25.2.2解一元二次方程—公式法同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以“基础夯实-思维提升”分层设计，通过概念理解、运算巩固到综合应用的递进路径，强化公式法核心素养，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础夯实|公式法一般形式转化、判别式计算、基本求根运算|选择1-5题聚焦a,b,c确定与判别式应用，解答13题强化规范步骤| |思维提升|含参方程根的讨论、几何应用、概念辨析|解答17题引入“根距”探究，选择7题辨析公式法适用条件，培养推理与创新意识|

25.2.2 解一元二次方程——公式法 · 同步练习 x² 人教版 · 九年级数学上册 第25章 · 一元二次方程 25.2.2 解一元二次方程——公式法 同 步 练 习 · 满分：100分 | 建议用时：45分钟 | 基础夯实 · 思维提升 一、选择题（共7题，每题3分，共21分） 1．将方程 化为一般形式后，若写成 ，则 的值分别为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 2．用公式法解方程 ，所得结果正确的是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 3．方程 的实数根情况是（ ） A．有两个不相等的正实数根　　B．有两个不相等的负实数根　　C．有两个相等的实数根　　D．没有实数根 4．小林用公式法解方程 ，写出 ，，并得到 。他出错的环节是（ ） A．确定 　　B．计算判别式　　C．代入求根公式时写错分母　　D．没有错误 5．关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 6．如图，矩形 的长为 cm，宽为 cm，面积为 ，则符合实际意义的 的值为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 7．下列说法中：①用公式法解一元二次方程前，应先把方程化为一般形式；②当 时，方程仍有两个实数根；③一元二次方程有实数根的充要条件是 ；④求根公式的分母是 。正确的有（ ） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 8．当 时，一元二次方程 的求根公式是________________。 9．用公式法解方程 ，其中较大的根为________________。 10．若方程 有两个相等的实数根，则 的值为________________。 11．若用公式法解方程 ，得到 ，则 的值为________________。 12．关于 的方程 是一元二次方程且有实数根，则 的取值范围是________________。 三、解答题（共5题，共64分） 13．（10分） 用公式法解下列方程。 （1）；（5分） （2） 。（5分） 14．（10分） 小颖用公式法解方程 ，她的解答如下： ，， 。 （1）指出她第一次出现错误的位置，并说明理由；（4分） （2）写出正确的解答过程。（6分） 15．（14分） 已知关于 的方程 。 （1）当 时，证明该方程总有两个不相等的实数根；（5分） （2）当 时，用公式法求方程的根；（5分） （3）当 时，为什么不能直接使用一元二次方程的求根公式？此时原方程的解是什么？（4分） 16．（14分） 如图，在直角三角形 中，， cm， cm， cm。 （1）根据勾股定理列出关于 的方程，并用公式法求出符合实际意义的 ；（8分） （2）求这个直角三角形的面积。（6分） 17．（16分） 阅读探究：对于有两个不相等实数根 的一元二次方程 ，把 称为这个方程的“根距”。 （1）利用求根公式推导“根距” 与 、判别式 之间的关系；（6分） （2）求方程 的“根距”；（4分） （3）若方程 的“根距”为4，求 的值。（6分） 参考答案与详细解答 逐题复核 · 步骤完整 · 易错点明确 一、选择题（详细解析） 答案速查：1．A　2．B　3．D　4．C　5．B　6．C　7．B 1．答案：A 解析：先整理方程：，移项得 。与 对照，可得 ，故选A。 易错提醒：确定 前必须先把等号右边化为0，并且系数的符号要一起带入。 2．答案：B 解析：，所以 。 由求根公式，，故选B。 3．答案：D 解析：，，所以方程没有实数根，故选D。 4．答案：C 解析： 均正确， 也正确。求根公式的分母应为 ，小林把分母误写成2。 正确结果应为，故选C。 5．答案：B 解析：方程的二次项系数为1，恒不为0。。要有两个不相等的实数根，必须 ，即 ，所以 ，故选B。 6．答案：C 解析：由面积关系得 ，整理为 。 ， 。 由于矩形的宽 ，所以 ，舍去 ，故 ，选C。 7．答案：B 解析：①正确，公式法使用前应先确定一般形式中的 ；②错误， 时没有实数根；③正确；④错误，求根公式的分母是 ，不是2。因此正确的有2个，故选B。 二、填空题（详细解析） 8．答案： 解析：这是求根公式。使用时应先保证方程是 的形式，并计算 。 9．答案： 解析：原方程两边同乘6，得 。，。 ，其中较大的根为 。 10．答案： 解析：方程有两个相等的实数根，所以 。即 ，得 ，所以 。 11．答案：1 解析：对于 ，， 。 与已知 比较，得 ，所以 。 12．答案： 且 解析：要使方程是一元二次方程，必须 ，即 。又要有实数根，需 ，解得 。 综上， 且 。 三、解答题（详细解答） 13．解： （1）对于 ，。 。 。 所以 ，。 （2）原方程两边同乘2，得 ，整理得 。 ，。 。 所以 ，。 14．解： （1）第一次错误出现在代入求根公式时。已知 ，所以公式中的 ，而不是 。她把 直接写到了分子中，漏掉了求相反数这一步。 （2），。 因此 。 所以 ，。 易错提醒：求根公式分子是“”，当 本身为负数时， 应为正数。 15．解： （1）当 时，二次项系数 ，原方程是一元二次方程。 ， 。 因此当 时，该方程总有两个不相等的实数根。 （2）当 时，方程化为 。 ， ，所以 。 （3）当 时，二次项系数 ，原方程退化为 ，它不再是一元二次方程，因此不能直接使用一元二次方程的求根公式。解得 。 16．解： （1）由勾股定理，，所以 。 整理得 ，两边同除以2，得 。 ，。 。 因为边长 ，所以舍去 ，故 cm。 （2）由整理后的方程 可得 。 直角三角形的面积 。 答：这个直角三角形的面积为 。 17．解： （1）因为方程有两个不相等的实数根，所以 。由求根公式， 。 因此 。 所以“根距”公式为 。 （2）对于 ，，。 。 所以该方程的“根距”为√6。 （3）对于 ，， 。 由根距为4，得 。 两边平方：，解得 。 检验：当 时，，确有两个不相等的实数根，符合题意。 九年级数学同步练习 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $