1.4 第1课时 正方形的性质-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

温警提示：清做完后再看答案！ :四边形ABCD是菱形，边长为8，且点E为AB边中点， ∴.BF=BE=4,DF=DC=8. ..BD=BF+DF=12,OB=OD=6. 参考答案 又，AC⊥BD, ∴.AO=AB2-OB2=2√7，AC=47」 第一章特殊平行四边形 S美w=2AC,BD=号×4万X12=247 1认识特殊的平行四边形 基础在线 CG-S影D=247-3V万. AB 8 1.B2.90°3.8 拓展在线 4.:四边形ABCD是菱形，∴AD=CD. 14.23 ∠D=∠D,DF=DE,∴.△ADF≌△CDE(SAS). 第2课时菱形的判定 ∴∠1=∠2. 基础在线 5.C 1.C 能力在线 6.B7.1 2.AE⊥BC于点E,CF⊥AB于点F, .∠CFB=∠AEB=90°. 8.:四边形ABCD是正方形，∴.BC=CD,∠BCD=90. 在△ABE与△CBF中， .∠BCE+∠DCF=90°. ∠B=∠B, .CE⊥BG,DF⊥CE,.∠BEC=∠CFD=90° .∠BCE+∠CBE=90°.∴.∠CBE=∠DCF ∠AEB=∠CFB, AE=CF, ∴.△BCE≌△CDF(AAS). .△ABE≌△CBF(AAS)...AB=CB. .BE=CF,CE=DF...CE=CF+EF=BE+EF. ∴.DF=BE+EF 四边形ABCD是平行四边形， ∴.□ABCD是菱形 拓展在线 3.16 9.5 4.(1)AP=AB;射线AQ平分∠BAP 2菱形的性质与判定 (2)证明：：以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线1于 第1课时菱形的性质 点B,∴AP=AB. 基础在线 :射线AQ平分∠BAP,∴∠BAC=∠PAC. 1.A2.A 在△ABC和△APC中， 3.四边形ABCD是菱形，AB=BC. (AB=AP, .AE=CF,..AB-AE=BC-CF, ∠BAC=∠PAC 即BE=BF LAC=AC, '∠B=∠B, .△ABC≌△APC(SAS)..BC=PC ∴.△ABF≌△CBE(SAS).∴.AF=CE 又：以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C, 4.A5.B6.C7.B8.12 .PA=PC.,.AP=AB=BC=PC. 9.(1).菱形ABCD的周长为24， 四边形ABCP是菱形. ∴.AB=AD=BC=CD=6. 5.C 又∠BAD=60°，'.△ABD是等边三角形， 6.AB=5,OA=4,OB=3, ∴BD=AB=AD=6,故对角线BD的长为6. ∴.OB2十OA2=32+42=25,AB2=52=25, (2)由菱形的性质可知，对角线AC与BD互相垂直且平分， ..OB2+OA2=AB2. ∴0B=2BD=2×6=3,∠A0B=90 .∠AOB=90°..AC⊥BD 四边形ABCD是平行四边形，.□ABCD是菱形 又AB=6,AO=√AB-OB=√62-32=3√3， 7.(1)(2)(6)(3)(4)(5)或(3)(4)(6) ∴.AC=2A0=6√3， 能力在线 “菱形ABCD的面积为2AC·BD-之×65X6=185. 8.③9.A10.C 11.(1)由垂直平分线得到AE=CE,AD=CD,又由CF∥AB, 故菱形ABCD的面积是18√3， 得∠EAC=∠FCA,∠CFD=∠AED,利用AAS证得△AED 能力在线 ≌△CFD. 10.2装1.丽12.)4v5(27 (2)由全等，得AE=CF, 再由CF=AF, 13.（1)菱形对角线互相垂直且平分， 从而得到CE=AE=CF=AF, ∴.BO=√/AB2-AOY=√/52-42=3. .四边形AECF是菱形， ∴.对角线BD=2BO=6,AC=2AO=8. 拓展在线 ∴S美影D=合×ACX BD=-合×6X8=24 12.(1)2a (2)当P为BC的中点时，四边形ADPE是 (2)如图②，连接AC交BD于点O, 菱形.理由如下：连接AP,PD∥AC,PE '∠BEF=∠CFD,∠BFE=∠CFD, ∥AB, ∠BEF=∠DCF, .四边形ADPE为平行四边形 ..BE=BF,DC=DF. AB=AC,P为BC的中点， 一探究在线·九年 ∴∠PAD=∠PAE. :AC=2OB,∴AC=BD. PE∥AB,∴∠PAD=∠APE. ∴.□ABCD是矩形. ∠PAE=∠APE.EA=EP 7.A .四边形ADPE是菱形. 能力在线 (3)点P运动到∠A的平分线与BC的交点时，四边形 8.B9.D ADPE是菱形. 10.(1)证明：，D,E分别是AC,AB的中点， 3矩形的性质与判定 DE是△ABC的中位线.DE∥BC. 第1课时矩形的性质 ∴.∠FDC+∠ACB=180° 基础在线 :∠ACB=90°，∴∠CDF=90° 1.B2.C3.D BF⊥DF,.∠F=90° 4.(1)证明：，四边形ABCD是矩形 ∴∠BCD=∠CDF=∠F=90. .AB=CD,∠B=∠C=90°. 四边形BCDF是矩形. :∠BAE=∠CDF,∴△ABE≌△DCF(ASA). (2)∠ACB=90°，E为AB的中点，CE=2, (2)△ABE≌△DCF,.AE=DF=13. .AB=2CE=4. ∠B=90°，AB=12,.BE=√AE-AB=5. :∠A=30,BC=2AB=2. 5.B6.D 7.(1)证明：在矩形ABCD中，AD∥BC,∴.AD∥CE AC-AB-BC=2/3.:CD-AC-/. DE∥AC,.四边形ACED是平行四边形. .四边形BCDF的面积为CD·BC=√3X2=2√3. (2)DE∥AC,∠E=35°，∠OCB=∠E=35. 11.(1)证明：.点O为AB的中点，.OA=OB, 在矩形ABCD中，OB=OC, :AE∥BC,∠EAO=∠OBD,∠AEO=∠BDO. ∴∠OBC=∠OCB=35. △AEO≌△BDO(AAS).∴.AE=BD. 在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB)=110°. :AE∥BD,∴四边形AEBD是平行四边形 8.49.C (2)当AB=AC时，四边形AEBD是矩形. 能力在线 证明如下： 10.B11.D12.(2,4)13.30°14.4 15.(1)如图，△BED即为所求作的三角形. AB=AC,点D是BC边的中点， ∴.AD⊥BC,即∠ADB=90°. (2)四边形ABCD为矩形 ..AD=BC=2,AB=CD=1,AD//BC, 由(1)得四边形AEBD是平行四边形， 四边形AEBD是矩形. ∠A=90°. 拓展在线 .∠ADB=∠CBD. 12.(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， :∠EBD=∠CBD,∴∠FBD=∠FDB. ∴.AD∥BC,AD=BC.∴.∠FAG=∠ECH .BE=DE. :E,F分别是边BC和AD的中点， 设AF=x,则DF=BF=2-x, 在Rt△ABF中，12+x2=(2-x)2, CE=合BC,A=合AD.∴AF=CE, 解得x=是AF的长为子 .AG=CH,∴.△AFG≌△CEH(SAS). 4 (2)当AC=2AB时，四边形EHFG是矩形. 拓展在线 证明：连接EF交AC于点O,如图. 16.130 由(1)知，△AFG≌△CEH, 2 ∴.FG=EH,∠AGF=∠CHE. 第2课时矩形的判定 ∴.∠FGH=∠EHG.∴.FG∥EH. 基础在线 .四边形EHFG是平行四边形 1.90 ..OG=OH. 2.点O是边AB的中点，.OA=OB. :∠A=∠B,∠ADO=∠BCO, AG-CH-AC,.GH-AC-AG-CH-AC. .△AOD≌△BOC(AAS)..AD=BC ∠A=∠B=90°，∴.∠A+∠B=180°. 0G=0H=AG=CH=子AC.:OA=0C=号AC .AD∥BC..四边形ABCD是平行四边形， ,∠A=90°，.平行四边形ABCD是矩形. CE-BE.OE-AB. 3.∠A=90(答案不唯一) “AC=2AB,0E=4AC 4..AB=AC,AD是∠BAC的平分线 .AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.∴.∠ADC=90. ∴.OE=OG=OF=OH. ,AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， EF=GH.平行四边形EHFG是矩形 ∴.∠MAN=∠CAN.∴.∠DAE=90°. 4正方形的性质与判定 CE⊥AN,∠AEC=90°. 第1课时正方形的性质 ∴四边形ADCE为矩形. 基础在线 5.D 1.D2.B3.C4.B5.2 6.AD∥BC,AB∥CD, 6.:四边形ABCD是正方形， .四边形ABCD是平行四边形. .AB=BC=DC=AD,∠B=∠D, ∴.OB=OD..BD=2OB. I∠BAE=∠DAF, 级数学（上）·BS一 17 ∴.△ABE≌△ADF(ASA).∴.BE=DF. 4.,△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，∠A=∠C=90°， ∴.BC-BE=DC-DF,即CE=CF. .AB=AD,BC=CD.∠ABD=∠CBD=45. 7.D ∴∠ABC=90°.∴∠A=∠C=∠ABC=90°. 8.如图：连接AC,则AC为正方形 .四边形ABCD是矩形. AECF与菱形ABCD的对角线， AB=AD,.四边形ABCD是正方形. ∴.∠EAC=∠FAC=45°，AB=BC. 5.B6.2 ∠B=46°， 能力在线 ∠BAC=180,∠B=67, 7.D 2 8.(1),四边形ABCD是菱形， .∠BAE=∠BAC-∠EAC=22° .BD⊥AC,OB=OD,OA=OC 能力在线 又AE=CF,.OE=OF 9.C10.34 ∴.四边形BEDF是平行四边形， 11.(1)证明：，四边形ABCD为正方形， ,BDLEF,□BEDF是菱形 ∴.AD=BC,∠ADE=∠CBF=45° (2)20°.理由如下： 在△ADE和△CBF中， ,四边形ABCD是菱形， (AD=BC, ∠ADE=∠CBF, ∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=25 DE=BF, ∠EBA=20°，∴∠EBO=45 .△ADE≌△CBF(SAS): 在菱形BEDF中，∠EBO=∠FBD=45°， (2)连接AC交BD于点O, ∴.∠EBF=90°.∴.菱形BEDF是正方形 四边形ABCD为正方形，BD=10, 9.(1)矩形 (2)四边形EFGH为矩形. ∴.BD垂直平分AC,OA=OC=OB= 证明：：点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AD, =5. BA,CB,DC的中点， ..AF-CF,AE=CE. .EF,FG,GH,HE分别为△ABD,△BCA,△BDC, 由(1)知，△ADE2△CBF △ACD的中位线： ∴.AE=CF.∴.AF=CF=AE=CE. ∴.EF∥BD,EF= .四边形AECF为菱形. BD,GH∥BD,GH=合BD,FG/ 四边形AECF的周长为4√34， AC,FG-AC. AF=是×4V原=v. ∴.EF∥GH,EF=GH. 四边形EFGH为平行四边形. 在Rt△AOF中，OF=√AF-OA=3, 'AC⊥BD,EF∥BD,FG∥AC .EF=2OE=6. ∴.EF⊥FG. 即EF的长为6. ∴.平行四边形EFGH为矩形. 12.(1):四边形ABEF、四边形ECPQ分别是面积为6,2的 (3)当AC=BD时，四边形EFGH是正方形 正方形， 10.(1)四边形AFHE是正方形.理由如下： ∴.BE=EF=AF=AB=√6，QE=QP=CP=CE=√2. 由旋转知，∠AEB=∠AFD=90°，AE QF=√6-√2 AF,∠FAE=90°， 四边形ABCD是矩形，.四边形PQFD是矩形 ∴∠AEB=∠AFH=∠FAE=90°， ∴.四边形FQPD(阴影部分)的面积为√2×（√6一√2）= .四边形AFHE是矩形 2√3-2. 又：AE=AF,矩形AFHE是正方形. (2)四边形ABEF、四边形ECPQ分别是面积为6,2的 (2)连接BD, 正方形， :四边形ABCD是正方形，.BC=CD=13, ∴.BE=EF=AF=AB=√6，QE=QP=CP=CE=√2， 在Rt△BCD中，BD=√CD+BC=13√2. ∠B=∠C=90°. ,四边形AFHE是正方形，.∠EHD=90° ∴.AE=√AB2+BE=2√3，PE=√CE+CP 2 在Rt△DHB中，DH=√BD-B平，又BH=7, (3)如图，取AP的中点K,连接EK, .DH=17. ,四边形ABEF、四边形ECPQ是正方形 拓展在线 ∴∠AEB=45°=∠PEC. 11.C .∠AEP=180°-45°-45°=90° 微专题1特殊平行四边形中的图形变换问题 AE=2√5，PE=2,∴.AP=√AE2+PE2=4. 1.(1)C EK-AP-2. (2)①证明：由题意知，AFDF, ∴四边形AFFD是平行四边形. 拓展在线 'SGABCD =15,AD=5,..AE=3. 13.(1)3(2)35或125 又EF=4,∠E=90°，AF=5. 第2课时正方形的判定 ∴AF=AD=5..四边形AFFD是菱形. 基础在线 ②如图，连接AF,DF, 1.C2.45°3.①②或①③（填写一组即可） 在Rt△AEF中，AE=3,EF=9, 18 一探究在线·九年 .AF=310 .∠FDC+∠CDH=45°，即∠FDH=45°. 在Rt△DFE中，FE=1,DE=AE ∠EDF=∠FDH=45°， =3, 在△EDF和△HDF中， .DF=10, (DE-DH, ∠EDF=∠HDF, .四边形AFFD两条对角线的长分别是3√10和√I0. DF-DF, 2.C .△EDF≌△HDF(SAS).∴.EF=HF. 3.(1)证明：由翻折的性质可得AF=AB,∠F=∠B. HF=CH十CF=AE+CF,∴.EF=AE+CF ,四边形ABCD为矩形，.AB=CD,∠B=∠D=90°. (2)设EF=x,则HF=x. .AF=CD,∠F=∠D=90°. 正方形ABCD的边长为3，.AB=BC=3. 又'∠AEF=∠CED,.△AFE≌△CDE(AAS) AE=1,..BE=2,CH=1...CF=x-1. (2)△AFE≌△CDE,∴.AE=CE,EF=ED. ∴.BF=BC-CF=3-(x-1)=4-x. 根据翻折的性质可知FC=BC=8,AF=AB=4, 在Rt△BEF中，：BE+BF2=EF2, 在Rt△AFE中，AE=AF2+EF,即(8-EF)2=42+EF. 解得EF=3,.EC=5. 2+(4--,解得x一昌 ∴阴影部分的面积为7EC·AF=之×5X4=10, EF=8, 4.D5.√6+√2 微专题3特殊平行四边形的性质与判定 微专题2与正方形有关的四个常考模型 1.C 1.,四边形ABCD是正方形， 2.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .∴.AB=BC,∠ABE=∠BCF=90° ∴.AF∥BC,AB∥DC, :∠AOB=180°-∠AOF=90°， ∠AFE=∠FBC,∠FED=∠ABE. .∴.∠BAE+∠OBA=90° BE平分∠ABC,∴.∠FBC=∠ABE, 又'∠ABE=∠CBF+∠OBA=90°，.∠BAE=∠CBF .∠AFE=∠FED,.DE=DF 在△ABE和△BCF中， (2)四边形AEFG是矩形.理由如下： ∠ABE=∠BCF, 四边形ABCD是平行四边形， AB=BC, .AF∥BC,AB∥DC,AD=BC, ∠BAE=∠CBF, .∠AFE=∠FBC. '.△ABE≌△BCF(ASA).∴.BE=CF 又DE=EC,∠DEF=∠BEC, 2 .△DEF≌△CEB,.FD=BC=AD ,DE=DG,∴.四边形AEFG是平行四边形 .(1)证明：如图①，过点P作FG∥DC,分别交AD,BC于 DE=DF,EG=AF,四边形AEFG是矩形. 点F,G.易得∠PFD=∠CGP=90° 3.问题解决： ,BD为正方形ABCD的对角线， (1)证明：如图①，四边形ABCD是 .∠BDF=∠FPD=45.∴.PF=FD. 矩形， 又，FG∥DC,FD∥GC,∠ADC=90°， ∴∠ABC=∠DAB=90° .四边形FGCD为矩形..FD=CG.'.PF=CG. ∴.∠BAF+∠GAD=90°. .'PE⊥PC,∴.∠FPE+∠GPC=90° DE⊥AF,∴∠ADG+∠GAD=90° ∠FEP+∠FPE=9O°，∠FEP=∠GPC. ∴.∠BAF=∠ADG. 在△PFE和△CGP中， 又.AF=DE,.△ABF≌△DAE,∴.AB=DA. ∠FEP=∠GPC, ∴矩形ABCD是正方形. ∠PFE=∠CGP, (2)△AHF是等腰三角形.理由如下： PF=CG, AB=DA,∠ABH=∠DAE=90°，BH=AE, ∴.△PFE≌△CGP(AAS).∴.PE=CP. ∴.△ABH≌△DAE,.AH=DE. (2)补全图形如图②所示.(1)中的结论仍成立. 又，DE=AF,∴AH=AF,即△AHF是等腰三角形. 理由：过点P作FG∥DC分别交AD,BC于点F,G.同理 类比迁移： 可证△PFE≌△CGP(AAS). 如图②，延长CB到点H,使得BH=AE=6,连接AH. ∴.PE=PC 四边形ABCD是菱形， ∴.AD∥BC,AB=AD,∴∠ABH=∠DAE. BH=AE,∴.△ABH≌△DAE. .AH=DE,∠AHB=∠DEA=60° 图② 又DE=AF,AH=AF. 4.(1)证明：延长BC至点H, ∠AHB=60°，.△AHF是等边三角形， 使CH=AE,连接DH, ∴.AH=HF, :四边形ABCD是正方形， .DE=AH=HF=HB+BF=6+2=8. .AD=CD,∠A=∠DCH=90° 阶段测评1(1.1~1.4) .'.△DAE≌△DCH(SAS) 1.D2.A3.D4.B5.B6.C7.(5,4)8.菱形 .DE=DH,∠ADE=∠CDH 9.√1010.√1011.1312.22.5° :∠ADC=90°，∠EDF=45°，.∠ADE+∠FDC=45° 13.(1)证明：，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线， 级数学（上）·BS一4 正方形的性质与判定 ©第1课时 正方形的性质 1基础在线 ,知识要点分类练 ∠DAF.求证：CE=CF. 知识点1正方形的性质 1.正方形具有而菱形和矩形都不具有的性质是 () A.对角线相等 B.对角线垂直 C.对角线互相平分 D.对角线垂直且相等 2.正方形的对角线长为2，则其面积为 A.1 B.2 C.3 D.4 知识点2正方形、矩形与菱形的综合应用 3.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到 7.如图，在矩形ABCD中，AB=4,对角线AC, 点E,使AE=AC,则∠BCE的度数是( BD相交于点O,以AO为边在AC下方作正 A.30° B.45° 方形AOEF,已知S正方形0BF=16,连接BE,则 C.22.5° D.37.5 ∠OBE的度数为 () 第3题图 第4题图 A.30° B.60° C.65° D.75 4.如图，P为AB上任意一点，分别以AP,PB为 8.(教材P18随堂练习T2变式)如图，四边形 边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF ABCD是菱形，四边形AECF是正方形，若 设∠CBE=a,则∠AFP的度数为 ∠B=46°，求∠BAE的度数 A.2a B.90°-a C.45°+a D.90-a 5.(中考·湖北改编)如图，折叠正方形ABCD 的一边BC,使点C落在BD上的点F处.若 DE=2√2，则CE的长是 R 6,(中考·陕西)如图，在正方形ABCD中，点 E,F分别在边BC,CD上，且∠BAE= 第-章10 2能力在线 、方法规律综合练 12.如图，在矩形ABCD中，四边形ABEF、四边 形ECPQ分别是面积为6,2的正方形，点Q 9.(教材P23习题T9变式)如图，正方形ABCD 在EF上. 的对角线AC,BD交于点O,M是边AD上一 (1)求四边形FQPD(阴影部分)的面积； 点，连接OM,过点O作ON⊥OM,交CD于点 (2)连接AE,EP,分别求AE,EP的长； N.若四边形MOND的面积是1，则AB的长 (3)在△AEP中，求边AP上中线的长. 为 A.1 B.√2 C.2 D.22 第9题图 第10题图 10.(中考·裹阳)如图，已知正方形ABCD,E,F 分别为边BC,AB上的点，DE⊥CF,若AF= 2,CE=3,则DE的长是 11.(中考·广安)如图，E,F是正方形ABCD的 对角线BD上的两点，BD=10,DE=BF,连 接AE,AF,CE,CF (1)求证：△ADE≌△CBF. (2)若四边形AECF的周长为4√34，求EF 的长 3拓展在线》 培优拔尖提升练 13.如图，在正方形ABCD中， E为对角线AC上的一动 点，连接DE,过点E作EF ⊥DE,交BC于点F,以 B DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. (1)若DG=√3，则矩形DEFG的面积为 (2)当线段DE与正方形ABCD的一边的夹 角是35°时，∠EFC的度数为 11探究在线九年级数学（上）·BS