15.3.1 等腰三角形-【七彩课堂】2026-2027学年八年级上册数学一课一练（人教版）

15.3等腰三角形 15.3.1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 基础通关 6.如图，从笔直的公路1旁一点P出发，向西走 巴等腰三角形的概念 6km到达l;从P出发向北走6km也到达U. 1.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点 下列说法错误的是 () O(0,0),顶点A,B分别在第一、四象限，且 A.从点P向北偏西45°走3km到达1 B.公路1的走向是南偏西45° AB⊥x轴，若∠AOB=90°，OA=OB,AB=6,则 C.公路1的走向是北偏东45° 点B的坐标是 D.从点P向北走3km后，再向西走3km到达l 7.如图，在△ABC中，AC=DC=DB,∠ACB= 105°，则∠B= A.(3,3)B.(3,-3)C.(6,-3)D.(3,6) B 2.易错题已知等腰三角形ABC的两边长分别为 D C 第7题图 第8题图 2和3，则等腰三角形ABC的周长为() A.7 凹等腰三角形的性质一三线合一 B.8 C.6或8D.7或8 8.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC.有以下 3.易错题)已知一个等腰三角形两内角的度数 结论：①△ABD≌△ACD;②D为BC边的中 之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数 点；③∠B=∠C;④AD是△ABC的一条角平 为 分线。其中，正确的有 () 等腰三角形的性质一等边对等角 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，在△ABC中，∠C=40°，CA=CB,则9.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的 △ABC的外角∠ABD等于 中线，点E在边AB上，且BD=BE.若 ∠BAC=100°，则∠ADE的大小为 D B A.100° B.110°C.120° D.140° 5.如图，直线m∥n,点A在直线m上，点B,C在10.如图，点D,E在△ABC的BC边上，AB=AC, 直线n上，AB=BC,∠1=70°，CD⊥AB于点 BD=CE D,那么∠2等于 () 求证：AD=AE. A.20° B.30° B.32 D.25° 北 东 B -----P 第5题图 第6题图 35 能力突破 ! 素养达标 11.如图，一条船从海岛A出发，以15海里/时15.模型观念在△ABC中，AB=AC,D是BC上 的速度向正北方向航行，2小时后到达海岛 一点。 B处.灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上， (1)如图1，若D为BC的中点，DE⊥AB于点 在海岛B的北偏西84°方向上，则海岛B到 E,BF⊥AC于点F,DE=2,则BF= 灯塔C的距离是 (2)如图2，若D为BC上任意一点，DE⊥AB 北 于点E,DF⊥AC于点F,AB上的高为6，求 DE+DF的值， 西 东 A.15海里 B.20海里 C.30海里 D.60海里 D 12.已知在平面直角坐标系中，点A坐标为 图1 图2 （-2,3),在y轴上确定点P,使△AOP为等 腰三角形，则符合条件的点P共有() A.3个B.4个C.5个 D.6个 13.易错题)等腰三角形一腰上的高与另一腰的 夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数 为 14.如图，在△ABC中，AB=AC,D是AB的中点， 且DE⊥AB,△BCE的周长为8cm,且AC BC=2cm,求AB,BC的长. 36 第2课时 等腰三角形的判定 基础通关 4.如图，已知∠C=∠D=90°，AC与BD交于点 四等腰三角形判定 0,AC=BD. (1)求证：BC=AD: 1.如图所示，共有等腰三角形 (2)求证：点O在线段AB的垂直平分线上 72072 1369 36 A.4个 B.5个 C.3个 D.2个 2.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那么这个三角形是等腰三 角形 已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1= ∠2，AD∥BC. 求证：AB=AC. 凹尺规作等腰三角形 以下是排乱的证明过程： 5.如图，已知：线段a,∠a ①又.∠1=∠2； 求作：△ABC,使∠A=∠a,AB=AC,且BC边 上的高AD=a.（要求：用尺规作图，保留作图 ②∠B=∠C; 痕迹，不写作法与证明) ③AD∥BC; ④∠1=∠B,∠2=∠C; ⑤AB=AC. 证明步骤正确的顺序是 A.③②①④⑤ B.③④→①②+⑤ C.①②→④→③⑤ D.①④③②→⑤ 3.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,BE平 分∠ABC,CE平分∠ACB,过点E作DF∥BC, 若AB=2cm,则△ADF的周长为 11 37 能力突破 素养达标 6.如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点9.模型观念如图，在Rt△ABC中，AB=AC, D,交AC于点E,BE恰好平分∠ABC,有以下 D为BC的中点，∠MDN绕点D旋转，DM,DN 结论：①ED=EC;②△AEB的周长等于2AE+ 分别与边AB,AC交于E,F两点. EC;③图中共有3个等腰三角形；④∠A= (1)求证：△DEF是等腰直角三角形； 36°.其中正确的共有 (2)求证：BE+CF=AC; (3)若BC的长为16，求四边形AEDF的 面积. E A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 7.如图，已知在△ABC中，AB=3,AC=5,BC= 7,在△ABC所在平面内的一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中含AB边的三角形 为等腰三角形，则这样的直线最多可画 条 B 8.如图，在△ABC中，AB=6,BD=3,AD⊥BC于 点D,∠B=2∠C,求CD的长. 38∴.PP2=6-a-（-a)=6-a+a=6. ∴.∠ADE=∠ADB-∠BDE=90°-70°=20°. 综上所述，可得PP2的长是6. 10.证明：如图，过点A作AP⊥BC于点P. 15.3等腰三角形 ·AB=AC,AP⊥BC, 15.3.1等腰三角形 .'BP PC. 第①课时等腰三角形的性质 又.BD=CE, 1.B ∴.BP-BD=PC-CE,即 2.D【解析】当2为底边长时，三角形的三边长 DP PE. 为3,2,3，可以构成三角形，周长为8；当3为 又.AP⊥DE,.AD=AE 底边长时，三角形的三边长为3,2,2，可以构成 11.C 三角形，周长为7. 12.B【解析】小：△AOP为等腰三角形，.可分成 堂易错警尿 三类讨论（作图如图所示）： 求解等腰三角形有关边的问题要分类：底 边和腰；同时要利用三角形的三边关系验证是 否能构成三角形 、21 3.120°或20°【解析】设两个角分别是x,4x. ①当x是底角时，得x+x+4x=180°， -5-43-2-t12345x 解得x=30°，4x=120°， 3P4. 即底角为30°，顶角为120°. ②当x是顶角时， ①当A0=AP时， 得x+4x+4x=180°，解得x=20°. 以A为圆心，A0长为半径画圆，可知圆与y轴 从而得顶角为20°，底角为80°. 交于另一点P; ∴.该等腰三角形的顶角为120°或20°， ②当A0=OP时， 堂易错警尿 以0为圆心，A0长为半径画圆，可知圆与y轴 求解等腰三角形角的问题要分类：底角和 交于两点P2,P4; 顶角 ③当AP=OP时， 4.B5.A6.A 作A0的中垂线，与y轴交于点P3 7.25°【解析】设∠B=x,AC=DC=DB, 综上所述，符合条件的点P共有4个 .∠B=∠BCD,∠CAD=∠CDA=2x. 13.63°或27°【解析】分为两种情况：锐角三角 .∠ACB=180°-2x-x=105°，解得x=25°. 形和钝角三角形，如图所示. 8.D 9.20【解析】.'AB=AC,∠BAC=100°， ∠B=LG=2(180°-LBAC)=40 369 36B BD=BE, ÷∠BDE=∠BED=2(180P-∠B)=70 曾易错警示 'AB=AC,AD是BC边上的中线， 形状不同的三角形高的位置会发生变化，当 .AD⊥BC.∴.∠ADB=90° 题目没有明确说明时，要进行分类讨论 <18>》 14.解：·在△ABC中，AB=AC,D是AB的中点，：∴.点O在线段AB的垂直平分线上. 且DE⊥AB,∴.DE是AB的垂直平分线，5.解：如图所示，△ABC即为所求， AE BE. .△BCE的周长为8cm,即BE+CE+BC= 8cm,∴.AC+BC=8cm. AC-BC=2 cm, ∴.可得2AC=10cm,即AC=AB=5cm. .BC=3 cm. 6.C【解析】①由题意可知DE⊥AB,BE平 15.(1)4 分∠ABC, (2)解：如图，连接AD. ∴.当EC⊥BC时，有ED=EC. ,AB边上的高是6， .AB=AC,∴.∠ACB不可能等于90°. .S△ABC =1ABx6. 2 .ED=EC不正确. sw=寸B:0g, ②点E在线段AB的垂直平分线上， ∴.EA=EB.∴.△AEB的周长为EA+EB+AB= SaAC DF. EAEA +AB=2EA +AB .·AB=AC,且AC=AE+EC, 2AB.DE+2AC,DF-2ABX6 ∴.EA+EB+AB=3AE+EC.∴.②不正确. AB=AC, ③.AB=AC, 2AB(DE+DP)-号ABx6 ∴.△ABC为等腰三角形，∠C=∠ABC. .·EA=EB, .DE+DF=6. .△EAB为等腰三角形，∠A=∠ABE. 第②课时等腰三角形的判定 .BE平分∠ABC,∴.∠ABE=∠CBE. 1.B【解析】根据三角形的内角和定理，得 ∴.∠C=2∠CBE. ∠AB0=∠DC0=36°，根据三角形的外角的性 又：∠BEC=∠A+∠ABE=2∠CBE, 质，得∠AOB=∠COD=72°.再根据等角对等 ∴.∠BEC=∠C.∴.BE=BC 边，得等腰三角形有△AOB,△COD,△ABC, ∴.△BEC为等腰三角形 △CBD和△BOC,共5个. ∴.图中共有3个等腰三角形..③正确 2.B3.4cm ④由③可得∠BEC=∠C=2∠EBC, 4.证明：(1)∠C=∠D=90°， ∴.2∠EBC+2∠EBC+∠EBC=180°. AC=BD, ∴.∠EBC=36°. 在Rt△ACB和Rt△BDA中， AB BA, ∴.∠A=∠ABE=∠EBC=36°.∴.④正确 .Rt△ACB≌Rt△BDA(HL). ∴.正确的有③④，共两个. ∴.AD=BC 7.4【解析】根据等腰三角形的性质分别利用 (2).Rt△ACB≌Rt△BDA, AB为底以及AB为腰，得出符合题意的图形 .∴.∠CAB=∠DBA. 即可. .OA=OB. 如图所示，当AB=AF=3,BA=BD=3,AB= <19>》 AE=3,BG=AG时，都能得到符合题意的等腰 由已知，可得AD=BD=CD=分BC=8. 三角形. ∴.S四边形AEDF= 1AD2=32. 15.3.2等边三角形 B G D 第①课时等边三角形的性质和判定 8.解：如图所示，在DC上取点E,使BD=DE,连1.C 接AE. 2.A【解析】如图所示， ∴.AE=AB.△ABE是等腰三角形 :∠B=∠AED=∠C+∠CAE=2∠C, 由图可知∠B0E=∠OBE=45°. .∠C=∠CAE. :△ABC是等边三角形，.∠ABC=60°. ∴AE=CE. ∴.∠0FB=180°-45°-60°=75° ∴.CE=AB=6. ∴.∠BFG=∠=90°-75°=15° .∴.CD=CE+DE=AB+BD=9 3.3【解析】将△ADE沿直线DE折叠，点A落在 9.（1)证明：，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC= 点A'处，.AD=A'D,AE=A'E.则阴影部分图 90°，D为BC中点， 形的周长等于BC+BD+CE+A'D+A'E= ∴.∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD. BC+BD CE AD AE=BC +AB +AC .∠MDN=90°， 3 cm. ∴.∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90° 4. 证明：如图，过点A作AP⊥BC于点P. .∠ADE=∠CDF. ,∠EAD=∠C, B D P E 在△AED与△CFD中，AD=CD, ∠ADE=∠CDF, .三角形ADE是等边三角形，∴.AD=AE. 又.AP⊥BC,∴.DP=PE. ∴.△AED≌△CFD(ASA). ∴.ED=FD. 又BD=CE, ∴.△DEF是等腰直角三角形 ∴.DP+BD=PE+CE,即BP=PC (2)证明：△AED≌△CFD,.AE=CF, 又.AP⊥DE,.AB=AC. .'BE CF=BE +AE=AB=AC. .∠B=∠C. 5.D (3)解：，△AED≌△CFD, 6.AB=BC或∠A=60°（答案不唯一） .S四边形EDF=S△ADE+S△ADF=S△cDr+SAADF= 7.证明：.·BD=CE=AF, 、 ∴.BE=CF=AD <20>