17.2 用公式法分解因式 一课一练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学人教版八年级上册“17.2用公式法分解因式”同步练，以“基础巩固-方法综合-创新应用”分层设计，覆盖公式识别、综合分解及实际情境应用，培养抽象能力、运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|公式识别与简单应用|单选题1-5判断能否用公式分解，填空题9-10直接应用平方差/完全平方公式，夯实符号意识| |提升|公式综合与方法迁移|单选题6-8结合十字相乘法，解答题14综合提公因式与公式法，培养运算能力与推理意识| |拓展|跨情境解决与创新思维|解答题15-18涉及分组分解、密码生成等实际问题，填空题13结合新定义，发展应用意识与创新意识|

17.2 用公式法分解因式 一课一练2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列多项式能用公式法进行因式分解的是（   ）． A． B． C． D． 2．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．若，，则的值为（　　） A．2 B． C． D． 4．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，分别对应下列六个字：爱，我，利，津，学，校．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．利津爱学 B．我爱利津 C．利津学校 D．我爱学校 5．(    ) A． B． C． D． 6．将分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 7．学校有一块长和宽分别为，的长方形育苗基地，它的周长为，面积为，则的值为（   ）． A．480 B．240 C．120 D．200 8．已知，则的值为（　　） A． B． C．1 D．2 二、填空题 9．已知，，则________． 10．如果多项式加上一个单项式后，可以用公式法分解因式，那么这个单项式可以是____（写出一个即可）． 11．小明将展开后得到，小李将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为______． 12．如图，在综合实践课上，嘉淇用9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片，拼成了一个大正方形，则拼成的大正方形的边长是___________（用含的式子表示）． 13．新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为______ 三、解答题 14．因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 15．阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)因式分解：； (2)已知，，求的值； (3)的三边，，满足，判断的形状并说明理由． 16．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） ．（第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了下列因式分解的___________；（请填写序号） ①提取公因式法②平方差公式法③两数和的完全平方公式法 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果； (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 17．在日常生活中我们经常用到密码，如取款、上网购物需要密码，有一种用因式分解法产生密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解：例如，当，时，，，则可以得到密码是145171，171451…，等等，根据上述方法当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码？ 18．阅读与思考： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 由得，； 利用这个式子可以将某些二次项系数是的二次三项式分解因式． 例如：将式子分解因式． 分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以． 解：． 请依照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)若可分解为两个一次因式的积，请写出整数的所有可能的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D B C A B C 1．【答案】A 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了用乘法公式分解因式，平方差公式分解因式的形式为，完全平方公式分解因式的形式为和，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式可以用平方差公式分解因式，符合题意； B、不能用乘法公式分解因式，不符合题意； C、不能用乘法公式分解因式，不符合题意； D、不能用乘法公式分解因式，不符合题意； 故选：A． 2．【答案】A 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】根据平方差公式因式分解可得，又因为可得，进而求得． 【详解】解：∵ ，， ∴ ∴ 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握乘法公式是快速解决本题的关键． 3．【答案】D 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】利用平方差公式将变形为，再代入已知条件计算即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 4．【答案】B 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解：先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，得到因子对应的汉字，组合后匹配选项． 【详解】解：∵， ∴分解后的因子为8，，，， 对应汉字为：利、津、爱、我， 组合后为“我爱利津”， 故选：B． 5．【答案】C 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查利用因式分解进行简便运算，提公因式法进行因式分解后，再进行计算即可． 【详解】解：原式； 故选C． 6．【答案】A 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，即，熟练掌握十字相乘法方法是解答本题的关键． 利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：． 故选A． 7．【答案】B 【知识点】因式分解的应用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 利用长方形周长和面积公式求出，，再将所求代数式因式分解后代入计算． 【详解】∵周长为， ∴， ∴， ∵面积为， ∴， ∴． 故选：B． 8．【答案】C 【知识点】完全平方公式分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，设，根据题意可得，则，根据非负数的性质求出t的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．【答案】3 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】此题考查了利用平方差公式求值．利用平方差公式对进行因式分解，再代入已知等式求解的值． 【详解】解：根据平方差公式， 将，代入上式，得 解得 故答案为：3 10．【答案】（答案不唯一） 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 根据公式法分解因式即可求解． 【详解】解：若添加单项式，则， ∴多项式可以用公式法分解因式， ∴这个单项式可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 11．【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、因式分解在有理数简算中的应用、平方差公式分解因式 【分析】根据完全平方公式可得，再利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】解：展开可得： 展开可得： ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式，掌握“利用平方差公式进行有理数的简便运算”是解本题的关键． 12．【答案】 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，拼成的大正方形面积等于9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片的面积之和，因此求出9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片的面积之和，再利用完全平方公式把面积的表达式分解因式即可得到答案． 【详解】解：， ∴拼成的大正方形的边长为， 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，由新定义求出的值，得到，再由新定义得到，利用提公因式法及公式法即可求解，求出新定义表达式是解题的关键． 【详解】解：由，得， ， 解得， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 14．【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． （1）用提取公因式法即可； （2）用提取公因式法，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）先提取公因式法，再用平方差公式分解即可； （4）先利用多项式乘式项式法则计算，合并同类项，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 15．【答案】(1) (2)7 (3) 解：是等腰三角形，理由如下： ，即， ， 且， ， 是等边三角形． 【知识点】分组分解法、等腰三角形的定义 【分析】（1）将前两项组合和后两项组合提取公因式，再提取公因式即可． （2）将前两项组合利用公式法分解因式，将后两项组合提取公因式，再利用提公因式法分解因式，再将其值代入即可． （3）由整理得，进而可得，由此可判断． 【详解】（1）解： ． （2） 将，，代入． （3）略 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式及等腰三角形的判定，熟练掌握分组分解法分解因式是解题的关键． 16．【答案】(1)③ (2)不彻底，最后结果为 (3) 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了换元法和完全平方公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式法分解因式是解题的关键． （1）根据两数和的完全平方公式的形式即可求解； （2）利用两数和的完全平方公式法即可求解； （3）设，利用完全平方公式法分解因式即可求解． 【详解】（1）解：， 则某同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式法， 故答案为：③． （2）解：设， 原式 ； （3）解：设， 原式 ． 17．【答案】124420，122044，441220，442012，201244，204412 【知识点】提公因式法分解因式、因式分解的应用、平方差公式分解因式 【分析】把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后依据、、的值可得到形成的密码． 【详解】解：， 当，时，则，，， 可以得到的数字密码是：124420，122044，441220，442012，201244，204412． 18．【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】十字相乘法 【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）将看作整体，利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解可得； （3）找出所求满足题意p的值即可． 【详解】（1）解： （2）解：原式 ； （3）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是： ；；；， 即整数的所有可能的值是：，． 【点睛】此题考查了因式分解——十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $