15.3.1 等腰三角形 同步练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 这份同步练习通过基础、提升、拓展三层设计，覆盖等腰三角形定义、性质、判定及综合应用，梯度合理，助力知识从单一到综合巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|定义、性质直接应用|选择填空为主，如已知边/角求周长、底角，强化概念理解| |提升层|性质与判定综合应用|含作图、动点问题，如尺规作图求角度、动点最小值，培养空间观念| |拓展层|新定义与探究证明|引入“等角分割线”，需分类讨论与逻辑推理，发展创新意识|

答案和解析 1.【答案】A 解：.AB=AC, ∴.∠B=∠C=70 ∴.∠A=180°-∠B-∠C=180°-70°-70°=40°1 故选：A. 2.【答案】C 1 解：当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为(180°-50°)× 当50°是底角时亦可. 故选：C 3.【答案】C 【解析】解：当腰为3时，3+3=6， ∴336不能组成三角形： 当腰为6时，3+6=9>6， ∴366能组成三角形， 该三角形的周长为=3+6+6=15. 故选：C 4.【答案】D 【解析】解：.AD=BD, ∴.∠A=∠ABD=30o .∠ABC=70 第1页，共1页 65°； .∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=40' 故选：D 5.【答案】C 【解析】解：由作法得：MN垂直平分AB, ∴.AD=BD1 ∴.∠A=∠ABD' ∴.∠ABC=2∠A' .∴.∠ABC+∠A=2∠A+∠A=180°- .∠A=32 .∠ABD=∠A=32 故选：C. 6.【答案】D 【解析】解：，AB=AC, ∴.△ABC是等腰三角形： .AB=AC'∠A=36 ∴.∠ABC=∠C=72o' :BD是△ABC的角平分线， BD平分∠ABC, ∠C=96 第2页，共1页 ∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°， 2 ∴.∠A=∠ABD=36 .'BD=AD' ∴·△ABD是等腰三角形： 在△BCD中，∠BDC=180°-∠DBC .∴.∠C=∠BDC=72' ∴.BD=BC' ∴·△BCD是等腰三角形： BE=BC' .'BD=BE' ∴.△BDE是等腰三角形： .∴.∠BED=(180°-36°）÷2=72 .∴.∠ADE=∠BED-∠A=72°-36°= .∠A=∠ADE' ∴.DE=AE' ∠C=180°-36°-72° 36 第3页，共1项 72°， ∴△ADE是等腰三角形： :.图中的等腰三角形有5个。 故选：D 7.【答案】40 解：，等腰三角形的一个外角为80 ..相邻角为180°-80°=100°， 三角形的底角不能为钝角， ∴.100°角为顶角 :.底角为：(180-100)÷2=40 故答案为：40， 8.【答案】70°或110 【解析】解：分两种情况： 当等腰三角形是锐角三角形时，如图：在△ABC中， D 30 B ,BD⊥AC, .∴.∠BDA=90°， .∠ABD=20°， 第4页， AB=AC. 共1页 ∴.∠A=90°-∠ABD=70°： 当等腰三角形是钝角三角形时，如图：在△ABC中，AB=AC, 、 530 B ,BD⊥AC, ∴.∠BDA=90°， ∠ABD=20°， ∴.∠BAD=90°-∠ABD=70°， ∴.∠BAC=180°-∠BAD=110°： 综上所述：这个等腰三角形顶角的度数为70°或110°， 故答案为：70°或110°. 9.【答案】36 【解析】解：，AB=AC,AD是BC边上的中线， .AD⊥BC'∠B=∠C=54' ∴.∠DAC=90°-54°=36 .∵DE=AE 第5页，共1页 ∴.∠ADE=∠DAC=36' 故答案为：36. 10.【答案】36° 【解析】解：.'AB=AC,BG=BH,AK=KG, ∴.∠ABC=∠ACB'∠G=∠H'∠A=∠G' .∴.∠A=∠H' .'∠ABC=∠G+∠H=2∠A=∠ACB'∠ACB=∠KCH' .∴.∠CKH+∠KCH+∠H=180o' 即5∠A=180°， ∴.∠A=36 故答案为：36 11.【答案】12 【解析】解：延长AD到M,作DH⊥AB于H. .AD平分∠CAB, .∴.∠DAC=∠DAH, ,:∠C=∠AHD,AD=AD, ∴.△ADC≌△ADH(AAS), .∴.AC=AH=7, 第6页，共1页 ∠CKH=∠A+∠G=2∠A H B C M .'∠ADE+∠CAB=180°，∠ADE+∠EDM=180°， ∴.∠EDM=∠CAB, .'∠EDM=∠DAE+∠DEA=∠DAE+∠CAD,∠CAD= .∴.∠DAB=∠E, .DA=DE, .DH⊥AE, ∴.AH=HE=7, .BE=2, .∴.BH=5, .AB=12, 故答案为：12. 12.【答案】 24 第7页，共1页 ∠DAB, 【解析】解：如图，作点A关于BC的对称点A',作点A'E⊥AB,交BC B D 则AD=A'D, ∴.AD+DE=A'D+DE≥A'E. 即AD+DE的最小值为A'E.:'S△AMB=2 SAABC=2×6=12, .A'E=2×12=24 55 24 即AD+DE的最小值为5： 24 故答案为：5· 13.【答案】【小题1】 证明：.AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD, EG//AD. ∴.∠BAD=∠G,∠CAD=∠AFG, ∴.∠G=∠AFG, ∴.AF=AG ∴.△AFG是等腰三角形： 【小题2】 解：CE=EF, ∴.∠CFE=∠C, 第8页，共1页 于点D. .∵∠AFG=∠CFE, .∴.∠C=∠AFG, .·∠AFG=∠CAD, .∴.∠C=∠CAD, .:∠BAC=80°，AD平分∠BAC, ∠CAD=号BAC=40', ∴.∠C=∠CAD=40, .∴.∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-40 14.【答案】证明见解答过程： 73° 【解析】(1)证明：：'∠ADB是△BCD的外角， .∠ADB=∠BCD+∠DBC' .'∠BCE=∠BCD+∠ECA'∠ADB=∠BCE' .∠BCD+∠ECA=∠BCD+∠DBC' .∴.∠ECA=∠DBC' 在△ECA和△DBC中， AC=BC ∠ECA=∠DBC, BD=CE :.△ECA≌△DBC(SAS' .∴.AE=CD 第9页， =60°. 共1页 (2解：设∠ACB= AC=BC' ∠ABC=∠BmC=号1800-∠ACB)=90°-2a. 由(1)可知：△ECA≌△DBC, .∴.∠EAC=∠ACB=a' .∠FAB=107o' ∴.∠BAC=∠FAB-∠EAC=107°-a' .90- 2a=107°-a, 解得：Q=34°， :∠ABC=90- 20=73. 15.【答案】证明：（1)在△ABD和△CBE中， ∠BAD=∠BCE ∠B=∠B, BD=BE .△ABD≌△CBE(AAS' .'.BA=BCi (2),BA=BC' .∴.∠BAC=∠BCA' 第10页，共1页 .'∠BAD=∠BCE' ∴.∠FAC=∠FCA' .'FA=FC' ∴·△AFC为等腰三角形. 16.【答案】【小题1】 证明：.AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB, .:∠ABC,∠ACB的角平分线BD,CE相交于点O. :.∠OBC=号∠ABC,∠OCB=号∠ACB. ∴.∠OBC=∠OCB, ∴.OB=OC, ∴.△OBC是等腰三角形： 【小题2】 证明：如图， 'OB=OC, ..点O在线段BC的垂直平分线上， .AB=AC, .点A在线段BC的垂直平分线上， ∴.AO垂直平分BC. 第11页，共1页 17.【答案】(1)证明：在△ABC中，BD,CE分别是AC边，AB边上的高， ∴.∠BEF=∠BDC=90°： .BD与CE相交于点F, ∴.∠EFB=∠DFC, .∴.∠ABD=90°-∠EFB,∠ACE=90°-∠DFC, ∴.∠ABD=∠ACE: (2)解：如图1，在线段BD上取点G,使得BG=CD,连接EG, D G B4 在△BEG和△CED中， EB=EC ∠EBG=∠ECD, BG=CD .∴.△EBG≌△ECD(SAS), ∴.∠BEG=∠CED,EG=ED, ∴.∠GED=∠GEF+∠CED 第12页，共1页 =∠GEF+∠BEG =∠BEF =90°， ∴△GED是等腰直角三角形， .∴.∠GDE=45°， ∴.∠EDC=∠GDE+∠BDC=45°+90°=135°： (3)解：点F是CE的中点，BD-CD=mDF,如图2，过点E作EH⊥BD于点H, E D H G 图2 ∴.EF=CF, 在△EHF和△CDF中， ∠EHF=∠CDF ∠EFH=∠CFD, EF=CF ,∴.△EHF≌△CDF(AAS), 第13页，共1页 ∴.HF=DF, ∴.HD=2DF, 由(2)得EG=ED,BG=CD, 又.EH⊥BD, ∴.GH=DH, ∴.GD=2HD=2×2DF=4DF, .BD-CD=BD-BG=GD=4DF. .m=4. 18.【答案】详见解析； 67.5o 5饺19 【解析】(1)证明：.AB=AC, ∴.∠ABC=∠C, .BD=BC. ∴.∠BDC=∠C, ∴.∠ABC=∠BDC, .'∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠BDC= ∠A+∠ABD, 第14页，共1页 .∴∠ABD+∠DBC=∠A+∠ABD, .∴.∠A=∠DBC, '.BD是△ABC的“等角分割线”； (2)解：.AB=AC, .∴.∠ABC=∠C, ,:∠A+∠ABC+∠C=180°， .∴.∠A=180°-2∠C, .BD⊥AC, .∴.∠BDC=90°，∠BDA=90°， .:∠BDC=∠A+∠ABD,∠BDA=∠DBC+∠C, .∠ABD=2∠C-90°，∠DBC=90°-∠C, .BD是△ABC的“等角分割线”， ∴.①∠A=∠ABD,180°-2∠C=2∠C-90°， 解得：∠C=67.5°； ②∠A=∠DBC,180°-2∠C=90°-∠C, 解得：∠C=90(舍去， 第15页，共1页 综上：∠C=67.5°： (3)解：记∠BAC的平分线与BC交于点E, ①当∠DBC=∠BAC时， E .∵AB=AC,AE平分∠BAC, .AE⊥BC,∠BAE=∠CAE,BE=CE(等腰三角形三线合一)， 设∠BAE=∠CAE=X,则∠DBC=∠BAC=2X .AE⊥BC,BE=CE, .∴.AE垂直平分BC, ∴.FB=FC, ∴.∠DBC=∠FCB=2X, .∴.∠DFC=∠FBC+∠FCB=2X+2X=4X, 第16页，共1页 'DF=DC, .∴.∠DFC=∠DCF=4X, ∴.∠ACE=∠DCF+∠FCB=4x+2X=6x, .AE⊥BC, ,∴.∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°， ∴.x+6x+90°=180°， 90° 解得：X= 7, ∠BAC=2×90°=180° 77 ②当∠ABD=∠BAC时， A F B E .AE平分∠BAC, 第17页，共1页 .∴.∠BAE=∠CAE(角平分线的定义)， 设∠BAE=∠CAE=X,则∠ABD=∠BAC=2X, .∴.∠FDC=∠BAC+∠ABD=4X, 在△ABF和△ACF中， AB-AC ∠BAE=∠CAE, AF=AF .∴.△ABF≌△ACF(SAS), .∠ACF=∠ABD=2X, DF=DC, ∴.∠DFC=∠DCF=2X, .'∠FDC+∠DFC+∠DCF=180°， ..4x+2x+2x=180°， 解得：x=22.5, .∴.∠BAC=2×22.5°=45°， 综上：∠BAC的度数为45°或 80° 7 180° 故答案为：45°或7。 第18页， 共1页15.3.1等腰三角形同步练习 一、选择题： 1.在△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A=() A.40° B.70 C.50° D.60° 2.等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为() A.65° B.65°或80° C.50°或65° D.40 3.已知一个等腰三角形的两边长分别是3和6，则该等腰三角形的周长为() A.12或15 B.12 C.15 D.6或12 4.如图，在△ABC中，已知LA=30°，∠ABC=70°，D为AC边上一点，且AD=BD.则LDBC=() A.70° B.60° C.50° D.40° ⊙ D 5.如图，在△ABC中，∠C=84°，图中所作直线MN与射线BD交于点D,点D在AC边上，根据图中尺规作图 痕迹，可得LABD的度数是() A.30 B.31° C.32° D.33° B A D 6.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE, 则图中等腰三角形共有() A D A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 第1页，共5页 二、填空题： 7.若等腰三角形的一个外角等于80°，则它的底角为° 8.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则这个等腰三角形顶角的度数为· 9.如图，△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，点E为AC边上一点，连接DE,DE=AE,若∠B=54°， 则LADE的大小为（度）. D 10.若AB=AC,BG=BH,AK=KG,则∠BAC= B G K 11.如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于D,点E在AB的延长线上，满足∠ADE+∠CAB= 180°，若AC=7,BE=2,则线段AB的长为· A B C D E 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,S△4BC=6,点E、D分别是AB,BC上的动点，则AD+DE 的最小值为· B C 三、解答题： 第2页，共5页 13.如图，在△ABC中，AD平分LBAC,过线段CD上一点E作EG/AD,交AC于点F,交BA的延长线于点G. (1)求证：·AFG是等腰三角形 G (2)若CE=EF,∠BAC=80°，求LB的度数. A B D 14.如图，在△ABC中，AC=BC,点D在线段AC上，点E在AC左侧，连接BD,CE,AE,BD=CE且∠ADB=∠BCE, 延长BD交AE于点F. (1)求证：AE=CD: (2)若∠FAB=107°，求LABC的度数. D B 15.如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F, (1)证明：BA=BC: (2)求证：△AFC为等腰三角形. D 第3页，共5页 16.如图，在·ABC中，AB=AC,∠ABC,∠ACB的角平分线BD,CE相交于点O. (1)求证：△OBC是等腰三角形： (2)连接A0,求证：A0垂直平分BC. 17.如图，在△ABC中，BD,CE分别是AC边，AB边上的高，BD与CE相交于点F,且EB=EC,连接DE. (1)试说明：∠ABD=∠ACE; (2)试求LEDC的度数： (3)若点F是CE的中点，则BD-CD=mDF,试求m的值. E AD 第4项，共5页 18.定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等 腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”· 已知在△ABC中，AB=AC,点D在边AC上. (1)如图1，如果BD=BC,求证：BD是△ABC的“等角分割线”： (2)如图2，如果BD⊥AC,且BD是△ABC的“等角分割线”，求LC的度数： (3)BD是△ABC的“等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点F如果DF=DC,那么LBAC的度数为一， A D D B B 图1 图2 第5页，共5页15.3.1等腰三角形同步练习 一、选择题： 1.在△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A=() A.40° B.70° C.50° D.60° 2.等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为() A65° B65或80° C50o或650 D.40° 3.已知一个等腰三角形的两边长分别是3和6，则该等腰三角形的周长为() A12或15 B.12 C.15 D6或12 4.如图，在△ABC中，已知∠A=30°，∠ABC=70°，D为AC边上一点 () A.70° B.60° D. D 5.如图，在△ABC中，∠C=84°，图中所作直线MN与射线BD交于点D, 规作图痕迹，可得∠ABD的度数是() A.30° B.31° D.33° B 公 G D 第1页，共1页 且AD=BD.则∠DBC= C.50° 点D在AC边上，根据图中尺 C.32° 6如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC, 连接DE,则图中等腰三角形共有() D A2个 B3个 C.4个 D.s个 二、填空题： 7.若等腰三角形的一个外角等于80°，则它的底角为口° 8.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则这个等腰三角形顶角的度数为 9.如图，△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，点E为AC边上一点，连接DE,DE=AE,若 ∠B=54°，则∠ADE的大小为（度). B D 10.若AB=AC,BG=BH,AK=KG,则∠BAC= 11.如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于D,点E在AB的延长线上，满足 ∠ADE+∠CAB=180°，若AC=7,BE=2,则线段AB的长为一· B 第2页，共1页 D 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,SAABC=6,点E、D分别是AB,BC上的动点，则 AD+DE的最小值为一 B D C A 三、解答题： 13.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,过线段CD上一点E作EG/AD,交AC于点F,交BA的延长 线于点G (1)求证：△AFG是等腰三角形. (2)若CE=EF,∠BAC=80°，求∠B的度数. E 14.如图，在△ABC中，AC=BC,点D在线段AC上，点E在AC左侧，连接BD,CE,AE,BD=CE 且∠ADB=∠BCE,延长BD交AE于点F. （1求证：AE=CD (2若∠AB=107。:求∠ABC的度数. E 第3页，共1页 15.如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点 F. (1)证明：BA=BC (2)求证：△AFC为等腰三角形. D 16.如图，在△ABC中，AB=AC,∠ABC,∠ACB的角平分线BD,CE相交于点O D (1)求证：△OBC是等腰三角形： (2)连接AO,求证：AO垂直平分BC. 第4页，共1页 17.如图，在△ABC中，BD,CE分别是AC边，AB边上的高，BD与CE相交于点F,且EB=EC,连接 DE. (1)试说明： ∠ABD=∠ACE (2)试求∠EDC的度数： (3若点F是cE的中点，则BD-CD=mDF:试求nm的值. m D F B 18.定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个 等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”· 已知在△ABC中，AB=AC,点D在边AC上. (1)如图1，如果BD=BC,求证：BD是△ABC的“等角分割线”： (2)如图2，如果BD⊥AC,且BD是△ABC的“等角分割线”，求∠C的度数； (3)BD是△ABC的“等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点F.如果DF=DC,那么∠BAC的度数 第5页，共1页 为 A A D D 图1 图2 第6页，共1页