13.1 三角形的边与角 三角形的相关模型 讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦三角形的边与角及相关模型这一核心内容，先系统复习三角形三边关系、内角和定理及外角推论，再深入探究“A”字型、“8”字型、“燕尾”型等常见模型的结论推导，构建从基础概念到模型应用的学习支架。 该资料以“知识解读+探究证明+例题应用”为主线，通过具体模型（如“8”字型角关系推导）培养学生的推理意识与几何直观，课中辅助教师清晰呈现知识逻辑，课后分层练习（如等腰三角形边长计算、角度化简题）帮助学生巩固，提升应用意识与问题解决能力。

13.1.1 三角形的边与角 三角形的边与角(复习) 知识解读 回顾 1.三角形的三边关系 (1)判断三条线段能否构成三角形只需判断： 两条较短的边的和是否大于最长边 . (2)已知三角形两边的长度为a、b，第三边长度c的范围： |a-b| <c<a+b . 2.三角形的角： (1)三角形的内角：三角形的两边所组成的角叫作三角形的内角. (2)三角形的内角和定理：三角形的内角和为 180° . (3)三角形的内角和定理的推论：三角形的外角 等于 与它不相邻的两个内角的和. 练1 (1)如果三角形的两边长分别为3和5，那么周长l的取值范围是( ) A: 6<l<15 B: 6<l<16 C: 11<l<13 D: 10<l<16 【答案】D (2)已知等腰三角形的两边长分别为6cm和8cm，则它的第三边长度为 . 【答案】6cm或8cm 练2 已知a, b, c为△ ABC的三边长,化简|a-b-c|-|b-c-a|+|a+b-c|. 【答案】解：由题可知 b+c>a, a+c>b,a+b>c. 原式=-(a-b-c)+(b-c-a)+(a+b-c) =-a+b+c+b-c-a+a+b-c =-a+3b-c 练3 如图,已知∠ACF=115°, ∠ADE=50°, ∠B=35°,求∠F与∠CED的度数. 【答案】解: ∵∠ADE=∠B+∠F, ∴∠CED =∠ACF+∠F =115°+15°=130°. 13.1.2 三角形的相关模型 | "A"字型 | 知识解读 探究 (1) 如图, 求证: (2) 如图, 求证: 记笔记 “A”字型 结论: (1) ∠1+∠2 =∠3+∠4; (2) ∠1+∠2 =∠A+180°. 学科网（北京）股份有限公司 例1 (1)如图, 已知∠1 = 35°, ∠2=76°,∠3=65°, 则∠4的度数是 °. 【答案】46 (2)如图, ∠1= 112°, ∠2=136°, 则∠A = . 【答案】68° 练1.1 (1)如图, ∠B=65°,∠C = 70°,∠AED=80°, 则∠ADE= ( ) A:40° B: 45° C: 50° D: 55° 【答案】D (2) 如图, 已知∠1 =48°, ∠2=56°, 则∠3+∠4的度数是 【答案】256 | "8"字型 | 知识解读 探究 如图，求证： 记笔记 “8”字型: 结论: ∠A+∠B=∠C+∠D. 例2 (1)如图,∠A =70°,∠D =40°,∠C =60°, 则∠B =( ) A: 10° B: 20° C: 40° D: 30° 【答案】D (2)如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小为 °. 【答案】360 【解析】提示，利用三角形内角和即可. 练2.1 如图, 若∠3 =20°, ∠4=30°, 则∠1−∠2 = ( ) A: 5° B: 10° C:15° D: 20° 【答案】B 【解析】∵三角形的内角和为180°， ∴∠1+∠3+∠ACB=∠2+∠4+∠DCE=180°, ∴∠1+∠3=∠2+∠4, ∴∠1-∠2=30°-20°= 10°. 练2.2 如图, 已知∠α=106°,∠β=80°,则∠A+∠B+∠C+∠D的度数为( )度. A: 160 B: 180 C: 186 D: 196 【答案】C |“燕尾”型| 知识解读 探究如图，求证： 记笔记 “燕尾”型： 结论： 例3 (1)如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E = . 【答案】180° (2)如图,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠A=50°,∠DBE=150°,则∠C的大小为 . 【答案】100° 练3.1 (1)如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于( ) A: 90° B: 180° C: 360° D: 270° 【答案】B (2)如图,BF是∠ABD的角平分线,CE是∠ACD的角平分线,BF与CE交于G,若∠BDC =140°,∠BGC=110°,求∠A的度数. 学科网（北京）股份有限公司 |三角形与角平分线和高线相关的角 | 知识解读 探究 已知: 如图,在△ABC中,∠C>∠B,AD,AE分别是△ABC的高和角平分线. (1) 若∠C=45°, ∠B=30°, 则∠DAE= ; (2) 若∠C=60°, ∠B=30°, 则∠DAE= . 猜想: ∠DAE与∠C-∠B的数量关系是 . 证明上述结论： 猜想: 若∠C和∠B大小关系变为∠C<∠B,则∠DAE与∠B-∠C的数量关系是 . 记笔记 高分角模型： 如图，若AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，则 . 学科网（北京）股份有限公司 例4 如图,在△ABC中,AD是高,AE是角平分线,若∠B =72°,∠DAE=16°,则∠C= °. 【答案】40 【解析】解:∵AD是高,∠B =72°, ∴∠BAD=18°, ∴∠BAE=18°+16°=34°, ∵AE是角平分线， ∴∠BAC =68°, ∴∠C = 180°-72°-68°= 40°. 练4.1 如图, △ABC中, ∠A=40°,∠B=72°, CE平分∠ACB, CD⊥AB于D,DF⊥CE, 则∠CDF = °. 【答案】74 【解析】∵∠A =40°,∠B=72°, ∴∠ACB =68°, ∵CE平分∠ACB, CD⊥AB于D, ∴∠BCE=34°,∠BCD=90°-72°= 18°, ∵DF⊥CE, ∴∠CDF=90°-(34°-18°)= 74°. 学科网（北京）股份有限公司 第 1 讲 三角形模型 日积月累 1 已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（ ） A: 7cm B: 9cm C: 12cm或者9cm D: 12cm 【答案】D 【解析】①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去.∴其周长是12cm.故选：D. 2 若三角形两边长为8和12，则第三边 的范围是( ) A: B: C: D: 【答案】D 【解析】第三边长为 ，由题意得： ,则 ,故选：D. 3 一个三角形的周长为奇数，其中的两边长为4和2013，满足条件的三角形有____个. 【答案】4 1 学科网（北京）股份有限公司 4 如图,已知AB⊥BD,AC⊥CD,∠A =25°,则∠D的度数为 ( ) A: 35° B: 25° C: 15° D: 45° 【答案】B 5 如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 ( ) A: 180° B: 270° C: 360° D: 540° 【答案】C 【解析】 解: 连接AD, ∵∠3=∠1+∠2=∠E+∠F 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠BAF+∠B+∠CDE+∠C+∠E+∠F =∠BAF+∠B+∠CDE+∠C+∠1+∠2 = 360°, 故答案选：C 6 如图, 点O是△ABC内一点, ∠A=80°, ∠1=15°, ∠2= 40°, 则∠BOC等于 ( ) A: 95° B: 120° C: 135° D：无法确定 【答案】C 【解析】解: ∵∠A=80°, ∠1=15°, ∠2=40°, ∴∠OBC+∠OCB=180°-∠A-∠1-∠2=180°-80°-15°-40°=45°, ∵∠BOC+ (∠OBC+∠OCB) =180°, ∴∠BOC=180° - (∠OBC+∠OCB) =180°-45°=135°. 故选: C. 7 如图,△ABC中,∠A =40°,若沿图中虚线截去∠A,则∠CDE+∠DEB=( ) A: 140° B: 220° C: 280° D: 360° 学科网（北京）股份有限公司 【答案】B 8 如图,在△ABC中,AD是高,AE是角平分线,∠B =70°,∠DAE=10°,求∠C的度数. 【答案】50° 【解析】 ∵AD是高,∠B=70°, ∴∠BAD=20°, ∴∠BAE=20°+10°=30°, ∵AE是角平分线， ∴∠BAC =60°, ∴∠C= 180°-70°-60°=50°. 9 如图, BE⊥AC, CF⊥AB, BE与CF交于点G,若∠A =75°,则∠BGC的度数为 【答案】105° 10 已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C. (1) ∠DBC+∠DCB= °; (2) 过点A作直线MN//DE,若∠ACD=20°,试求∠CAM的大小. 学科网（北京）股份有限公司 【答案】解：(1) 在 中， ， 而 ， ； 故答案为：90； (2) 在 中， ， 即 ， 而 ， ， 。 又 ， 。 而 ， ， 。 第 1 讲 三角形模型 融会贯通 1 下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（ ） A: 1, 1, 2 B: 2, 2, 5 C: 3, 3, 5 D: 3, 4, 5 【答案】C 【解析】A: ，无法构成三角形，故此选项错误； B: ，无法构成三角形，故此选项错误； 学科网（北京）股份有限公司 C、∵3+3>5,3=3,故组成等腰三角形,此选项正确; D、∵3，4，5没有相等的边，不是等腰三角形，故此选项错误. 故选: C. 2 已知三角形三边长分别为2，2x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为( ) A: 2 B: 3 C: 5 D: 13 【答案】A 【解析】解：由题意，得 13-2<2x<13+2, 解得11<2x<15, 解得x=6,x= 7, 故选: A. 3 已知: 如图,∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于 ( ) A: 120° B: 115° C: 110° D: 105° 【答案】B 4 如图,在△ABC中,∠C=50°,按图中虚线将∠C剪去后,∠1+∠2等于 ( ) 学科网（北京）股份有限公司 第1 讲 三角形模型 抛砖引玉 1 已知：三角形的三边a、b、c的长都是整数，且a≤b<c，如果b=5，那么这样的三角形个数为 ( ) A:6个 B:10个 C: 15个 D:21个 【答案】B 【解析】解: ∵三角形的三边a、b、c的长都是整数,且a≤b<c,如果b=5, ∴a=1, 2, 3, 4, 5, 当a=1，b=5时，根据三角形的三边关系，得4<c<6，再根据已知条件，知不存在； 当a=2, b=5时, 则c=6; 当a=3, b=5时, 则c=6, 7; 当a=4, b=5时, 则c=6, 7, 8; 当a=5, b=5时, 则c=6, 7, 8, 9. 故选: B. 2 如图，CE 平分∠ACD, F 为 CA 延长线上一点, FG ∥CE交AB 于点 G , 若∠ACD=100°,GF = 20°,则∠B的度数是 . 【答案】30° 【解析】∵CE平分∠ACD, ∵FG∥CE, ∴∠AFG=∠ACE=50°, 在△AFG中, 外角∠BAC=∠AFG+∠AGF=50°+20°=70°, 又∵∠ACB=180°﹣∠ACD=180°﹣100°=80°, 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=180°-70°-80°=30°. 故答案为: 30°. 3 如图,∠ABD,∠ACD的角平分线相交于点P,若∠A =65°,∠D =15°,则∠P的度数为 ( ) A: 15° B: 20° C: 25° D: 30° 【答案】C 4 如图，以下是五角星 (a)和它的变形 (b)(c). (1) 请求出五角星的五个角的和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E; (2)若图(b)中的点A向下移到BE上时，五个角的和有无变化?说明你的结论的正确性； (3)如图 (c)中在 (b)中的点C向上移动到BD时，五个角的和 有无变化? 学科网（北京）股份有限公司 【答案】解: (1) ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. (2) 无变化. 根据平角的定义,得出∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°. ∵∠BAC =∠C+∠E,∠EAD=∠B+∠D, ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC +∠CAD+∠DAE=180° (3) 无变化. ∵∠ACB=∠CAD+∠D,∠ECD=∠B+∠E, ∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠ACB +∠ACE+∠ECD =180°. 5 (1)如图1,∠FDC与∠ECD分别为△ ADC的两个外角,则∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系为 . 【答案】∠FDC+∠ECD =180°+∠A 【解析】∵∠FDC =∠A+∠ACD,∠ECD=∠A+∠ADC, ∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC =180°. +∠A (2)如图2,在△ADC中,DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD,探究∠P与∠A的数量关系为 . 【答案】 【解析】∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD, ∴∠P = 180°-∠PDC-∠PCD 学科网（北京）股份有限公司 (3)试探究: 如图3,在四边形ABCD中,DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD,试利用上述结论探究∠P与∠∠A+∠B的数量关系. 【答案】解: ∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD, ∴∠P = 180°-∠PDC - ∠PCD 6 (1) 如图1,∠1+∠2+∠3+∠4 = ; (2) 如图2,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ; (3) 如图3, 则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F = . 【答案】 (1) 360°; (2) 180°; (3) 210°. 1 学科网（北京）股份有限公司 $