14.3 角的平分线的性质-【七彩课堂】2026-2027学年八年级上册数学一课一练（人教版）

.∴.∠DCA+∠ECB=90°. ∴.∠DCE=180°-90°=90°. ∴.DC⊥CE. 4.解：作图如下，△ABC即为所作， C 5.c 6.证明：(1)，'AG⊥BD,AF⊥CE, ∴.∠AFE=∠AGD=90°， ∴.△AGB和△AFC都是直角三角形. [AB=AC, 在Rt△AGB和Rt△AFC中， AG=AF, .Rt△AGB≌Rt△AFC(HL). .∠BAG=∠CAF 又.·∠BAG=∠EAF+∠FAG,∠CAF=∠DAG+ ∠FAG,∴.∠EAF=∠DAG (2)在△AFE和△AGD中， r∠AFE=∠AGD, AF=AG, ∠EAF=∠DAG, .△AFE≌△AGD(ASA).∴.AE=AD. 7.C8.C9.B 10.解：PM=PQ=PN. D 理由：如图，连接AP,CP. M AC=AQ +OC,AQ =AM, 0 AC=AM+CN,∴.QC=NC. E .PM⊥BD,PN⊥BE,PQ⊥AC, ∴.∠PMA=∠PQA=∠PQC=∠PNC=90°. 在Rt△PMA和Rt△PQA中， [AP=AP, LAM=AQ, ..Rt△PMA≌Rt△PQA(HL).∴.PM=PQ. 同理易证Rt△PQC≌Rt△PNC,∴.PN=PQ. ∴.PM=PQ=PN. <1 11.[探究](5，-2) [拓展](1)证明：如图1，过点P作PE⊥x轴 于点E,PF⊥y轴于点F P(2,2),∴PE=PF=2. .·∠F0E=∠OEP=∠OFP=90°， ∴.∠EPF=90°. 在Rt△APE和Rt△BPF中， [PA=PB, PE=PF, ∴.Rt△APE≌Rt△BPF(HL), 图1 .∠APE=∠BPF. ∴.∠APB=∠APE+∠BPE=∠BPF+ ∠BPE=∠EPF=90. .PA⊥PB. (2)(0,-1) (3)解：如图2，过点P作 Y PE⊥x轴于点E,PF⊥ B y轴于点F,同(1)，可得 Rt△APE≌Rt△BPF, 0 .'AE BF.AE OA- 图2 OE=0A-2,BF=OF-OB=2-0B,..0A-2= 2-0B,∴.OA+OB=4. 14.3角的平分线的性质 第①课时角的平分线的性质 1.A2.B 3.(1)解：如图所示即为所求， (2)证明：，AE平分∠BAC, ∴.∠BAE=∠DAE. AB=AD,AE=AE, ∴.△BAE≌△DAE(SAS). .'DE=BE. 4.A 5.B【解析】如图，连接AI,BI. .AI平分∠CAB, ∴.∠CAI=∠BAI. 由平移得AC∥DI, D 0> ∴.∠CAI=∠AID ∴.∠BAI=∠AID.∴.AD=DL. 同理可得BE=EI. ∴.△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+ BE =AB=4. 即图中阴影部分的周长为4. 6.证明：DE⊥AB,∴.∠DEA=90° .∠C=90°，AD是∠BAC平分线， .DE =DC. [DE=DC, 在Rt△ACD和Rt△AED中， LAD =AD, ∴.Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴.AC=AE, 7.C【解析】如图所示，过点P作PG⊥CD于点 G,GP的延长线交AB于点H,PM⊥EF于点M. AB∥CD,∴.∠PHE=∠PGF=90° 又：∠AEF与∠EFC的平分线交于点P, ∴.PH=PM,PM=PG.∴.PH=PM=PG. 这两条直线之间的距离为8，∴.PH=PG=4 ∴.PM=4,即点P到EF的距离为4. B D G D 8.A 9.2:3:4【解析】如图，过点 O分别作OH⊥AB,OF⊥BC, OE⊥AC,垂足分别为H,F,E. .A0,BO,CO分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB, .OE=OF=Ol.S=AB O, SBC OF,SAC=AGOE, .SAABO SARCO SACAO AB BC AC 10:15:20=2:3:4. 10.证明：如图，过点M作MN⊥AC于点N. <] AB∥CD,EF⊥AB,∴.EF⊥CD. 又，AM平分∠BAC,CM平 分∠DCA, .MF MN,MN ME. ∴.ME=MF.∴.M为EF的中点 11.(1)SSS【解析】.OC=0D,CE=DE,OE=OE, ∴.△OCE≌△ODE(SSS). .∴.∠AOE=∠BOE. ∴.OE平分∠AOB. (2)解：理由：.OM=ON,CM=CN,OC=OC, ∴.△OCM≌△OCN(SSS). .∴.∠A0C=∠BOC. ∴.OC是∠AOB的平分线. (3)解：如图，点E即为所求作的点. B G D 第②课时角平分线的判定 1.C2.A3.274.12 5.证明：.FO平分∠DFE,∴.∠DFP=∠EFP. FD=FE, 在△DFP和△EFP中， ∠DFP=∠EFP, LFP=FP. ∴.△DFP≌△EFP(SAS).∴.DP=EP. 又PD⊥OA,PE⊥OB,∴.OC平分∠AOB. 6.A 7.解：如图所示 8.B【解析】根据题意画出图形如图所示，过点 D作DQ⊥AC于点Q. ,∠BAC的平分线AD交BC于点D,DE⊥AB, 1 ∴.DE=DQ DF>DQ,∴.DF>DE. 11 FO 9.D【解析】如图所示，∠ABC和∠BAC的平分 线的交点P1分别到各自角两边的距离相等，利 用角平分线的性质定理，可以得到点P,也在 ∠ACB的平分线上，且到11，L2,3的距离相等， 同理还有∠ABC和∠BAC的邻补角的平分线 的交点P3,∠ACB和∠BAC的邻补角的平分线 的交点P2,∠ABC和∠BCA的邻补角的平分线 的交点P4.因此可供选择的地址有四处，即P1, P2,P3,P4 12 10.68【解析】如图，过点0作OE⊥AB于点E, OF⊥AC于点F,连接OA :B0平分∠ABC,OE⊥ AB,OD⊥BC, E ∴.0E=0D=4. 0 :C0平分∠ACB,OF⊥ AC,OD⊥BC, ∴.0F=0D=4. △ABC的周长为34， .AB BC +AC=34. .SAABC=SAOAB+S△0BG+S△0AC =2B.0E+2BC.0D+7AC.0F =2A4B×4+2BCx4+24Cx4 =2AB+2BC +2AC <12> =2(AB+BC +AC). =2×34=68. (1)证明：，AD∥BC,∠D=90°， ∴.∠C=∠D=90°. 如图，作PE⊥AB于点E. ,BP平分∠ABC,PE⊥AB,PC⊥CB, ∴.PE=PC P为CD中点，∴.PD=PC.∴.PD=PE .∠D=90°，PE⊥AB, .AP平分∠DAB. (2)6 (1)解：.∠BAD=∠DAC,DF⊥AB,DM⊥AC, ∴.DF=DM. Sam=2AB·DF,Sm=7AC·DM, ∴.SAABD:S△AcD=AB:AC=16:14=8:7. (2)证明：Sam=7AB·DF,Saa=CG· DM,DF =DM, ∴.SAAED:SAc=AE:CG. ,动点E以2cm/s的速度从点A向点F运 动，同时动点G以1cm/s的速度从点C向点 A运动， .'AE =2t cm,CG=t cm. .'.AE CG=2:1...SAAED =2SADcC ∴.在运动过程中，无论t取何值，都有 S△ABD=2S△DGc: (3)解：在△ADF和△ADM中， ∠AFD=∠AMD, ∠FAD=∠MAD, LAD =AD, .△ADF≌△ADM(AAS). .DF =DM,AF AM=10 cm,CM=AC-AM= 4(cm). 由题意，知EF=AF-AE=(10-2t)cm,CG= tcm,∴.0≤t≤5. ①当点G在线段AM上时，MG=CG-CM= (t-4)cm; 当EF=MG时，△DFE与△DMG全等， ·10-21=t-4,解得1=4 31 ②当点G在线段CM上时，MG=(4-t)cm, 当EF=GM时，△DFE与△DMG全等， ∴.10-2t=4-t,解得t=6(舍去). 综上，当t-时，△DFE与△DMG全等 (第十五章轴对称 15.1 图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 1.D 2 金图 () 3.B【解析】根据成轴对称的概念，只有第④组 符合 4.2【解析】如图，只有点P1,P2符合题意 5.C6.A 7.解：.△ABC和△DFE关于直线I对称，∠C= 90°，AC=6,∴.∠DEF=90°，DE=6. 又.·△DEF的面积为12， 即DB,BF=7x6×EF=12EF=4. 即∠DEF的度数为90°，EF的长为4. 8.B【解析】如图，连接OP1,OP2,P1P2 <1 点P关于直线，m的对称点分别是点 P1,P2, ∴.0P1=0P2=0P=2.8. 0P1+0P2>PP2,.0<PP2<5.6. 又.当l⊥m时，P1P2=0P1+0P2=5.6, .0<P1P2≤5.6. 9.45【解析】正五边形的每一个内角为 5×(5-2)×180°=108，将正五边形纸片 ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM, 则∠BAM=7∠BME=7x108=540.展开 后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点 B的对应点为点B',折痕为AF, 则∠FMB=7∠BMM=7×540=27, ∠AB'F=∠B=108°. :在△AFB'中，∠AFB'=180°-∠AB'F- ∠FAB′，∴.∠AFB′=180°-108°-27°=45. 10.解：如图所示，即为所作图形.（答案不唯一) 11.(1)证明：由长方形ABCD及折叠知，AD= CG=CB,∠D=∠G=∠B=90°，∠AEF= ∠FEC. 又，CD∥AB, .∠AEF=∠CFE. .∴.∠FEC=∠CFE. ∴.CF=CE ∴.Rt△FGC≌Rt△EBC(HL). 3>》14.3角的平分线的性质 第1课时角的平分线的性质 基础通送 E,连接DE.求证：DE=BE. 角平分线的画法 1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如 图所示，要说明∠AOC=∠BOC,需证明△COW≌ △COM,则这两个三角形全等的依据是( A.SSS C B.ASA C.AAS B D.角的平分线上的点到角 的两边距离相等 四角平分线的性质 2.如图1，已知∠ABC,用尺规作它的角平分线 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10,AD是 步骤如图2. △ABC的角平分线.若CD=3,则△ABD的面 第一步：以点B为圆心，以a长为半径画弧， 积为 () 分别交射线BA,BC于点D,E; 第二步：分别以点D,E为圆心，以b长为半径 画弧，两弧在∠ABC内部交于点P; D 第三步：画射线BP A.15 B.30 C.12 D.10 射线BP即为所求. 5.如图，点I为△ABC的∠A和∠B的平分线的 下列说法正确的是 ( 交点，AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移使 A 其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为 C () 图1 A D/A D 米 B 第一步 第二步 第三步 A.4.5B.4 C.3 D.2 图2 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC A.a,b均无限制 的平分线，DE⊥AB,垂足为E. &a>0,6>D0E的长 求证：DE=DC,AC=AE. C.a有最小限制，b无限制 D.a≥0,6<2DE的长 3.如图，在△ABC中，点D在边AC上，且 AD =AB. (1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平 分线（保留作图痕迹，不写作法） (2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点 21 能力突破 作图法：在OA和OB上分别取点C和D,使 7.如图，直线AB∥CD,且这两条直线之间的距 得OC=OD,连接CD,以CD为边作等边三 离为8，∠AEF与∠EFC的平分线交于点P, 角形CDE,则OE就是∠AOB的平分线. 则点P到EF的距离为 () A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 Q M 图1 请写出OE平分∠AOB的依据： 第7题图 第8题图 类比迁移： 8.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到 (2)小明根据以上信息研究发现：△CDE不 ∠AOB的两边距离相等的点应是（) 一定必须是等边三角形，只需CE=DE即 A.点MB.点NC.点P D.点Q 可.他查阅资料：我国古代已经用角尺平分 9.如图，△ABC的三边AB,BC,AC的长分别是 任意角.做法如下：如图3，在∠AOB的边 10,15,20,其三条角平分线将△ABC分成三个 OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺，使角 三角形，则S AARO:S△BC0:S△c40= 尺两边相同刻度分别与点M,N重合，则过 角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线， 请说明此做法的理由； 拓展实践： (3)小明将研究应用于实践.如图4，校园的 10.如图，AB∥CD,∠BAC的平分线与∠DCA的 两条小路AB和AC,汇聚形成了一个岔路口 平分线交于点M,经过点M的直线EF与AB A,现在学校要在两条小路之间安装一盏路 垂直，垂足为F,且EF与CD交于点E.求 灯E,使得路灯照亮两条小路（两条小路一 证：M为EF的中点. 样亮)，并且路灯E到岔路口A的距离和休 息椅D到岔路口A的距离相等.试问路灯应 该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺 和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的 位置.（保留作图痕迹，不写作法) B 图 图4 图5 素养达标 11.应用意识综合与实践。 问题探究： (1)如图1是古希腊数学家欧几里得所著的 《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知 角.”即：作一个已知角的平分线.如图2是 欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线 22 第2课时角平分线的判定 基础通送 5.如图，F0平分∠DFE,PD⊥OA于点D,PE1 角的平分线的判定 OB于点E,FD=FE.求证：OC平分∠AOB 1.如图，用一把长方形直尺的一边压住射线 D OB,再用另一把完全相同的直尺的一边压住 射线OA,两把直尺的另一边交于点P,则射线 OP就是∠AOB的平分线的依据是（) A.角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B.三角形三边垂直平分线的交点到三角形三 顶点的距离相等 C.在角的内部，到角两边距离相等的点在这 个角的角平分线上 D.以上都不对 A 七g女SL0N J三角形的角平分线 6.如图，在△ABC中，点O到三边的距离相等， 234567 ∠BAC=60°，则∠BOC的度数为 () 第1题图 第2题图 2.如图，直线AB,CD相交于点O,PE⊥AB于点 E,PF⊥CD于点F.若PE=PF,且∠AOC= A.120° B.125°C.130° 50°，则∠E0P的度数为 () D.140° A.65° B.60° C.55° D.30° 7.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建 一凉亭供大家休息，请在草坪上确定凉亭的 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，ED⊥ 位置P,使凉亭到草坪三条边的距离相等.（要 AB于点D,且EC=ED,则∠EBC= 0 求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) D 第3题图 第4题图 4.如图，在△ABC中，AB=5,AC=8,BC=9,以 点A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB 于点M,交AC于点N;分别以点M,N为圆心， 以大于)MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC 的内部相交于点G,作射线AG,交BC于点D, 点F在AC边上，AF=AB,连接DF,则△CDF 的周长为 23 能力突破 ! 素养达标 8.已知，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，12.几何直观如图，在△ABC中，∠BAD= DE⊥AB于点E,F为AC上一点，且∠DFA= ∠DAC,DF⊥AB于点F,DM⊥AC于点M, 100°，则 AB=16cm,AF=10cm,AC=14cm,动点E A.DE>DF 以2cm/s的速度从点A向点F运动，同时 B.DE<DF 动点G以1cm/s的速度从点C向点A运 C.DE=DF 动，当一个点到达终点时，另一个点也随之 D.不能确定DE,DF的大小关系 停止运动，设运动时间为t(s) 9.如图所示，直线1,2，l3表示三条公路，现要建 (1)求SAARD:SAACD; 一个货物中转站，要求它到三条公路的距离 (2)请说明：在运动过程中，无论t取何值， 相等，则可供选择的地址有 都有SAAED=2 SADCC; (3)当t取何值时，△DFE与△DMG全等？ A.一处B.两处C.三处D.四处 10.如图，已知△ABC的周长是34，B0,C0分别 平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且 OD=4,则△ABC的面积是 11.如图，AD∥BC,∠D=90°，P为CD中点，BP 平分∠ABC. (1)求证：AP平分∠DAB; (2)若AD=4,BC=2,则AB= D 24