专题13.1 与三角形有关的线段（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦三角形的定义、分类、三边关系、稳定性及中线、角平分线、高的概念与性质，从基础概念到性质应用，构建完整知识脉络，形成递进式学习支架。 资料含思维导图梳理知识体系，即学即练即时巩固，题型覆盖三角形个数、存在性等12类问题，结合千厮门大桥等生活实例，培养抽象能力、推理意识与应用意识，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

专题13.1 与三角形有关的线段 教学目标 1.理解三角形的定义、分类，能准确识别三角形的边、角、顶点． 2.理解三角形的三边关系，并会根据“两点之间，线段最短”这一基本事实证明三角形两边之和大于第三边；能利用三角形的三边关系解决相关问题． 3.了解三角形的稳定性，会解释生活中与三角形稳定性有关的现象． 4.理解三角形的高、中线、角平分线的概念及画法，会进行相关计算． 5.了解三角形重心的概念． 教学重难点 1.重点 （1）三角形的定义、分类； （2）三角形三边关系及其应用； （3）三角形的高、中线、角平分线的概念和性质． 2.难点 （1）运用三边关系解决实际问题； （2）运用三角形的高、中线、角平分线的性质解决相关问题． 知识点01 三角形及其相关概念 1. 三角形的概念： 如图，由 的三条线段首位顺次连接所组成的图形叫做三角形． 2. 三角形的边，角，顶点以及三角形的表示： 在三角形中，组成三角形的线段叫做三角形的 ，有 ． 相邻两边组成的角叫做三角形的 ， 简称三角形的角．有 相邻两边的公共端点叫做三角形的 ．有 ． 用符号 来表示三角形，即表示为 ． 3. 三角形中的相邻与相对关系： AB、AC与∠A相邻，所以是∠A的 ，BC与∠A相对，所以是∠A的 ； 同理可得∠B、∠C的邻边与对边． 【即学即练】 1．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． （1）写出的三个内角； （2）在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． （3）图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 知识点02 三角形的分类 1．等腰三角形 有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角． 2．等边三角形 三边相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形． 3．三角形的分类 按边的相等关系分类： 按角的大小分类： 注意： ①等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形；不等边三角形是指三条边都不相等的三角形． ②无论按哪一标准对三角形进行分类，都必须做到不重复、不遗漏． ③三角形的两种分类方法是各自独立的，同一个三角形可能同时属于两个不同的类别．如等腰直角三角形既是等腰三角形，又是直角三角形． 【即学即练】 1．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．三角形按角分类可以分为（    ） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确 知识点03 三角形的三边关系 1．三边关系的性质 三角形两边的和_______第三边，三角形两边的差_______第三边．三角形的三边关系反映了任意三角形边的限制关系． 2．三边关系的应用 ①判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；否则不能组成三角形． ②已知三角形两边长，求第三边长的取值范围． ③解决线段的不等关系问题（如证明几何不等式）． 注意： ①这里的“两边”指的是任意的两边． ②三角形的三边关系的依据是“两点之间，线段最短”． 【即学即练】 1．下列每组的三个数字分别代表三条线段的长度，能组成三角形的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．等腰的周长为18，若的长为8，则的不可能是（    ） A．2 B． C．6 D．8 3．若a，b，c是的三条边长，则的化简结果为_______ 知识点04 三角形的稳定性 1. 三角形三条边确定后，三角形的________和________就唯一确定，这个性质叫三角形的________． 【即学即练】 1．桥都重庆桥梁总数超过2万座，桥的类型丰富多样，每一座桥都有着独特的设计和建造技术．如图，千厮门大桥在建造时采用斜拉索设计．这种设计蕴含的数学原理是（    ） A．三角形的内角和为 B．三角形具有稳定性 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 知识点05 三角形的中线 1．三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它______________ 的________叫做三角形的中线． 2．三角形的中线的几何表达形式 如图所示，是的边上的中线，或是的中线，或． 3．三角形中线的数量和交点的位置 三角形有_______中线，三条中线都在三角形的内部，它们相交于一点，三角形三条中线的交点也在三角形的_______． 4．三角形的重心 三角形____________的交点叫做三角形的_______． 5．三角形的一条中线分成的两三角形的面积和周长的关系 如图所示，是的中线，是的高，则，， 因为，所以， 即_________________． 因为的周长为，的周长为， 所以的周长－的周长=． 注意： ①三角形的中线是一条_______． ②三角形每一条边上的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，这两个三角形的周长差等于另两边长的差． ③三角形的重心一定在三角形的_______． 【即学即练】 1．已知等腰三角形的底边长为，一边的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，那么三角形的腰长为________． 2．如图，、是的中线，连接，的面积是20，则的面积是________． 知识点06 三角形的角平分线 1．三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 2．三角形的角平分线的几何表达形式 如图所示，是的角平分线，或______________________且点D在上． 注意： ①三角形的角平分线是一条_______，可以度量；角的平分线是一条射线，不可以度量． 3．三角形角平分线的数量和交点的位置 三角形有三条角平分线，三条角平分线都在三角形的内部，它们相交于一点，三角形三条角平分线的交点也在三角形的_______． 【即学即练】 1．如图，的角平分线、中线相交于点，则①是的角平分线；②是的中线；③是的中线；④，其中结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 知识点07 三角形的高 1．三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的_______叫做三角形的高线．三角形的高线简称三角形的高． 2．三角形的高的几何表达形式 如图所示，是的边上的高，或是的高，或于点D，或． 注意： ①三角形的高是一条_______，垂线是一条直线． 3．三角形高的数量及______________ 锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条高在三角形内部，三条高没有交点，但三条高的延长线交于三角形外一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点． 【即学即练】 1．如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（    ） A．三角形的重心是三条中线的交点 B．钝角三角形有两条高线在三角形外部 C．直角三角形只有一条高线 D．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线 题型01 三角形的个数问题 【典例1】仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 【变式1】如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 【变式3】如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（    ） A．36 B．37 C．38 D．39 题型02 三角形的分类及其形状判断 【典例1】在中，若，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【典例2】如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【变式1】如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分类，则两处“？”分别为（    ） A．等边三角形，等腰直角三角形 B．等腰直角三角形，钝角三角形 C．等边三角形，钝角三角形 D．锐角三角形，等边三角形 【变式2】在中，的补角为，则是_______三角形． 【变式3】下列命题不正确的是（    ） A．锐角三角形中，任意两个内角之和都大于 B．三角形中至少有两个内角是锐角 C．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 D．三角形中至少有一个角小于等于 题型03 三角形的存在性问题 【典例1】下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 若已知两边的边长为a和b，则第三边c的取值范围可简化为：． 【变式1】下列各组线段，无法构成三角形的是（    ） A．5，7，9 B．，， C．，， D．6，8，15 【变式2】已知线段，，． （1）判断和的大小，并说明理由； （2）用、、能构成三角形吗？为什么？ 题型04 根据三角形的三边关系求取值范围或求值 【典例1】若一个三角形的三边长均为奇数，其中两边长分别为5和7，则这个三角形周长的最大值为________． 【典例2】若三角形的两边长分别为和，则第三边的长度可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知一个三角形的三边长分别为3，6，x，若x为奇数，则x的值可以为________．(写出一个即 【变式2】已知的三边分别为a，b，c，且，． （1）若c的长为小于6的偶数，求c的长； （2）在（1）的条件下，判断的形状． 【变式3】已知的三边长分别为a，b，c． （1）若a，b，c满足，试判断的形状； （2）若，，且为整数，求的周长． 题型05 三角形三边关系的应用 【典例1】若等腰的周长为20，其中一边长为8，则这个等腰三角形的底边长与其腰长的比值为（    ） A． B． C．或2 D．或 【典例2】已知m，n是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为______． 【典例3】已知的三边长分别为a，b，c，化简__________． 【变式1】已知m，n是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为（    ） A．13 B．13或20 C．20 D．13或19 【变式2】已知，，分别是的三边长，化简：_____． 【变式3】已知的三边长分别为a，b，c，且，求c的取值范围． 题型06 三角形的稳定性 【典例1】如图，在木门板钉一个斜的加固板，这样做的道理是（    ） A．利用三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线 【变式1】每年的6月18日是鄂伦春族的传统节日——篝火节，篝火就是在野外营地里配上三角竹架的火堆．如图所示的是一款户外露营便携篝火架，这样设计的原理是____________________． 题型07 根据三角形中线求线段长度 【典例1】如图，在中（），，边上的中线把的周长分成和两部分，求边和的长．（提示：设） 【变式1】如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为32，求的长． 【变式2】如图，的周长是18，是的中线，，求线段的长． 【变式3】如图，在中，，为边上的中线，且，求的长． 题型08 根据三角形的中线求面积 【典例1】如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且，则的值为______． 【典例2】如图，D，E，F分别为，，的中点，且，则（图中阴影部分）的面积为______． 【变式1】如图，D、E、F分别为、、的中点，的面积是8，则图中阴影部分的面积等于___________． 【变式2】如图，已知的面积为，点，分别在边，上，且，，与相交于点．若的面积为，则图中阴影部分的面积为________． 【变式3】如图，中，D为边的中点，E为边靠近点C的三等分点，线段、交于F，若，则__________． 题型09 重心的概念 【典例1】在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则______． 【变式1】如图，在正方形网格图中，均为格点，则的重心在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【变式2】如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点（都在网格线的交点上）中，该三角形薄板的重心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型10 三角形的角平分线的应用 【典例1】如图，在中，是的角平分线，交于点，交于点．求证：平分． 【变式1】如图，已知，，平分，证明： （1）； （2）． 题型11 画三角形的高 【典例1】如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图，作的边上的高，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列各图中，作边上的高，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，关于边上的高，下列说法正确的是（    ） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 题型12 三角形三线的综合应用 【典例1】关于三角形的高，中线和角平分线，下列说法正确的是（    ） A．三角形的角平分线是直线 B．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 C．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 D．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 【典例2】如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．求证：． 【变式1】下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有（    ）个． A．3 B．2 C．0 D．1 【变式2】如图，在中，，，交于点E，垂足为D，F为的中点，连接交AD于点G．有下列四个结论：①是的角平分线；②是的边上的中线；③是的边上的高；④是的边上的高．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于点，，求的长． 1．如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能 2．木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的根据是（    ） A．矩形的对称性 B．矩形的四个角都是直角 C．三角形的稳定性 D．两点之间线段最短 3．下列结论正确的是（    ） A．直角三角形三条角平分线的交点在三角形的外部 B．三角形的重心是三角形三条中线的交点 C．锐角三角形的三条中线的交点在三角形的外部 D．直角三角形的三条高的交点在斜边上 4．现有两根长度分别为和的木棒，若要从长度分别为，，，，的根木棒中选一个钉成三角形的木框，那么可选择的木棒有（    ） A．1根 B．2根 C．3根 D．4根 5．如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（    ） A．45 B．35 C．26 D．22 7．在三角形中，①中线、②内角平分线、③高，一定在三角形内部的线段是_________．（填序号） 8．如图，是的_________边上的高；在中，是_________上的高，还是_________的高；是_________的_________边上的高． 9．用一根长为的铁丝围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则另外两边的长分别为________． 10．如图，平分，平分，，的周长为20，，则为 ___________ . 11．如图，在中，点D为边上一点，且，E、F分别为、的中点，且的面积为a，则的面积为________． 12．已知的三边长分别为a，b，c． （1）若，，且c为整数，求周长的最大值． （2）化简：． 13．如图， （1）∵是的中线（即点是的中点）， ∴有①________，②________． （2）∵如图是的角平分线， ∴③________． （3）∵是的高（） ∴④________ 14．如图，在中，，． （1）求周长的取值范围； （2）已知是的中线，若的周长为，求的周长． 1．已知，，是的三条边长，，其中为正数，为正整数．现有四个结论： ①若，则； ②若，，，则； ③若，，且a，b均为正整数，则n有且仅有3个取值； ④若，a，b，c为三个连续整数且，则满足条件的的个数为6． 其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．如图，的面积为1．第一次操作：分别延长至点，使，顺次连接，得到．第二次操作：分别延长，至点，使，顺次连接，得到，…按此规律，最少经过________次操作，得到的三角形面积超过2026． 3．如图1，在中，a、b、c分别是、、的对边，点P从点A出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位的速度向终点B运动．设点Q的运动时间为t秒． （1）若，． ①______，______； ②当时，若，求的值； （2）如图2，当点运动到线段上，与交于点，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 4．【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分． 【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比． （1）如图1，的边上有一点M，请证明：． （2）【结论应用】如图2，的面积为1，，，求的面积． （3）【迁移应用】如图3，四边形中，E、F、G、H依次是各边的中点，O是形内一点，若四边形、四边形、四边形的面积分别为5、6、7，试求四边形的面积． 23 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.1 与三角形有关的线段 教学目标 1.理解三角形的定义、分类，能准确识别三角形的边、角、顶点． 2.理解三角形的三边关系，并会根据“两点之间，线段最短”这一基本事实证明三角形两边之和大于第三边；能利用三角形的三边关系解决相关问题． 3.了解三角形的稳定性，会解释生活中与三角形稳定性有关的现象． 4.理解三角形的高、中线、角平分线的概念及画法，会进行相关计算． 5.了解三角形重心的概念． 教学重难点 1.重点 （1）三角形的定义、分类； （2）三角形三边关系及其应用； （3）三角形的高、中线、角平分线的概念和性质． 2.难点 （1）运用三边关系解决实际问题； （2）运用三角形的高、中线、角平分线的性质解决相关问题． 知识点01 三角形及其相关概念 1. 三角形的概念： 如图，由 不在同一直线上 的三条线段首位顺次连接所组成的图形叫做三角形． 2. 三角形的边，角，顶点以及三角形的表示： 在三角形中，组成三角形的线段叫做三角形的 边 ，有 AB、BC、AC ． 相邻两边组成的角叫做三角形的 内角 ，简称三角形的角。有 ∠A、∠B、∠C ． 相邻两边的公共端点叫做三角形的 顶点 。有 顶点A、B、C ． 用符号 △ 来表示三角形，即表示为 △ABC ． 3. 三角形中的相邻与相对关系： AB、AC与∠A相邻，所以是∠A的 邻边 ，BC与∠A相对，所以是∠A的 对边 ； 同理可得∠B、∠C的邻边与对边． 【即学即练】 1．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． （1）写出的三个内角； （2）在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． （3）图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】（1）的三个内角是：，， （2）； （3）6，是，的公共角 【详解】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6；是，的公共角． 知识点02 三角形的分类 1．等腰三角形 有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角． 2．等边三角形 三边相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形． 3．三角形的分类 按边的相等关系分类： 按角的大小分类： 注意： ①等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形；不等边三角形是指三条边都不相等的三角形． ②无论按哪一标准对三角形进行分类，都必须做到不重复、不遗漏． ③三角形的两种分类方法是各自独立的，同一个三角形可能同时属于两个不同的类别．如等腰直角三角形既是等腰三角形，又是直角三角形． 【即学即练】 1．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据三角形按边分类情况：等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； B项分类正确，故选项B正确，符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项C错误，不符合题意； 分类不完整，故选项D错误，不符合题意； 故选：B 2．三角形按角分类可以分为（    ） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确 【答案】A 【详解】解：三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形， 故选：A． 知识点03 三角形的三边关系 1．三边关系的性质 三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边．三角形的三边关系反映了任意三角形边的限制关系． 2．三边关系的应用 ①判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；否则不能组成三角形． ②已知三角形两边长，求第三边长的取值范围． ③解决线段的不等关系问题（如证明几何不等式）． 注意： ①这里的“两边”指的是任意的两边． ②三角形的三边关系的依据是“两点之间，线段最短”． 【即学即练】 1．下列每组的三个数字分别代表三条线段的长度，能组成三角形的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：根据三角形三边关系，三条线段能组成三角形的条件是：较短两边之和大于最长边. 对选项A，最长边为10，，∴不能组成三角形； 对选项B，最长边为11，，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； 对选项C，最长边为8，，满足三边关系，∴能组成三角形； 对选项D，最长边为8，，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形． 2．等腰的周长为18，若的长为8，则的不可能是（    ） A．2 B． C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：∵是等腰三角形，周长为18，，分三种情况讨论： 1．若，则，此时，三边为8，8，2，满足，符合三角形三边关系和等腰三角形要求，因此可能，排除D． 2．若，则，此时，三边为8，8，2，满足三角形三边关系和等腰三角形要求，因此可能，排除A． 3．若，则，三边为8，5，5，满足，符合要求，因此可能，排除B． 当时，，三边为8，6，4，不存在相等的两边，无法构成等腰三角形，因此 不可能． 3．若a，b，c是的三条边长，则的化简结果为_______ 【答案】 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴，，， ∴ ． 知识点04 三角形的稳定性 1. 三角形三条边确定后，三角形的形状和大小就唯一确定，这个性质叫三角形的稳定性． 【即学即练】 1．桥都重庆桥梁总数超过2万座，桥的类型丰富多样，每一座桥都有着独特的设计和建造技术．如图，千厮门大桥在建造时采用斜拉索设计．这种设计蕴含的数学原理是（    ） A．三角形的内角和为 B．三角形具有稳定性 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】B 【详解】解：由题意得这种设计蕴含的数学原理是三角形具有稳定性． 知识点05 三角形的中线 1．三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线． 2．三角形的中线的几何表达形式 如图所示，是的边上的中线，或是的中线，或． 3．三角形中线的数量和交点的位置 三角形有三条中线，三条中线都在三角形的内部，它们相交于一点，三角形三条中线的交点也在三角形的内部． 4．三角形的重心 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 5．三角形的一条中线分成的两三角形的面积和周长的关系 如图所示，是的中线，是的高，则，， 因为，所以， 即． 因为的周长为，的周长为， 所以的周长－的周长=． 注意： ①三角形的中线是一条线段． ②三角形每一条边上的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，这两个三角形的周长差等于另两边长的差． ③三角形的重心一定在三角形的内部． 【即学即练】 1．已知等腰三角形的底边长为，一边的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，那么三角形的腰长为________． 【答案】或 【详解】解：根据题意，得， 当时，根据题意，得分成的两部分为，与其中一部分比另一部分长，不一致，不符合题意； 当时，根据题意，得分成的两部分为，， 设，则， 根据题意，得， 故，， 由其中一部分比另一部分长， 故或， 解得或， ∴等腰三角形的三边分别为：，，或，，， 故三角形的腰长为或． 2．如图，、是的中线，连接，的面积是20，则的面积是________． 【答案】5 【详解】解：∵是的中线，的面积是20， ∴， ∵是的中线， ∴，即是的中线， ∴，即的面积是5． 知识点06 三角形的角平分线 1．三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 2．三角形的角平分线的几何表达形式 如图所示，是的角平分线，或且点D在上． 注意： ①三角形的角平分线是一条线段，可以度量；角的平分线是一条射线，不可以度量． 3．三角形角平分线的数量和交点的位置 三角形有三条角平分线，三条角平分线都在三角形的内部，它们相交于一点，三角形三条角平分线的交点也在三角形的内部． 【即学即练】 1．如图，的角平分线、中线相交于点，则①是的角平分线；②是的中线；③是的中线；④，其中结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：①∵是的角平分线， ∴， ∴平分， ∴是的角平分线，原说法正确； ②∵是的中线，中线是顶点与对边中点的连线， ∴， ∴O不是的中点， ∴不是的中线，原说法错误； ③∵是的中线， ∴， ∴是的中线，原说法正确； ④∵是的中线， ∴，原说法正确， ∴有3是正确的． 知识点07 三角形的高 1．三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．三角形的高线简称三角形的高． 2．三角形的高的几何表达形式 如图所示，是的边上的高，或是的高，或于点D，或． 注意： ①三角形的高是一条线段，垂线是一条直线． 3．三角形高的数量及交点的位置 锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条高在三角形内部，三条高没有交点，但三条高的延长线交于三角形外一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点． 【即学即练】 1．如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：中边上的高是． 2．下列说法错误的是（    ） A．三角形的重心是三条中线的交点 B．钝角三角形有两条高线在三角形外部 C．直角三角形只有一条高线 D．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线 【答案】C 【详解】解：A．三角形的重心是三条中线的交点，正确； B．钝角三角形有两条高线在三角形外部，正确； C．直角三角形有三条高线（两条直角边上的高和斜边上的高），并非只有一条，错误； D．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线，正确； 故选：C． 题型01 三角形的个数问题 【典例1】仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 【答案】35 【详解】解：如图， 图中有，，，，共5个， 有，，，，共5个， 有，，，，共5个， 有，，，，共5个， 有，，，，共5个， 有，，，，共5个， 有，，，，共5个， 共计有个三角形． 【变式1】如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， ∵D是延长线上一点， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共4个． 【变式2】如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 【答案】6；，，；，， 【详解】解：图中的三角形有、、、、、，共6个； 以为边的三角形有、、， 以为一个内角的三角形是、、． 故答案为：6；，，；，， 【变式3】如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（    ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为； 第③个图中三角形的个数为； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑧个图形中三角形的个数为：． 题型02 三角形的分类及其形状判断 【典例1】在中，若，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】C 【详解】解：∵， ∴是钝角三角形． 故选：C． 【典例2】如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形）， ∴P是等腰三角形；Q是等边三角形， ∴只有乙说法正确， 故选：B． 【变式1】如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分类，则两处“？”分别为（    ） A．等边三角形，等腰直角三角形 B．等腰直角三角形，钝角三角形 C．等边三角形，钝角三角形 D．锐角三角形，等边三角形 【答案】C 【详解】将三角形按边的相等关系， 可以分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包含等边三角形， 将三角形按角的大小可以分为， 锐角三角形、直角三角形和钝角三角形， ∴两处“？”分别为等边三角形，钝角三角形， 故选：C． 【变式2】在中，的补角为，则是_______三角形． 【答案】钝角 【详解】∵的补角是， ∴， ∵， ∴是钝角， ∴是钝角三角形． 故答案为：钝角． 【变式3】下列命题不正确的是（    ） A．锐角三角形中，任意两个内角之和都大于 B．三角形中至少有两个内角是锐角 C．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 D．三角形中至少有一个角小于等于 【答案】C 【详解】对于A，锐角三角形中，任意两个内角之和都大于，选项说法正确，不符合题意； 对于B，三角形中至少有两个角是锐角，选项说法正确，不符合题意； 对于C，由定义三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，故C说法错误，符合题意； 对于D，三角形中至少有一个角小于等于，选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 题型03 三角形的存在性问题 【典例1】下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】解：∵ ，不满足三边关系，∴选项A不能摆成三角形； ∵ ，不满足三边关系，∴选项B不能摆成三角形； ∵ ，不满足三边关系，∴选项C不能摆成三角形； ∵ ，满足三角形三边关系，∴选项D能摆成三角形． 若已知两边的边长为a和b，则第三边c的取值范围可简化为：． 【变式1】下列各组线段，无法构成三角形的是（    ） A．5，7，9 B．，， C．，， D．6，8，15 【答案】D 【详解】解：A．∵ ，∴ 可以构成三角形. B．∵ ，，∴ 可以构成三角形. C．∵ ，，∴ 可以构成三角形. D．∵ ，不满足三边关系，∴ 无法构成三角形． 【变式2】已知线段，，． （1）判断和的大小，并说明理由； （2）用、、能构成三角形吗？为什么？ 【答案】（1）略 （2）略 【详解】（1）解：，理由： ， ∵线段， ∴， ∴， ∴； （2）解：不能构成三角形，理由： ∵， ∴， ， ∵， ∴，即a、b、c不能构成三角形． 题型04 根据三角形的三边关系求取值范围或求值 【典例1】若一个三角形的三边长均为奇数，其中两边长分别为5和7，则这个三角形周长的最大值为________． 【答案】23 【详解】解：根据三角形三边关系可得：第三边，即第三边， ∵三边长均为奇数， ∴第三边的最大值为11， ∴三角形周长的最大值为． 【典例2】若三角形的两边长分别为和，则第三边的长度可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设第三边的长度为， 根据三角形三边关系，得，化简得， 选项中只有满足该范围． 【变式1】已知一个三角形的三边长分别为3，6，x，若x为奇数，则x的值可以为________．(写出一个即可) 【答案】5（或7，答案不唯一） 【详解】解：根据三角形三边关系可得 ∴ ． ∵x为奇数，所以x的值可以为5，7． 【变式2】已知的三边分别为a，b，c，且，． （1）若c的长为小于6的偶数，求c的长； （2）在（1）的条件下，判断的形状． 【答案】（1）4 （2）等腰三角形 【详解】（1）解：∵在中，三边长为a，b，c，且，， ∴ ，即 ， ∵c为小于6的偶数， ∴，即c的长为4； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式3】已知的三边长分别为a，b，c． （1）若a，b，c满足，试判断的形状； （2）若，，且为整数，求的周长． 【答案】（1）等边三角形 （2）13或14或15 【详解】（1）解：∵ ，，， ∴，． ∴，． ∴，． ∴． ∴是等边三角形； （2）解：∵，，， ∴， ∵c为整数， ∴c可以取5，6，7． 当时，的周长为； 当时，的周长为； 当时，的周长为； ∴的周长为13或14或15． 题型05 三角形三边关系的应用 【典例1】若等腰的周长为20，其中一边长为8，则这个等腰三角形的底边长与其腰长的比值为（    ） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【详解】解：当8为腰长时， ∵等腰三角形周长为20， ∴底边长为， ∴此时三边长为4，8，8， ∵， ∴能构成三角形，符合题意 ∴底边长与腰长的比值为； ② 当8为底边长时， ∵等腰三角形周长为20， ∴腰长为 ， ∴此时三边长为6，6，8， ∵， ∴能构成三角形，符合题意， ∴底边长与腰长的比值为； 综上，底边长与腰长的比值为或． 【典例2】已知m，n是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为______． 【答案】20 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得，， 分两种情况讨论等腰三角形的边长： 情况1：若腰长为2，底边长为9，则三边长为2，2，9，，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况不成立，舍去． 情况2：若腰长为9，底边长为2，则三边长为9，9，2， ，满足三角形三边关系，∴周长为 ． 【典例3】已知的三边长分别为a，b，c，化简__________． 【答案】 【详解】解：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，得 ，，， ∴，，， ∴原式 ． 【变式1】已知m，n是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为（    ） A．13 B．13或20 C．20 D．13或19 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， 分两种情况讨论等腰三角形的边长： 情况1：若腰长为2，底边长为9，则三边长为2， 2， 9， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况不成立； 情况2：若腰长为9，底边长为2，则三边长为9， 9， 2， ∵，满足三角形三边关系． ∴周长为． 【变式2】已知，，分别是的三边长，化简：_____． 【答案】 【详解】解：∵a，b，c分别是的三边长， ∴，，， 即，，， ∴ ． 【变式3】已知的三边长分别为a，b，c，且，求c的取值范围． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据三角形的三边关系得，即， ∴， ∴c的取值范围是． 题型06 三角形的稳定性 【典例1】如图，在木门板钉一个斜的加固板，这样做的道理是（    ） A．利用三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线 【答案】A 【详解】解：木门板是四边形，钉上一个加固板，变成了两个三角形，根据三角形的稳定性，可得答案是A． 故选：A． 【变式1】每年的6月18日是鄂伦春族的传统节日——篝火节，篝火就是在野外营地里配上三角竹架的火堆．如图所示的是一款户外露营便携篝火架，这样设计的原理是____________________． 【答案】三角形的稳定性 【详解】解：三角形具有稳定性：三角形的三条边长度确定后，它的大小和形状就不会改变． 故答案为：三角形的稳定性 ． 题型07 根据三角形中线求线段长度 【典例1】如图，在中（），，边上的中线把的周长分成和两部分，求边和的长．（提示：设） 【答案】，． 【详解】解：设， ∵中线把的周长分成和两部分，， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【变式1】如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为32，求的长． 【答案】10． 【详解】解：∵、分别是、边上的中线，，， ∴，， ∵的周长为32， ∴， ∴． 【变式2】如图，的周长是18，是的中线，，求线段的长． 【答案】 【详解】解：∵的周长是18， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴． 【变式3】如图，在中，，为边上的中线，且，求的长． 【答案】 【详解】解：∵，D为中点， ∴，则， ∵， ∴， 即． 题型08 根据三角形的中线求面积 【典例1】如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且，则的值为______． 【答案】4 【详解】解：∵点D为边的中点， ∴， ∵点E为的中点， ∴，， ∴， 故答案为：4． 【典例2】如图，D，E，F分别为，，的中点，且，则（图中阴影部分）的面积为______． 【答案】1 【详解】解：∵D为中点，， ∴， 同理得：，， ∴， ∵F为中点， ∴． 故答案为：1． 【变式1】如图，D、E、F分别为、、的中点，的面积是8，则图中阴影部分的面积等于___________． 【答案】2 【详解】解：∵点D为边的中点， ∴， 同理可得：， ， ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 即：阴影部分的面积为2． 【变式2】如图，已知的面积为，点，分别在边，上，且，，与相交于点．若的面积为，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】9 【详解】解：连接， ∵，的面积为3 ∴， ∵，的面积为36， ∴， ∴， ∵与等底等高， ∴， ∴图中阴影部分的面积为9． 【变式3】如图，中，D为边的中点，E为边靠近点C的三等分点，线段、交于F，若，则__________． 【答案】 【详解】解：设，， ∵D为边的中点， ∴，，， ∵E为边的三等分点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案是． 题型09 重心的概念 【典例1】在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则______． 【答案】6 【详解】解：∵D是的重心， ∴是的中线， ∴E是的中点， ∵， ∴， 故答案为：6． 【变式1】如图，在正方形网格图中，均为格点，则的重心在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【详解】解：∵， ∴是的中线， ∵三角形的重心是三角形中线的交点， ∴它的重心在线段上． 故选：B． 【变式2】如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点（都在网格线的交点上）中，该三角形薄板的重心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【详解】解：由图可知，点D是该三角形薄板的重心； 故选:A． 题型10 三角形的角平分线的应用 【典例1】如图，在中，是的角平分线，交于点，交于点．求证：平分． 【答案】见解析 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴平分． 【变式1】如图，已知，，平分，证明： （1）； （2）． 【答案】（1）略 （2）略 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型11 画三角形的高 【典例1】如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A．是边上的高，故此选项不符合题意； B．不是边上的高，故此选项不符合题意； C．是边上的高，故此选项不符合题意； D．是边上的高，故此选项符合题意． 【典例2】如图，作的边上的高，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：作边上的高，是从顶点C出发，引向对边的垂线段，据此，符合题意的是； 故选D． 【变式1】下列各图中，作边上的高，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作边上的高，如图： 故选：D． 【变式2】如图，关于边上的高，下列说法正确的是（    ） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【答案】D 【详解】解：∵于点D， ∴是边上的高，故A不符合题意； ∵于点E， ∴线段是边上的高，故 D符合题意； 线段不是任何边上的高，故B，C不符合题意； 故选：D． 题型12 三角形三线的综合应用 【典例1】关于三角形的高，中线和角平分线，下列说法正确的是（    ） A．三角形的角平分线是直线 B．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 C．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 D．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 【答案】B 【详解】解：A．三角形的角平分线是线段，故该选项不符合题意； B．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心，故该选项符合题意； C．三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形，故该选项不符合题意． D．三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形顶点，故该选项不符合题意； 故选：B． 【典例2】如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是高线， ∴，故选项A正确； ∵是角平分线， ∴，故选项B正确； ∵是中线， ∴，故选项C正确； 无法证明，故选项D错误． 【典例3】如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有（    ）个． A．3 B．2 C．0 D．1 【答案】D 【详解】解：①不在同一直线上的三条线段首尾相接组成的图形叫三角形，故原说法错误； ②三角形的角平分线是一条线段，角的平分线才是射线，故原说法错误； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外，直角三角形的高在三角形的直角顶点处，故原说法错误； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，原说法正确； 故正确的只有④， 故选：D． 【变式2】如图，在中，，，交于点E，垂足为D，F为的中点，连接交AD于点G．有下列四个结论：①是的角平分线；②是的边上的中线；③是的边上的高；④是的边上的高．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①∵， ∴平分． ∴是的角平分线，故①正确； ②F为的中点，但E是的边对边的顶点， ∴不是的边上的中线；故②错误； ③④根据三角形的高的概念可知不是的边上的高，是的边上的高．故③错误，④正确， 综上所述，正确的个数是2个． 故选B． 【变式3】如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于点，，求的长． 【答案】14 【详解】解：∵，平分，， ∴，， ∴， ∴； 同理，平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 1．如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能 【答案】A 【详解】∵在同一个三角形中，大边对大角，最长边所对的角是三角形的最大角，又已知最长边所对的角是锐角，即三角形的最大角是锐角， ∴三角形其余两个角都小于最大角，也都是锐角， ∴三个内角均为锐角的三角形是锐角三角形， ∴这个三角形是锐角三角形． 2．木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的根据是（    ） A．矩形的对称性 B．矩形的四个角都是直角 C．三角形的稳定性 D．两点之间线段最短 【答案】C 【详解】解：门框为防止变形钉上两条斜拉的木板条的根据是三角形具有稳定性． 故选：C． 3．下列结论正确的是（    ） A．直角三角形三条角平分线的交点在三角形的外部 B．三角形的重心是三角形三条中线的交点 C．锐角三角形的三条中线的交点在三角形的外部 D．直角三角形的三条高的交点在斜边上 【答案】B 【详解】解：A．任何三角形的角平分线交点都在三角形内部，原选项结论错误，不符合题意； B．三角形的重心是三角形三条中线的交点，原选项结论正确，符合题意； C．任何三角形的中线交点都在三角形内部，原选项结论错误，不符合题意； D．直角三角形的三条高交于直角顶点，不在斜边上，原选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 4．现有两根长度分别为和的木棒，若要从长度分别为，，，，的根木棒中选一个钉成三角形的木框，那么可选择的木棒有（    ） A．1根 B．2根 C．3根 D．4根 【答案】B 【详解】解：设第三根木棒的长为， ∵现有两根长度分别为和的木棒， ∴，即， ∴可选择的木棒有、，共2根． 故选：B． 5．如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是边上的中线． ∴，故A正确， ∵是的角平分线， ∴，故B正确， ∵是边上的高， ∴，故C正确， 没有条件判断，故D错误， 故选：D． 6．如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（    ） A．45 B．35 C．26 D．22 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵、是的两条中线， ∴，， ∴的周长是． 7．在三角形中，①中线、②内角平分线、③高，一定在三角形内部的线段是_________．（填序号） 【答案】①② 【详解】根据三角形相关定义可知，三角形的中线是顶点到对边中点的线段，任意三角形的中线都在三角形内部，三角形的内角平分线是三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，任意三角形的内角平分线都在三角形内部； 对于三角形的高：锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形有两条高与直角边重合，钝角三角形有两条高在三角形外部，因此高不一定在三角形内部． 因此一定在三角形内部的线段是①②． 8．如图，是的_________边上的高；在中，是_________上的高，还是_________的高；是_________的_________边上的高． 【答案】；；或； ； 【详解】解：∵， ∴是的上的高； ∵， ∴是的上的高，是的上的高，是的上的高； ∵， ∴是的边上的高， 故答案为：；；或； ；． 9．用一根长为的铁丝围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则另外两边的长分别为________． 【答案】和或和 【详解】解：当为腰时，则底边的长为；，满足题意； 当为底边时，则腰长为；，满足题意； 故答案为：和或和． 10．如图，平分，平分，，的周长为20，，则为 ___________ . 【答案】13 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵的周长为20， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为：13． 11．如图，在中，点D为边上一点，且，E、F分别为、的中点，且的面积为a，则的面积为________． 【答案】 【详解】解：∵F为中点，， ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．已知的三边长分别为a，b，c． （1）若，，且c为整数，求周长的最大值． （2）化简：． 【答案】（1）27 （2） 【详解】（1）解：∵，， ∴，即， ∵c为整数， ∴当，周长的最大值为； （2）解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴ ． 13．如图， （1）∵是的中线（即点是的中点）， ∴有①________，②________． （2）∵如图是的角平分线， ∴③________． （3）∵是的高（） ∴④________ 【答案】（1）， （2） （3） 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 14．如图，在中，，． （1）求周长的取值范围； （2）已知是的中线，若的周长为，求的周长． 【答案】（1） （2）17 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， ∴ 即． （2）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 1．已知，，是的三条边长，，其中为正数，为正整数．现有四个结论： ①若，则； ②若，，，则； ③若，，且a，b均为正整数，则n有且仅有3个取值； ④若，a，b，c为三个连续整数且，则满足条件的的个数为6． 其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：∵，k为正数，n为正整数，a，b，c是三边长， 满足任意两边之和大于第三边． 判断①：当时，，得． ∵三角形中，且， ∴，即． 故①正确． 判断②：当，，时， ． 根据三边关系列不等式，即， ∴， ∴， 即． 故②正确． 判断③：当，，，a，b为正整数时， ，． 由三边关系得，即． ∵a是正整数，n是正整数， ∴a是12的正约数，可取，4，6，12， 对应，3，2，1，共4个不同的n，不是3个． 故③错误． 判断④：当，为连续正整数， 设，，（m为正整数）． 则， 由得：， 两边乘（）， 得， 解得． 由三边关系， 得， 解得． ∴m可取2，3，4，5，6，7，共6个值， 即满足条件的有6个． 故④正确． 综上，正确结论为①②④． 2．如图，的面积为1．第一次操作：分别延长至点，使，顺次连接，得到．第二次操作：分别延长，至点，使，顺次连接，得到，…按此规律，最少经过________次操作，得到的三角形面积超过2026． 【答案】4 【详解】解：连接，过点C作于点D，过点作于点E， ∵，，且， ∴， ∵，，且， ∴， ∴． 同理可得，，， ∴第一次操作后，​的面积． 连接，同理，， ∴， 同理，， ∴第二次操作后，​的面积． 按操作规律，每次操作后新三角形面积都是上一次的7倍， ∴n次操作后三角形面积为． ∵，，，， ∴最少经过4次操作． 3．如图1，在中，a、b、c分别是、、的对边，点P从点A出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位的速度向终点B运动．设点Q的运动时间为t秒． （1）若，． ①______，______； ②当时，若，求的值； （2）如图2，当点运动到线段上，与交于点，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 【答案】（1）①6，8；②或 （2）2 【详解】（1）解：①∵， ∴，， ∴，； ②∵，，点P从点A出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点A运动， ∴点P运动到点C所需时间为秒，运动到点B所需时间为秒 ∴当，此时点P在边上， ∴， ∵点Q从点C出发，沿以每秒1个单位的速度向终点B运动， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：或； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴，，， ∴， 设的面积为x，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的面积为2． 4．【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分． 【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比． （1）如图1，的边上有一点M，请证明：． （2）【结论应用】如图2，的面积为1，，，求的面积． （3）【迁移应用】如图3，四边形中，E、F、G、H依次是各边的中点，O是形内一点，若四边形、四边形、四边形的面积分别为5、6、7，试求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）12 （3）6 【详解】（1）证明：过点C作于点H． ∵，， ∴； （2）解：连接． ∵的面积为1，， ∴的面积为4， ∵， ∴的面积； （3）解：连接，，，． ∵E、F、G、H依次是各边中点， ∴和等底等高， ∴， 同理可证，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 38 / 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