专题5.8 复数（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 以题型分类与分层训练为框架，系统覆盖复数核心知识，通过典例构建概念-运算-应用的完整认知链条，培养数学运算与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型专练|9类题型（36题）|覆盖复数概念、共轭、几何意义等核心考点，每题聚焦单一知识点|从基础概念（实部虚部）到运算（四则、模），再到应用（轨迹、解方程），层层递进| |分层突破|3组训练（约40题）|A组基础巩固、B组能力提升、C组真题实战，难度梯度分明|结合高考命题趋势，强化高频考点（模、几何意义），培养推理能力与应用意识|

专题5.8 复数（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 复数的概念】 1 【题型2 共轭复数】 2 【题型3 复数的几何意义】 4 【题型4 复数的四则运算】 5 【题型5 复数的相等】 6 【题型6 复数的模】 7 【题型7 与复数模相关的轨迹（图形）问题】 8 【题型8 复数范围内解方程的根】 10 【题型9 复数的三角表示】 11 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 复数的概念】 1．（2026·广东汕尾·一模）在复平面内，复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据复数的除法运算，并利用复数的概念即可得答案． 【解答过程】，所以虚部为. 故选：D. 2．（2026·广东·模拟预测）的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复数混合运算得，进而可得解． 【解答过程】依题意，，故所求虚部为． 故选：A． 3．（2026·内蒙古包头·模拟预测）已知复数满足（i为虚数单位），则的实部与虚部和为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】由复数的乘方运算和除法运算，以及实部和虚部的概念可得结果. 【解答过程】由，可得， 所以的实部为，虚部为，则实部与虚部和为. 故选：C. 4．（2026·四川德阳·模拟预测）若复数，其中i为虚数单位，则下列结论错误的是（    ） A． B．的共轭复数为 C．的虚部为i D．为纯虚数 【答案】C 【解题思路】利用复数的除法运算法则求得，进而逐项计算判断即可. 【解答过程】， 对于A，，故A正确； 对于B，的共轭复数为，故B正确； 对于C，的虚部为，故C错误； 对于D，，所以为纯虚数，故D正确. 故选：C. 【题型2 共轭复数】 5．（2026·广东广州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由复数的除法法则计算，再结合共轭复数定义得结论． 【解答过程】由题意， 所以， 故选：B． 6．（2026·甘肃白银·二模）复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用复数的乘方及复数除法求出，进而求出其共轭复数. 【解答过程】依题意，， 所以. 故选：B. 7．（2026·北京·三模）若复数z满足 ，则复数z的共轭复数 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】通过复数的运算得出，然后根据共轭复数的概念求解. 【解答过程】根据题意，， 所以. 故选：D. 8．（2026·北京·三模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数的几何意义求得复数，再利用复数的除法法则计算，再根据共轭复数的定义即可得解． 【解答过程】解：因为复数对应的点的坐标是， 所以， ， 则的共轭复数是：， 故选：B． 【题型3 复数的几何意义】 9．（2026·四川成都·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】先求出所求复数，再判断其对应点所在象限即可. 【解答过程】， 所以复数在复平面内对应的点为， 故选：B. 10．（2026·甘肃白银·三模）已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到，结合共轭复数的概念，以及复数的几何意义，即可求解. 【解答过程】由复数满足，则，可得， 故复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 11．（2026·广东·模拟预测）设，复平面内表示复数的点在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数在复平面内的坐标表示，结合已知直线方程求出的值，进而得到复数. 【解答过程】复数对应的点的坐标为， 因为该点在直线上，所以， 解得，则. 故选：B. 12．（2026·广西南宁·模拟预测）已知复数满足，其中i为虚数单位，则在复平面内对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据复数的运算法则求出，再根据复数的几何意义判断即可. 【解答过程】由，则， 则在复平面内对应点的坐标为. 故选：D. 【题型4 复数的四则运算】 13．（2026·陕西汉中·一模）复数满足（是虚数单位），则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复数的除法运算计算即可求解. 【解答过程】由题意可得. 故选：A. 14．（2026·浙江温州·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用复数的运算，即可求解. 【解答过程】因为，则， 故选：D. 15．（2026·云南楚雄·模拟预测）已知复数满足（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用复数的乘方和除法运算化简求复数. 【解答过程】， . 故选：D. 16．（2026·广东广州·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用复数的四则运算计算求解即可. 【解答过程】由，得， 所以， 故选：A. 【题型5 复数的相等】 17．（2026·甘肃白银·二模）已知是虚数单位，，则（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】C 【解题思路】由复数的乘法求解即可. 【解答过程】，解得. 故选：C. 18．（2026·云南红河·三模）若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复数相等直接求解即可. 【解答过程】因为，所以，所以． 故选：C. 19．（2026·江苏·一模）若复数的实部大于0，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设出的代数形式，再利用复数乘法运算及复数相等求解. 【解答过程】设，则，由，得， 则，因此，而，解得， 所以. 故选：A. 20．（2026·辽宁辽阳·一模）已知，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数相等求参数的值. 【解答过程】因为， 所以， 所以，解得， 故选:B. 【题型6 复数的模】 21．（2026·陕西·模拟预测）设复数满足，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据复数模长运算性质得，再计算即可． 【解答过程】由已知得，从而，即， 所以． 故选：C． 22．（2026·黑龙江大庆·一模）已知复数（为虚数单位），则（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据复数的运算法则进行化简，再通过模公式求出模即可. 【解答过程】由题意，， 所以. 故选：D. 23．（2026·湖南长沙·二模）已知，则（ ） A． B． C． D．40 【答案】B 【解题思路】利用复数的运算法则先求出，再求出，所以. 【解答过程】，则， 所以； 所以， 故选：B. 24．（2026·甘肃甘南·模拟预测）已知复数满足（其中i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由复数的四则运算法则和模的计算公式求解. 【解答过程】由得， 所以， 所以， 故选：C. 【题型7 与复数模相关的轨迹（图形）问题】 25．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）已知复数z满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据复数加减的几何意义可确定最大值. 【解答过程】，复数z在复平面中对应的点到的距离为1， 该点轨迹为以为圆心，半径为1的圆， 表示复数z在复平面中对应的点到的距离，所以最大值为， 故选：D. 26．（2026·河北衡水·模拟预测）已知复数满足，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】根据模长关系求出复数在复平面内对应点的轨迹，根据轨迹判断复数模长的最大值，求出结果. 【解答过程】设，则， 可得，即，复数在复平面内对应点在以为圆心，以1为半径的圆上， 由可知圆上的点到原点最长距离，是当时的距离，此时. 故选：D. 27．（2026·河南三门峡·三模）若复数z满足，那么的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】利用复数模的几何意义转化复数z满足的限制条件，进而求得的最大值. 【解答过程】设复数、在复平面内对应的点分别为， 复数在复平面对应的点为：， 由可知：复数z在复平面内对应的点到两点的距离之和为2， 而，所以点在线段上，故， 则， 当时，的最大值为. 故选：B. 28．（2026·湖南长沙·一模）已知复数，满足，在复平面内对应的点为，则点所在区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先对化简，然后可得和分别表示以为圆心，1和2为半径的圆，从而可求出点所在区域的面积为圆环的面积. 【解答过程】因为， 所以表示以为圆心，1为半径的圆， 表示以为圆心，2为半径的圆， 因此由，得点所在区域的面积为. 故选：C. 【题型8 复数范围内解方程的根】 29．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是关于的实系数方程的一个根（为虚数单位），则（   ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 【答案】B 【解题思路】确定方程的另外一根，根据韦达定理即可求得答案. 【解答过程】是关于的实系数方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 所以. 故选：B. 30．（2026·山东济宁·二模）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A．2 B．3 C．5 D． 【答案】D 【解题思路】将代入化简整理有，即解出，最后求复数的模即可. 【解答过程】将代入有：， 化简整理有，即，解得， 所以， 故选：D. 31．（2026·内蒙古包头·二模）已知复数是关于的方程的一个根，则实数的积为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解题思路】由条件可得，根据复数相等定义列方程求即可. 【解答过程】∵复数是关于的方程的一个根， ∴，即 ∴，解得， 故选：A. 32．（2026·重庆·二模）若是关于的方程的虚数根，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】将代入方程中，即可根据且求解. 【解答过程】将代入可得， 化简可得， 故且，解得，， 故选：C. 【题型9 复数的三角表示】 33．（25-26高三上·河北·开学考试）已知复数（为虚数单位），则等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复数的三角形式的乘方运算法则进行计算. 【解答过程】因为复数， 所以. 故选：C. 34．（25-26高一下·全国·课后作业）复数z1＝1，在复平面内，z2对应的向量由z1对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转而得到，则（　  　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由复数的三角形式的乘法运算即可求解. 【解答过程】由题可知， 所以， 所以， 故选:B. 35．（25-26高一下·全国·课后作业）欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】根据欧拉公式写出复数的代数形式，进而确定对应点，即可得答案. 【解答过程】由题可得， 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限， 故选：B. 36．（25-26高三上·湖北·期中）任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解答过程】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【解题思路】由题意可得， 故， 所以， 故选：C. 一、单选题 1．（2026·全国·模拟预测）复数z满足，则z的虚部是（    ） A．3i B． C．3 D． 【答案】C 【解题思路】由复数的乘法公式计算得到，再由复数虚部的概念求解即可． 【解答过程】，则z的虚部为3. 故选：C． 2．（2026·湖南张家界·模拟预测）已知，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】根据复数的除法运算法则化简可得，根据复数的几何意义即可求解. 【解答过程】因为， 所以. 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B． 3．（2026·四川成都·一模）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解题思路】应用复数的除法化简，并确定其对应点所在的象限，即可得. 【解答过程】由，对应点为在第四象限. 故选：D. 4．（2026·广东广州·一模）若，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【解题思路】先根据纯虚数的概念求得，再结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【解答过程】若复数为纯虚数，则，解得， 所以“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：B. 5．（2026·云南昭通·模拟预测）已知复数（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复数除法的运算法则和模的运算进行计算. 【解答过程】解法一：由题意， 所以， 解法二：由题意知， 故选：C． 6．（2026·山东·模拟预测）已知z是方程的一个复数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据实系数一元二次方程根的性质，结合复数模的公式进行求解即可. 【解答过程】由题，因为，所以z和是方程的两个根， 所以，即，所以. 故选：B. 7．（2026·安徽·二模）已知复数，（为虚数单位，），且是纯虚数，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】利用复数的除法运算以及复数的概念可得结果． 【解答过程】， 因为为纯虚数，所以且， 所以. 故选：C. 8．（2026·江苏苏州·模拟预测）设，则复数z对应的点Z的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 【答案】B 【解题思路】设复数，代入已知条件进行化简，求出x、y的关系即可判断． 【解答过程】设复数，则 ， 代入，两边平方得：， ， 两边除以：， 以配方：， 这是圆的标准方程，圆心为，半径为． ∴复数z对应的点的轨迹是圆． 故选：B． 二、填空题 9．（2026·湖南永州·模拟预测）已知复数，且，则__________. 【答案】2 【解题思路】由已知得，结合复数模的性质求复数的模. 【解答过程】由，得， 所以，又，故. 故答案为：2. 10．（2026·湖南·一模）已知（为虚数单位，），则的值为___________． 【答案】 【解题思路】根据复数的乘方运算和复数相等的条件即可得到答案. 【解答过程】因为，由复数相等的充要条件得， 所以． 故答案为：. 11．（2026·上海普陀·一模）若复数是纯虚数，且，则的实部为___________． 【答案】/0.5 【解题思路】由纯虚数定义设，再根据复数的模及复数的概念即可求解. 【解答过程】由复数是纯虚数，设， 由，得， , 所以的实部为. 故答案为：. 12．（2026·四川成都·一模）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”，其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.若复数，则=___________． 【答案】/ 【解题思路】根据欧拉公式写出对应复数的三角形式并化简，即可求模． 【解答过程】由欧拉公式得，又， 所以，． 故答案为：． 一、单选题 1．（2026·吉林松原·模拟预测）已知为原点，复数在复平面内对应的点分别为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】由复数的运算、模的计算、复数的几何意义、数量积的坐标公式以及充分条件和必要条件的概念依次判断即可得到结果. 【解答过程】设，则， 若，则， 即， 所以，，充分性成立； 若0，则，又， 所以 ， 即，必要性成立． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：C． 2．（2026·云南曲靖·模拟预测）若复数且，则满足的复数的个数为（   ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】A 【解题思路】由可得复数对应的点在圆心为，半径为的圆上， 又的几何意义为复数在复平面内的点到直线的距离为，则由圆心到直线的距离为，即可得到复数的个数. 【解答过程】因为，所以， 又，所以， 即复数对应的点在圆心为，半径为的圆上， 又可以变形为， 即其几何意义为复数在复平面内的点到直线的距离为， 又圆心到直线的距离为， 而，所以满足条件的不存在. 故选：A. 3．（2026·甘肃庆阳·三模）已知为虚数单位，则下列命题为真命题的是（    ） A．是实数 B．对任意的复数，为实数 C．对于任意的复数， D． 【答案】B 【解题思路】根据复数的乘法运算化简复数结合复数的概念即可判断A；设，结合共轭复数的概念与复数的运算法则计算化简即可判断B；设，分别计算和即可判断C；根据复数的除法运算结合三角恒等变换化简即可判断D. 【解答过程】对于选项A，是纯虚数，故选项A错误； 对于选项B，设，则，则为实数，故选项B正确； 对于选项C，设复数，则，，故和不一定相等，故选项C错误； 对于选项D，，故选项D错误. 故选：B. 4．（2026·山东聊城·模拟预测）已知复数和复数为方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．也为该方程的根 D．与也为方程的根 【答案】D 【解题思路】先利用实系数一元二次方程的两复数根必互为共轭复数求出，再利用韦达定理求出，可判断AB选项；再利用复数的乘法运算判断C；利用判断D选项. 【解答过程】由题可得，复数， 又实系数一元二次方程的两复数根必互为共轭复数，则， 则，， 则由韦达定理可知，， 所以，故A,B错误； 又，则且，故C错误； 由于，则与为方程的两根， 因为，则与也为方程的根，故D正确. 故选：D． 二、多选题 5．（2026·重庆·模拟预测）已知复数 ，则下列结论正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若，则 C．若，则的最大值为 D．若，则的取值范围是 【答案】BC 【解题思路】化简，由纯虚数的定义可判断A；由相等复数和复数的模长可判断B；对于CD分别由复数的几何意义求出轨迹方程，再由圆的性质求解即可. 【解答过程】对于A，复数 ， 则， 若为纯虚数，则，得，故A错误； 对于B，若，则，所以， 所以，故B正确； 对于C，， 由可得：， 故点在以为圆心，为半径的圆上， 表示圆上一点到原点的距离， 圆心到原点的距离为， 则的最大值为，故C正确； 对于D，由可得， 故点在以为圆心，为半径的圆上， 设， 所以， 故D错误. 故选：BC. 6．（2026·江苏南通·模拟预测）设为复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】设，，根据复数的乘法及复数模的定义计算判断A，取特殊值判断B，根据复数的加减法运算及模与共轭的概念运算判断C，根据复数的模及共轭运算判断D. 【解答过程】设，. 对于A选项，， 所以， ，A对； 对于B选项，取，，则， ，则，即，B错； 对于C选项，，， ，， ，所以C错误； 对于D选项，， ，， 所以，故D正确. 故选：AD. 三、解答题 7．（25-26高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，，是的两个根. (1)设，满足方程，求的值； (2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用共轭复数性质和韦达定理求解方程参数； （2）将复数转化为向量，利用向量夹角为钝角的条件（数量积为负且不共线）求解参数范围． 【解答过程】（1）因为， 所以方程的两个根，为共轭复数， 设， ， 由韦达定理得，， 将，代入， 得，即， 所以，解得，所以，， 所以，． （2）因为，所以，所以，， 所以，， 因为与的夹角为钝角，所以，且与不共线， 所以，解得且， 所以实数的取值范围为. 8．（25-26高一下·山东潍坊·期末）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； (3)已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）利用复数乘法法则得到，根据是实数，可得方程，可求出； （2）利用复数除法法则化简，得到对应的点坐标，根据所在象限，得到不等式组，求出实数的取值范围； （3）分方程的两根为实数根与虚数根两种情况求解即可. 【解答过程】（1）由可得， 所以， 若复数是实数，可得， 解得； （2） ， 易知复数在复平面内所对应的点坐标为， 又复数在复平面内所对应的点位于第四象限，可得， 解得， 即实数的取值范围为. （3）若方程的两根为实数根，则， 解得， 若方程的两根为虚数根，则设，，可得， 则，，，所以，所以， 由韦达定理可得，所以， 此时，满足题意， 综上，或. 一、单选题 1．（2026·北京·高考真题）已知复数，，则（     ） A． B．2 C． D．8 【答案】C 【解题思路】根据题意，可得，即可得解. 【解答过程】由题意， 则. 故选：C. 2．（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，，，，由条件结合伴随的定义可判断结论. 【解答过程】设，，，， 则，， 当和伴随，有或， 又，， 若和伴随，则或， 所以和伴随的充要条件是，即. 故选：C. 3．（2026·全国二卷·高考真题）（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数的乘法运算法则，即可求出结果． 【解答过程】. 故选：B. 4．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【解题思路】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【解答过程】由可得，，所以， 故选：B. 5．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】由复数除法即可求解. 【解答过程】因为，所以. 故选：A. 6．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【解题思路】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【解答过程】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 7．（2026·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【解答过程】因为，所以. 故选：C. 8．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【解题思路】由复数模的计算公式直接计算即可. 【解答过程】若，则. 故选：C. 9．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算. 【解答过程】依题意得，，故. 故选：D. 10．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【解题思路】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【解答过程】由，则. 故选：A. 二、多选题 11．（2026·全国一卷·高考真题）设，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】根据共轭复数的概念，复数的模的公式，复数的四种运算法则，逐项求解，即可求出结果． 【解答过程】对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确. 对于B选项，复数的模，因此，B选项错误. 对于C选项，∵， ∴，该选项正确. 对于D选项， ∵分子，分母， ∴，是实数，故，该选项正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2026·天津·高考真题）化简__________． 【答案】 【解题思路】根据复数的乘法运算法则，即可求出结果． 【解答过程】. 故答案为：. 13．（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________. 【答案】3 【解题思路】根据复数的几何意义分析求解即可. 【解答过程】由得复数对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆， 因为表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为1， 则的最小值为， 而表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为， 则的最小值为， 又因为的最小值与的最小值相同， 所以，，解得. 故答案为：3. 14．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________． 【答案】 【解题思路】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解. 【解答过程】先由题得，所以. 故答案为：. 15．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________． 【答案】 【解题思路】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可. 【解答过程】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故答案为：. 16．（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________． 【答案】 【解题思路】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可. 【解答过程】， 故． 故答案为：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.8 复数（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 复数的概念】 1 【题型2 共轭复数】 2 【题型3 复数的几何意义】 2 【题型4 复数的四则运算】 3 【题型5 复数的相等】 3 【题型6 复数的模】 3 【题型7 与复数模相关的轨迹（图形）问题】 4 【题型8 复数范围内解方程的根】 4 【题型9 复数的三角表示】 5 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 复数的概念】 1．（2026·广东汕尾·一模）在复平面内，复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东·模拟预测）的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·内蒙古包头·模拟预测）已知复数满足（i为虚数单位），则的实部与虚部和为（   ） A．0 B． C． D．2 4．（2026·四川德阳·模拟预测）若复数，其中i为虚数单位，则下列结论错误的是（    ） A． B．的共轭复数为 C．的虚部为i D．为纯虚数 【题型2 共轭复数】 5．（2026·广东广州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·甘肃白银·二模）复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·北京·三模）若复数z满足 ，则复数z的共轭复数 （    ） A． B． C． D． 8．（2026·北京·三模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【题型3 复数的几何意义】 9．（2026·四川成都·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（2026·甘肃白银·三模）已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（2026·广东·模拟预测）设，复平面内表示复数的点在直线上，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026·广西南宁·模拟预测）已知复数满足，其中i为虚数单位，则在复平面内对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型4 复数的四则运算】 13．（2026·陕西汉中·一模）复数满足（是虚数单位），则（　　） A． B． C． D． 14．（2026·浙江温州·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 15．（2026·云南楚雄·模拟预测）已知复数满足（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 16．（2026·广东广州·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 复数的相等】 17．（2026·甘肃白银·二模）已知是虚数单位，，则（    ） A． B． C．0 D．3 18．（2026·云南红河·三模）若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．（2026·江苏·一模）若复数的实部大于0，且，则（    ） A． B． C． D． 20．（2026·辽宁辽阳·一模）已知，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【题型6 复数的模】 21．（2026·陕西·模拟预测）设复数满足，则（   ） A． B．1 C． D．2 22．（2026·黑龙江大庆·一模）已知复数（为虚数单位），则（    ） A．5 B．3 C． D． 23．（2026·湖南长沙·二模）已知，则（ ） A． B． C． D．40 24．（2026·甘肃甘南·模拟预测）已知复数满足（其中i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【题型7 与复数模相关的轨迹（图形）问题】 25．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）已知复数z满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 26．（2026·河北衡水·模拟预测）已知复数满足，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 27．（2026·河南三门峡·三模）若复数z满足，那么的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 28．（2026·湖南长沙·一模）已知复数，满足，在复平面内对应的点为，则点所在区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型8 复数范围内解方程的根】 29．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是关于的实系数方程的一个根（为虚数单位），则（   ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 30．（2026·山东济宁·二模）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A．2 B．3 C．5 D． 31．（2026·内蒙古包头·二模）已知复数是关于的方程的一个根，则实数的积为（    ） A． B． C．2 D．4 32．（2026·重庆·二模）若是关于的方程的虚数根，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型9 复数的三角表示】 33．（25-26高三上·河北·开学考试）已知复数（为虚数单位），则等于（    ） A．1 B． C． D． 34．（25-26高一下·全国·课后作业）复数z1＝1，在复平面内，z2对应的向量由z1对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转而得到，则（　  　） A． B． C． D． 35．（25-26高一下·全国·课后作业）欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 36．（25-26高三上·湖北·期中）任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2026·全国·模拟预测）复数z满足，则z的虚部是（    ） A．3i B． C．3 D． 2．（2026·湖南张家界·模拟预测）已知，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2026·四川成都·一模）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2026·广东广州·一模）若，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 5．（2026·云南昭通·模拟预测）已知复数（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山东·模拟预测）已知z是方程的一个复数根，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽·二模）已知复数，（为虚数单位，），且是纯虚数，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 8．（2026·江苏苏州·模拟预测）设，则复数z对应的点Z的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 二、填空题 9．（2026·湖南永州·模拟预测）已知复数，且，则__________. 10．（2026·湖南·一模）已知（为虚数单位，），则的值为___________． 11．（2026·上海普陀·一模）若复数是纯虚数，且，则的实部为___________． 12．（2026·四川成都·一模）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”，其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.若复数，则=___________． 一、单选题 1．（2026·吉林松原·模拟预测）已知为原点，复数在复平面内对应的点分别为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·云南曲靖·模拟预测）若复数且，则满足的复数的个数为（   ） A．0 B．2 C．1 D．4 3．（2026·甘肃庆阳·三模）已知为虚数单位，则下列命题为真命题的是（    ） A．是实数 B．对任意的复数，为实数 C．对于任意的复数， D． 4．（2026·山东聊城·模拟预测）已知复数和复数为方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．也为该方程的根 D．与也为方程的根 二、多选题 5．（2026·重庆·模拟预测）已知复数 ，则下列结论正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若，则 C．若，则的最大值为 D．若，则的取值范围是 6．（2026·江苏南通·模拟预测）设为复数，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题 7．（25-26高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，，是的两个根. (1)设，满足方程，求的值； (2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 8．（25-26高一下·山东潍坊·期末）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； (3)已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值. 一、单选题 1．（2026·北京·高考真题）已知复数，，则（     ） A． B．2 C． D．8 2．（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（     ）. A． B． C． D． 3．（2026·全国二卷·高考真题）（     ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 5．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 6．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 7．（2026·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 9．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 10．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 二、多选题 11．（2026·全国一卷·高考真题）设，则（     ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2026·天津·高考真题）化简__________． 13．（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________. 14．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________． 15．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________． 16．（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $