25.1一元二次方程的概念 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册第25章“一元二次方程的概念”同步练，新授课使用，通过“基础夯实+思维提升”分层设计，实现从概念辨析到综合应用的知识巩固，培养抽象能力、模型意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础夯实|一元二次方程定义、一般形式、根的概念|选择题（7题）、填空题（5题），聚焦概念辨析（如方程类型判断）、基本形式转化（如化为一般形式），强化符号意识| |思维提升|方程应用、新定义运算、分类讨论|解答题（5题），结合实际情境（如纸盒底面积建模）、新运算定义（如“★”运算转化方程），发展推理能力与创新意识|

25.1 一元二次方程的概念 · 同步练习 x² 人教版 · 九年级数学上册 第25章 · 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 同 步 练 习 · 满分：100分 | 建议用时：45分钟 | 基础夯实 · 思维提升 一、选择题（共7题，每题3分，共21分） 1．下列方程中，是关于 的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．若关于 的方程 是一元二次方程，则（ ） A． B． C． D． 3．方程 化为一般形式，正确的是（ ） A． B． C． D． 4．设 ，下表给出部分自变量与 的值。由表可知，下列哪组数都是方程 的根（ ） A． B． C． D． 5．若 是方程 的一个根，则 的值为（ ） A． B． C． D． 6．一个直角三角形的两条直角边长分别为 和 ，面积为24。根据题意列出的方程化为一般形式是（ ） A． B． C． D． 7．下列说法中：①一元二次方程的一般形式是 ；②方程 的一次项系数和常数项都是0；③方程 是一元二次方程；④使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根。正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 8．一元二次方程的一般形式是 ，其中二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________。 9．把方程 化为“二次项系数为正整数且各项系数无公因数”的一般形式为________________。 10．若 是方程 的一个根，则 =________。 11．以1和−3为两个根，写出一个二次项系数为1的一元二次方程：________________。 12．若关于 的方程 是一元二次方程，则 =________。 三、解答题（共5题，共64分） 13．（10分） 把下列方程整理成一元二次方程的一般形式（要求二次项系数为正，且各项系数没有公因数），并分别写出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）；（5分） （2）。（5分） 14．（10分） 已知 是一元二次方程 的一个根，不解方程，求： （1） 的值；（5分） （2） 的值。（5分） 15．（14分） 已知关于 的方程 。 （1）m为何值时，该方程是一元二次方程？（5分） （2）当m=−1时，化简方程，并判断它是什么方程。（4分） （3）当m=1时，化简方程，并说明它为什么不是关于x的一元二次方程。（5分） 16．（14分） 如图，在一张长20 cm、宽14 cm的矩形硬纸板四角，各剪去一个边长为x cm的正方形，沿虚线折起，得到一个无盖纸盒。若纸盒的底面积为120 cm²（本题不要求解方程）。 （1）根据题意列出关于x的方程，并化为二次项系数为1的一元二次方程的一般形式。（8分） （2）写出x的取值范围，并指出（1）中一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项。（6分） 17．（16分） 定义一种新运算“★”：对于任意实数 、，规定 。根据这个定义，研究方程 。 （1）把这个方程化为一元二次方程的一般形式。（6分） （2）写出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项。（4分） （3）不解方程，分别判断2和−1是不是这个方程的根，并说明理由。（6分） 参考答案与详细解答 逐题复核 · 步骤完整 · 易错点明确 一、选择题（详细解析） 答案速查：1．A　2．B　3．A　4．D　5．C　6．B　7．C 1．答案：A 解析：判断是否为一元二次方程，必须先把方程整理，再同时检查“只含一个未知数”“未知数的最高次数是2”“二次项系数不为0”。 A． 展开并移项得 ，符合定义，因此A正确。 B． 含有两个未知数 、，不是一元方程。 C． 中未知数出现在分母里，不是整式方程，因此不是一元二次方程。 D． 展开后为 ，两边同类项消去得到 ，已经没有未知数，所以不是一元二次方程。 2．答案：B 解析：方程中 的系数是 。要成为关于 的一元二次方程，唯一的关键条件是二次项系数不为0，即 ，所以 。 易错提醒： 时原方程为 ，仍然是一元二次方程，因此不能选“”。 3．答案：A 解析：。先展开：；再移项、合并同类项，得 。故选A。 4．答案：D 解析：方程 的根，就是使 的值等于0的 的值。由表可直接读出 ，且 ，所以−1和4都是该方程的根，对应D。其余选项都至少含有−2、0、2中的一个，而表中这些数对应的 值均不为0，因此不能作为根。 5．答案：C 解析：因为 是方程的一个根，所以把 代入原方程：。化简得 ，所以 ，故选C。 6．答案：B 解析：直角三角形面积为 。两边同乘2，得 ；展开并移项，得 ，故选B。 易错提醒：一般形式要求右边为0，不能停留在“x(x+2)=48”。 7．答案：C 解析：① 是一元二次方程的一般形式，正确。② 可看成 ，所以一次项系数和常数项都为0，正确。③ 展开后为 ，消去 得 ，是一元一次方程，错误。④是方程“根”的定义，正确。共有3个正确说法，故选C。 二、填空题（详细解析） 8．答案：a，b，c 解析：一元二次方程的一般形式为 。其中 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项。注意： 必须不等于0，而 、 可以等于0。 9．答案：2x²−5x−2=0 解析：原方程为 。两边同乘2，得 ；展开得 ；把右边各项移到左边，得 。二次项系数为正整数，且三个系数2、−5、−2没有大于1的公因数，符合题目要求。 10．答案：1 解析：因为 是方程 的一个根，所以代入后等式成立，即 。移项可得 ，因此填1。 11．答案：x²+2x−3=0（答案不唯一） 解析：题目要求二次项系数为1。可写方程 。检验：当 时，；当 时，。所以1和−3都确实是该方程的根。 12．答案：1 解析：要使 成为一元二次方程，含 的最高次项必须是非零二次项。先令指数等于2：，得 。再检查二次项系数 ：当 时，，二次项消失；当 时，二次项系数为2，不为0。因此只有 。 三、解答题（详细解答） 13．解： （1）先展开括号，再移项、合并同类项，最后约去各项公因数。 各项同时除以2，得 。所以二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 。 （2）分母为常数，可以先去分母。原方程两边同乘6： 因此二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 。 14．解： 由“ 是方程的一个根”可知，把 代入原方程后等式成立：，所以 。 （1）因此 的值为4。 （2）把所求式看成 ，代入 ，得 。所以 的值为13。 15．解： （1）原方程的二次项系数为 ，且 。要使它成为一元二次方程，必须二次项系数不为0，因此 。 （2）当 时，，，原方程化为 。该方程只含一个未知数，且未知数最高次数为1，所以它是一元一次方程。 （3）当 时，，，原方程化为 。式子中已没有未知数 ，更不存在非零二次项，因此它不是关于 的一元二次方程；同时 本身是一个不成立的等式。 16．解： （1）四角各剪去边长为 cm的正方形后，纸盒底面的长为 cm，宽为 cm。由“底面积为120 cm²”，列方程：。 展开得 ；移项得 ；各项除以4，得到二次项系数为1的一般形式 。 （2）实际剪纸时必须有 。由后两个不等式分别得 ，结合 ，所以实际取值范围为 。 在 中，二次项系数为1，一次项系数为−17，常数项为40。 说明：本题要求“列方程并识别系数”，不要求求出x的具体值，因此到此即可。 17．解： （1）由新运算 ，令 ，，则 。所以原方程化为 。 展开得 ；移项得 ；各项除以2，得 。 （2）在 中，二次项系数为1，一次项系数为−1，常数项为−2。 （3）检验 ：代入左边得到 ，所以2是方程的根。检验 ：代入左边得到 ，所以−1也是方程的根。 结论：2和−1都是这个方程的根。 九年级数学同步练习 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $