17.2 用公式法分解因式 新课预习2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦公式法及拓展方法，构建“基础判断-综合应用-实际建模”的因式分解方法体系，渗透数学思维与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础方法|单选1-3、填空9-10、解答14(1)-(3)|公式法判断、平方差/完全平方公式直接应用|从公式特征识别到直接分解，构建概念生成逻辑| |综合方法|单选5、填空12、解答15-16、18|分组/拆添项/十字相乘法，提公因式与公式结合|多方法融合，体现原理推导的递进关系| |实际应用|单选4、6、8，填空11、13，解答17|因式分解解决密码/面积/数值计算问题|从代数变形到几何建模，实现应用拓展|

17.2 用公式法分解因式 新课预习2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列多项式能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．若，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 4．人类使用密码的历史悠久，有一种利用“因式分解”法生成的密码方便记忆：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码进行排列就可以形成密码．小安按这种方式将多项式因式分解后，取自己的年龄14作为x的值，设置了一个密码，他设置的密码可能是（   ） A．101214 B．101410 C．141212 D．121416 5．用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，边长为，的长方形，它的周长为16，面积为10，则的值为（   ） A．40 B．70 C．80 D．160 7．将因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．因式分解：_____． 10．当_______时，多项式能利用完全平方公式进行因式分解． 11．若a=2021×589－588×2021，b=2019×2018－2017×2020，则a与b的大小关系为______． 12．新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为______ 13．运用数形结合思想可以使数与形之间相互转化．一次实践课上，某同学用如图1的、、三种卡片若干，拼成图2图形．借助图形，分解因式：______． 三、解答题 14．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 15．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． （1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题： 例1． 例2． （2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题： 例1． 请你仿照以上例题的方法，解决下列问题： （1）分解因式：； （2）分解因式：． 16．对于二次三项式，不能直接用公式法，我们可以在二次三项式中先加上一项，构造完全平方式，再减去．例如：．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫作添（拆）项法． (1)请用上述方法把分解因式． (2)多项式有最小值吗？如果有，请求出多项式的最小值和x的值． 17．如图： (1)将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为______． (2)若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为多少． 18．阅读与思考： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 由得，； 利用这个式子可以将某些二次项系数是的二次三项式分解因式． 例如：将式子分解因式． 分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以． 解：． 请依照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)若可分解为两个一次因式的积，请写出整数的所有可能的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C D D C D A 1．【答案】D 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题考查公式法分解因式，公式法分解因式是指利用完全平方公式或平方差公式进行分解因式，完全平方公式形式，平方差公式形式．再逐一判断各选项是否能用于分解因式. 【详解】解：选项A： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项B： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项C： 不匹配完全平方公式与平方差公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项D： ， ∵， ∴ 能用公式法分解因式. 故选：D 2．【答案】B 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查平方差公式的应用，利用平方差公式将变形为，代入已知条件即可计算出的值． 【详解】解：，，， ， ． 故选：B． 3．【答案】C 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了公式法因式分解． 利用完全平方公式和平方差公式进行解答． 【详解】解： ． 故选：C． 4．【答案】D 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用，先提取公因式x，再利用平方差公式分解得出，代入，计算各因式的值得到因式码，再按从小到大顺序排列形成密码，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵ ， 当时，， 即因式码为14、12、16，把因式码按从小到大顺序排列形成密码121416． ∴他设置的密码可能是121416． 故选：D 5．【答案】D 【知识点】分组分解法 【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键． 6．【答案】C 【知识点】因式分解的应用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的求值，因式分解的运用，理解题意，得到，再运用因式分解得到，代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∵， ∴原式， 故选：C ． 7．【答案】D 【知识点】计算多项式乘多项式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 展开原式并合并常数项，化为完全平方形式，再分解因式． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 8．【答案】A 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、数字类规律探索 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项，再去括号，然后利用阶乘化简乘积，化简后计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 9．【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 10．【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的公式法的应用，准确分析判断是解题的关键． 多项式能利用完全平方公式分解时，需满足常数项为平方数，且一次项系数为平方根的二倍，根据完全平方公式的特征判断即可． 【详解】完全平方公式的形式为， 多项式需与该形式匹配， ， 解得， 代入一次项系数关系，得或； 当时，多项式为，符合题意； 当时，多项式为，符合题意； 故答案是：． 11．【答案】a＞b 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】先把a提取公因式进行因式分解求出a，再把b利用乘法分配律化简得出b的值，最后比较大小． 【详解】解：∵a＝2021×589−588×2021 ＝2021×（589−588） ＝2021×1 ＝2021． b＝2019×2018−2017×2020 ＝2019×（2017＋1）−2017×（2019＋1） ＝2019×2017＋2019−2017×2019−2017 ＝2019−2017 ＝2． 故答案为：a＞b． 【点睛】本题考查了因式分解，准确拆项是本题的关键． 12．【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，由新定义求出的值，得到，再由新定义得到，利用提公因式法及公式法即可求解，求出新定义表达式是解题的关键． 【详解】解：由，得， ， 解得， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式与图形面积，根据所给图形，得出大长方形的长和宽即可求解，熟知多项式乘多项式法则及能用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解题的关键． 【详解】解：观察图形可知，图中一共用了张卡片，张卡片，张卡片，组成的是一个长方形，长为，宽为， ∵张卡片，张卡片，张卡片的面积之和等于， ∴， 故答案为：． 14．【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，包括提取公因式法，完全平方公式以及平方差公式的应用，解决本题的关键是根据题目特点使用不同方法并正确计算． （1）提取公因式 即可因式分解； （2）提取公因式 即可因式分解； （3）根据平方差公式即可因式分解； （4）提取负号，再使用完全平方公式即可因式分解； （5）应用平方差公式与完全平方公式即可因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 15．【答案】（1）（x-n）（x+n+1）；（2）（a+1）（a+3） 【知识点】分组分解法 【分析】（1）将前两项利用平方差公式分解因式，进而利用提取公因式法分解因式得出答案； （2）直接利用拆项法分解因式得出答案． 【详解】解：（1）原式=（x+n）（x-n）+（x-n） =（x-n）（x+n+1）； （2）原式=a2+4a+4-1 =a2-1+4a+4 =（a+1）（a-1）+4（a+1） =（a+1）（a-1+4） =（a+1）（a+3） 【点睛】此题主要考查了拆项法以及分组分解法分解因式，读懂材料并理解所给做法是解题的关键． 16．【答案】(1) (2)有最小值，最小值是，． 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】（1）仿照例题的做法解答即可； （2）利用例题的做法先将原式变形为，再根据完全平方式的非负性解答． 【详解】（1）解：（1）原式 ． （2）解：． ， ∴当时，多项式有最小值，最小值是，此时． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是关键． 17．【答案】(1) (2) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解与完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式和数形结合思想是解题关键． （1）根据大矩形面积可以表示为，也可以表示为即可求解； （2）根据题目可知，，利用完全平方公式变形，求出，即可求解． 【详解】（1）解：由题知即为大矩形面积， 由图知还可用求面积， ． 故答案为：； （2）解：∵图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80， ，， ，， ， ， ，， ， 图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为． 18．【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】十字相乘法 【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）将看作整体，利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解可得； （3）找出所求满足题意p的值即可． 【详解】（1）解： （2）解：原式 ； （3）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是： ；；；， 即整数的所有可能的值是：，． 【点睛】此题考查了因式分解——十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $