17.2 用公因式法分解因式-【七彩课堂】2026-2027学年八年级上册数学一课一练（人教版）

17.2用公因式法分解因式 第1课时 运用平方差公式因式分解 基础通关 :口先提取公因式再用平方差公式分解因式 ]直接用平方差公式分解因式 7.分解因式：x3-4x= ( 1.在下列各多项式中，不能用平方差公式因式 A.x(x2-4x) B.x(x+4)(x-4) 分解的是 ( C.x(x+2)(x-2) D.x(x2-4) A.a2-16b2 B.-1+4m2 8.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手 C.-36x2+y2 D.-m2-1 册中，有这样一条信息：a-b,x-y,x+y,a+ 2.下列分解因式正确的是 b,x2-y2,a2-b2分别对应下列六个字：中、 A.3x2+x=3x(x+1) 爱、我、国、游、美，现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b B.-a2+9=-(a+3)(a-3) 因式分解，结果呈现的密码信息可能是() C.xy+x+1=x(y+1)+1 A.我爱美 B.中国游 D.x+y+x-y=2(x+y) C.爱我中国 D.美我中国 3.分解因式：4a2-1= 9.把多项式mx2-16m分解因式的结果是 A.(2a-1)(2a+1) B.(a-2)(a+2) 10.分解因式：2m2-18= C.(a-4)(a+1) D.(4a-1)(a+1) 能力突破 4.分解因式：-n2+9= 11.如图，边长为m+3的正方形纸片剪去一个 5.把下列各式因式分解. 边长为m的正方形后，用剩余部分剪拼成一 (1)x2-25y2; (2)-4m2+25n2; 个长方形（不重叠无缝隙）.若拼成的长方 形一条边长为3，则另一条边长为() m+3 3 m (3)a4-1; (4)81a4-64. A.2m+3 B.2m+6 C.m+3 D.m+6 12.已知x2-4y2=36,x+2y=18,求x,y的值 6.已知4m+n=40,2m-3n=5,求(m+2n)2 (3m-n)2的值. 67 13.计算：1002-992+982-972+962-952+…+ 素养达标 22-12. 16.模型观念观察下列各式： 32-12=8×1; 52-32=8×2; 72-52=8×3; 92-72=8×4; … (1)根据你发现的规律直接写出第8个 式子 14.将一条40cm长的彩带剪成两段，恰好可用 (2)你能用一个含n(n为正整数)的等式来 来围两张大小不同的正方形壁画的边（不计 表示上述规律吗？如果能，请说明其正 算接头处).已知两张壁画的面积相差 确性。 40cm2,这条彩带应剪成多长的两段？ 15.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的 平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如： 4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4， 12,20都是“神秘数”. (1)28和2018这两个数是“神秘数”吗？为 什么？ (2)设两个连续偶数为2k和2k+2(k取非 负整数)，由这两个连续偶数构造的“神秘 数”是4的倍数吗？为什么？ (3)两个连续奇数的平方差（取正数）是神 秘数吗？为什么？ 68 第2课时运用完全平方公式因式分解 基础通送 (4)(x2+2x)2-(2x+4)2. 四完全平方式 1.多项式4x2+1加上一个单项式后，使它成为 一个整式的完全平方，那么加上的单项式可 以从①-1；②4x;③-4x;④4x4中选取( A.①② B.②③ C.③④ D.①②③④ 凹先提取公因式再用完全平方公式分解因式 2.已知：关于x的二次三项式x2-8x+k是完全 7.分解因式3x2-6x+3的最终结果是（) A.3x(x-2) B.3(x2-2x+1) 平方式，则常数k等于 C.3(x-1)2 D.(3x-1)2 凹用完全平方公式分解因式 8.分解因式：2a2-4a+2= 3.下列多项式能直接用完全平方公式进行因式 9.分解因式：a3-4a2+4a= 分解的是 ( 10.因式分解：a3+2a2+a= A.x2+2x-1 B.2-x+4 1 能力突破 C.x++y2 D.9+x2-3x 11.已知式子a2+(2t-1)ab+4b2是一个完全 4.下列因式分解正确的是 ( 平方式，则实数t的值为 A.16x2-8x+1=(4x-1)2 12.已知|xy-4|+(x-2y-2)2=0,求x2+ B.4x2-4=(2x-2)2 4xy+4y的值. C.-x2+2x-1=(x-1)2 D.2x(x-1)-(x-1)=x(x-1) 5.9(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+b)2因式分解 的结果是 A.(5a-b)2 B.(5a+b)2 C.(3a-2b)(3a+2b)D.(5a-2b)2 6.将下列各式分解因式： (1)-m2+10m-25; 13.已知三边各不相等的△ABC的三边长分别为 整数a,b,c,且满足a2+b2-4a-6b+13=0, 求c的长 (2)4n2-12mn+9m2; (3)(x2+2)2-12(x2+2)+36; 69 14.在以下三个整式中，任取其中的两个进行和 素养达标 或差的运算，使得计算后所得的多项式分别 15.运算能力下面是某同学对多项式(x2- 满足相应的要求并解答：x4-2x2y2-y4,x4+ 4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的 y,2xy. 过程 (1)该多项式因式分解时，只运用了平方差 解：设x2-4x=y, 公式； 原式=(y+2)(y+6)+4(第一步) (2)该多项式因式分解时，只运用了完全平 =y2+8y+16(第二步) 方公式； =(y+4)2(第三步) (3)该多项式因式分解时，既运用了平方差 =(x2-4x+4)2(第四步) 公式，又运用了完全平分公式 (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解 的 A.提取公因式 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不 彻底，请直接写出因式分解的最后结果. (3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2- 2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解 70.(a2+b2)2-9=40. .(a2+b2)2=49,a2+b2=7. 9.解：(1)由题意，得5a3b-2ab+3ab3-2b2= (5a3b-2ab)-(-3ab3+2b2); (2)由题意，得5a3b-2ab+3ab3-2b2=5a3b- (2ab-3ab3+2b2); (3)由题意，得5a3b-2ab+3ab3-2b2= (5a3b+3ab3)-(2ab+2b2). 10.解：添括号时，如果括号前面是正号，括到括 号里的各项都不变符号；如果括号前面是负 号，括到括号里的各项都改变符号. .a2+b2=5,1-b=2, .-1+a2+b+b2 =-(1-b)+(a2+b2) =-2+5 =3 第十七章因式分解 17.1用提公因式法分解因式 1.D【解析】A项是乘法公式；因式分解的对象 是多项式，B项不符合概念；因式分解的结果是 整式乘积的形式，C项不符合概念；D项符合 概念 2.C【解析】(x+2)(x-7)=x2-5x-14, .m=-5. 3.C4.B5.C 6.解：(1)-3；(2)2(y-x);(3)2xm. 7.y(x-y) 8.6【解析】x+y=3,y=2, ∴.x=1.∴.xy=2. ∴.原式=xy(x+y）=2×3=6. 9.解：(1)15a3+10a2=5a2(3a+2); (2）-6nm3+4n2m-2nm=-2nm(3m2-2n+1); (3)2m(a-b)-3n(b-a)=2m(a-b)+ 3n(a-b)=(a-b)(2m+3n). 10.C【解析】M=a(a-c),N=b(a-c), ..M-N=a(a-c)-b(a-c)=(a-b)(a-c). <3 .'a>b,a>c, ∴.a-b>0,a-c>0. ∴.(a-b)(a-c)>0,∴.M>N 11.A【解析】当x=1时，2ax2-bx=2a-b= -1,当x=2时，bx-ax2=2b-4a=-2(2a- b)=2. 12.B【解析】根据题意得a+b=5,ab=6,则 a2b+ab2=ab(a+b)=6×5=30. 13.C【解析】(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)· (8b-7a) =(7a-8b)(3a-4b-11a+12b) =(7a-8b)(-8a+8b) =8(7a-8b)(b-a). 14.解：(1)3.25×18+3.25×43+3.25×39 =3.25×(18+43+39) =3.25×100 =325; (2)224-5×22023+6×2202+2024 =2202×(22-5×2+6)+2024 =0+2024 =2024. 15.解：(1)设S=1+2+22+23+24+…+210, 将等式两边同时乘2，得 2S=2+22+23+24+…+210+211 将下式减去上式，得2S-S=21-1, 即S=2"-1. (2)设S=1+3+32+33+34+…+3", 将等式两边同时乘3，得 3S=3+32+33+34+…+3”+3m+1. 将下式减去上式，得 3S-S=3"+1-1,即2S=3+1-1, 8=2(31-10. 17.2用公式法分解因式 第①课时运用平方差公式因式分解 1.D【解析】A.原式=(a-4b)(a+4b),不符合 题意； 3> B.原式=(2m+1)(2m-1),不符合题意； 解得/10， C.原式=(6x+y)(y-6x),不符合题意； y=4. D.原式不能利用平方差公式进行因式分解，符13.解：1002-992+982-972+962-952+…+ 合题意 22-12 2.B【解析】A.3x2+x=x(3x+1),故此选项不 =(1002-992)+(982-97)+(962-952)+…+ 符合题意； (22-12) B.-a2+9=-(a2-9)=-(a+3)(a-3),故 =100+99+98+97+96+95+…+2+1 此选项符合题意； =5050. C.y+x+1无法分解因式，故此选项不符合14.解：设较大正方形的边长为xcm,则较小正方 题意； 形的边长为(10-x)cm. D.x+y+x-y无法分解因式，故此选项不符合 由题意，得x2-（10-x)2=40,(x+10-x) 题意 (x-10+x)=40,10(2x-10)=40,解得 3.A4.(3-n)(3+n) x=7. 5.解：(1)原式=(x+5y)(x-5y); ∴.4x=28,4(10-x)=12 (2)原式=(5n+2m)(5n-2m); 故这条彩带应剪成28cm和12cm的两段. (3)原式=(a2-1)(a2+1)=(a+1)(a-1)·15.解：(1)28=82-62，∴.28是神秘数； (a2+1): 2018不是神秘数，它无法表示为两个连续偶 (4)原式=(9a2-b2)(9a2+b2)=(3a+b)· 数的平方差。 (3a-b)(9a2+b2). (2).(2k+2)2-(2k)2=8k+4=4(2k+1), 6.解：(m+2n)2-(3m-n)2=(m+2n+3m-n) ∴.由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的 (m+2n-3m+n)=-(4m+n)(2m-3n), 倍数 当4m+n=40,2m-3n=5时，原式=-40× (3)设这两个连续奇数为2n-1和2n+1,则 5=-200. (2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)· 7.C8.c (2n+1-2n+1)=4×2n.结合(2)中结果，可 9.m(x+4)(x-4)【解析】mx2-16m=m(x2- 知2k+1恒为奇数，2n恒为偶数，∴.4(2k+1)≠ 16)=m(x+4)(x-4). 4×2n,∴.两个连续奇数的平方差不是神秘数. 10.2(m+3)(m-3)【解析】2m2-18=2(m2-16.解：(1)第8个式子：172-152=8×8. 9)=2(m+3)(m-3). (2)规律：(2n+1)2-(2n-1)2=8n. 11.A【解析】由题意得S影=(m+3)2-m2= (2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)· m2+6m+9-m2=6m+9=3(2m+3),.拼 (2n+1-2n+1)=4n×2=8n. 成的长方形的另一条边长为2m+3. 第②课时运用完全平方公式因式分解 12.解：.x2-4y2=(x+2y)(x-2y)=36,x+1.D2.163.B4.A5.A 2y=18, 6.解：(1)原式=-(m-5)2; .x-2y=2 (2)原式=(2n-3m)2; x+2y=18, (3)原式=(x2+2-6)2=(x+2)2(x-2)2; 联立方程，得 lx-2y=2, (4)原式=(x2+2x+2x+4)(x2+2x-2x <34> 4)=(x+2)2·(x2-4)=(x+2)3(x-2) 7.C 8.2(a-1)2 9.a(a-2)2【解析】a3-4a2+4a=a(a2-4a+ 4)=a(a-2)2. 10.a(a+1)2【解析】a3+2a2+a=a(a2+2a+ 1)=a(a+1)2. 1.3或-弓 【解析】：式子是完全平方式， ∴.2t-1=4或者2t-1=-4, 12.解：|y-41+（x-2y-2)2=0,xy=4, x-2y=2. ∴.x2+4xy+4y2=（x+2y)2=（x-2y)2+ 8xy=22+8×4=36. 13.解：a2+b2-4a-6b+13=0, ∴.a2-4a+4+b2-6b+9=0. ∴.(a-2)2+(b-3)2=0. ∴.a=2,b=3. .a,b,c各不相等，且x为整数， .1<c<5,.c=4. 14.解：(1)x4-2x2y2-y+2x2y2=x4-y=(x2+ y2)(x+y)(x-y); (2)x+y+2x2y2=(x2+y2)2; (3)x+y-2x2y=(x2-y2)2=(x+y)2(x-y. 15.解：(1)C (2)不彻底，(x-2)4. (3)设x2-2x=y,原式=y(y+2)+1=y2+ 2y+1=(y+1)2=(x2-2x+1)2=(x-1)4. 第十八章分式 18.1分式及其基本性质 18.1.1从分数到分式 1.D2.B 3.解：整式是分a,2x+y,2,3a,5;分式是 m-1,x-2丝它们的区别是分母中是否含有字 〈3 母，若含有字母则是分式，若不含有字母则是 整式 4.C5.B6.-2 3 7.解：(1由题意，得3x-5≠0，解得x≠子 (2)由题意，得1x-1≠0，解得x≠±1. 【变式】要使分式无意义，需要满足分母x2- 4=0,解得x=±2.故当x=±2时，分式+2 x2-4 无意义， 8.A9.A10.1 11.解：(1)由题意，得2x+1=0且3x-2≠0，解 得x=-2 (2)由题意，得1x-1=0且x-1≠0，解得 x=-1. (3)由题意，得x2-9=0且x2-6x+9≠0，解 得x=-3. 12.C【解析J2400,2400.22x-2 x22x-y'2x-y’x2 这样不同的分式一共有4个. 13.D14.B15.A 16.3【解析】由分子2x-m=2×2-m=0,解得 m=4.由分母x+n=1+n=0,解得n=-1. ∴.m+n=4-1=3. 17.（1)<5(2)任意实数(3)2或3 18.解：(1)由题意，得当1+m=0,即m=-1 时，代数式m无意义 (2)由题意，得该式的值为正数时，1+m>0, 即m>-1. 19.2-4 【解析】分式的值不等于0，则分式的 分子不等于0.分式有意义时，x的取值范围是 x≠±2，则分式分母满足x=±2时，分母为 0.且当x=0时，分式的值等于-1，可 5>