集合、复数与常用逻辑用语训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦集合、复数与常用逻辑用语核心模块，通过分层典例构建从基础到综合的知识逻辑链，强化数学思维的推理与应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |充要条件的判断|7题（含概率、函数背景）|结合代数、数列等背景判断条件关系|从定义出发，构建“条件推导-反例验证”逻辑链| |集合的运算|3题（含参数范围）|基础运算、含参集合关系|体现集合概念到运算规则的应用拓展| |复数的运算与性质|4题（含命题判断）|四则运算、共轭复数及性质辨析|从代数运算到性质推理的递进| |复数的几何意义|3题（含方程根、向量）|复平面表示、模与向量运算|连接复数代数形式与几何直观| |复数数列的周期性|2题|周期性规律探究|复数运算与数列周期性的综合应用|

集合、复数与常用逻辑用语·全部原创解析 一、 充要条件的判断 ★南京市、盐城市2026届高三下学期一模·第3题 1已知a,b是实数，则a+b>2是a>l且b>1的() 且 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【第1题解析】 策略：逐方向验证P→Q与Q→P。正向：若a>1且b>1,两式相加得 a+b>2°成立。反向：a+b>2不能推出a>1且b>1°反例：a=3,b=0则 a+b=3>2但b=0<1不成立。故“a+b>2”是“a1且b>1”的必要不 充分条件。 答：B。 ★南通市2026届高三学业质量检测（模）·第4题 2b=ac”是a,b,c 成等比数列”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【第2题解析】 策略：充要条件+等比数列定义（公比qeq0)。充分：若a,b,c成等比，设公 比q≠0，则b=aq,c=aq, b2=a2q2=ac成立 必要：b2=ac不排除某项为0。反例：a=0,b=0,c=1,则b2=0=ac,但三数不能 成等比。不成立。故“b=ac”是“a,b,c成等比”的必要不充分条件。 答：B。 第1页 ★★宣城市2026届高三第一学期期末检测·第4题 3元 1 3.SIn -+x a_6 2 3是“cos= 2 3 ”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【第3题解析】 策略：诱导公式+半角公式。 诱导公式：sin3+aj=-cosa,枚 cos a=- 半角公式： cosg=± 1+c0sa 26 2 2 3 3 正向：条件只能推出cos a=t 6 (含负号情形)，不能确定=6， 故条件→d 3 结论。 2,则 反向：若cos9=6 05a=2c0s2g-1=2.6-1=1 3 于是sin π+a)= % 3 故结论一条件。故条件是结论的必要不充分条件。 答：B ★★德州市2025-2026学年高三4月学习质量综合评估·第6题 4已知a,b 为正实数，C为实数，则a>b"的充要条件可以是() A.ac>bc B.a°>b9 1 .1 C.a+二>b+ a b D.a+lna>b+lnb 【第4题解析】 策略：单调函数→等价→充要。a,b>0,c∈R。当c>0时幂函数x→x严 第2页 格递增，故 a>b°÷a>b Aac>bC:c>0时~a>b,c<0时a<b;c任意时不恒等价，排除。B a>6:即条件自身，平凡等价。Ca+后b+石：fx=x+又在0,1递藏、 0 (1,+o)递增，非单调，排除。Da+na>b+lnb:f代x)=x+nx的 f(x)=1+二>0，(0，+o)上严格递增，故 f(a>f(b)=a>b 当c>0时与a‘>b等价。成立。 答：D。 ★★宁波十校2026届高三下学期3月联考·第2题 「1，xeQ 5.十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” D(x)= 0,x∈RQ.已知 a,b∈R,则“a+beQ"是：D(a)+D(b)=2"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【第5题解析】 策略：狄利克雷函数值域{0,1}+Q对加法封闭。D(a)+D(b)=2当且仅当 D(a)=D(b)=1即a∈Q且b∈Q°由Q对加法封闭，a,b∈Q→a+b∈Q'故 结论→条件。反向：a+b∈Q不一定有a,b各自为有理。反例a=2, b=2-2则a+b=2∈Q但a=2E0°故条件→0/结论。故“a+b∈Q 是“D(a)+D(b)=2”的必要不充分条件。 答：B。 ★★金丽衢十二校2026届高三第一次联考·第6题 6对实数，y,则州>川小是2树>y的() 第3页 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【第6题解析】 策略：非负数范围内平方单调。x≥0，y≥0，故 x>ly川-x>1y-x2>y 两命题互为充要条件。 答：C。 ★★★上饶市2026届高三第二次高考模拟考试·第7题 7已知4，B为随机事件，且P(4)>0,P(B)>0,则“P(AB)=P(AB)~是“ P(BA)=P(B)"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不 必要条件 【第7题解析】 策略：事件独立性的等价链。事件独立~与其对立事件独立。即 A,B独立一A,B独立一A,B独立一A,B独立 “P(AB)=P(A)且P(BA)=P(B)”正是A与B独立的两种写法~A,B 独立~P(BlA)=P(B)。两条件互为充要条件。 答：C。 二、集合的运算 ★宣城市2026届高三第一学期期末检测·第2题 1已知袋合4=0，an3sn3,cos4B={c0<<1,则集合AnC,B中的元素个 3 数为() A.1 B.2 C.3 D.4 第4页 【第1题解析】 策略：逐元素值估位+集合运算。A的元素逐一数值化： 0,an号-931.732，sn30.1413弧度，ws4-06544驱度 B=x10<x<1故AnB={sin3}(仅1个)。caB=-0,0]u[1,+oo故 An CR B=10,3,cos 4 共3个元素。 答：C。 ★★十堰市2026届高三下学期3月调研考试·第3题 2已知集合A={x-ae+1)≤0}(a>0),B={∈Ntc=6,t∈N}.若 BCA, 实数a的取值范围是() A[6,+0) B.(6+∞) c.[3,+o) D(3,+0) 【第2题解析】 策略：子集条件→最大元素原则→参数范围。a>0时，(x-a)(x+1)≤0的两根 为-1与a,且-1<a,故 A=[-1,a] B=x∈N|3teN,tX=6={1,2,3,6}（6的正因子)。BcA→maxB=6≤a又 a>0,故 a∈[6，+∞) 答：A。 ★★★ 德州市2026届高三下学期一模考试·第12题 3.设集合A={1,a,b},B={a,a,ab},若4=B,则a+b= 【第3题解析】 第5页 策略：集合相等→元素一一对应+分类讨论。A,B均为三元集且A=B。 a∈A=1,a,b}'对a2分类：①a=a→a=0或1°a=1重复；a=0时 B={0,0,0}仅1元素，矛盾。②a2=b则a=aa=ab∈A°a∈{1，a,a逐 个验证：a3=1→a=1矛盾；a3=a→a=±1，a=1矛盾、a=-1→b=1与A含两个 1矛盾；a=aa=1矛盾。全部矛盾。③a2-1→a=-1（a=1已舍)。 B=(1,-1,-b小要B=A=1,-1,b,需 -b=b→b=0° 验证： A={1,-1,0,B={1,-1,0}√。故Q=-1,b=0 a3+b3=(-13+03=-1 答：-1。 三、复数的运算与性质 ★淮北市2026届高三第一次质量检测·第2题 1.已知复数2=c0s60°+iin60°，则2+2=() A.-I B.0 C.1 D.2 【第1题解析】 策略：三角形式化简+共轭。 4-om6w4n0-要板2要。 t要*29要日婴 22 求和： ,13=0 22 答：B。 ★日照市2026届高三下学期一轮模拟考试·第2题 2设复数z满足2(2-i)=1+2i,则2=（) A.1 B.V3 C.2 D.5 第6页 【第2题解析】 策略：分母实数化。 1+2i1+2i〔2+i_2+i+4i+21=2+5i-2=i Z= 2-i（2-i)(2+i) 4+1 5 1z=|i训=1 答：A ★★邯郸市2026届高三第一次模拟检测·第2题 3.己知复数，的共轭复数为：，若2 则可能为) A.I+i B.-1+2i c.-1-2i D.1-i 【第3题解析】 策略：设z=a+bi代入名=i。设z=a+bi,2=a-bi。 7 z-a+bi-(a+bi)_d-b2+2abi i a-bi a2+b2 a2+b2 令其等千：实部Q-b=0→a=b→a=±b°虚部ah=1°若a=b2as1 a2+b2 201 。故z=a1+i)(a≠0)，取a=1得z=1+i°若a=-6:2-a=-11k。 2a2 所以z可为1+i(或a(1+i),a为非零实数)。 答：A。 ★★日照市2026届高三模拟考试·第9题 4.设2为复数（为虚数单位），下列命题正确的是() A若2∈R,则2=Z B.若2∈R,则2∈R C.若z2+1=0,则z=i D.若(1+1)z=1-i,则zV2 【第4题解析】 第7页 策略：复数概念辨析。Az∈R→Im(z)=0→2=z。真。Bz=i时z=-1∈IR, 但z=iR。假。Cz=-1→z=±i。真。D 2=13-1z12 1+i(1+i)(1-i)2 假。 答：AC。 四、复数的几何意义 ★★台州市2026届高三第二次教学质量评估·第7题 1设复数二1,22是关于x的方程r+mx+1=0(m∈R)的两个根，乙，3在复平面内所 对应的点分别为乙，乙，O为坐标原点，若OZ·OZ,=0,则下列结论正确的是() A.21·23=0 B.21+z3=0 c l D.1十22为纯虚 数 【第1题解析】 策略：韦达+共轭根+复数几何。韦达：21+z2=-m∈R,2122=1。故z2=21, |z1l=|z2=1。 OZ,OZ2=Re(z12)=Re(z,2)=Re(z)=0°设z,=cos0+isin6（ |z=1）。z7=cos20+isin20'Re(z)=cos20=09 20=或3π-9=乃或3刀 2 2 4 4 乙1+z2=2C0s0=±R2?m=-Z1-2=年2，m2=2°A乙122=1≠0X。B 2+z=(z1+z2}-2z12,=m2-2=0√。C1zl=|z2l=1X。Dz1+z2=-m∈1RX。 答：B ★★金丽衢十二校2026届高三第一次联考·第4题 2已知复数z=2+1,设之，z在复平面内对应的向量分别为五，6，则ad.万=（) 第8页 A.V5 B.3 C.5 D.3+2i 【第2题解析】 策略：复数~坐标向量对应。z=2+i对应向量a=(2,1:2=2-i对应向量 i=(2,-1)° a-b=22+1-(-1)=4-1=3 答：B ★★★宁波十校2026届高三下学期3月联考·第10题 3.设复数z满足l-2+2+2=4W2,则() A≥2 B.存在复数2，使得2为纯虚数 C存在t∈R 关于2的方程2=1+21-1有解 D.若复数w满足w-1=1,则：-州的最小值为2√反-2 【第3题解析】 策略：椭圆+复数几何。|z-2+z+2=4V2是以（±2,0）为焦点、长轴42的 椭圆。a=2/2,c=2, b2=02-c2=4,b=2=X+y=1 84 A参数化x=2V2cos0,y=2sin0。 |z'=8cos20+4sin20=4+4cos20∈[4,8]→lz∈[2,2V2] 故z≥2√。B2=(x-yi2=x2-y2-2xyi为纯虚数÷x=y2。代入椭圆 苔苦1×号 解存在√。Cz2=i(1+2t)为纯虚数，条件同B√。DIw-1=1是以(1,0)为 第9页 圆心、半径1的圆。椭圆上点到(1,0)的距离平方 d=(2/2cos0-12+(2sin0)2=4cos20-4V2cos0+5 最小值在cos0= 2时取到d=3,d=3。故 minz-w=3-1≠2PV2-2x 答：ABC 五、复数数列的周期性 ★★嘉兴市2026届高三下学期4月二模教学测试·第10题 1已知{2，}是由复数组成的数列，二+1=(2。-3)i026 (i为虚数单位)，且1=1+i,则 () 色=1+3i 2 B.22+23=3 cg-23+2-a4+-2=1013V5 D.若2-2305=1，则2-36的最小值为V5-1 【第1题解析】 策略：P周期+递推周期+分组求和。2026=：506+2==-1，故 Zn+1=-(2n-3)=3-Zn Z=1+i,22=3-(1+i)=2-i,2=3-(2-i)=1+i=2,数列以2为周期：奇数项=1+i 偶数项=2-zs=2-19A=2-2-i训1-1山-1-3141+3iX。B z11+i 2 2 2 22+z,=(2-i)+(1+i)=3√。CZ1-2+23-24+…-226 共1013对，每对 =21-2,=-1+21模=6 总和的模=1013V5/ 第10页 D 乙5=1+i206=2-i”12-乙20=1即2在以1+i为圆心、半径1的圆上，到 2-i的最小距离 =|1+i-(2-i川-1=|-1+2i-1=V5-1 答：BCD。 ★★温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试·第13题 2若1为虚数单位，则i+2i°+3i3++1010= 【第2题解析】 策略：”周期4分组求和。”周期为4：=，i=-1,=-i,=1。 前4项： 1i+2(-1)+3(-i)+41=2-2i 第5~8项：5i-6-7i+8=2-2i。第9~10项： 9i+10·(-1)=9i-10 总和： (2-2i)+(2-2i)+(9i-10)=-6+5i 答： -6+5i.。 第11页集合、复数与常用逻辑用语 充要条件的判断 ★ 南京市、盐城市2026届高三下学期一模·第3题 1.已知a,b是实数，则a+b>2是a>1且b>l的() 且. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ★南通市2026届高三学业质量检测（一模）·第4题 2.b=ac”是ua,b, 成等比数列”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ★★宣城市2026届高三第一学期期末检测·第4题 3元 1 3."Sin 6 3"是co 2 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ★★德州市2025-2026学年高三4月学习质量综合评估·第6题 4.已知a,b 为正实数，C为实数，则a>b"的充要条件可以是() A.ac>be B.abo 1 1 c.a+->b+ a D.a+lna>b+Inb ★★宁波十校2026届高三下学期3月联考·第2题 第1页 1,x∈Q 5.十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” D(x)= 0,x∈CRQ.已知 a,b∈R,则“a+b∈Q"是sD(a)+D(b)=2"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ★★金丽衢十二校2026届高三第一次联考·第6题 6.对实数x,y,则冈>小是x冈>y的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ★★★上饶市2026届高三第二次高考模拟考试·第7题 7.已知1B为m￥作，nP(4)小>0，P(B)>0,则P(国B)=P国E).是 P(BA)=P(B)”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不 必要条件 二、集合的运算 ★宣城市2026届高三第一学期期末检测·第2题 1.已知合A= 0,tan元，sin3,cos4,B={x0<x<1,则集合A∩CB中的元素个 3 数为() A.1 B.2 C.3 D.4 ★★十堰市2026届高三下学期3月调研考试·第3题 第2页 2.已知集合A={d(e-a)Gc+)≤0(a>0),B={x∈N=6,t∈N},若 B二A,则实数4的取值范围是（） A.[6,+o) B.(6,+o) c.[3,+o) D.(3,+0) ★★★德州市2026届高三下学期一模考试·第12题 3.设集合A={1,a,b}.B={a,a,ab},若A=B,则a+b 三、复数的运算与性质 ★淮北市2026届高三第一次质量检测·第2题 1.已知复数2=c0s60°+isin60°，则z2+2=() A.~1 B.0 C.1 D.2 ★日照市2026届高三下学期一轮模拟考试·第2题 2.设复数z满足(2-i)=1+2i,则=() A.1 B.3 C.2 D.V5 ★★邯郸市2026届高三第一次模拟检测·第2题 3.己知复数，的共轭复数为，若 -1，则：可能为（） A.1+i B.-1+2i c.-1-2i D.1-i ★★日照市2026届高三模拟考试·第9题 4.设2为复数（为虚数单位），下列命题正确的是() A若2∈R,则2=Z B.若z∈R,则2∈R 第3页 C.若z2+1=0,则z=i D.若1+i02=1-i,则zV2 四、复数的几何意义 ★★ 台州市2026届高三第二次教学质量评估·第7题 1.设复数名，名3是关于x的方程x+mx+1=0(m∈R)的两个根，名，名在复平面内 所对应的点分别为乙，乙，0为坐标原点，若OZ,·OZ,=0,则下列结论正确的是《) A.21·22=0 B.22+2=0 c D.1+22为纯虚 数 ★★金丽衢十二校2026届高三第一次联考·第4题 2.己知复数2=2+i,设2，五在复平面内对应的向量分别为ā，万，则-万=（) A.V5 B.3 C.5 D.3+2i ★★★宁波十校2026届高三下学期3月联考·第10题 3.设复数：满足：-2++2=4W2,则() A≥2 2 B.存在复数2，使得2为纯虚数 C存在teR 关于2的方程8=t+211有解 D.若复数w满足w-=1,则2-川的最小值为2√2-2 五、复数数列的周期性 ★★嘉兴市2026届高三下学期4月二模教学测试·第10题 第4页 1.已知{，}是由复数组成的数列，二1=（名。-3）i351为虚数单位)，且名=1+i, 则() 3-1+31 A. 12 B.22+73=3 C.3-32+23-24+-26=1013V5 D.若-0s=1,则2-2d的最小值为V5-1 ★★温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试·第13题 2.若1为虚数单位，则1+21+31++10i0= 第5页