15.3 等腰三角形&15.4 综合与实践最短路径问题-【七彩课堂】2026-2027学年八年级上册数学课前5分钟小练（人教版）

4.解：如图所示，直线1即为所求， 5.解：如图所示，①有2条对称轴；②有4条对称 轴；③有5条对称轴；④有3条对称轴 ② 15.2画轴对称图形 第①课时画轴对称图形 知识预习填空 1.形状大小垂直平分 2.对称点轴对称 预习成果检测 1.C2.B 3.解：如图所示 4.解：(1)如图所示，△AB1C1即为所求 (2)由图可得AA1=10. B(B -L-L.4- 2 第2课时用坐标表示轴对称 知识预习填空 1.(x,-y）2.(-x,y) 预习成果检测 1.B2.C3.B4.1 5.解：(1)如图，△AB,C,即为所求 (2)如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标 是(1,1). (3)56=3×4-7×3x2-7x1x2- ×4=4,∴.△4B2C2的 15.3等腰三角形 15.3.1等腰三角形 第①课时等腰三角形的性质 知识预习填空 1.相等等边对等角 2.顶角平分线 底边上的中线 底边上的高 三线合一 预习成果检测 1.A2.C3.C4.15° 5.解：AB=AC,AD为BC边上的中线， ∴.∠ADC=90°，∠CAD=∠BAD=50 又.AD=AE, ∠ADE=∠AED=180°-，∠CAD=659 2 ∴.∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-65°=25° 第2课时等腰三角形的判定 知识预习填空 1.相等边等角对等边 2.AB=AC 预习成果检测 1.C2.B3.C 4.(1)a(2)垂直平分线D(3)h 54 (4)等腰三角形 5.解：.∠ABC,∠ACB的平分线交于点F, ∴.∠DBF=∠FBC,∠ECF=∠BCF. 又：DE∥BC,∴.∠DFB=∠FBC,∠EFC= ∠BCF. ∴.∠DFB=∠DBF,∠EFC=∠ECF..BD= DF,EC EF. .:△ADE的周长为20cm,即AD+AE+DF+ EF=20 cm, .'AD +AE +BD EC=AB +AC=20 cm. 又.BC=12cm,∴.AB+AC+BC=20+12= 32(cm),即△ABC的周长为32cm. 15.3.2等边三角形 第①课时等边三角形的性质和判定 知识预习填空 1.相等60 2.相等 3.等腰 预习成果检测 1.D2.C3.490°124.60 5.证明：(1).△ABC是等边三角形，BD是中线， LDBC=7LABC-7x60-30, ∠BCA=∠E+∠CDE=60°. 又.CE=CD,∴.∠E=∠CDE=30°. ∴.∠DBC=∠E=30°. ∴.BD=DE (2),:△ABC是等边三角形，BD是中线， .∠ABC=∠ACB=60°，BD平分∠ABC. ÷∠DBC=2∠ABC=30P .BD=DE,.∠E=∠DBC=30 .∠ACB=∠E+∠CDE=60°， ∴.∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30° ∴.∠CDE=∠E. ∴.CD=CE 第2课时含30°角的直角三角形的性质 知识预习填空 1.直角边 -半2BC=7AB 预习成果检测 1.B2.D3.B4.1:2 5.解：：BE平分∠ABC,.∠CBE=∠ABE. ED垂直平分AB,∴.EA=EB. .∠A=∠ABE :∠A+∠ABE+∠CBE+∠C=180°，∠C=90°， ∴.∠A+∠ABE+∠CBE=90° ∴.3∠CBE=90°.∴.∠CBE=30°. ∴.BE=2EC,即AE=2EC. AE +EC=AC=9,..3EC=9...EC=3. AE=6. 15.4综合与实践最短路径问题 知识预习填空 线段各点垂线段 预习成果检测 1.C2.D3.30° 4.解：(1)如图1，连接AB交1于点P,则点P即 为所求， 图1 (2)如图2，作点C关于直线AB的对称点C', 连接C'D,交AB于点P,则点P即为所求. 图2 (3)如图3，分别作点P关于OA的对称点C, 点P关于OB的对称点D,连接CD,交OA于点 E,交OB于点F,则点E,F即为所求， 图3 第十六章整式的乘法 16.1幂的运算 16.1.1同底数幂的乘法 知识预习填空 1.底数不变，指数相加 2.amtn 预习成果检测 1.B2.B3.B4.D5.12 6.解：(1)x·x-1=x”; (2)(-a)2·(-a)3=（-a)3=-a3; 3)分(-2·(2=(2=2) 7.解：am+n+2=am·a·a2=3×5×a2=15a2. 16.1.2幂的乘方与积的乘方 第①课时幂的乘方 知识预习填空 1.底数不变，指数相乘2.am 预习成果检测 1.C2.D3.C4.82 5.解：(1)(102)3=10； (2)-(a2)4=-a8; (3)[(-x)2]3=x5; (4)(-a)2(a2)2=a2·a4=a; (5)(x2m-2)4·(xm+1)2=x4(2m-2)·x2(m+1) x8m-8.x2m+2=x10m-6, 6.解：2m=3,2”=5, .23m+2m=23m×22m=(2m)3×(2m)2=33×52 27×25=675. :7.解：2×8*×16=2×(23)*×24=21+3x+4= 223..1+3x+4=23,解得x=6, 第②课时积的乘方 知识预习填空 1.把积的每一个因式分别乘方相乘2.a”b” 预习成果检测 1.A2.C3.A4.D5.40 6.解：(1)(4x3)2+（-2x2)3 =42·(x3)2+(-2)3.(x2)3 =16x6-8x6 =8x6; (2)(-x3)4.(-x2)=x2·(-x2)=-x4; (305”x2=(分×2x2-(合x2到”× 2=2. 7.解：(x2"y)2=x4ny2n=（x")4·（y)2=24× 32=144. 16.2整式的乘法 第①课时单项式与单项式相乘 知识预习填空 它们的系数、同底数幂连同它的指数作为积的 一个因式 预习成果检测 1.D2.B3.a4 4.解：(1)(-子ao）·名ac =[(-)×]水a2a）d -gale (2)(-7ac)·(-2a3b) =[(-7)×(-2)](a3·a3)·b·c =14a8bc. 5.解：原式=-2x2y·8x3y+8x3y3·x2y4= -16x3y+8x3y=-8x3y. 5615.3等腰三角形 15.3.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 ☒知识预习填空 1.等腰三角形的两个底角 (简写成“ 2.等腰三角形的 相互重合 (简写成“ ”) 区预习成果检测 易错题记录 1.在△ABC中，BC=AC,∠C=40°，则∠A的度数是( A.70 B.40 C.55 D.50° 2.如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,则下列结论中不正确的是( A.∠B=∠C B.AD⊥BC C.AB=2CD D.D为BC中点 A人2 B D C D B 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，AB∥CD,AD=CD,∠1=50°，则∠2的度数是( A.55° B.60° C.65 D.70° 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，AB边的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E, 则∠DBC= 5.如图，在△ABC中，AB=AC,AD为边BC上的中线，E为AC上一点，且AE=AD,∠BAD= 50°，求∠CDE的度数. 19 第2课时等腰三角形的判定 ☑知识预习填空 1.如果一个三角形有两个角 那么这两个角所对的 也相等 (简写成“ ”) 2.如图，在△ABC中，若∠B=∠C,则 ☒预习成果检测 易错题记录 1.在△ABC中，∠A=50°，∠B=65°，则下列结论正确的是() A.AB=BC B.AC=BC C.AB=AC D.AB=BC=AC 2.如图，把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD,则下列说法错误的 是() A.△EBD是等腰三角形，EB=ED B.折叠后∠ABE和∠CBD一定相等 C.折叠后得到的图形是轴对称图形 D.△EBA和△EDC一定是全等三角形 3.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，则图中 共有等腰三角形的个数是() D A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 4.已知等腰三角形底边长为α，底边上的高为h,求作这个等腰三角形.（补全过程) 作法：如图，（1)作线段AB= (2)作线段AB的 MN,与AB相交于点 (3)在MN上取一点C,使DC= (4)连接AC,BC,则△ABC就是所求作的 5.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC分别交AB, AC于点D,E,已知△ADE的周长为20cm,且BC=12cm,求△ABC的周长 20 15.3.2等边三角形 第1课时 等边三角形的性质和判定 知识预习填空 1.等边三角形的三个内角都 ,并且每一个角都等于 2.三个角都 的三角形是等边三角形 3.有一个角是60°的 三角形是等边三角形 ☒预习成果检测 易错题记录 1.如图，在等边三角形ABC中，CD⊥AB,则下列说法错误的是() A.∠A=∠B=∠ACB=60° B.AB=BC=CA=2AD C.CD垂直平分AB D.AB=CD,∠ACD=30° 第1题图 第3题图 第4题图 2.下列条件不能得到等边三角形的是( A.三个外角都相等的三角形 B.有两个内角是60°的三角形 C.有两个角相等的等腰三角形 D.有一外角是120°的等腰三角形 3.如图，在等边三角形ABC中，AD平分LBAC,BD=2,则AB=一，∠ADC= △ABC的周长= 4.如图，在池塘对岸有棵小树，小红进行测量后，数据如下：∠ABC=60°，∠ACB=60°， BC=60m,则AB= m. 5.已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到点E,连接DE. (1)若CE=CD.求证：BD=DE; (2)若BD=DE.求证：CE=CD 21 第2课时含30°角的直角三角形的性质 ☑知识预习填空 1.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 等于斜边的 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC和AB之间的数量关系是B ☒预习成果检测 易错题记录 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8,则BC的值为() A.8 B.4 C.16 D.2 309 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB,AB=8,则BD的值为() A.8 B.4 C.16 D.2 3.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹 角，这棵大树在折断前的高度为(） A.10m B.15m C.25m D.30m 4.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3,则BC:AB= 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC,ED垂直平分AB于点D,若AC=9,求 AE的值， 22 15.4综合与实践 最短路径问题 ☒知识预习填空 “两点的所有连线中 最短”“连接直线外一点与直线上 的所有线段中， 最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题 ②预习成果检测 易错题记录 1.如图，点M,N在直线1的同侧，小东同学想通过作图在直线1上确定一点Q,使MQ与 QN的和最小，那么下面的作图中，正确的是( M A B D 2.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN,使从A到B的路径A一M一 N一B最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）() M (AN垂直于b) (BM垂直于a) (AM不平行于BW (AM平行于B) A B C 3.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是 AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP= 4.作图（保留作图痕迹）. (1)如图1，在直线1异侧有两点A,B,在直线上找一点P使点P到A,B B 两点的距离和最短； (2)如图2，在直线AB同侧有两点C,D,在直线上找一点P使PC+PD的长最短； (3)如图3，在∠AOB内部有一点P,在OA,OB上找出E,F两点，使得以E,F,P三点 为顶点的三角形的周长最短： A. D C. A B 图1 图2 图3 23