13.2 与三角形有关的线段 题型专练 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦三角形有关线段的核心知识点，涵盖三边关系（构成条件、第三边取值范围）、中线（定义、长度与面积计算）、角平分线、高、重心、垂心等，形成从基础概念到性质应用再到综合计算的学习支架，衔接三角形基本性质与后续几何知识。 资料以“典型例题+举一反三”分层设计，通过等腰三角形周长计算培养推理意识，结合跳跃泥潭问题发展应用意识，利用网格求面积提升几何直观，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固基础、查漏补缺，落实数学核心素养。

人教版（2024）八年级上册 13.2 与三角形有关的线段 题型专练 【题型1】构成三角形的条件 【典型例题】下面几条线段能构成三角形的是　　 A.3，1，5 B.5，12，14 C.7，2，4 D.1，2，3 【举一反三1】如图各组给出的三条线段不能围成三角形的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，          （填“”，“”或“”）． 【举一反三3】小明用一条长20 cm的细绳围成了一个等腰三角形，他想使这个三角形的一边长是另一边长的2倍，那么这个三角形的各边的长分别是多少？ 【举一反三4】用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少? （2）能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗?为什么? 【题型2】确定第三边的取值范围 【典型例题】如果一个三角形的两边长分别是3和6，则第三边可能是（ ） A.2 B.3 C.5 D.9 【举一反三1】如果一个三角形的两边长分别是3和6，则第三边可能是（   ） A.2 B.3 C.5 D.9 【举一反三2】已知三角形的三边均为正整数，其中两边为2，4，则第三边可以是      ．（请写出一个符合条件的值） 【举一反三3】一个不等边三角形的两边分别为5 cm和7 cm，第三边的长度为奇数，则满足条件的三角形共有 　 　个． 【举一反三4】已知三角形的两边长为3和6，第三边的边长为． (1)求的取值范围； (2)若为整数，当为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？ 【题型3】三角形三边关系的应用 【典型例题】如图，小红将三角形纸片沿虚线剪去一个角，若剩下四边形纸片的周长为m，原三角形纸片的周长为n，下列判断正确的是（　　） A.m＜n B.m＝n C.m＞n D.m，n的大小无法确定 【举一反三1】若使用如图所示的①②两根直铁丝做成一个三角形框架，则需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（　　） A.①②都可以 B.①②都不可以 C.①可以，②不可以 D.①不可以，②可以 【举一反三2】使用a,b两根直的铁丝做成一个三角形框架，尺寸如图所示，若需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（　　） ​ A.只有a B.只有b C.a,b都可以 D.a,b都不可以 【举一反三3】若a，b，c为的三边，则      （填“，，”）． 【举一反三4】初中生体能训练中有一项跳跃泥潭障碍训练，如图，小刚平时助跑跳跃距离约为米，他不确定自己是否能够跳过这个泥潭（的长度），于是测量了相关长度，由于米尺长度有限，小刚测得米，米，根据小刚的测量，他     完成这项训练挑战．（填“能”或“不能”） 【举一反三5】如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC＞PB+PC． 【举一反三6】如图，点P是△ABC内任意一点，求证：PA+PB+PC＞AB+BC+AC． 【题型4】三角形三边关系与非负性的综合 【典型例题】已知，，是△ABC的三条边长，化简的结果为　　 A. B. C. D. 【举一反三1】已知三角形的三边长分别为，化简得（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，c为奇数，则c＝　   　． 【举一反三3】已知：a、b、c为△ABC的三边长，且a、b满足|2a﹣b+2|+（a+b﹣8）2＝0． （1）求c的取值范围； （2）在（1）的条件下，若2x﹣c＝1，求x的取值范围． 【举一反三4】已知三角形ABC的三边为a，b，c； （1）若a＝2，b＝7，c为最长边且为整数，求三角形ABC的周长； （2）化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|a+b+c|． 【题型5】三角形的稳定性 【典型例题】如图，小明在院子的门板上钉了一个加固板，从数学角度看，这样做的原因是（　　） A.两点之间的线段最短 B.长方形的四个角都是直角 C.长方形具有稳定性 D.三角形有稳定性 【举一反三1】 “世界桥梁看中国”，北盘江大桥是世界第一高桥，它横跨了有地球裂缝之称的尼珠河大峡谷，全长1314．4米，北盘江大桥桥面距离江面垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度．桥面上的斜拉钢缆与桥面呈三角形结构，这是什么道理？（   ） A.三角形的稳定性 B.三角形的灵活性 C.三角形的对称性 D.三角形的全等性 【举一反三2】如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（　　） A.两点之间线段最短 B.垂线段最短 C.两定确定一条直线 D.三角形的稳定性 【举一反三3】造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是应用了                 ． 【举一反三4】如图，从数学的角度看房屋顶部支撑架，它运用了三角形的　         　性． 【举一反三5】如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即），这样做的数学道理是什么？ 【举一反三6】要使下列木架稳定，可以在任意两个点之间钉上木棍，各至少需要钉上多少根木棍？ 【题型6】三角形中线的定义 【典型例题】三角形一边上的中线把原三角形分成两个(　　) A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形 【举一反三1】如图，在中有四条线段，其中有一条线段是的中线，则该线段是（    ） A.线段 B.线段 C.线段 D.线段 【举一反三2】如图，在中有四条线段，其中有一条线段是的中线，则该线段是（    ） A.线段 B.线段 C.线段 D.线段 【举一反三3】三角形一边上的中线把原三角形分成两个(　　) A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形 【举一反三4】如图，是的中线，，，，则           ． 【举一反三5】如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AB＝3，AD＝1.8，BD＝2.4，DC＝3.2，BC＝4，则△ABD的边BD上的高h＝________. 【举一反三6】如图， （1）是的中线，则          =                               ； （2）是的中线，则          =                               ； （3）是的中线，则          =                               ． 【举一反三7】如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则 (1)AB=2　　　=2　　　，BD=　　　，AE=　　　； (2)若S△ABC=3，则S△ABD=　　　. 【题型7】利用三角形的中线求长度 【典型例题】如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ACD的周长多3 cm．若AB＝10 cm，则AC的长为（　　） A.5 cm B.6 cm C.8 cm D.7 cm 【举一反三1】如图，在△ABC中，点D是BC边上的中点，若△ABD和△ACD的周长分别为16和11，则AB﹣AC的值为（　　） A.5 B.11 C.16 D.27 【举一反三2】在中，为边的中线，若与的周长差为5，，则的长为（   ） A.2 B.13 C.3或13 D.2或12 【举一反三3】如图，是的中线，，，那么的周长比的周长多          cm．    【举一反三4】如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，与的和为，求的长      ． 【举一反三5】如图，已知的周长为，，，是边上的中线，的周长是，求各边的长．    【举一反三6】如图，在△ABC中，CF，BE分别是AB，AC边上的中线，若AE＝2，AF＝3，且△ABC的周长为15，求BC的长． 【题型8】利用三角形的中线求面积 【典型例题】如图，的面积是14，点，，，分别是，，，的中点，则的面积是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，已知的面积为1，分别倍长（延长一倍）边，，得到，再分别倍长边，，得到…按此规律，倍长2 024次后得到的的面积为（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在中，，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒．设运动的时间为t秒．    （1）      ； （2）当      秒时，把的周长分成相等的两部分？ （3）当      秒时，把的面积分成相等的两部分？ 【举一反三3】如图，在中，D为边上任一点，，的面积为1平方厘米，求的面积． 【举一反三4】如图，已知有一块四边形花圃，其中E，F分别为上的点，且，G，H分别是上的点，且，连接，将花圃分成五块，图中阴影部分种兰花，三角形的面积是25平方米，三角形的面积是150平方米，三角形的面积是90平方米．空白部分种郁金香，那么郁金香的面积为多少平方米？ 【题型9】三角形的重心 【典型例题】如图，点是的重心，连接并延长，交边于点．若，则等于（    ）    A.2 B. C. D. 【举一反三1】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则的重心是（     ） A.点D B.点E C.点F D.点G 【举一反三2】如图，点O是的重心，则      ．（填“”“”或“”） 【举一反三3】如图，已知△ABC三条中线相交于点O，则△ABO与△DBO的面积之比为        【举一反三4】如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 【题型10】三角形的角平分线 【典型例题】如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论错误的是（　　） A.AD是△ABC的角平分线 B.CE是△ACD的角平分线 C.∠3＝∠ACB D.CE是△ABC的角平分线 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠A=42°，∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D，E，则∠BDC的度数是(　　) A.67° B.84° C.88° D.110° 【举一反三2】从△ABC内一点 O 出发，把△ABC剪成三个三角形(如图1)，边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上(如图2)，直线MN∥AC，则点O是△ABC的 A.三条角平分线的交点 B.三条高的交点 C.三条中线的交点 D.三边的垂直平分线的交点 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013＝　    　度． 【举一反三4】已知：在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， (1)如图1，求∠BDC的度数； (2)如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE=2，AC=4，求△ADC的面积. 【题型11】三角形高的定义 【典型例题】如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，图中可以作为三角形“高”的线段有（　　） A.1条 B.2条 C.3条 D.5条 【举一反三1】如图，在中，边上的高线是（ ） A.线段 B.线段 C.线段 D.线段 【举一反三2】已知△ABC中，为边上的高，若，，，则△ABC的面积为     ． 【举一反三3】如图，在△ABC中，若AB=2，BC=4，则△ABC的高AD与CE的比是多少?(提示：利用三角形的面积公式.) 【题型12】三角形的垂心 【典型例题】如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交若，，，则（  ）    A. B. C. D. 【举一反三1】下列说法中正确的是（    ） A.三角形的垂心不一定只有一个 B.三角形的外心一定在三角形的内部 C.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等 D.三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等 【举一反三2】我们知道，三角形三条高线所在的直线交于一点． 规定：三角形三条高线所在的直线的交点叫作这个三角形的垂心． 如图，于点D，于点E，于点F，交于点G． (1)图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？请写出两组：     ，     ； (2)点G是三角形     的垂心； (3)点A是三角形     的垂心． 【举一反三3】(1)用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线． (2)观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？ 【题型13】三角形的中线、角平分线、高的综合 【典型例题】如图，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝80°，∠C＝70°，则∠DAE和∠BOE的度数分别为（　　） A.25°，50° B.20°，40° C.20°，55° D.25°，55° 【举一反三1】如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点B'是对应点，则AD依次是△ABC的(　　) A.中线、角平分线、高 B.高、角平分线、中线 C.高、中线、角平分线 D.角平分线、中线、高 【举一反三2】如图，在中，是高，是中线，则          ，          =        . 【举一反三3】如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的高和中线，则∠ADB=    =90°，BE=       =       . 【举一反三4】如图，AD是△ABC中BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝32°，∠C＝60°.求∠AEC和∠DAE的度数. 【题型14】利用网格求三角形的面积 【典型例题】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上．在格点上确定点C，使为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（　　）    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三1】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为（    ）    A. B. C. D.无法判断 【举一反三2】如图，正方形中阴影部分的面积为（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，点A、B、C、D、F在网格中的格点处，与相交于点E，设小正方形的边长为1，则阴影部分的面积等于   ． 【举一反三4】如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，已知的三个顶点均在格点上． 按要求画图： (1)画出的边上的高； (2)在网格中只画一条线段（点E在上），使的面积是面积的3倍； (3)直接写出的面积______． 人教版（2024）八年级上册 13.2 与三角形有关的线段 题型专练（参考答案） 【题型1】构成三角形的条件 【典型例题】下面几条线段能构成三角形的是　　 A.3，1，5 B.5，12，14 C.7，2，4 D.1，2，3 【答案】B 【解析】解：根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．就可以判断． ，能构成三角形；故本选项正确， 故选：B． 【举一反三1】如图各组给出的三条线段不能围成三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：A、∵3+4＝7， ∴长度为3 cm，4 cm，7 cm的三条线段不能围成三角形，符合题意； B、∵2+4＞5， ∴长度为2 cm，4 cm，5 cm的三条线段能围成三角形，不符合题意； C、∵3+5＞6， ∴长度为5 cm，3 cm，6 cm的三条线段能围成三角形，不符合题意； D、∵3+3＞3， ∴长度为3 cm，3 cm，3 cm的三条线段能围成三角形，不符合题意； 故选：A． 【举一反三2】如图，          （填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】∵两边之和大于第三边， ∴. 【举一反三3】小明用一条长20 cm的细绳围成了一个等腰三角形，他想使这个三角形的一边长是另一边长的2倍，那么这个三角形的各边的长分别是多少？ 【答案】解：设较短的边长为x cm，则较长的边长为2x cm. 若较短的边为腰，则x+x+2x=20， 解得x=5， 则2x=10. 因为5+5=10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成三角形； 若较长的边为腰，则x+2x+2x=20， 解得x=4. 则2x=8，4+8>8，能围成三角形， 所以这个三角形的三边长分别为4 cm，8 cm，8 cm. 【举一反三4】用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少? （2）能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗?为什么? 【答案】（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm， 则x十2x十2x=18. 解得 x=3.6. 所以，三角形三边的长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm. （2）因为长为4 cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论,①如果4 cm长的边为底边，设腰长为x cm，则4+2x=18. 解得 x=7. ②如果4 cm长的边为腰，设底边长为y cm，则 2×4+y=18. 解得y=10. 因为4+4<10，不符合“三角形两边的和大于第三边”，所以不能围成腰长是4 cm的等腰三角形, 由以上讨论可知，可以围成底边长是4 cm的等腰三角形. 【题型2】确定第三边的取值范围 【典型例题】如果一个三角形的两边长分别是3和6，则第三边可能是（ ） A.2 B.3 C.5 D.9 【答案】C 【解析】设第三边长x． 根据三角形的三边关系，得，即． 2，3，9不在第三边长的取值范围内，所以不能取，5在第三边长的取值范围内，所以能取得． 【举一反三1】如果一个三角形的两边长分别是3和6，则第三边可能是（   ） A.2 B.3 C.5 D.9 【答案】C 【解析】设第三边长x． 根据三角形的三边关系，得，即． 2，3，9不在第三边长的取值范围内，所以不能取，5在第三边长的取值范围内，所以能取． 【举一反三2】已知三角形的三边均为正整数，其中两边为2，4，则第三边可以是      ．（请写出一个符合条件的值） 【答案】3（答案不唯一） 【解析】∵三角形的两边分别为 2，4 ， ∴第三边大于，且小于， ∵三角形的三边均为正整数， ∴第三边为3，4，5均可以（任意一个都可以）. 【举一反三3】一个不等边三角形的两边分别为5 cm和7 cm，第三边的长度为奇数，则满足条件的三角形共有 　 　个． 【答案】5 【解析】解：设第三根木棒的长度为x cm， 由三角形三边关系可得， 即， 又为奇数， 的值为3，5，7，9，11， 因此满足条件的三角形共有5个， 故答案为：5． 【举一反三4】已知三角形的两边长为3和6，第三边的边长为． (1)求的取值范围； (2)若为整数，当为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？ 【答案】（1）已知三角形的两边长为3和6，第三边的边长为， . （2）由（1）可知，当为整数，且周长最大时，那么， 此时周长为. 【题型3】三角形三边关系的应用 【典型例题】如图，小红将三角形纸片沿虚线剪去一个角，若剩下四边形纸片的周长为m，原三角形纸片的周长为n，下列判断正确的是（　　） A.m＜n B.m＝n C.m＞n D.m，n的大小无法确定 【答案】A 【解析】解：如图： 根据“两点之间，线段最短”判断EC+DC＞DE， ∵m＝AE+ED+DB+AB，n＝AE+EC+CD+DB+AB， ∴m＜n， 故选：A． 【举一反三1】若使用如图所示的①②两根直铁丝做成一个三角形框架，则需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（　　） A.①②都可以 B.①②都不可以 C.①可以，②不可以 D.①不可以，②可以 【答案】C 【解析】解：三角形两边之和大于第三边，两根长度分别为5 cm和4 cm的细木条做一个三角形的框架，可以把5 cm的细木条分为两截． 理由：5＞4，满足两边之和大于第三边． 故选：C． 【举一反三2】使用a,b两根直的铁丝做成一个三角形框架，尺寸如图所示，若需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（　　） ​ A.只有a B.只有b C.a,b都可以 D.a,b都不可以 【答案】B 【解析】解：∵a＜b, ∴由三角形三边关系定理得到：只有将铁丝b折成两段才能做成一个三角形框架． 故选：B． 【举一反三3】若a，b，c为的三边，则      （填“，，”）． 【答案】 【解析】∵是的三边， ∴，， ∴，， ∴． 【举一反三4】初中生体能训练中有一项跳跃泥潭障碍训练，如图，小刚平时助跑跳跃距离约为米，他不确定自己是否能够跳过这个泥潭（的长度），于是测量了相关长度，由于米尺长度有限，小刚测得米，米，根据小刚的测量，他     完成这项训练挑战．（填“能”或“不能”） 【答案】能 【解析】由题意可知，， ∴小明能完成这项训练挑战． 【举一反三5】如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC＞PB+PC． 【答案】证明：如图，延长BP交AC于点D， 在△ABD中，PB+PD＜AB+AD，① 在△PCD中，PC＜PD+CD，② ①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD， 即PB+PC＜AB+AC， 即AB+AC＞PB+PC． 【举一反三6】如图，点P是△ABC内任意一点，求证：PA+PB+PC＞AB+BC+AC． 【答案】证明：∵PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PC+PA＞AC． ∴把它们相加，再除以2，得 PA+PB+PC＞AB+BC+AC． 【题型4】三角形三边关系与非负性的综合 【典型例题】已知，，是△ABC的三条边长，化简的结果为　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：、、为△ABC的三条边长， ，， 原式 ． 【举一反三1】已知三角形的三边长分别为，化简得（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】的三边长分别是a，b，c， ∴必须满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则： ， ． 【举一反三2】已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，c为奇数，则c＝　   　． 【答案】7． 【解析】解：∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0， ∴a﹣7＝0，b﹣1＝0， 解得a＝7，b＝1， ∵7﹣1＝6，7+1＝8， ∴6＜c＜8， 又∵c为奇数， ∴c＝7． 故答案为：7． 【举一反三3】已知：a、b、c为△ABC的三边长，且a、b满足|2a﹣b+2|+（a+b﹣8）2＝0． （1）求c的取值范围； （2）在（1）的条件下，若2x﹣c＝1，求x的取值范围． 【答案】解：（1）∵|2a﹣b+2|+（a+b﹣8）2＝0， ∴， 解得a＝2，b＝6， ∵6﹣2＝4，6+2＝8， ∴4＜c＜8， ∴c的取值范围为4＜c＜8； （2）∵2x﹣c＝1， ∴c＝2x﹣1， ∴4＜2x﹣1＜8， ∴＜x＜， ∴x的取值范围为＜x＜． 【举一反三4】已知三角形ABC的三边为a，b，c； （1）若a＝2，b＝7，c为最长边且为整数，求三角形ABC的周长； （2）化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|a+b+c|． 【答案】解：（1）∵a＝2，b＝7， ∴7﹣2＜c＜7+2，即5＜c＜9， ∵c为最长边且为整数， ∴c＝7或8， ∴三角形ABC的周长＝2+7+8＝17或2+7+7＝16； （2）∵三角形ABC的三边为a，b，c， ∴a+b＞c，b＜a+c， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，a+b+c＞0， ∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|a+b+c|＝a+b﹣c+b﹣a﹣c+a+b+c＝a+3b﹣c． 【题型5】三角形的稳定性 【典型例题】如图，小明在院子的门板上钉了一个加固板，从数学角度看，这样做的原因是（　　） A.两点之间的线段最短 B.长方形的四个角都是直角 C.长方形具有稳定性 D.三角形有稳定性 【答案】D 【解析】解：这样做的原因是：利用三角形的稳定性使门板不变形， 故选：D． 【举一反三1】 “世界桥梁看中国”，北盘江大桥是世界第一高桥，它横跨了有地球裂缝之称的尼珠河大峡谷，全长1314．4米，北盘江大桥桥面距离江面垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度．桥面上的斜拉钢缆与桥面呈三角形结构，这是什么道理？（   ） A.三角形的稳定性 B.三角形的灵活性 C.三角形的对称性 D.三角形的全等性 【答案】A 【解析】桥面上的斜拉钢缆与桥面呈三角形结构，这是利用三角形的稳定性． 【举一反三2】如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（　　） A.两点之间线段最短 B.垂线段最短 C.两定确定一条直线 D.三角形的稳定性 【答案】D 【解析】解：一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：D． 【举一反三3】造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是应用了                 ． 【答案】三角形的稳定性 【解析】造房子时屋顶常用三角结构，即是利用了三角形的稳定性． 故答案为三角形的稳定性． 【举一反三4】如图，从数学的角度看房屋顶部支撑架，它运用了三角形的　         　性． 【答案】稳定． 【解析】解：从数学的角度看房屋顶部支撑架，它运用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定． 【举一反三5】如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即），这样做的数学道理是什么？ 【答案】木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即），这样做的数学道理是三角形的稳定性． 【举一反三6】要使下列木架稳定，可以在任意两个点之间钉上木棍，各至少需要钉上多少根木棍？ 【答案】解：图①四边形木架至少需要钉上1根木棍； 图②五边形木架至少需要钉上2根木棍； 图③六边形木架至少需要钉上3根木棍． 【题型6】三角形中线的定义 【典型例题】三角形一边上的中线把原三角形分成两个(　　) A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形 【答案】B 【举一反三1】如图，在中有四条线段，其中有一条线段是的中线，则该线段是（    ） A.线段 B.线段 C.线段 D.线段 【答案】B 【解析】∵三角形的中线是一边的中点与此边所对顶点的连线， ∴线段是的中线. 【举一反三2】如图，在中有四条线段，其中有一条线段是的中线，则该线段是（    ） A.线段 B.线段 C.线段 D.线段 【答案】B 【解析】∵三角形的中线是一边的中点与此边所对顶点的连线， ∴线段是的中线. 【举一反三3】三角形一边上的中线把原三角形分成两个(　　) A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形 【答案】B 【举一反三4】如图，是的中线，，，，则           ． 【答案】 【解析】是的中线， ， ， ． 【举一反三5】如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AB＝3，AD＝1.8，BD＝2.4，DC＝3.2，BC＝4，则△ABD的边BD上的高h＝________. 【答案】1.8 【解析】解：∵BD⊥AC，AD＝1.8， ∴△ABD的边BD上的高h＝1.8. 【举一反三6】如图， （1）是的中线，则          =                               ； （2）是的中线，则          =                               ； （3）是的中线，则          =                               ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）∵是的中线， ∴. （2）∵是的中线， ∴. （3）∵是的中线， ∴. 【举一反三7】如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则 (1)AB=2　　　=2　　　，BD=　　　，AE=　　　； (2)若S△ABC=3，则S△ABD=　　　. 【答案】(1)AF　BF　BC　CE　(2)1.5 【解析】(1)∵AD，BE，CF是△ABC的三条中线， ∴AB=2AF=2BF，BD=BC，AE=CE. (2)∵AD是△ABC的中线，S△ABC=3， ∴S△ABD=S△ABC=1.5. 【题型7】利用三角形的中线求长度 【典型例题】如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ACD的周长多3 cm．若AB＝10 cm，则AC的长为（　　） A.5 cm B.6 cm C.8 cm D.7 cm 【答案】D 【解析】∵AD是边BC上的中线， ∴BD＝DC， ∵△ABD的周长比△ACD的周长多3 cm， ∴（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝3（cm）， ∵AB＝10 cm， ∴AC＝7 cm． 【举一反三1】如图，在△ABC中，点D是BC边上的中点，若△ABD和△ACD的周长分别为16和11，则AB﹣AC的值为（　　） A.5 B.11 C.16 D.27 【答案】A 【解析】解：∵点D是BC边上的中点， ∴BD＝DC， ∵△ABD和△ACD的周长分别为16和11， ∴AB+BD+AD＝16，AC+CD+AD＝11， ∴（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝16﹣11＝5， ∴AB﹣AC＝5， 故选：A． 【举一反三2】在中，为边的中线，若与的周长差为5，，则的长为（   ） A.2 B.13 C.3或13 D.2或12 【答案】C 【解析】①当的周长大于的周长时， 为边的中线， ， 与的周长差， 与的周长差为5，， ， . ②当的周长比的周长大时， 为边的中线， ， 与的周长差， 与的周长差为5，， ， ， 综上所述，或13． 【举一反三3】如图，是的中线，，，那么的周长比的周长多          cm．    【答案】 【解析】是的中线， ， 的周长的周长 ， 的周长比的周长多． 【举一反三4】如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，与的和为，求的长      ． 【答案】 【解析】∵是边上的中线， ∴D为的中点，， ∵的周长的周长， ∴， 又∵， ∴． 【举一反三5】如图，已知的周长为，，，是边上的中线，的周长是，求各边的长．    【答案】∵，， ∴ ∵的周长是， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴ ∵的周长为， ∴． 【举一反三6】如图，在△ABC中，CF，BE分别是AB，AC边上的中线，若AE＝2，AF＝3，且△ABC的周长为15，求BC的长． 【答案】解：∵CF，BE分别是AB，AC边上的中线，AE＝2，AF＝3， ∴AB＝2AF＝2×3＝6， AC＝2AE＝2×2＝4， ∵△ABC的周长为15， ∴BC＝15﹣6﹣4＝5． 【题型8】利用三角形的中线求面积 【典型例题】如图，的面积是14，点，，，分别是，，，的中点，则的面积是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 的面积是14，点D，E，F，G分别是，，，的中点， ， ， ， ， ， 连接， ， ． 【举一反三1】如图，已知的面积为1，分别倍长（延长一倍）边，，得到，再分别倍长边，，得到…按此规律，倍长2 024次后得到的的面积为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，连接， 根据等底等高的三角形面积相等，则的面积都相等， ∴， 同理可得， 以此类推，， ∵， ∴的面积为． 【举一反三2】如图，在中，，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒．设运动的时间为t秒．    （1）      ； （2）当      秒时，把的周长分成相等的两部分？ （3）当      秒时，把的面积分成相等的两部分？ 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】（1）∵在中，，，，， ∴. （2）∵在中，，，，， ∴的周长为， ∴当把的周长分成相等的两部分时，点在上，此时， ∵动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒．设运动的时间为t秒， ∴， ∴， ∴. （3）当点在中点时，把的面积分成相等的两部分，此时， ∴， ∴． 【举一反三3】如图，在中，D为边上任一点，，的面积为1平方厘米，求的面积． 【答案】如图，连接， ∵， ∴（平方厘米）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（平方厘米）. 【举一反三4】如图，已知有一块四边形花圃，其中E，F分别为上的点，且，G，H分别是上的点，且，连接，将花圃分成五块，图中阴影部分种兰花，三角形的面积是25平方米，三角形的面积是150平方米，三角形的面积是90平方米．空白部分种郁金香，那么郁金香的面积为多少平方米？ 【答案】连接，如图， 的高相等，设高为，则 ，， ， （平方米）， ，且和高相等，和高相等， （平方米），（平方米）， 空白部分种郁金香，那么郁金香的面积为（平方米） 故郁金香的面积是440平方米． 【题型9】三角形的重心 【典型例题】如图，点是的重心，连接并延长，交边于点．若，则等于（    ）    A.2 B. C. D. 【答案】C 【解析】∵点是的重心， ∴点为的中点， ∴， ∴． 【举一反三1】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则的重心是（     ） A.点D B.点E C.点F D.点G 【答案】A 【解析】根据题意可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点， ∴点是的重心． 【举一反三2】如图，点O是的重心，则      ．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】根据重心是三角形中线的交点，得到． 【举一反三3】如图，已知△ABC三条中线相交于点O，则△ABO与△DBO的面积之比为        【答案】 【解析】解：由题可知，点O是的重心， ∴， 如图所示，过点B作交AD的延长线与点G， ∴， 故答案为：． 【举一反三4】如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 【答案】（1）∵点为的重心， ∴，则. （2）∵点为的重心，    ∴由三角形中线性质可得，，， ，， ∴，， ∴， 则，即， ∵， ∴. 【题型10】三角形的角平分线 【典型例题】如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论错误的是（　　） A.AD是△ABC的角平分线 B.CE是△ACD的角平分线 C.∠3＝∠ACB D.CE是△ABC的角平分线 【答案】D 【解析】∵∠1＝∠2， ∴AD是△ABC的角平分线，故选项A正确； ∵∠3＝∠4， ∴CE是△ACD的角平分线，∠3＝∠ACB， 故选项B，C正确，选项D说法错误． 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠A=42°，∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D，E，则∠BDC的度数是(　　) A.67° B.84° C.88° D.110° 【答案】C 【解析】∵∠A=42°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-42°=138°， ∴∠DBC+∠DCB=×138°=92°， ∴∠BDC=180°-92°=88°. 【举一反三2】从△ABC内一点 O 出发，把△ABC剪成三个三角形(如图1)，边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上(如图2)，直线MN∥AC，则点O是△ABC的 A.三条角平分线的交点 B.三条高的交点 C.三条中线的交点 D.三边的垂直平分线的交点 【答案】A 【解析】∵直线MN∥AC， 根据平行线性质知点O到BC的距离、点O到AC的距离、点O到BA的距离相等， ∴点O到三边的距离相等， ∴点O是三角形三条角平分线的交点. 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013＝　    　度． 【答案】 【解析】∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD， ∴∠A1BC∠ABC，∠A1CA∠ACD， ∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC， 即∠ACD＝∠A1∠ABC， ∴∠A1（∠ACD﹣∠ABC）， ∵∠A+∠ABC＝∠ACD， ∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC， ∴∠A1∠A， ∴∠A1m°， ∵∠A1∠A，∠A2∠A1∠A， … 以此类推∠A2013∠A°． 【举一反三4】已知：在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， (1)如图1，求∠BDC的度数； (2)如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE=2，AC=4，求△ADC的面积. 【答案】解　(1)因为BD平分∠ABC，所以∠DBC=∠ABC=×60°=30°. 因为CD平分∠ACB，所以∠DCB=∠ACB=×40°=20°. 所以∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-30°-20°=130°. (2)作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图. 因为BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，所以DH=DE=2. 因为CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，所以DF=DH=2. 所以△ADC的面积=DF·AC=×2×4=4. 【题型11】三角形高的定义 【典型例题】如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，图中可以作为三角形“高”的线段有（　　） A.1条 B.2条 C.3条 D.5条 【答案】D 【解析】解：可以作为△ACD的高的有AD，CD共2条； 可以作为△BCD的高的有BD，CD共2条； 可以作为△ABC的高的有BC，AC、CD共3条． 综上所述，可以作为三角形“高”的线段有：AD，CD、BD，BC，AC共5条． 故选：D． 【举一反三1】如图，在中，边上的高线是（ ） A.线段 B.线段 C.线段 D.线段 【答案】A 【解析】A项，线段是边上的高，符合题意； B项，线段是△ABF中AB边上的高，故不符合题意； C项，线段是△ABC中边上的高，故不符合题意； D项，线段是△ABC中边上的高，故不符合题意． 【举一反三2】已知△ABC中，为边上的高，若，，，则△ABC的面积为     ． 【答案】28或8 【解析】当高在三角形内时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当高在三角形外时，如图， 则， ∴； 综上，△ABC的面积为28或8． 【举一反三3】如图，在△ABC中，若AB=2，BC=4，则△ABC的高AD与CE的比是多少?(提示：利用三角形的面积公式.) 【答案】=ABCE=BCAD， ∵AB=2，BC=4, ∴==， ∴． 【题型12】三角形的垂心 【典型例题】如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交若，，，则（  ）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵，，与交于点， ∴（三角形三条高所在的直线交于一点）， ∵， ，，， ∴， ∴． 【举一反三1】下列说法中正确的是（    ） A.三角形的垂心不一定只有一个 B.三角形的外心一定在三角形的内部 C.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等 D.三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等 【答案】D 【解析】A．三角形的垂心是指三角形的三边上的高所在直线的交点，则垂心是唯一的，故此说法错误； B．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，此交点可在三角形的外部，内部，也可以在三角形的边上，故此说法错误； C．三角形的内心是三角形三内角平分线的交点，则此点到三角形三边的距离相等，故此说法错误； D．根据三角形重心的性质：重心到顶点的距离等于重心到对边中点距离的2倍，由此可知重心与两个顶点所构成的三角形的面积是，其中S表示原三角形的面积，故此结论正确. 【举一反三2】我们知道，三角形三条高线所在的直线交于一点． 规定：三角形三条高线所在的直线的交点叫作这个三角形的垂心． 如图，于点D，于点E，于点F，交于点G． (1)图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？请写出两组：     ，     ； (2)点G是三角形     的垂心； (3)点A是三角形     的垂心． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）∵于点E，于点F， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，. （2）∵于点D，于点E，于点F，交于点G． ∴点G是三角形的垂心. （3）∵于点D，于点E，于点F，交于点A． ∴点A是三角形的垂心. 【举一反三3】(1)用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线． (2)观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？ 【答案】解：（1）如图所示，即为所求； （2）由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部． 【题型13】三角形的中线、角平分线、高的综合 【典型例题】如图，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝80°，∠C＝70°，则∠DAE和∠BOE的度数分别为（　　） A.25°，50° B.20°，40° C.20°，55° D.25°，55° 【答案】C 【解析】∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°． 在Rt△ADC中，∵∠C＝70°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°， 在△ABC中，∵∠BAC＝80°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°． ∵AE，BF是角平分线． ∴∠BAE＝∠CAE∠BAC＝40°， ∠ABF∠ABC30°＝15°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC＝40°﹣20°＝20°． 在△AOB中，∠BOE＝∠BAO+∠ABO＝40°+15°＝55°． 【举一反三1】如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点B'是对应点，则AD依次是△ABC的(　　) A.中线、角平分线、高 B.高、角平分线、中线 C.高、中线、角平分线 D.角平分线、中线、高 【答案】B 【举一反三2】如图，在中，是高，是中线，则          ，          =        . 【答案】CE ∠ADC 90 【解析】∵是中线， ∴， ∵是高， ∴∠ADC=90°. 【举一反三3】如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的高和中线，则∠ADB=    =90°，BE=       =       . 【答案】∠ADC；CE，BC. 【解析】解：∵AD是边BC上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵AE是边BC上的中线， ∴BE＝CE＝BC， 故答案为：∠ADC；CE，BC. 【举一反三4】如图，AD是△ABC中BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝32°，∠C＝60°.求∠AEC和∠DAE的度数. 【答案】解　∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝32°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝88°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝44°， ∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝76°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADE＝90°， ∴∠DAE＝90°－∠AEC＝14°. 【题型14】利用网格求三角形的面积 【典型例题】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上．在格点上确定点C，使为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（　　）    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】∵的面积为4， ∴边上的高为， ∴点C的位置如图所示，共有3个． 【举一反三1】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为（    ）    A. B. C. D.无法判断 【答案】C 【解析】解：， ， ． 故选：C． 【举一反三2】如图，正方形中阴影部分的面积为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可得 正方形中阴影部分的面积为 ． 【举一反三3】如图，点A、B、C、D、F在网格中的格点处，与相交于点E，设小正方形的边长为1，则阴影部分的面积等于   ． 【答案】4.5 【解析】解：由图可知：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4.5． 【举一反三4】如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，已知的三个顶点均在格点上． 按要求画图： (1)画出的边上的高； (2)在网格中只画一条线段（点E在上），使的面积是面积的3倍； (3)直接写出的面积______． 【答案】（1）如图，线段即为所求. （2）如图所示， ∵，高如(1)中图， ∴， ∴线段即为所求． （3）. 学科网（北京）股份有限公司 $