18.5 分式方程-【七彩课堂】2026-2027学年八年级上册数学一课一练（人教版）

18.5分式方程 第1课时 分式方程 基础通送 5.解分式方程产1-1=-x+2,去分 四分式方程的概念 母，得x(x+2)-（x-1)(x+2)=3,解得x= 1.下列各式中是关于x的分式方程的是( ) 1,则下列结论：①x=1是原分式方程的解 A.x+2-3=x+3 B. 4 6 =3-% a+7 ②x=1不是原分式方程的解；③x=1是方程 D.2x x(x+2)-(x-1)(x+2)=3的解；④原分式 c音若=l 2*25 方程无解.其中正确的结论有 () 32-2 2.方程2， 2 A.1个B.2个C.3个 D.4个 中 2x-12- () 6.已知分式方程x-5+1=6二 分式方程有 -x-5 A.1个B.2个C.3个D.4个 (1)将该分式方程化为整式方程时，去分母可 3.下列各式中，哪些是分式方程？哪些不是，为 得 ;(不必化简) 什么？ (2)该分式方程的解为 （124员-；，2,3 5 7.解分式方程： ）y-2=y (1)10=3 龙x+7 (2)2-1=0 x1+x (32,号+4 43+ 5 (e)品-1=224名品号 巴分式方程的解法 4把分式方程子4转化为整式方程时，方程 凹分式方程的解 8.若关于x的方程m}=1有增根，则m 两边同乘 ( x-44-x A.x B.2x 的值为 () C.x+4 D.x(x+4) A.-2 B.2 C.-3 D.3 89 9.如图，点A,B在数轴上，它们对应的数分别为 3 ,+1,且点A,B关于原点对称，则x的值 2, (2)11=0-x+2 是 B -2 0 x+1 17小丽解分式方常1-“2新时，出现了 1 10已知关丁的分式方程，马-3,2的解 错误，她的解题过程如下： 为正数，则k的取值范围为 解：去分母，得2x+2-（x-3)=3x,第一步 11.若关于x的分式方程3x2-1=m+3 无解， 爵得， 第二步 x-2 x-2 则m的值为 原分式方程的解是x二) 第三步 能力突破 12把分式方程子-1云化为整式方程，正确 (1)小丽的解题过程从第 步开始 出错； 的是 (2)小丽的解题过程缺少的必要步骤是 A.2(x+1)-1=x2 ； B.2(x+1)-x(x+1)=-x (3)请写出正确的解题过程： C.2(x+1)-x(x+1)=-x2 D.2x-x(x+1）=-x2 13。若分式方程x 2 m 程x-2元+x(x-2)有增根，则 增根可能是 ( 素养达标 A.x=0 B.x=2 18. 数据观念·推理能力阅读下列过程，回答 C.x=1 D.x=0或x=2 问题： 14.对于实数a,b,定义一种新运算“⑧”为：a⑧ 解方程： b=2 。一62，这里等式右边是通常的实数运算 例如：13=12子=子则方程x8(-1） 2 ②24 x+1x+11的解为x= 。二1的解是 ③3=6 +1x+11的解为x= A.x=4B.x=5 C.x=6 D.x=7 15.已知关于x的分式方程，22：+1 (1)根据你发现的规律直接写出第4个方程 (1)若此方程无解，则m的值为 及它的解： (2)若此方程的解为正数，则m的取值范围 为 (2)请你用一个含正整数n的式子表示上述 16.解下列方程： 规律，并求出它的解.（写出解答过程)》 (1)x-2.4 0+2+24=1: 90 第2课时 分式方程的实际应用一工程、行程问题 基础通送 观，一部分学生骑自行车先走，过了30min后， J工程问题 其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已 知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车 1.某施工队计划修建一个长为600m的隧道，第 学生的速度为xkm/h,则所列方程是 一周按原计划的速度修建，一周后以原来速 能力突破 度的1.5倍修建，结果比原计划提前一周完成 、 5.甲队修路120m与乙队修路100m所用天数 任务.若设原计划一周修建隧道x,则可列 相同，已知甲队比乙队每天多修10m,设甲队 方程为 ( ) 每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的 A.600-600 1.5元+2 B.600=600-2 是 x1.5x A.120、100 B.120-100 C.600-x_600-x+1D.600-x_600-x-1 xx-10 xx+10 1.5x Γ1.5x C.120-100 D.120-100 2.某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组 x-10-x x+10=x 织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域 6.某工程队在合作路改造一条长3000米的人 进行绿化改造.已知甲工程队每小时能完成 行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施 工时“×××”，设实际每天改造人行道x米， 的绿化面积是乙工程队每小时完成的绿化面 积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿 则可得方程300-15=300，根据已有信 x-20 化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面 息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补 积少用3小时，乙工程队每小时完成多少平 充为 方米的绿化面积？ A.实际每天比原计划多铺设20米，结果延迟 解：设乙工程队每小时完成x平方米的绿化面 15天完成 积，甲工程队每小时完成 平方米的 B.实际每天比原计划多铺设20米，结果提前 15天完成 绿化面积，则甲工程队完成300平方米的绿化 C.实际每天比原计划少铺设20米，结果提前 面积需要 小时，乙工程队完成300平 15天完成 方米的绿化面积需要 小时 D.实际每天比原计划少铺设20米，结果延迟 根据题意列方程，得 15天完成 解得 7.甲、乙两地之间的高速公路全长200km,比原 检验：当x= 时，2x 0,且符合题意. 来国道的长度减少了20km.高速公路通车 所以原分式方程的解为 后，某长途汽车的行驶速度提高了45km/h, 答：乙工程队每小时完成 平方米的绿 从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半.设该 长途汽车在原来国道上行驶的速度为xkm 化面积 h.则下列结论正确的是 () J行程问题 3.某次列车平均提速20km/h,用相同的时间， A.依题意可得200+45.1_200 ·2x+20 列车提速前行驶400km,提速后比提速前多 B.依题意可得200+20_1.200 行驶100km,设提速前列车的平均速度为 2x+45 xkm/h,则下列方程正确的是 C.在国道上的速度是80km/h A.400=400+100 B.400_=400-100 D.在高速上的速度是100km/h x+20 x-20 8.下面是学习分式方程的应用时，老师板书的 C.400_400+100 D.400=400-100 问题和两名同学所列的方程：一艘轮船在静 x-20 x+20 水中的最大航速为30km/h,它以最大航速沿 4.某中学八年级学生去距学校10km的景点参 江顺流航行90km所用时间，与以最大航速沿 91 江逆流航行60k所用时间相等，江水的流速 安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用 为多少？ 最低？ 60 甲.90=30-x乙：+=30×2 ·yy 根据以上信息，解答下列问题： (1)甲同学所列方程中的x表示 乙同学所列方程中的y表示 (2)两个方程中任选一个，解方程并回答老师 提出的问题。 素养达标 10.跨学科·语文模型观念白居易《荔枝图 序》中提到：若离本枝，一日而色变，二日而 香变，四五日外，色香味尽去矣.位于“中国 荔枝之乡”广西灵山县的某果园在山东济南 某农贸批发市场销售灵山荔枝，已知两地货 运路程为1080千米，空运路程为货运路程 的导，空运速度为货运速度的3倍，空运时间 比货运时间少9小时： 9.2022年8月27日至29日，以“新能源、新智 (1)求空运速度； 造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会 (2)由于物流方式的时效性不同，荔枝的批发 在德阳举行.大会聚焦清洁能源装备产业发 价也会不一样.该农贸批发市场新到3000斤 展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带 空运而来的灵山荔枝，成本为每斤10元，当 动产业聚集.其中德阳清洁能源装备特色小 日批发价为每斤25元，当天未批发出售的 镇位于德阳经济技术开发区，规划面积4.82 荔枝第二天只能按货运批发价每斤18元出 平方公里，计划2025年基本建成.若甲、乙两 售.若这批荔枝共获利38700元，求第一天 个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项 批发出售了多少斤荔枝. 工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任 务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合 作施工10个月恰好完成任务.承建公司每个 月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向 乙工程队支付施工费用5万元 (1)乙队单独施工需要几个月才能完成任务？ (2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能地 减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队 同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成 其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一 部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超 过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且 a,b为正整数，则甲、乙两队实际施工的时间 92 第3课时分式方程的实际应用 一销售及其他问题 基础通关 15 -×100%=25% 四销售问题 C15 15 1.某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用 D. ×100%=25% 50+x 720元购买甲种水杯的数量和用540元购买 能力突破 乙种水杯的数量相同，已知每个甲种水杯的 4.某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人 价格比每个乙种水杯的价格多15元.设每个 挖出的土1人恰好能全部运走，如何调配劳 甲种水杯的价格为x元，则下列方程正确的是 ( 动力才能使挖出的土能及时运走且不误工？ A.720-540 B.720=540 解决此问题，可设派x人挖土，其他人运土，有 xx-15 xx+15 C.720_540 D.720_540+15 以下方程：02：*=行：②72-￥= ;③x+ “x-15 X 2.为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我 3x=72:④2”。=3.其中正确的有（） 市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电5.某校为进一步开展“阳光体育”活动，购买了 脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元， 批篮球和足球.已知购买足球的数量是购 已知每台笔记本电脑的价格是每台台式电脑 买篮球数量的2倍，购买足球用了4000元， 价格的1.5倍，那么每台笔记本电脑和每台台 式电脑的价格各是多少？ 购买篮球用了2800元，每个篮球的价格比每 解：设每台台式电脑的价格是x元，则每台笔 个足球的价格贵16元.若可用方程4000。 2x 记本电脑的价格是 元，购买台式电 脑 台，笔记本电脑 台 2800 -16表示题中的等量关系，则方程中x 根据题意列方程，得 表示 () 解得 检验：当x= 时，1.5x 0,且符 A.足球的单价 B.篮球的单价 合题意 C.足球的数量 D.篮球的数量 所以原分式方程的解为 6. 传统文化我国古代著作《四元玉鉴》记载“买 所以1.5x= 椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几 答：每台台式电脑的价格是 元，每 11 株椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”其 台笔记本电脑的价格是 大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 四其他问题 6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿 3.某实验室现有浓度为30%的盐酸50克，要配 株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的 制浓度为25%的稀盐酸，需加人x克水.下面 是小华所在的学习小组所列的关于x的方程， 价钱，试问6210文能买多少株椽.设这批椽的 你认为正确的是 ( 数量为x株，则符合题意的方程是 （) A.00×100%=25% A.3(x-1)=6210 B.6210=3 x-1 .9 ×100%=25% C.3x-1=6210 D.6210=3 93 7.老师上课提出问题：“某超市的一种瓶装饮料 素养达标 每箱售价为36元，五一期间对该瓶装饮料进 10.模型观念2023年5月30日上午9点31 行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按 分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发 原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的 射升空.某中学组织毕业班的同学到当地电 原价是每瓶多少元及每箱多少瓶.”以下为四 视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同 位同学列出的方程，正确的是 学们购进A,B两款文化衫，每件A款文化 甲：设该品牌的饮料原价每瓶是x元，则36 衫比每件B款文化衫多10元，用500元购 进A款和用400元购进B款的文化衫的数 36 =2; 0.9x 量相同. 乙：设该品牌饮料每箱x瓶，则36×0.9=36 (1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多 七+2 少元； 丙：设该品牌的饮料原价每瓶是x元，则 (2)已知毕业班的同学一共有300人，学校 0.9×(36+2x）=36; 计划用不多于14800元，不少于14750元 丁：设该品牌饮料每箱x瓶，则36 _36×0.9 购买文化衫，求有几种购买方案； x+21 (3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利 A.甲、丁 B.甲、乙 销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采 C.乙、丙 D.甲、乙、丙 购人员发现(2)中的所有购买方案所需资金 8.某种商品每件的标价是330元，按标价的八折 恰好相同，试求m值. 销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进 价为 元 9.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超 市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子.已 知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种 粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比 乙种粽子的数量少50个，每个甲种棕子的价 格是每个乙种粽子价格的2倍 (1)求甲、乙两种棕子价格分别是多少元； (2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进 甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过 1150元，则最多购进多少个甲种粽子？ 9419.解：3327，（分）=16， ∴.m=-3,n=-4. m=(-3)=7 20.解：(1)a3+a3=p①，a3-a3=g②， ∴.①+②，得2a3=p+q. 又，p+9=4, .a3=2. ①-②，得p-9=2a3号p-9=号=1. (2)=2”+2京-2(n≥1，且n是整数)， g=(2-)=(2-2, .q=2”-2n. 又由(1)中①+②，得2=p+gd2=2+ q). ①-②，得2a3=p-9a3=2p-9), ∴p2-g2=(p+g)(p-9）=2a3·2a3=4. ∴.p2=92+4=(2m-2-m)2+4=(2”+2-n)2. ∴p=2”+2n .a3+a-3=2”+2"③. a-a-3=q=2”-2-④， .③+④，得2a3=2×2". a3=2" p-(c+4）=p-d-4=2+2- 2-4=2- 当m=1时，2=>0，即p>0+ 49 当m=2时，2-}=0，即p=公2+ 当n≥3时，2-子<0，即p<d+子 第②课时科学记数法 1.D2.A3.B4.C5.C6.A 7.8.4×10-6 8.解：(1)由题意，得第①个小圆中所填写的数为 3240×10×10×10=3240000=3.24×106. (2)由题意，得第④个小圆中所填写的数为 0×b××0=0.00w2=2×10 1 9.B10.D11.B12.B13.千分 14.解：8g=0.008kg=8×10-3kg, .8×10-3 3×10-6≈2.667×102（个）. .(3×10-26-2.665×10-26)÷2=1.675× 102”(千克). 答：8克水中大约有2.667×103个水分子， 1个氢原子的质量是1.675×10-”千克， 15.(1)B(2)5×10-5【解析】(2)50000÷ 10°=5×10-5（米）. 18.5分式方程 第①课时分式方程 1.D2.C 3.解：(1)不是分式方程.虽然方程里含有分母， 但是分母里没有未知数，所以不是分式方程， (2)是分式方程.具备分式方程的特征，是分式 方程。 (3)不是分式方程影号+4不是等式，而是一 个代数式，所以它不是方程. (4)是分式方程.具备分式方程的特征，是分式 方程. 4.D5.C6.(1)1+(x-5)=6-x(2)无獬 7.解：(1)方程两边乘x(x+7)得10(x+7)=3x, 解得x=-10.检验：当x=-10时，x(x+7)≠ 0,∴.x=-10是原分式方程的解. (2)方程两边乘x(x+1),得2(x+1)-x=0, 解得x=-2.检验：当x=-2时，x(x+1)≠0， ∴.x=-2是原分式方程的解。 (3)方程两边同乘6x-2,得4-(6x-2)=3, 解得x=2 42>》 检验：当x=2时，6x-2≠0， ∴x=2是原分式方程的解、 (4)方程两边乘(x+1)(x-1),得2(x+1) 3(x-1)=x+3,解得x=1.检验：当x=1时， (x+1)(x-1)=0,∴.x=1是原分式方程的增 根..原分式方程无解。 8.D 9-2【解析1根据题意，得-2+x本=0， 去分母，得-2(x+1)+x=0. 去括号，得-2x-2+x=0. 解得x=-2. 检验：当x=-2时，x+1≠0， ∴.x=-2是原分式方程的解. 10.k<2且k≠31.312.C13.D 14.8【解析1根据题意，得，21=-山， 6 去分母，得2=6-(x-1), 去括号，得2=6-x+1, 解得x=5. 经检验，x=5是原分式方程的解. 15.(1)-6(2)m<-2且m≠-6 16.解：(1)去分母，得(x-2)2+4=x2-4, 去括号，得x2-4x+4+4=x2-4, 解得x=3.经检验x=3是原分式方程的解； (2)去分母，得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3, 去括号，得x2+2x-x2-x+2=3,解得x=1. 经检验x=1是增根..原分式方程无解. 17.(1)一(2)检验 （3解13器 去分母，得2x+2-（x-3)=6x, 解得x=1. 经检验，x=1是原分式方程的解. ∴.原分式方程的解是x=1. 〈4 18.①0②1 ③2【解析】①方程1， +1 子1两边同时乘x+1,得1=2-(x+1),了 解得x=0. 经检验，x=0是原分式方程的解； ②方程2=4 程x+1x+11两边同时乘x+1,得 2=4-(x+1), 解得x=1. 经检验，x=1是原分式方程的解； 3方程名=名一1两边同时果+1，得 3=6-(x+1), 解得x=2. 经检验，x=2是原分式方程的解， （1)方程为车1-1，方程的解为=3 (2)解：第n个方程为-1， 方程两边同时乘x+1,得n=2n-（x+1), 解得x=n-1. 经检验，x=n-1是原分式方程的解. ∴.原分式方程的解为x=n-1. 第②课时分式方程的实际应用— 工程、行程问题 1.C 2.2x 300300300.30=3x=5050≠ 2x x 2x x=5050 3A49-碧=方5A6B7D 8.(1)江水的流速轮船以最大航速沿江顺流航 行90km所用时间（或轮船以最大航速沿江逆 流航行60km所用时间) 【解析】根据“所用时间相等”建立的方程为 30”。6”,等式的左边和右边均表示所用 的时间，则30+x和30-x分别表示“最大航 3〉 速”顺流航行和“最大航速”逆流航行，故未知 .a≤6，b≤24， 数x表示江水的流速； [18- 根据“顺流的速度+逆流的速度=2倍的静水 解得18≤b≤24， 的速度"建立的方程为90+60=30×2，故0和 lb≤24， :a,b都为正整数， 口分别表示顺流航行的速度”和“逆流航行的 .b为3的倍数 [a=6 速度”，故未知数y表示轮船以最大航速沿江 6=21'或/2， bg:或/a=4 b=24. 顺流航行90km所用时间（或轮船以最大航速 :甲、乙两队实际施工的时间安排有3种方式： 沿江逆流航行60km所用时间)， 方案①：安排甲队施工6个月，乙队施工18个 （2)解：选甲列的方程：”2300。 月，费用为6×8+18×5=138（万元）； 方案②：安排甲队施工4个月，乙队施工21个 去分母，得2700-90x=1800+60x. 月，费用为4×8+21×5=137（万元）； 解得x=6. 方案③：安排甲队施工2个月，乙队施工24个 检验，当x=6时，(30+x)(30-x)≠0， 月，费用为2×8+24×5=136（万元） .x=6是原分式方程的解， “.安排甲队施工2个月，乙队施工24个月，费 .江水的流速为6km/h; 用最低，为136万元. 选乙列的方程：90+60=30×2. y 10.解：(1)设货运速度为xkm/h, 去分母，得90+60=60y: 2 解得y=2.5. 则1080 1080×3+9, 8x 检验，当y=2.5时，y≠0， 解得x=110. ∴.y=2.5是原分式方程的解 经检验，x=110是原分式方程的解，且符合 -30=6(kmh。 题意 空运速度为8×110=880(km/h): .江水的流速为6km/h. 答：空运速度为880km/h. (甲、乙所列方程任选其一即可.) (2)设第一天批发出售了a斤荔枝， 9.解：(1)设乙队单独施工需要x个月完成任务， 由题意，得(25-10)a+(18-10)(3000-a)= 则经+10（信+士）=1， 38700, 解得x=27. 解得a=2100. 经检验，x=27是原分式方程的解，且符合 答：第一天批发出售了2100斤荔枝 题意 第③课时分式方程的实际应用 答：乙队单独施工需要27个月才能完成任务 销售及其他问题 1.A (2)由题意，得8+分=1， 240000 72000 2.1.5x 240000+72000= .3a+2b=54. 1.5x 1.5x 120x=24002400≠x=24003600 ∴.a=18- 36002400 <44> 3.D4.C5.D6.A7.C8.240 9.解：(1)设乙种粽子每个的价格为x元，则甲种 棕子每个的价格为2x元， 由题意，得0+50-82， 解得x=4. 经检验，x=4是原分式方程的解，且符合题意. 答：甲种粽子每个的价格为8元，乙种粽子每个 的价格为4元. (2)设购进m个甲种粽子，则购进(200-m)个 乙种粽子， 由(1)及题意，得8m+4(200-m)≤1150， 解得m≤87.5. m为正整数， .m的最大值为87. 答：最多购进87个甲种粽子 10.解：(1)设A款文化衫每件x元，则B款文化 衫每件(x-10)元， 由题意，得500=400 xx-10? 解得x=50. 经检验，x=50是原分式方程的解，且符合 <45> 题意 ∴.x-10=40. 答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件 40元. (2)设购买A款文化衫a件，则购买B款文化 衫(300-a)件， 由题意，得14750≤50a+40(300-a)≤ 14800, 解得275≤a≤280. ·a是正整数， .∴.a的取值可以为275,276,277,278， 279,280 .一共有六种购买方案 (3)设购买资金为W元， 由题意，得W=0.7×50a+(40-m)(300- a)=(m-5)a+12000-300m, ,(2)中的所有购买方案所需资金恰好相同， ∴.W的取值与a的值无关， ∴.m-5=0, .m=5.