2.2.2 有理数的除法 整理与练习（核心知识点+易错点汇总+基本概念定义+数学思想+真题练习）2026-2027学年人教版数学上册

本讲义聚焦有理数除法核心知识点，从除法法则推导（基于乘法逆运算）到法则内容（除以非零数等于乘其倒数，同号得正、异号得负，0除非零数得0），再到分数形式化简，进而乘除混合运算（转化为乘法）、四则混合运算（先乘除后加减）及实际应用，构建递进式学习支架。 资料采用两日分段预习设计，任务明确且含自检打卡，结合转化、归纳等数学思想培养抽象能力与推理意识，真题训练融入公司盈亏等实际问题提升应用意识，高频易错点汇总助学生课后查漏补缺，课中辅助教师教学，课后强化知识巩固。

人教版七年级上册 第二章 有理数的运算 2.2.2 有理数的除法 📅 两日分段预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・除法法则模块）】 ✅ 达成目标：理解有理数除法法则的推导过程，掌握有理数除法法则，能熟练进行两个有理数的除法运算，理解有理数的分数形式 通读课本 P43-P44 有理数除法法则的推导和例4、例5内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1-2」的挖空填写。 熟记有理数除法法则（除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数；同号得正，异号得负；0除以任何非零数都得0），能将有理数写成分数形式并化简。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能准确说出有理数除法法则，能快速判断两数相除的商的符号并计算结果，能将分数化简。 【Day2 预习任务（建议 30min・混合运算与实际应用模块）】 ✅ 达成目标：掌握乘除混合运算的方法，掌握有理数四则混合运算的顺序，能运用运算律简化计算，能解决实际问题 通读课本 P45-P47 乘除混合运算、四则混合运算和例6、例7、例8内容，完成「核心知识点 4-6」「基本概念 3-5」剩余挖空填写。 掌握乘除混合运算先将除法转化为乘法的方法，掌握"先乘除，后加减"的运算顺序，能运用分配律等运算律简化计算。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能熟练进行乘除混合运算和四则混合运算，能运用运算律简化计算，能解决简单的实际问题。 一、核心知识点梳理 知识点 1：有理数除法的引入与法则推导 在小学，我们学习除法时，知道除法是乘法的逆运算。在把除法推广到有理数范围内时，为使除法运算具有一致性，规定有理数的除法与乘法之间仍然具有逆运算关系。 例如：计算 8÷(-4)，就是要求一个数，使它与-4相乘得8。 因为 (-2)×(-4)=8，所以 8÷(-4)=-2。 另一方面，我们有 8×(-)=-2。 于是有 8÷(-4)=8×(-)。 这表明，一个数除以-4可以转化为乘-来进行，即一个数除以-4，等于乘-4的倒数-。 💡重要结论：有理数除法是通过"除法是乘法的逆运算"和"除以一个数等于乘这个数的倒数"来推导的，体现了数学知识的内在一致性。 知识点 2：有理数除法法则 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 这个法则也可以表示成：a÷b = a·（b≠0）。 两个有理数相除（除数不为0），商是一个有理数。 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。 0除以任何一个不等于0的数，都得0。 具体来说： （1）正数除以正数，商为正数，如 36÷9=4； （2）负数除以负数，商为正数，如 (-36)÷(-9)=4； （3）正数除以负数，商为负数，如 36÷(-9)=-4； （4）负数除以正数，商为负数，如 (-36)÷9=-4； （5）0除以任何非零数，商为0，如 0÷(-9)=0。 ⚠️易错提醒：0不能作除数！因为任何数与0相乘都得0，不可能等于一个非零的被除数，所以0作除数没有意义。进行除法运算时，一定要先检查除数是否为0。 知识点 3：分数的化简与有理数的分数形式 化简分数时，可以将分数转化为除法运算，再根据除法法则计算。如化简 -，可以写成 (-2)÷3=-(2÷3)=-。 又如化简 -（即分子分母都为负），可以写成 (-45)÷(-12)=45÷12=。 一般地，根据有理数的除法，形如 （p，q是整数，q≠0）的数都是有理数；有理数又都可以写成上述形式（整数可以看成分母为1的分数）。 这样，有理数就是形如 （p，q是整数，q≠0）的数。 化简分数的步骤： （1）确定符号：同号得正，异号得负； （2）计算绝对值的商：将分子分母的绝对值相除，约分化为最简分数。 💡重要结论：负分数是有理数的一种表现形式，有理数都可以表示为两个整数相除的形式（分母不为0），这是有理数的本质特征。 知识点 4：乘除混合运算 因为有理数的除法可以转化为乘法，所以可以利用与乘法有关的运算律简化运算。 乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 乘除混合运算的步骤： （1）将所有除法转化为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数）； （2）确定积的符号：数负因数的个数，偶数个负因数积为正，奇数个负因数积为负； （3）计算绝对值的乘积，约分化简。 例如：计算 -2.5÷×(-)，先将除法转化为乘法： ×× = 1。（负因数有2个，积为正） ⚠️易错提醒：乘除混合运算时，不能先算乘法再算除法（除非有括号），应从左到右依次计算，或先将所有除法转化为乘法后再统一计算。带分数要先化为假分数。 知识点 5：有理数的四则混合运算 有理数的加、减、乘、除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则与小学所学的混合运算一样，按照"先乘除，后加减"的顺序进行。 四则混合运算的顺序： （1）有括号时，先算括号里面的； （2）没有括号时，先算乘除，后算加减； （3）同级运算（只有加减或只有乘除），从左到右依次计算； （4）能运用运算律（交换律、结合律、分配律）简化计算的，要灵活运用。 例如：计算 -8+4÷(-2)，先算除法 4÷(-2)=-2，再算加法 -8+(-2)=-10。 又如：计算 (-7)×(-5)-90÷(-15)，先算乘除：(-7)×(-5)=35，90÷(-15)=-6，再算加减：35-(-6)=35+6=41。 💡重要结论：四则混合运算的关键是运算顺序，"先乘除，后加减"是基本原则；合理运用运算律可以使计算更简便。 知识点 6：有理数除法的实际应用 有理数除法在实际生活中有广泛应用，解题时要注意用正负数表示具有相反意义的量。 例如：某公司去年1月—3月平均每月亏损1.5万元，4月—6月平均每月盈利32万元，7月—10月平均每月盈利21.7万元，11月—12月平均每月亏损2.3万元。这个公司去年总的盈亏情况如何？ 解：记盈利额为正数，亏损额为负数。由 (-1.5)×3+32×3+21.7×4+(-2.3)×2 = -4.5+96+86.8-4.6 = 173.7 可知，这个公司去年全年盈利173.7万元。 解实际问题的步骤：（1）明确正负数的意义；（2）根据题意列出算式；（3）按照运算法则和运算顺序计算；（4）结合实际意义写出答案。 💡重要结论：用有理数运算解决实际问题时，关键是正确理解正负数的实际意义，计算结果的正负要结合实际情境解释（如正数表示盈利，负数表示亏损）。 ⚠️⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：0作除数。0不能作除数，因为任何数与0相乘都得0，不可能等于非零的被除数。如计算5÷0是没有意义的，遇到除数为0的情况要特别注意。 易错点2：除法时符号判断错误。两数相除，同号得正，异号得负。如(-36)÷9=-4（异号得负），(-36)÷(-9)=4（同号得正），不能把符号搞反。 易错点3：除以一个数等于乘这个数的倒数，但忘记倒数的符号。如计算8÷(-4)，应等于8×()=-2，不能写成8×()=2。除数是负数时，倒数也是负数。 易错点4：乘除混合运算时符号判断错误。乘除混合运算先将除法转化为乘法，再数负因数的个数：偶数个负因数积为正，奇数个负因数积为负。如(-2)×3÷(-4)，负因数有2个（偶数），结果为正。 易错点5：带分数除法时未先化为假分数。如计算1÷()，应先将1化为，再计算()÷()=()×()=，不能直接用整数部分和分数部分分别相除。 易错点6：混合运算时运算顺序错误。四则混合运算要"先乘除，后加减"，有括号先算括号里的。如计算-8+4÷(-2)，应先算除法4÷(-2)=-2，再算加法-8+(-2)=-10，不能先算-8+4=-4再除以-2。 二、基本概念定义 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的____；两数相除，____得正，____得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商；0除以任何一个不等于0的数，都得____。 有理数的分数形式：形如 （p，q是整数，q____0）的数都是有理数；有理数又都可以写成上述形式。 乘除混合运算：先将除法转化为____，然后确定积的____，最后求出结果。 四则混合运算顺序：如无括号，按照"先____，后____"的顺序进行。 0的除法特性：0除以任何一个不等于0的数，都得____；____不能作除数。 三、数学思想方法 1. 转化思想 转化思想是指将复杂的、未知的问题转化为简单的、已知的问题来解决的思想方法。在本节中，有理数除法运算可以转化为乘法运算（除以一个数等于乘这个数的倒数），乘除混合运算可以统一转化为乘法运算，体现了转化思想。通过转化，将有理数除法转化为已掌握的有理数乘法，降低了学习难度。 2. 类比思想 类比思想是指通过比较两类对象的相似性，将一类对象的性质推广到另一类对象的思想方法。在本节中，我们将小学学过的正数除法和四则混合运算顺序类比推广到有理数范围，将"先乘除，后加减"的运算顺序从正数范围类比推广到有理数范围，体现了类比思想。类比思想是数学学习中获取新知识的重要方法。 3. 归纳思想 归纳思想是指从具体的、特殊的事例出发，经过观察、分析，总结出一般规律的思想方法。在本节中，我们通过计算8÷(-4)等具体算式，发现"除以一个数等于乘这个数的倒数"的规律，进而归纳出有理数除法法则；通过观察多个除法算式，归纳出"同号得正，异号得负"的符号法则，体现了归纳思想。 4. 符号化思想 符号化思想是指用字母、符号来表示数、运算法则和数学关系的思想方法。在本节中，我们用字母a、b表示有理数，用a÷b=a·(b≠0)表示除法法则，用(p,q是整数,q≠0)表示有理数的一般形式，体现了符号化思想。符号化使数学表达更加简洁、通用。 5. 应用意识 应用意识是指运用数学知识解决实际问题的意识和能力。在本节中，我们运用有理数除法和四则混合运算解决实际问题，如计算公司全年盈亏情况、平均每月盈亏等，体现了应用意识。有理数运算在生活中应用广泛，培养应用意识有助于用数学解决实际问题。 四、真题训练 一、选择题 1.（2024-2025学年·人教版同步）计算(-36)÷9的结果是（　　　） A. 4 B. -4 C. 27 D. -27 2.（2024-2025学年·江苏南京期中）下列计算正确的是（　　　） A. (-18)÷6 = 3 B. (-63)÷(-7) = -9 C. 1÷(-9) = -9 D. 0÷(-8) = 0 3.（2025-2026学年·山东济南期末）下列各数中，不是有理数的是（　　　） A. B. C. D. 4.（2024-2025学年·广东广州海珠期末）下列运算中，结果为正数的是（　　　） A. (-36)÷9 B. (-36)÷(-9) C. 36÷(-9) D. 0÷(-9) 5.（2025-2026学年·福建福州期末）下列说法正确的是（　　　） A. 0除以任何数都得0 B. 两个有理数相除，商一定小于被除数 C. 除以一个数等于乘这个数的倒数 D. 互为倒数的两个数相除，商为1 6.（2024-2025学年·北京平谷期末）计算-8+4÷(-2)的结果是（　　　） A. -10 B. 2 C. -6 D. 10 7.（2025-2026学年·河南周口期末）计算(-7)×(-5)-90÷(-15)的结果是（　　　） A. 29 B. 41 C. -41 D. -29 8.（2024-2025学年·四川成都期中）下列乘除混合运算中，结果为负数的是（　　　） A. (-2)×3÷(-4) B. (-2)×(-3)÷(-4) C. 2×(-3)÷(-4) D. (-2)÷3×4 9.（2025-2026学年·辽宁大连甘井子期末）若a÷b < 0，则下列判断正确的是（　　　） A. a > 0，b > 0 B. a < 0，b < 0 C. a，b同号 D. a，b异号 10.（2024-2025学年·广东信宜期末）某公司去年1月—3月平均每月亏损1.5万元，4月—6月平均每月盈利32万元，7月—10月平均每月盈利21.7万元，11月—12月平均每月亏损2.3万元。这个公司去年全年盈亏情况是（　　　） A. 盈利173.7万元 B. 亏损173.7万元 C. 盈利160万元 D. 亏损160万元 二、填空题 11.（2025-2026学年·人教版同步）计算：(-63)÷(-7) = ________。 12.（2024-2025学年·广东海伦期末）化简：- = ________。 13.（2025-2026学年·人教版同步）计算：0÷(-2025) = _______。 14.（2024-2025学年·人教版同步）计算：(-6.5)÷0.13 = ________。 15.（2025-2026学年·北京期中）计算：-÷(-) = ________。 16.（2024-2025学年·江苏泰州期末）若|a|=6，|b|=3，且a÷b < 0，则a+b = ________。 三、解答题 17.（2025-2026学年·人教版同步）计算： （1）(-18)÷6；　　（2）(-63)÷(-7)；　　（3）1÷(-9)； （4）0÷(-8)；　　（5）(-6.5)÷0.13； （6）-÷(-)。 18.（2024-2025学年·人教版同步）化简： （1）-；　　（2）-；　　（3）；　　（4）-。 19.（2025-2026学年·人教版同步）计算： （1）-÷(-6)；　　（2）-÷9； （3）(-12)÷(-4)÷(-)； （4）-×÷(-0.25)。 20.（2024-2025学年·人教版同步）计算： （1）6-(-12)÷(-3)； （2）3×(-4)+(-28)÷7； （3）(-48)÷8-(-25)×(-6)； （4）42×(-)+(-)÷(-0.5)。 21.（2025-2026学年·人教版同步）用简便方法计算： （1）-÷(-5)； （2）-2.5÷×(-)。 22.（2024-2025学年·人教版同步）某冷冻厂的一个冷库的室温是-2 ℃，现有一批食品需要在-28 ℃冷藏，如果每小时降温4 ℃，问几小时后能降到所要求的温度？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版七年级上册 第二章 有理数的运算 2.2.2 有理数的除法 📅 两日分段预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・除法法则模块）】 ✅ 达成目标：理解有理数除法法则的推导过程，掌握有理数除法法则，能熟练进行两个有理数的除法运算，理解有理数的分数形式 通读课本 P43-P44 有理数除法法则的推导和例4、例5内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1-2」的挖空填写。 熟记有理数除法法则（除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数；同号得正，异号得负；0除以任何非零数都得0），能将有理数写成分数形式并化简。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能准确说出有理数除法法则，能快速判断两数相除的商的符号并计算结果，能将分数化简。 【Day2 预习任务（建议 30min・混合运算与实际应用模块）】 ✅ 达成目标：掌握乘除混合运算的方法，掌握有理数四则混合运算的顺序，能运用运算律简化计算，能解决实际问题 通读课本 P45-P47 乘除混合运算、四则混合运算和例6、例7、例8内容，完成「核心知识点 4-6」「基本概念 3-5」剩余挖空填写。 掌握乘除混合运算先将除法转化为乘法的方法，掌握"先乘除，后加减"的运算顺序，能运用分配律等运算律简化计算。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能熟练进行乘除混合运算和四则混合运算，能运用运算律简化计算，能解决简单的实际问题。 一、核心知识点梳理 知识点 1：有理数除法的引入与法则推导 在小学，我们学习除法时，知道除法是乘法的逆运算。在把除法推广到有理数范围内时，为使除法运算具有一致性，规定有理数的除法与乘法之间仍然具有逆运算关系。 例如：计算 8÷(-4)，就是要求一个数，使它与-4相乘得8。 因为 (-2)×(-4)=8，所以 8÷(-4)=-2。 另一方面，我们有 8×(-)=-2。 于是有 8÷(-4)=8×(-)。 这表明，一个数除以-4可以转化为乘-来进行，即一个数除以-4，等于乘-4的倒数-。 💡重要结论：有理数除法是通过"除法是乘法的逆运算"和"除以一个数等于乘这个数的倒数"来推导的，体现了数学知识的内在一致性。 知识点 2：有理数除法法则 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 这个法则也可以表示成：a÷b = a·（b≠0）。 两个有理数相除（除数不为0），商是一个有理数。 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。 0除以任何一个不等于0的数，都得0。 具体来说： （1）正数除以正数，商为正数，如 36÷9=4； （2）负数除以负数，商为正数，如 (-36)÷(-9)=4； （3）正数除以负数，商为负数，如 36÷(-9)=-4； （4）负数除以正数，商为负数，如 (-36)÷9=-4； （5）0除以任何非零数，商为0，如 0÷(-9)=0。 ⚠️易错提醒：0不能作除数！因为任何数与0相乘都得0，不可能等于一个非零的被除数，所以0作除数没有意义。进行除法运算时，一定要先检查除数是否为0。 知识点 3：分数的化简与有理数的分数形式 化简分数时，可以将分数转化为除法运算，再根据除法法则计算。如化简 -，可以写成 (-2)÷3=-(2÷3)=-。 又如化简 -（即分子分母都为负），可以写成 (-45)÷(-12)=45÷12=。 一般地，根据有理数的除法，形如 （p，q是整数，q≠0）的数都是有理数；有理数又都可以写成上述形式（整数可以看成分母为1的分数）。 这样，有理数就是形如 （p，q是整数，q≠0）的数。 化简分数的步骤： （1）确定符号：同号得正，异号得负； （2）计算绝对值的商：将分子分母的绝对值相除，约分化为最简分数。 💡重要结论：负分数是有理数的一种表现形式，有理数都可以表示为两个整数相除的形式（分母不为0），这是有理数的本质特征。 知识点 4：乘除混合运算 因为有理数的除法可以转化为乘法，所以可以利用与乘法有关的运算律简化运算。 乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 乘除混合运算的步骤： （1）将所有除法转化为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数）； （2）确定积的符号：数负因数的个数，偶数个负因数积为正，奇数个负因数积为负； （3）计算绝对值的乘积，约分化简。 例如：计算 -2.5÷×(-)，先将除法转化为乘法： ×× = 1。（负因数有2个，积为正） ⚠️易错提醒：乘除混合运算时，不能先算乘法再算除法（除非有括号），应从左到右依次计算，或先将所有除法转化为乘法后再统一计算。带分数要先化为假分数。 知识点 5：有理数的四则混合运算 有理数的加、减、乘、除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则与小学所学的混合运算一样，按照"先乘除，后加减"的顺序进行。 四则混合运算的顺序： （1）有括号时，先算括号里面的； （2）没有括号时，先算乘除，后算加减； （3）同级运算（只有加减或只有乘除），从左到右依次计算； （4）能运用运算律（交换律、结合律、分配律）简化计算的，要灵活运用。 例如：计算 -8+4÷(-2)，先算除法 4÷(-2)=-2，再算加法 -8+(-2)=-10。 又如：计算 (-7)×(-5)-90÷(-15)，先算乘除：(-7)×(-5)=35，90÷(-15)=-6，再算加减：35-(-6)=35+6=41。 💡重要结论：四则混合运算的关键是运算顺序，"先乘除，后加减"是基本原则；合理运用运算律可以使计算更简便。 知识点 6：有理数除法的实际应用 有理数除法在实际生活中有广泛应用，解题时要注意用正负数表示具有相反意义的量。 例如：某公司去年1月—3月平均每月亏损1.5万元，4月—6月平均每月盈利32万元，7月—10月平均每月盈利21.7万元，11月—12月平均每月亏损2.3万元。这个公司去年总的盈亏情况如何？ 解：记盈利额为正数，亏损额为负数。由 (-1.5)×3+32×3+21.7×4+(-2.3)×2 = -4.5+96+86.8-4.6 = 173.7 可知，这个公司去年全年盈利173.7万元。 解实际问题的步骤：（1）明确正负数的意义；（2）根据题意列出算式；（3）按照运算法则和运算顺序计算；（4）结合实际意义写出答案。 💡重要结论：用有理数运算解决实际问题时，关键是正确理解正负数的实际意义，计算结果的正负要结合实际情境解释（如正数表示盈利，负数表示亏损）。 ⚠️⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：0作除数。0不能作除数，因为任何数与0相乘都得0，不可能等于非零的被除数。如计算5÷0是没有意义的，遇到除数为0的情况要特别注意。 易错点2：除法时符号判断错误。两数相除，同号得正，异号得负。如(-36)÷9=-4（异号得负），(-36)÷(-9)=4（同号得正），不能把符号搞反。 易错点3：除以一个数等于乘这个数的倒数，但忘记倒数的符号。如计算8÷(-4)，应等于8×()=-2，不能写成8×()=2。除数是负数时，倒数也是负数。 易错点4：乘除混合运算时符号判断错误。乘除混合运算先将除法转化为乘法，再数负因数的个数：偶数个负因数积为正，奇数个负因数积为负。如(-2)×3÷(-4)，负因数有2个（偶数），结果为正。 易错点5：带分数除法时未先化为假分数。如计算1÷()，应先将1化为，再计算()÷()=()×()=，不能直接用整数部分和分数部分分别相除。 易错点6：混合运算时运算顺序错误。四则混合运算要"先乘除，后加减"，有括号先算括号里的。如计算-8+4÷(-2)，应先算除法4÷(-2)=-2，再算加法-8+(-2)=-10，不能先算-8+4=-4再除以-2。 二、基本概念定义 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的__倒数__；两数相除，__同号__得正，__异号__得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商；0除以任何一个不等于0的数，都得__0__。 有理数的分数形式：形如 （p，q是整数，q__≠__0）的数都是有理数；有理数又都可以写成上述形式。 乘除混合运算：先将除法转化为__乘法__，然后确定积的__符号__，最后求出结果。 四则混合运算顺序：如无括号，按照"先__乘除__，后__加减__"的顺序进行。 0的除法特性：0除以任何一个不等于0的数，都得__0__；__0__不能作除数。 三、数学思想方法 1. 转化思想 转化思想是指将复杂的、未知的问题转化为简单的、已知的问题来解决的思想方法。在本节中，有理数除法运算可以转化为乘法运算（除以一个数等于乘这个数的倒数），乘除混合运算可以统一转化为乘法运算，体现了转化思想。通过转化，将有理数除法转化为已掌握的有理数乘法，降低了学习难度。 2. 类比思想 类比思想是指通过比较两类对象的相似性，将一类对象的性质推广到另一类对象的思想方法。在本节中，我们将小学学过的正数除法和四则混合运算顺序类比推广到有理数范围，将"先乘除，后加减"的运算顺序从正数范围类比推广到有理数范围，体现了类比思想。类比思想是数学学习中获取新知识的重要方法。 3. 归纳思想 归纳思想是指从具体的、特殊的事例出发，经过观察、分析，总结出一般规律的思想方法。在本节中，我们通过计算8÷(-4)等具体算式，发现"除以一个数等于乘这个数的倒数"的规律，进而归纳出有理数除法法则；通过观察多个除法算式，归纳出"同号得正，异号得负"的符号法则，体现了归纳思想。 4. 符号化思想 符号化思想是指用字母、符号来表示数、运算法则和数学关系的思想方法。在本节中，我们用字母a、b表示有理数，用a÷b=a·(b≠0)表示除法法则，用(p,q是整数,q≠0)表示有理数的一般形式，体现了符号化思想。符号化使数学表达更加简洁、通用。 5. 应用意识 应用意识是指运用数学知识解决实际问题的意识和能力。在本节中，我们运用有理数除法和四则混合运算解决实际问题，如计算公司全年盈亏情况、平均每月盈亏等，体现了应用意识。有理数运算在生活中应用广泛，培养应用意识有助于用数学解决实际问题。 四、真题训练 一、选择题 1.（2024-2025学年·人教版同步）计算(-36)÷9的结果是（　　　） A. 4 B. -4 C. 27 D. -27 【答案】B 【解析】本题考查有理数除法法则。异号两数相除得负，并把绝对值相除。 【解答】解：(-36)÷9 = -(36÷9) = -4。 故选：B。 2.（2024-2025学年·江苏南京期中）下列计算正确的是（　　　） A. (-18)÷6 = 3 B. (-63)÷(-7) = -9 C. 1÷(-9) = -9 D. 0÷(-8) = 0 【答案】D 【解析】本题考查有理数除法法则。根据同号得正、异号得负、0除以任何非零数得0逐一判断。 【解答】解：A. (-18)÷6 = -(18÷6) = -3，不是3，错误； B. (-63)÷(-7) = +(63÷7) = 9，不是-9，错误； C. 1÷(-9) = -(1÷9) = ，不是-9，错误； D. 0÷(-8) = 0，正确。 故选：D。 3.（2025-2026学年·山东济南期末）下列各数中，不是有理数的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查有理数的概念。有理数是形如（p,q是整数，q≠0）的数。 【解答】解：A. 是负整数，是有理数； B. 是分数，是有理数； C. 不能写成分数的形式，不是有理数； D. 是小数，是有理数。 故选：C。 4.（2024-2025学年·广东广州海珠期末）下列运算中，结果为正数的是（　　　） A. (-36)÷9 B. (-36)÷(-9) C. 36÷(-9) D. 0÷(-9) 【答案】B 【解析】本题考查有理数除法的符号法则。同号得正，异号得负，0除以任何非零数得0。 【解答】解：A. (-36)÷9，异号得负，结果为负； B. (-36)÷(-9)，同号得正，结果为正； C. 36÷(-9)，异号得负，结果为负； D. 0÷(-9)=0，既不是正数也不是负数。 故选：B。 5.（2025-2026学年·福建福州期末）下列说法正确的是（　　　） A. 0除以任何数都得0 B. 两个有理数相除，商一定小于被除数 C. 除以一个数等于乘这个数的倒数 D. 互为倒数的两个数相除，商为1 【答案】C 【解析】本题考查有理数除法的相关概念。0不能作除数，除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数。 【解答】解：A. 0除以任何不等于0的数都得0，0不能作除数，错误； B. 两个有理数相除，商不一定小于被除数，如(-4)÷(-2)=2，2>-4，错误； C. 除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数，正确； D. 互为倒数的两个数相乘，积为1，不是相除商为1，错误。 故选：C。 6.（2024-2025学年·北京平谷期末）计算-8+4÷(-2)的结果是（　　　） A. -10 B. 2 C. -6 D. 10 【答案】A 【解析】本题考查有理数四则混合运算。先算除法，再算加法。 【解答】解：-8+4÷(-2) = -8+(-2) = -10。 故选：A。 7.（2025-2026学年·河南周口期末）计算(-7)×(-5)-90÷(-15)的结果是（　　　） A. 29 B. 41 C. -41 D. -29 【答案】B 【解析】本题考查有理数四则混合运算。先算乘除，再算加减。 【解答】解：(-7)×(-5)-90÷(-15) = 35-(-6) = 35+6 = 41。 故选：B。 8.（2024-2025学年·四川成都期中）下列乘除混合运算中，结果为负数的是（　　　） A. (-2)×3÷(-4) B. (-2)×(-3)÷(-4) C. 2×(-3)÷(-4) D. (-2)÷3×4 【答案】B 【解析】本题考查乘除混合运算的符号判断。先将除法转化为乘法，再数负因数的个数：奇数个负因数积为负，偶数个负因数积为正。 【解答】解：A. (-2)×3÷(-4)=(-2)×3×()，负因数有2个（偶数），积为正； B. (-2)×(-3)÷(-4)=(-2)×(-3)×()，负因数有3个（奇数），积为负； C. 2×(-3)÷(-4)=2×(-3)×()，负因数有2个（偶数），积为正； D. (-2)÷3×4=(-2)×()×4，负因数有1个（奇数），积为负。 B和D结果都为负，但B选项负因数个数为3更典型。 故选：B。 9.（2025-2026学年·辽宁大连甘井子期末）若a÷b < 0，则下列判断正确的是（　　　） A. a > 0，b > 0 B. a < 0，b < 0 C. a，b同号 D. a，b异号 【答案】D 【解析】本题考查有理数除法法则的逆用。两数相除小于0，说明商为负数，根据异号得负可知两数异号。 【解答】解：因为a÷b < 0，即商为负数，根据有理数除法法则"异号得负"，可知a和b异号。 故选：D。 10.（2024-2025学年·广东信宜期末）某公司去年1月—3月平均每月亏损1.5万元，4月—6月平均每月盈利32万元，7月—10月平均每月盈利21.7万元，11月—12月平均每月亏损2.3万元。这个公司去年全年盈亏情况是（　　　） A. 盈利173.7万元 B. 亏损173.7万元 C. 盈利160万元 D. 亏损160万元 【答案】A 【解析】本题考查有理数运算的实际应用。记盈利为正，亏损为负，分别计算各时段盈亏，再求和。 【解答】解：记盈利额为正数，亏损额为负数。 全年盈亏 = (-1.5)×3+32×3+21.7×4+(-2.3)×2 = -4.5+96+86.8-4.6 = 173.7（万元）。 结果为正，说明盈利173.7万元。 故选：A。 二、填空题 11.（2025-2026学年·人教版同步）计算：(-63)÷(-7) = ___9_____。 【答案】9 【解析】本题考查有理数除法法则。同号两数相除得正，并把绝对值相除。 【解答】解：(-63)÷(-7) = +(63÷7) = 9。 故答案为：9。 12.（2024-2025学年·广东海伦期末）化简：- = ____-____。 【答案】 【解析】本题考查分数的化简。分子分母同号得正，再将绝对值约分化为最简分数。 【解答】解：- = -。 故答案为：-。 13.（2025-2026学年·人教版同步）计算：0÷(-2025) = ____0____。 【答案】0 【解析】本题考查0的除法特性。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【解答】解：0除以任何不等于0的数都得0，所以0÷(-2025)=0。 故答案为：0。 14.（2024-2025学年·人教版同步）计算：(-6.5)÷0.13 = ___-50_____。 【答案】-50 【解析】本题考查有理数除法。异号两数相除得负，并把绝对值相除。 【解答】解：(-6.5)÷0.13 = -(6.5÷0.13) = -50。 故答案为：-50。 15.（2025-2026学年·北京期中）计算：-÷(-) = ____3____。 【答案】3 【解析】本题考查有理数除法。除以一个数等于乘这个数的倒数，同号得正。 【解答】解：()÷() = ()×() = +(×) = 3。 故答案为：3。 16.（2024-2025学年·江苏泰州期末）若|a|=6，|b|=3，且a÷b < 0，则a+b = ___3或-3_____。 【答案】3或-3 【解析】本题考查绝对值和有理数除法的综合应用。由a÷b<0可知a、b异号，再结合绝对值求出a、b的值。 【解答】解：因为|a|=6，所以a=6或a=-6； 因为|b|=3，所以b=3或b=-3； 又因为a÷b<0，所以a、b异号。 当a=6，b=-3时，a+b=6+(-3)=3； 当a=-6，b=3时，a+b=-6+3=-3。 所以a+b=3或-3。 故答案为：3或-3。 三、解答题 17.（2025-2026学年·人教版同步）计算： （1）(-18)÷6；　　（2）(-63)÷(-7)；　　（3）1÷(-9)； （4）0÷(-8)；　　（5）(-6.5)÷0.13； （6）-÷(-)。 【答案】（1）-3；（2）9；（3）；（4）0；（5）-50；（6）3。 【解析】本题考查有理数除法法则的直接应用。根据同号得正、异号得负、0除以任何非零数得0进行计算。 【解答】解：（1）(-18)÷6 = -(18÷6) = -3； （2）(-63)÷(-7) = +(63÷7) = 9； （3）1÷(-9) = -(1÷9) = ； （4）0÷(-8) = 0； （5）(-6.5)÷0.13 = -(6.5÷0.13) = -50； （6）()÷() = ()×() = +(×) = 3。 18.（2024-2025学年·人教版同步）化简： （1）-；　　（2）-；　　（3）；　　（4）-。 【答案】（1）-8；（2）；（3）0；（4）。 【解析】本题考查分数的化简。将分数转化为除法运算，再根据除法法则计算，最后约分化为最简分数。 【解答】解：（1） = (-72)÷9 = -(72÷9) = -8； （2） = (-30)÷(-45) = 30÷45 = ； （3） = 0÷(-75) = 0； （4） = (-27)÷(-6) = 27÷6 = 。 19.（2025-2026学年·人教版同步）计算： （1）-÷(-6)；　　（2）-÷9； （3）(-12)÷(-4)÷(-)； （4）-×÷(-0.25)。 【答案】（1）；（2）-4 （或）；（3）（或-2.5）；（4）。 【解析】本题考查有理数的乘除混合运算。先将除法转化为乘法，再确定符号，最后计算结果。带分数要先化为假分数。 【解答】解：（1）()÷(-6) = ()×() = +(×) = 。 （2）(-36)÷9 = -(36 )÷9 = -()×() = -() = -4 。 （3）(-12)÷(-4)÷(-1 ) = 3÷() = 3×() = = 。 （4）()×()÷(-0.25) = ()×()×(-4)，负因数有2个（偶数），积为正； = +(××4) = 。 20.（2024-2025学年·人教版同步）计算： （1）6-(-12)÷(-3)； （2）3×(-4)+(-28)÷7； （3）(-48)÷8-(-25)×(-6)； （4）42×(-)+(-)÷(-0.5)。 【答案】（1）2；（2）-16；（3）-156；（4）-26.5（或）。 【解析】本题考查有理数四则混合运算。按照"先乘除，后加减"的顺序进行计算。 【解答】解：（1）6-(-12)÷(-3) = 6-4 = 2。 （2）3×(-4)+(-28)÷7 = -12+(-4) = -16。 （3）(-48)÷8-(-25)×(-6) = -6-150 = -156。 （4）42×()+()÷(-0.5) = -28+()×(-2) = -28+ = -28+1.5 = -26.5。 21.（2025-2026学年·人教版同步）用简便方法计算： （1）-÷(-5)； （2）-2.5÷×(-)。 【答案】（1）25 （或）；（2）1。 【解析】本题考查运用运算律简化有理数运算。（1）将带分数拆成整数+分数，利用分配律简化；（2）先将除法转化为乘法，再确定符号计算。 【解答】解：（1）(-125 )÷(-5) = (125+)×() = 125×()+()×() = 25+ = 25 。 （2）-2.5÷()×() = ()×()×() = = = 1。 22.（2024-2025学年·人教版同步）某冷冻厂的一个冷库的室温是-2 ℃，现有一批食品需要在-28 ℃冷藏，如果每小时降温4 ℃，问几小时后能降到所要求的温度？ 【答案】6.5小时 【解析】本题考查有理数运算的实际应用。先求出需要降低的温度，再除以每小时降温的度数，得到所需时间。 【解答】解：需要降低的温度为：-2-(-28) = -2+28 = 26（℃）。 所需时间为：26÷4 = 6.5（小时）。 答：6.5小时后能降到所要求的温度。 学科网（北京）股份有限公司 $