13.3 三角形的内角与外角-【七彩课堂】2026-2027学年八年级上册数学一课一练（人教版）

13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 基础通关 6.如图，将△ABC沿DE,HG,EF翻折，三个顶点 三角形的内角和定理 均落在点0处，若∠1=131°，求∠2的度数 1.根据图中的数据，可得x+y的值为( A.180 B.110 C.100 D.70 670 R 第1题图 第2题图 2.如图，∠ABC=50°，点D,E分别在射线BA, BC上，将三角形BED沿着DE折叠，若点B 恰好落在射线DA的B'处，则∠BEB'的度数是 素养达标 A.50° B.80° C.100° D.130° 7.抽象能力要想得知作业纸上两相交直线 3.锐角三角形中任意两个锐角的和必大 AB,CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作 业纸内，无法直接测量.两同学提供了如下间 于 ( 接测量方案（如图1和图2）： A.120° B.110° C.100° D.90° 四方向角 方案I ①作一直线GH,分别交AB, 4.如图，C处在B处的北偏西40°方向，C处在A M、E一B -N CD于点E,F; A 处的北偏西75°方向，则∠ACB的度数为 ②利用尺规作∠HEN= 0 ( ∠CFG; 图1 A.35° ③测量∠AEM的大小即可. B.38° 方案Ⅱ C.40° ①作一直线GH,分别交 G、E 一B D.45° AB,CD于点E,F; A ②测量∠AEH和∠CFG的 入 能力突破 C- 大小； H 5.如图，将△ABC折叠，使边AC落在边AB上， 图2 ③计算180°-∠AEH 展开后得到折痕1，若∠B=50°，∠C=70°，则∠1 ∠CFG即可. = 对于方案I,Ⅱ，说法正确的是 A.50° A.I可行、Ⅱ不可行 B.60° B.I不可行、Ⅱ可行 C.70° C.I,Ⅱ都可行 D.80° B< D.I,Ⅱ都不可行 第2课时直角三角形的两个锐角互余 基础通关 J两锐角互余的三角形是直角三角形 四直角三角形的两个锐角互余 6.若三角形三个内角的度数之比为2：4：6，则 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，则∠A= 这个三角形一定是 () () A.锐角三角形 A.60° B.30° C.50° D.40° B.直角三角形 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠 C.钝角三角形 △CBD,使点B恰好落在AC边上的点E处， D.不能确定 ∠A=22°，则∠DEC等于 )7有下列说法： ①三角形的三个内角中至少有一个钝角； ②三角形的三个内角中至少有两个锐角； B D ③一个三角形中，至少有一个角不小于60°； A.44° B.60° C.68° D.58° ④钝角三角形中，任意两个内角的和必大 3.将一副透明三角尺如图放置，若∠AOD=20°， 于90°； 则∠BOC的度数为 ( ⑤直角三角形中两锐角互余， 其中正确的说法有 (填序号) 8.如图，∠C=90°，∠1=∠2，△ADE是直角三 角形吗？为什么？ A.140° B.160° C.170° D.150° 4.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.下列 结论中，不一定成立的是 2入 A A.∠A与∠1互余B.∠B与∠2互余 C.∠A=∠2 D.∠1=∠2 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C 且平行于AB,若∠BCE=35°，求∠A的度数. B D E 能力突破 素养达标 9.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠ABC=12.几何直观在Rt△ABC中，∠C=90°，D,E分 70°，AD是∠CAB的平分线，交BC于点D,则 别是AC,BC边上的点，P是线段AB上一动 ∠ADC的度数为 () 点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠a (1)如图1所示，∠=60°，求∠1+∠2的 度数； (2)如图2所示，求∠a,∠1，∠2之间的数 量关系 A A.120°B.115° C.110° D.105° E 10.如图，AD是△ABC的高，CE是△ADC的角 平分线.若∠BAD=∠ECD,∠B=70°，则 ㄥCAD= 0 图1 图2 11.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，CE 平分∠ACB交AB于点E. (1)求∠ACE的度数； (2)若CD⊥AB于点D,∠CDF=75°，求证： △CFD是直角三角形. ED B 13.3.2三角形的外角 基础通关 6.下面是投影屏上出示的抢答题，需回答横线 J认识三角形的外角 上符号代表的内容.回答正确的是() 1.如图，△BCE的一个外角是 已知：如图，∠BEC=∠B+∠C D 求证：AB∥CD. A.∠A B.∠ACE 证明：延长BE交※于点F, C.∠AEC D.∠BCD 则LBEC=Q+∠C. 2.三角形的三个外角中，钝角最多有 又∠BEC=∠B+∠C,得∠B=▲： 个，锐角最多 个，直角最多有 故AB∥CD(@相等，两直线平行) 个 A.O代表∠EFC B.@代表同位角 C.▲代表∠FEC D.※代表EC 四三角形的外角的性质 7.如图，∠1，∠2，∠3是△ABC互不相等的三个 3.如图，∠CBD是△ABC的一个外角，∠CBD= 外角，则∠1+∠2+∠3的大小为 80°，∠A=35°，则∠C= 能力突破 A.35° B.40° C.45 D.55° 8.将一副透明三角尺如图放置，使点A落在DE 4.体育课上的侧压腿动作可以抽象为几何图形 上，三角尺ABC的顶点C与三角尺CDE的直角 (如图)，如果∠1=110°，则∠2等于( 顶点C重合.若BC∥DE,AB与CE交于点F,则 ∠AFC的度数为 () 609 45 A.10° B.20° C.25° D.30° A.30° B.45° C.60° D.75° 5.如图，∠A,∠1，∠2的大小关系是 )9.推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个 内角的和。 已知：如图，∠ACD是△ABC的外角.求证： ∠ACD=∠A+∠B. A.∠A>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠A C.∠A>∠2>∠1 D.∠2>∠A>∠1 证法1：，∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角 素养达标 和定理)， 11.推理能力现有一张三角形纸片ABC,D, 又.∠ACD+∠ACB=180°（平角定义）， E分别是边AB,AC上两点，若将纸片沿直线 ∴.∠ACD+∠ACB=∠A+∠B+∠ACB(等量 DE折叠，点A落在点A'处 代换). ∴.∠ACD=∠A+∠B(等式的性质). (1)如果折成图1的形状，使点A落在CE 上，那么∠1与∠A的数量关系是 证法2：：∠A=76°，∠B=59°， (2)如果折成图2的形状，那么∠1+∠2与 且∠ACD=135°（量角器测量所得）， ∠A的数量关系是 又：135°=76°+59°（计算所得）， (3)如果折成图3的形状，猜想∠1，∠2与 ∴.∠ACD=∠A+∠B(等量代换). ∠A的数量关系，并说明理由. 下列说法正确的是 ( A.证法1还需证明其他形状的三角形，该定 理的证明才完整 图2 图3 B.证法1用严谨的推理证明了该定理 C.证法2用特殊到一般法证明了该定理 D.只要用证法2测量够一百个三角形进行验 证，就能证明该定理 10.如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与 BD的交点为C,且∠A,∠B,∠E保持不变. 为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD= 110°，则图中∠D应 (填“增加”或 “减少”) D E →30° 20°← 50°← x60 【变式1】写出上图中∠DFE与∠DCE,∠D, ∠E的数量关系 【变式2】如图，M,N分别为CD,CE上的点， 连接FM,FN,写出∠DMF,∠F,∠FNE, ∠C的数量关系 0 10.CE=BC.AD_2x3 6 AB 5 5 (2)C为BD的中点， .CD =BC=2,BD =2BC=4. Sm=2BD·AD=2x4x3=6 .当P为AD的中点或AB的中点时，SA即D= 25w=3 当P为D的中点时，PD=2AD=多， 2, 此时1-2=号解得1=7 7 当P为AB的中点时，PA=7AB= 此时1-3-2= 2, 解得1=15 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第①课时三角形的内角和 1.B【解析】由题图可知，x+y=180-70=110. 2.B【解析】将三角形BED沿着DE折叠，点 B恰好落在射线DA的B'处， ∴.∠B=∠BB'E=50°. .∠BEB'=180°-∠B-∠BB'E=180°- 50°-50°=80°. 3.D 4.A【解析】如图， 北 北 AE 由题意得∠CAD=75°，∠CBE=40°，AD∥BE, ∴.∠EBA+∠BAD=180 .∠EBA+∠BAC=180°-∠DAC=105°. ∴.∠ACB=180°-（∠CBE+∠EBA+ ∠BAC)=35°. 5.D【解析】设折痕1与BC边交于点D,如图 所示. 61 D--- .∠B=50°，∠C=70°， ∴.∠BAC=180°-（∠B+∠C)=180°- (50°+70°)=60°. 由题意，得∠BAD=∠CD=方LBAC=方× 60°=30°， .∴.∠1=180°-（∠C+∠CAD)=180°-(70°+ 30°)=80°. 6.解：由折叠的性质，得∠B=∠HOG,∠A= ∠DOE,∠C=∠EOF, ∴.∠DOE+∠HOG+∠EOF=∠A+∠B+ ∠C=180°. ∴.∠2=360°-∠1-（∠H0G+∠E0F+ ∠D0E)=360°-131°-180°=49°. 7.C【解析】方案I,∠HEN=∠CFG, ∴.MN∥CD. .直线AB,CD所夹锐角与∠AEM相等，故方 案I可行. 方案Ⅱ，根据三角形内角和定理可知，直线AB, CD所夹锐角与180°-∠AEH-∠CFG相等， 故方案Ⅱ可行 第②课时直角三角形的两个锐角互余 1.C【解析】∠C=90°，∴.∠A+∠B=90° .∠B=40°，∴.∠A=50°. 2.C【解析】在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°， ∴.∠B=90°-∠A=68°. 由折叠的性质，得∠DEC=∠B=68° 3.B【解析】.∠C0D=90°，∠A0D=20°， 3> ∴.∠C0A=∠C0D-∠A0D=90°-20°=70°. 又.∠A0B=90°， ∴.∠B0C=∠A0B+∠A0C=90°+70°=160°. 4.D【解析】A.在Rt△ACD中，∠ADC=90°， ∴.∠A与∠1互余，正确； 11 B.在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∴.∠B与∠2 互余，正确； C..∠A+∠1=90°，∠1+∠2=90°，.∠A= ∠2，正确； D.当∠A=∠B时，AC=BC,CD既是∠ACB的 平分线，也是斜边上的高与中线，∴.∠1=∠2； 当∠A≠∠B时，∠1≠∠2. 5.解：.DE∥AB, ∴.∠B=∠BCE=35°. .∠A=90°-35°=55°. 6.B 7.②③⑤【解析】锐角三角形中三个角都是锐 12. 角，∴.①错误；三角形的三个内角中至少有两 个角是锐角，∴.②正确；一个三角形的三个内 角中至少有一个角不小于60°，∴.③正确；钝角 三角形中两个锐角的和小于90°，∴.④错误；直 角三角形中两锐角互余，∴.⑤正确. 8.解：△ADE是直角三角形 理由：·∠C=90°，∴.∠A+∠2=90° .∠1=∠2，∴.∠A+∠1=90° ∠ADE=90°..△ADE是直角三角形 9.B【解析】.'∠CAB=90°，AD是∠CAB的平 分线， A∠CAD=∠BMD=7∠CAB=45 .∠ABC=70°，∴.∠C=20°. .∠ADC=180°-∠C-∠CAD=180°-20° 45°=115° 10.50【解析】.AD是△ABC的高， ∴.∠ADB=∠ADC=90° ∠B=70°，∴.∠BAD=20° .CE是△ADC的角平分线， <4> ∴.∠ACD=2∠ECD. .·∠BAD=∠ECD. ∴.∠ECD=20°，∴.∠ACD=40°. 在△ACD中，∠CAD=180°-90°-40°=50°. (1)解：：在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°， ∴.∠ACB=180°-30°-60°=90°. 又.CE平分∠ACB, LACE=7∠ACB=45. (2)证明：.CD1AB,∠B=60°， ∴.∠BCD=90°-60°=30°. 又.'∠BCE=∠ACE=45°， ∴.∠DCF=∠BCE-∠BCD=15. 又.∠CDF=75°， ∴.∠CFD=180°-75°-15°=90°. ∴.△CFD是直角三角形 解：(1).∠C=90°，.∠A+∠B=90°. ∠=60°， ∴.∠APD+∠BPE=180°-60°=120° .∠1=180°-∠APD-∠A,∠2=180°- ∠B-∠BPE, ∴.∠1+∠2=180°-∠APD-∠A+180°- ∠B-∠BPE =360°-（∠APD+∠BPE+∠A+∠B) =360°-(120°+90°) =150°」 ∴.∠1+∠2=150° (2).∠C=90°， ∴.∠A+∠B=90°. ,'∠a+∠APD+∠BPE=180°， ∴.∠APD+∠BPE=180°-∠a. ∠1=180°-∠APD-∠A,∠2=180°- ∠B-∠BPE, ∴.∠1+∠2=180°-∠APD-∠A+180°- ∠B-∠BPE =360°-(180°-∠a+90°) =90°+∠x. ∴.∠1+∠2=90°+∠ 13.3.2三角形的外角 1.C2.3113.C4.B 5.B【解析】根据三角形的一个外角大于任何一 个和它不相邻的内角可得∠1>∠A,∠2> ∠1.∴.∠2>∠1>∠A. 6.A【解析】延长BE交CD于点F, 则∠BEC=∠EFC+∠C. 又∠BEC=∠B+∠C,得∠B=∠EFC. 故AB∥CD(内错角相等，两直线平行) .※代表CD,©代表∠EFC,▲代表∠EFC, @代表内错角， ,A选项回答正确，符合题意 7.360° 8.D【解析】.BC∥DE,∠E=30°， ∴.∠BCE=∠E=30°. .·∠B=45°， .∴.∠AFC=∠B+∠BCE=45°+30°=75°. 9.B【解析】，证法1按照定理证明的一般步 骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结 论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状 的三角形， ∴.A的说法不正确，不符合题意. B的说法正确，符合题意 ,定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能 用特殊情形来说明， ∴.C的说法不正确，不符合题意 定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测 量次数的多少无关， ∴.D的说法不正确，不符合题意. 综上，B的说法正确， 10.减少10【解析】如图，延长EF交CD于点G D、 309 20° 50° 609 K§ .·∠CAB=50°，∠ABC=60°，∴.∠ACB= 180°-50°-60°=70° .∴.∠ECD=∠ACB=70. .∠DGF=∠DCE+∠E, ∴.∠DGF=70°+30°=100°. .∠EFD=110°，∠EFD=∠DGF+∠D, ∴.∠D=10° 而图中∠D=20°， .∠D应减少10°. 【变式1】∠DFE=∠DCE+∠D+∠E 【变式2】∠DMF+∠FNE=∠F+∠C 11.(1)∠1=2∠A【解析】由折叠的性质，得∠A= ∠DA'A. ∠1=∠A+∠DA'A,∴.∠1=2∠A. 图1 (2)∠1+∠2=2∠A 【解析】如图1，连接AA', 则∠1=∠DA'A+∠DAA', ∠2=∠EA'A+∠EAA',∠DAE=∠DA'E. .∠1+∠2=∠DA'A+∠DAA'+∠EA'A+ ∠EAA'=∠DAE+∠DA'E=2∠DAE. 即∠1+∠2=2∠DAE. (3)解：∠2-∠1=2∠DAE. 理由：如图2，连接AA',则∠2=2∠EAA'. A' B D、 E 图2 .·∠1=2∠DAA'=2(∠EAA'-∠DAE)= 2∠EAA'-2∠DAE=∠2-2∠DAE. .∠2-∠1=2∠DAE. 堂思路点拨 折叠前后对应角相等，同时折痕既是角平 分线又是对称轴。