25.2.1降次——解一元二次方程（配方法）同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册第25章“配方法”同步练习，以“基础夯实·思维提升”分层设计，通过阶梯式题型构建从配方步骤到综合应用的知识巩固路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础夯实|配方步骤、变形规则、基础解方程|选择题1-5考查配方变形，填空题8-10巩固配方细节，解答题13直接应用配方法| |思维提升|配方纠错、多方程对比、数形结合、阅读迁移|解答题14纠错培养批判性思维，15对比不同方程配方结果，16结合图形理解配方原理，17迁移材料方法解决变式问题|

25.2.1 降次——解一元二次方程（配方法） · 同步练习 x² 人教版 · 九年级数学上册 第25章 · 一元二次方程 25.2.1 降次——解一元二次方程（配方法） 同 步 练 习 · 满分：100分 | 建议用时：45分钟 | 基础夯实 · 思维提升 一、选择题（共7题，每题3分，共21分） 1．将方程 用配方法变形，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程 ，配方后正确的是（ ） A． B． C． D． 3．若 是一个完全平方式，且 ，则 的值是（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．将方程 配成完全平方形式时，等式两边应同时加上的数是（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．用配方法解方程 ，所得方程的根是（ ） A． B． C． D． 6．将方程 配方后得到 ，则 的值为（ ） A．−7 B．−4 C．−3 D．3 7．方程 配方后为 。在实数范围内，该方程（ ） A．无解 B．只有一个根x=−2 C．有两个根x=±2 D．有两个根x=−2±2 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 8．把 配成完全平方式，应加上________，所得完全平方式为________________。 9．把 配方为 ，则 =________，=________。 10．方程 的根是________________。 11．方程 两边同除以4并配方后，可化为 =________。 12．若方程 配方后为 ，则 =________。 三、解答题（共5题，共64分） 13．（10分） 用配方法解下列方程。 （1）；（5分） （2）。（5分） 14．（10分） 小明用配方法解方程 ，过程如下： 因此方程在实数范围内无解。 （1）指出从哪一步开始出错，并说明原因；（4分） （2）写出正确的解答。（6分） 15．（14分） 下面三个方程的一次项相同，请分别用配方法处理，并体会配方后等号右边的不同。 （1）解方程 ；（5分） （2）解方程 ；（4分） （3）判断方程 在实数范围内是否有解，并说明理由。（5分） 16．（14分） 如图，用四块图形可以拼成一个边长为x＋3的正方形。 （1）根据图中各部分的面积，写出一个完全平方公式；（7分） （2）利用图中体现的配方思想，把方程 化为完全平方形式，并求方程的根。（7分） 17．（16分） 阅读材料：用配方法解方程 时，因为一次项系数10的一半是5，所以在等式两边同时加25，得到 ，即 ，再开平方求解。 （1）材料中为什么要在等式两边同时加25？请从“配成完全平方”和“保持等式成立”两个方面说明。（4分） （2）仿照材料，用配方法解方程 。（6分） （3）用配方法解方程 ，并说明二次项系数不为1时应先做什么。（6分） 参考答案与详细解答 逐题复核 · 步骤完整 · 易错点明确 一、选择题（详细解析） 答案速查：1．B　2．C　3．B　4．C　5．A　6．C　7．A 1．答案：B 解析：由 得 。一次项系数−8的一半是−4，其平方为16，因此等式两边同时加16：，即 。故选B。 易错提醒：配方时补的是“一次项系数一半的平方”，且等式两边必须同时补同一个数。 2．答案：C 解析：先把二次项系数化为1。方程两边同除以2，得 ，即 。两边同时加4，得 。故选C。 方法点拨：二次项系数不为1时，先把方程两边同除以二次项系数，再配方。 3．答案：B 解析：因为常数项9=，且 ，所以完全平方式只能写成 。因此 。故选B。 说明：本题只用完全平方公式，不涉及其他解一元二次方程的方法。 4．答案：C 解析： 中一次项系数6的一半是3，3的平方是9，所以等式两边应同时加9，左边才能配成 。故选C。 5．答案：A 解析： → 。两边同时加1，得 。开平方得 ，所以 。故选A。 6．答案：C 解析：由 得 。两边同时加4，得到 。与题给 比较，得 ，所以 。故选C。 7．答案：A 解析：配方后得到 。任意实数的平方都不小于0，不可能等于−4，因此方程在实数范围内无解。故选A。 易错提醒：这里直接利用“实数的平方不小于0”判断即可。 二、填空题（详细解析） 8．答案： 解析：一次项系数−7的一半是 ，其平方是 ，所以 。 9．答案：2，−10 解析：。故 。 10．答案： 解析： → → 。开平方得 ，所以 。 11．答案：2 解析：方程两边同除以4，得 ，即 。两边同时加 ，得 。 12．答案：9 解析： 可配成 。题目给出右边为0，所以 ，得 。 三、解答题（详细解答） 13．解： （1），移项得 。 两边同时加9，得 ，即 。 开平方得 ，所以 。 （2），两边同除以3，得 。 移项并配方：，两边同时加4，得 。 开平方得 ，所以 。 易错提醒：二次项系数不为1时，先除以二次项系数；分数和根式应保留准确形式。 14．解： （1）从第二个等式开始出错。左边加了25，为保持等式成立，右边也必须加25，不能加10。 （2）正确过程：。两边同时加25，得 ，即 。 开平方得 ，所以 。 15．解： （1） → 。两边同时加9，得 。 开平方得 ，所以 。 （2），左边本身就是完全平方式，即 ，所以 。 （3） → → 。 因为实数的平方不可能等于负数，所以该方程在实数范围内无解。 归纳：配方后若得到“完全平方=正数”，可开平方得到两个实数解；等于0时只有一个实数解；等于负数时在实数范围内无解。 16．解： （1）大正方形的面积为 ，四个部分的面积和为 。因此 。 （2）由 ，在等式两边同时加9，得 ，即 。 开平方得 ，所以 。 说明：图形只是帮助理解“为什么要补9”，实际解方程时仍依据等式的基本性质和完全平方公式进行变形。 17．解： （1）“配成完全平方”方面：10的一半是5，5²=25，加入25后左边成为(x+5)²；“保持等式成立”方面：根据等式的基本性质，左边加25时右边也必须加25。 （2） → 。一次项系数−12的一半是−6，其平方是36。 两边同时加36，得 。开平方得 ，所以 。 （3）二次项系数不为1时，第一步应先把方程两边同除以二次项系数2。原方程化为 ，即 。 两边同时加4，得 。开平方得 ，所以 。 九年级数学同步练习 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $