】如图，四边形的面积是，各边的中点分别为，，，，与相交于点，图中阴影部分的总面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接， ， ， ， 根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ∵各边中点分别为，，，， ∴，，，， ∴， ， ， ， ∴ ， ∵， ∴． 【题型8 重心的概念】 【例8】如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 【答案】A 【详解】解：由三角形薄板保持水平可知悬挂点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心． 【变式8-1】如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】物体处于平衡状态被提起，说明提起的点是三角形的重心，即三条中线的交点，判断四个点中哪个点在中线上即可． 【详解】解：如图，由网格特点可得，点N是的中点，则是的中线， ∴的重心在上， ∴重心是点， 即在三角形硬纸片上选点C，在这个点处用细绳将其提起来，该三角形纸片处于平衡状态． 【变式8-2】平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查重心． 根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由作图可知，为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线上，不符合题意； B．为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线上，符合题意； C．组合图形关于直线对称，重心一定在直线上，不符合题意； D．点为正方形的重心，点为长方形的重心，重心一定在直线上，不符合题意． 故选：B． 【变式8-3】如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 【答案】D 【分析】由重心是三条中线的交点，可知线段，，是的三条中线，可判断①错误，继而得出，，进一步推出，然后逐个分析即可． 【详解】解：①，，相交于点，点是的重心，重心是三条中线的交点， 线段，，是的三条中线，故①错误； 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ， ∵， ∴， 同理可求：，故④正确； ∴的面积是面积的一半，故②正确； 图中与面积相等的三角形有共2个，故③正确； ∵，与等高， ∴，     ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 【题型9 三角形角平分线的定义】 【例9】下列命题不是真命题的是（   ） A．三角形的高一定在三角形的内部 B．三角形的三条角平分线必定交于一点 C．全等三角形对应边上的中线相等 D．三角形一边上的中线分成的两个三角形面积相等 【答案】A 【分析】此题主要考查了命题与定理，利用三角形的有关性质分别判断得出是解题关键． 根据三角形的角平分线，高，中线和全等三角形的性质，分别进行判断得出答案即可． 【详解】解：A、在钝角三角形中，从锐角顶点向对边所作的高在三角形的外部，故A不是真命题，符合题意； B、三角形的三条角平分线必交于一点（内心），故B是真命题，不符合题意； C、全等三角形对应边上的中线相等，故C是真命题，不符合题意； D、三角形一边上的中线将底边分为两等分，且两个三角形等高，所以三角形一边上的中线分成的两个三角形面积相等，故D是真命题，不符合题意； 故选：A． 【变式9-1】如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列关系式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形高、角平分线、中线的定义，熟悉理解三角形高、角平分线、中线的定义是解题的关键． 根据三角形高、角平分线、中线的定义逐一判断即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴，故A说法正确，故A不符合题意； ∵是的角平分线， ∴，故B说法正确，故B不符合题意； ∵与不一定会相等，故C说法不正确，故C符合题意； ∵是的高， ∴，故D说法正确，故D不符合题意； 故选：C． 【变式9-2】如图，在中，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了两直线平行内错角相等，角平分线定义，等角对等边， 先根据平行线性质和角平分线定义得，进而得出 ，然后根据得出答案． 【详解】解：∵和的平分线交于点，F， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 故选：B． 【变式9-3】下列说法不正确的是（    ）． A．三角形的中线在三角形的内部 B．三角形的外心不一定在三角形的外部 C．三角形的高线在三角形的内部 D．三角形角平分线交点到三边距离相等 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记概念以及在三角形中的位置是解题的关键． 根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、三角形的中线在三角形的内部正确，故本选项不符合题意； B、三角形的外心不一定在三角形的外部正确，故本选项不符合题意； C、只有锐角三角形的三条高在三角形的内部，故本选项符合题意； D、三角形角平分线交点到三边距离相等正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 【题型10 画三角形的高】 【例10】如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义，判断解答即可． 【详解】解：A． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； B． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； C． 线段是中边上的高，不是中边上的高，原说法错误，符合要求； D． 线段是中边上的高，正确，不符合要求． 【变式10-1】如图，，以下说法不正确的是（） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 【答案】B 【分析】根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴是的边上的高，不是边上的高，故该选项说法错误，符合题意； C、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； D、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意． 【变式10-2】下列说法中正确的有（   ） ①对顶角相等；②从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离；③两条直线的位置关系有平行和相交两种；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤过一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑥三角形的三条高线相交于一点． A．1个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【详解】解：①对顶角相等，符合对顶角的性质，故①正确； ②点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，不是垂线段本身，故②错误； ③只有在同一平面内，两条直线的位置关系才是平行和相交两种，缺少“同一平面内”的前提，故③错误； ④只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，缺少前提，故④错误； ⑤只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在这样的平行线，故⑤错误； ⑥三角形的三条高线所在直线才相交于一点，钝角三角形的三条高线本身不相交于同一点，故⑥错误； 综上，正确的说法只有1个． 【变式10-3】下列命题中是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．三角形的三条高所在的直线相交于三角形内一点 C．同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D．同一平面上，经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题真假的判断，涉及平行线的性质，三角形高的性质，垂线与平行线的基本事实，掌握相关定理与概念是解题的关键． 【详解】A、只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，原命题缺少“两直线平行”的前提条件，故该选项不符合题意； B、钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外一点，直角三角形三条高所在直线相交于直角顶点，只有锐角三角形三条高相交于三角形内一点，故该选项不符合题意； C、根据同一平面内垂线的基本事实，经过任意一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故该选项符合题意； D、若该点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，原命题缺少“直线外”条件，故该选项不符合题意． 【题型11 与三角形高有关的计算问题】 【例11】已知是三角形的高，，，三角形的面积是，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据面积求出，再分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，解得， 分两种情况： 当点在线段上时，如图所示： 则； 当点在线段的延长线上时，如图所示： ； 综上所述，的长为或． 【变式11-1】如图，直角三角形的直角边，，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，交于点E，，三角形的面积是，下列结论：①三角形平移的距离是6；②；③；④四边形的面积为16．其中正确的结论是（     ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】直接利用平移的性质，结合三角形及梯形的面积公式解答即可． 【详解】解：由题意，直角三角形的直角边，，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，， ∴三角形的平移距离是4，故①错误； 根据平移得：， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 由平移的性质可得，故③正确； 根据题意得：，，， ，故④错误； 综上可得：正确的结论为②③． 【变式11-2】如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】连接，利用面积法将的面积表示为与的面积之和，结合即可求出的值． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， ， ， ． 【变式11-3】如图，已知，，，，点为直线上一动点，连接，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短的性质，计算出面积即可计算出的最小值． 【详解】解：点为直线上一动点，根据垂线段最短的性质，当时，线段的值最小． 已知，，，， 过点作轴于点，交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，如图， ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为 ， ∴，，， ，，， 观察图形可知， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【探究式学习】 1．在学习完三角形的中线相关性质后，某数学兴趣小组进行了进一步的探究学习． 资料1 三角形的中线可以将三角形的面积分成相等的两部分． 资料2 如下图，在四边形中，对角线与交于点O，若，则． 探究1 如图1，过边上任意一点D作一条直线，使其平分的面积． 思路：如图2，连接，过点A作交的延长线于点E，连接交于点G，取中点F，连接，则即为所求直线． 探究2 如下图，过四边形的顶点A作一条直线，使其平分四边形的面积． 问题1 根据探究1中给的思路证明平分的面积． 问题2 请完成探究2，并说明理由． 【答案】 问题1：证明：， ， ， 即， 为的中点， ， 平分的面积． 问题2：如图2，连接，过点B作交的延长线于点E，取中点F，作直线，则即为所求直线． 证明：， ， ， 即， 为的中点， ， 平分四边形的面积． 【分析】本题考查了三角形中线的性质，平行线的性质及三角形的面积，添加平行线，构造等积变形的图形是关键． （1）根据资料2可知，所以，再根据三角形中线的性质，即可证明结论； （2）连接，过点B作交的延长线于点E，取中点F，作直线，根据资料2可知，所以，再根据三角形中线的性质，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 2．综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【提出问题】 问题1：探究图1中，、、、、、这6个小三角形的面积关系？ 问题2：探究图1中的，，的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填“”、“”或“”）； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与______的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等； （3）由的面积是的面积的2倍，可得______，同理可得：______； 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点F是的重心，连接，并延长分别交，于点E，D，若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3），；（4）42 【分析】本题考查了重心定义、利用三角形中线求面积，同底等高三角形，根据已知解题思路求出的值是解题关键． （1）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （2）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （3）由上述解析得到6个小三角形面积相等，进而得到的面积是的面积的2倍，再根据同高三角形面积之比等于底边之比求解即可； （4）由上面的结论可知，，进而求出，，然后利用三角形的面积公式和6个小三角形面积相等求解即可． 【详解】解：（1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：， 故答案为：； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等， 故答案为：； （3）由的面积是的面积的2倍，可得，同理可得：， 故答案为：，； （4）由条件可知， ∴，， ∵， ∴的面积为， ∴四边形的面积． 3．如图1，点是内部一点，连接，并延长交于点． (1)试探究与的大小关系； (2)试探究与的大小关系； (3)如图2，点，是内部两点，试探究与的大小关系． 【答案】(1) ，理由为： ， ∴ 即： (2) ，理由为： 在中，， 在中，， 两式相加得：+ 即： (3) ，理由为： 如图，延长交的延长线于G，交于点F， 在中，，① 在中，，② 中，，③ 得： 【分析】（1）利用三角形的两边之和大于第三边解题即可； （2）在和中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可； （3）延长交的延长线于G，交于点F，在、和中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可． 【详解】（1）解：略． （2）略． （3）略． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三遍之间的关系是解题的关键． 【课后检测】 1．已知等腰三角形的三边长分别为，，，则这个等腰三角形的周长是（     ） A．5 B．5或 C．或14 D．5或或14 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两边相等的性质分三种情况讨论，结合三角形三边关系验证后计算周长． 【详解】解：分三种情况讨论： ① 当时， 解得， 此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； ② 当时， 解得， 此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； ③ 当时， 解得，此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长是5或或14． 2．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】分3cm的边为腰、底两种情况讨论，验证能否构成三角形后确定底长. 【详解】解：分两种情况讨论： 当为腰长时，底边长为， ∵， ∴无法构成三角形，此情况舍去. 当为底边长时，腰长为. ∵， ∴可构成三角形，此情况成立，故该等腰三角形的底长为． 3．一木工有两根长分别为和的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架．则第三根木条的长度可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形第三边的长度范围为大于两边之差且小于两边之和，先求出第三边的取值范围，再找出符合范围的选项． 【详解】解：设第三根木条的长度为， 在三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， 观察选项可得，只有选项B符合该范围． 4．已知，如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据中线等分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴． 5．已知三角形三边长为、、，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断三边大小，根据三角形任意两边之和大于第三边列出不等式，只需较短两边之和大于最长边，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵三角形三边长为、、，且，最长边为， ∴， 解得：． 6．英德某茶园规划三角形观光步道，其中两条步道的长度分别是和，则第三条步道的长度不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断选项中的长度是否符合范围即可． 【详解】解：设第三条步道的长度为， ∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两条边长度为和， ∴， ∴， 故第三条步道的长度不可能是． 7．如图，在中，，，若的面积为，则图中的面积等于（   ） A．60 B．80 C．90 D．120 【答案】C 【分析】用三角形中线平分面积的性质以及等高三角形面积比等于底边比的性质，分别求出和的面积，相加即可得到的面积． 【详解】解：， ， ，即， ， ． 8．如图，小亮在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系即可解答． 【详解】解：在 中，由三角形的三边关系可知： ， ，即 ， 观察各选项，只有 在此范围内． 9．在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 【答案】2 【分析】这道题的解题关键在于巧妙地运用“同高不同底”的几何性质来转化面积关系，首先，利用中点 将大三角形 分割成面积相等的两部分，并进一步推导出 与 的面积相等，接着，根据“等高三角形面积比等于底边比”，由 可直接推导：在 中， 与 等高，故 。设 ，则 ，进而 ，同理，对以 为顶点的 ，也有 ，利用面积差 及 ，可推得 ，所以 ，即可解得 ，从而将所有相关面积统一用 表示，最后列方程即可求解． 【详解】解：连接 ， 为 边的中点 设 ， 则 ． 10．若a，b，c是的三边的长，化简______________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负，再利用绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴三角形任意两边之和大于第三边，可得 ，， ∴，， ∴． 10．当满足____________时，长度为4，9，的三条线段可以围成一个三角形． 【答案】 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得到x的取值范围． 【详解】解：根据三角形三边关系，可得 ，即． 11．在平面直角坐标系中，为原点，点． (1)如图①，过点作轴，垂足为，则三角形的面积为_________； (2)如图②，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点． ①求三角形的面积； ②若是坐标轴上的一点，要使三角形的面积等于三角形的面积的3倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1)6 (2)①；②，，，． 【分析】（1）利用坐标轴上直角三角形面积公式，底为横坐标绝对值，高为纵坐标绝对值计算． （2）①根据坐标平移得到，用矩形割补法求斜三角形面积；②首先求出三角形的面积，然后分点P在x轴和y轴上两种情况，设其坐标，列绝对值方程即可解答． 【详解】（1）∵，轴， ∴， ∴，， ∴； （2）①∵点向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度： ∴， 包围矩形四个点为，，，， ∴矩形面积， ∴； ②根据题意得：， 分两种情况： 情况1：P在轴上，设其坐标为， 三角形的高就是纵坐标，底， ， ， ∴，， 情况2：P在轴上，设其坐标为， 三角形的高就是横坐标，底， ， ， ∴，， 点P坐标：，，，． 12．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； （2）解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 13．已知：在中，D为的中点，，，垂足分别为点E、F，且．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：连接， 点为的中点， ， 与以，为底时高相同， ， ，， ，， ， 又， ， 是等腰三角形． 【分析】连接，利用面积法证明，则求证可得． 【详解】略 【复盘笔记】 第 2 页 共 40 页 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题13.2 与三角形有关的线段 （新教材人教版） 2 2 3 3 4 5 6 6 7 8 9 10 11 12 12 16 19 知识点一、三角形的边 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 三角形三边关系定理的推论:三角形任意两边之差小于第三边． 即a、b、c三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段． 注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形． 知识点二、三角形中三条重要的线段 定 义 示例剖析 三角形的角平分线： ①定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． ②性质：三角形的三条角平分线交于一点． 线段AD为的一条角平分线 三角形的中线： ①定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． ②性质：三角形的三条中线交于一点． 线段AD为BC边上的中线 三角形的高： ①定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． ②性质：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点． 线段AD为BC边上的高 知识点三、三角形具有稳定性、四边形不具有稳定性 1. 核心性质 三角形的稳定性：三角形三边长度确定，其形状、大小就唯一确定，无法发生形变，结构稳定。 四边形的不稳定性：四边形四条边长固定，但内角可以自由改变，图形整体形状可发生形变，结构不稳定。 2. 多边形稳定性规律 所有多边形中，仅有三角形具有稳定性；边数大于3的多边形（四边形、五边形、六边形等）均无稳定性。 3. 四边形形变特征 四边形发生变形时，四条边长度、图形内角和保持不变，仅内角度数与图形形状发生改变。 4. 四边形加固方法与原理 加固方法：连接四边形的对角线。原理：将四边形分割为两个三角形，利用三角形的稳定性，使四边形固定不变形。 5. 生活实际应用 利用三角形稳定性：自行车车架、篮球架支架、屋顶三角支架、桥梁斜拉支架、塔吊结构。 利用四边形不稳定性：电动伸缩门、伸缩晾衣架、折叠栅栏、活动升降支架。 【题型1 构成三角形的条件】 【例1】若三根长度分别为2、4、x（x为正整数）的木棒顺次相接能够组成三角形，则（     ） A．组成的三角形中，周长最小为8 B．组成的三角形中，周长最小为7 C．组成的三角形中，周长最大为 D．组成的三角形中，周长最大为 【变式1-1】在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为12和15两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（     ） A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 【变式1-2】等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式1-3】下列线段长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【题型2 确定第三边取值范围】 【例2】三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 【变式2-1】如图，某校实践小组测得地面上一点A到池塘两端、的距离分别是米，米．则池塘两端、之间的距离可能是（     ） A．3米 B．4米 C．12米 D．13米 【变式2-2】两根木棒的长度分别是和，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【变式2-3】在中，三边长分别为a，b，c，且都是整数，，，则满足条件的三角形的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型3 三角形三边关系的应用】 【例3】若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式3-1】一个三角形的三边为且周长为不大于的偶数，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若，，是的三边，化简：（     ） A．0 B． C． D． 【变式3-3】三角形三边长分别为：2，x，6，化简（     ） A．4 B． C． D． 【题型4 三角形的稳定性及其应用】 【例4】劳动实践课上，小明用4根木棒钉成一个四边形木架，它容易变形，现需增加一根木棒，使其具有稳定性，则下列做法不能使其具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，把平板电脑放在一个支架上面，就可以将它固定好使用，这样做的数学道理是（   ） A．两点间线段最短 B．三角形的稳定性 C．点到直线的距离，垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【变式4-2】下列图形中，具有稳定性的是（    ） A．直角三角形 B．长方形 C．五边形 D．正六边形 【变式4-3】下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【题型5 四边形的不稳定性】 【例5】如图，许多学校门口都装有四边形可收缩门，它反映了四边形具有（     ）的特点． A．稳定性 B．不稳定性 C．对称性 D．旋转不变性 【变式5-1】下列物体应用了四边形的不稳定性的是（   ） A．木质梯子 B．学校门口的伸缩门 C．矩形门框 D．正方形地砖 【变式5-2】以下生活现象利用四边形的不稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】从数学角度看下列四幅图片有一个与众不同，该图片是（   ） A．屋顶支撑架 B．自行车三角架 C．伸缩门 D．旧木门钉木条 【题型6 根据三角形中线求长度】 【例6】如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【变式6-2】如图，中，________，，，要使和的周长的差是，则横线上加的条件为（    ） A．是边上的中线 B．是的平分线 C．是边上的垂线 D．以上说法都不对 【变式6-3】如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【题型7 根据三角形中线求面积】 【例7】中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，的面积为，为边上的中线，为上任意一点，连接，，图中阴影部分的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式7-3】如图，四边形的面积是，各边的中点分别为，，，，与相交于点，图中阴影部分的总面积是（     ） A． B． C． D． 【题型8 重心的概念】 【例8】如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 【变式8-1】如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 【变式8-2】平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 【题型9 三角形角平分线的定义】 【例9】下列命题不是真命题的是（   ） A．三角形的高一定在三角形的内部 B．三角形的三条角平分线必定交于一点 C．全等三角形对应边上的中线相等 D．三角形一边上的中线分成的两个三角形面积相等 【变式9-1】如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列关系式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，在中，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【变式9-3】下列说法不正确的是（    ）． A．三角形的中线在三角形的内部 B．三角形的外心不一定在三角形的外部 C．三角形的高线在三角形的内部 D．三角形角平分线交点到三边距离相等 【题型10 画三角形的高】 【例10】如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 【变式10-1】如图，，以下说法不正确的是（） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 【变式10-2】下列说法中正确的有（   ） ①对顶角相等；②从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离；③两条直线的位置关系有平行和相交两种；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤过一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑥三角形的三条高线相交于一点． A．1个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式10-3】下列命题中是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．三角形的三条高所在的直线相交于三角形内一点 C．同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D．同一平面上，经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【题型11 与三角形高有关的计算问题】 【例11】已知是三角形的高，，，三角形的面积是，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式11-1】如图，直角三角形的直角边，，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，交于点E，，三角形的面积是，下列结论：①三角形平移的距离是6；②；③；④四边形的面积为16．其中正确的结论是（     ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【变式11-2】如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式11-3】如图，已知，，，，点为直线上一动点，连接，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 【探究式学习】 1．在学习完三角形的中线相关性质后，某数学兴趣小组进行了进一步的探究学习． 资料1 三角形的中线可以将三角形的面积分成相等的两部分． 资料2 如下图，在四边形中，对角线与交于点O，若，则． 探究1 如图1，过边上任意一点D作一条直线，使其平分的面积． 思路：如图2，连接，过点A作交的延长线于点E，连接交于点G，取中点F，连接，则即为所求直线． 探究2 如下图，过四边形的顶点A作一条直线，使其平分四边形的面积． 问题1 根据探究1中给的思路证明平分的面积． 问题2 请完成探究2，并说明理由． 2．综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【提出问题】 问题1：探究图1中，、、、、、这6个小三角形的面积关系？ 问题2：探究图1中的，，的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填“”、“”或“”）； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与______的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等； （3）由的面积是的面积的2倍，可得______，同理可得：______； 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点F是的重心，连接，并延长分别交，于点E，D，若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 3．如图1，点是内部一点，连接，并延长交于点． (1)试探究与的大小关系； (2)试探究与的大小关系； (3)如图2，点，是内部两点，试探究与的大小关系． 【课后检测】 1．已知等腰三角形的三边长分别为，，，则这个等腰三角形的周长是（     ） A．5 B．5或 C．或14 D．5或或14 2．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底长为（     ） A． B． C．或 D．或 3．一木工有两根长分别为和的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架．则第三根木条的长度可能是（     ） A． B． C． D． 4．已知，如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．已知三角形三边长为、、，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．英德某茶园规划三角形观光步道，其中两条步道的长度分别是和，则第三条步道的长度不可能是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，若的面积为，则图中的面积等于（   ） A．60 B．80 C．90 D．120 8．如图，小亮在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的长可能是（     ） A． B． C． D． 9．在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 10．若a，b，c是的三边的长，化简______________． 10．当满足____________时，长度为4，9，的三条线段可以围成一个三角形． 11．在平面直角坐标系中，为原点，点． (1)如图①，过点作轴，垂足为，则三角形的面积为_________； (2)如图②，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点． ①求三角形的面积； ②若是坐标轴上的一点，要使三角形的面积等于三角形的面积的3倍，直接写出点的坐标． 12．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 13．已知：在中，D为的中点，，，垂足分别为点E、F，且．求证：是等腰三角形． 【复盘笔记】 第 2 页 共 40 页 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $