第一章空间向量与立体几何章末训练（二）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础概念到综合应用递进，适配单元复习巩固，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|空间向量概念、坐标运算、距离公式|单选1-8、填空12-14，聚焦单一知识点辨析与基础计算| |中档|共面定理、投影向量、线面垂直证明|多选9-11、解答15-16，强化概念辨析与推理表达| |拔高|二面角计算、存在性问题探究|解答18-19，结合空间直角坐标系，培养模型观念与综合应用能力|

第一章 空间向量与立体几何 章末训练（二） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在三棱锥中，（　　） A． B． C． D． 2．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，若，则(        ) A． B． C． D． 5．已知向量，，且，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 6．设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 7．在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 8．已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．关于空间向量，下列说法正确的是（   ） A．若向量和向量都是单位向量，则 B．若向量与向量的夹角为钝角，则 C．若四点共面，对空间中任意一点，有，则 D．若，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为 10．如图，在三棱柱中，分别是所在棱的中点，设，则（　　） A． B． C． D． 11．已知空间向量，，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为钝角，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．已知向量平行于向量，则__________． 13．如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 14．空间中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为（常数）．若，则实数的值为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（17分）在长方体中，，写出由顶点构成的向量中： (1)与模相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与垂直的向量. 16．（17分如图，已知棱长为1的正四面体，分别是，的中点．    (1)用，，表示向量，并求的模长； (2)求证：，； (3)求与所成角的余弦值． 17．（13分已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且，是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．求点的坐标； 18．（15分如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 19．（17分如图，在四棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，在线段上，且． (1)若平面，求的值； (2)若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第一章� �空间向量与立体几何� �章末训练（二）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A B A C A C BCD ACD 题号 11 答案 AB 1．C 【详解】因为，，所以. 2．C 【分析】利用共面向量定理及空间向量基底的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，，向量共面，A错误； 对于B，，故向量共面，故B错误， 对于C，假定向量共面，则存在实数对，使得，故， 而不共面，则，矛盾，故假设不成立，因此向量不共面，C正确； 对于D，，向量共面，D错误； 故选：C 3．A 【详解】点关于平面Oxy对称的点的坐标为. 4．B 【详解】由，得． 5．A 【详解】由题可知，， 因为，所以存在实数，使得， 故，解得，，， 所以. 6．C 【详解】对于A，当时，，显然不存在实数使得，故A错误； 对于B，当时，，显然不存在实数使得，故B错误； 对于C，当时，，，故C正确； 对于D，当时，，，故D错误. 7．A 【分析】根据点到平面距离的向量公式，求出点到平面的距离，再结合锥体体积公式计算即得. 【详解】因为，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 又的面积， 所以三棱锥的体积. 8．C 【详解】由题意可得，又， 则点到平面的距离为. 9．BCD 【分析】根据单位向量的定义判断A，根据数量积的定义判断B，根据空间共面定理的推论判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A，向量和向量都是单位向量，所以模相等，但是方向不一定相同，因此与不一定相等，故A错误； 对于B，若、的夹角为钝角，显然向量和向量都不是零向量， 则为负数，因此，故B正确； 对于C，由四点共面，且，所以， 解得，故C正确； 对于D，因为，， 所以，， 所以向量在向量方向上的投影向量为，故D正确． 故选：BCD． 10．ACD 【分析】结合空间向量基本定理，根据空间向量的加法、减法运算逐项求解即可. 【详解】对于A： ，正确； 对于B： ，错误； 对于C： ，正确； 对于D：由选项AB知， ，正确. 故选：ACD 11．AB 【分析】根据向量的加法的坐标运算，计算即可判断A；根据两向量平行的坐标关系，可判断B；根据投影向量的求法，代数计算，即可判断C；根据夹角为钝角，可得，且与不共线，根据数量积公式求解可判断D. 【详解】对于A，由， 则，即，解得，故正确； 对于B，若，显然与不共线， 若，与共线，则， 解得，故正确； 对于C，因为在上的投影向量为， 所以，即，解得或，故错误； 对于D，若与夹角为钝角，可得，且与不共线， 则，解得，且，即， 所以，故错误， 故选：AB. 12． 【详解】已知向量平行于向量， 则，解得， ． 13． 【详解】在平行六面体中，， 则， 而向量，且不共面， 所以，. 14． 【详解】若直线，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，即， 由，，则， 解得：. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）由长方体体对角线相等，得到与模相等的向量； （2）结合题意，图形及相等向量定义可得答案； （3）由图结合长方体特征可写出与垂直的向量. 【详解】（1）由长方体体对角线相等，可得与模相等的向量有： ； （2）由图，与相等的向量有； （3）由图与垂直的向量有： 16．(1)， (2) 证明：，所以，同理可证,所以：． (3) 【分析】（1）利用向量的三角形法即可表示出向量，两边同时平方即可求得结果. （2）利用数量积等于0，则两个向量垂直即可证明. （3）利用空间向量夹角的计算公式即可求得结果. 【详解】（1），， 所以． （2）略 （3）设为异面直线与所成的角， 17．，，， 【详解】由底面ABCD是边长为的正方形，底面，且，是棱PD的中点， 由图知，，，，，，． 18．(1)因为平面 ，平面 ，所以， 由底面 是正方形，可得，又，且 平面 ， 根据线面垂直的判定定理，可得 平面 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线与，即可推得结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式计算角度. 【详解】（1）略 （2）设，以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，则： ，即， 令，得，即平面的一个法向量为 ， 设直线与平面所成角为，则， 因为，，， 所以，又，所以. 19．(1) (2) 【分析】（1）取的中点，由等腰直角三角形及两平面垂直的性质建立空间直角坐标系；第（1）问求出平面的法向量，利用平面求； （2）利用两平面的法向量求锐二面角的余弦值． 【详解】（1）取的中点为． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，且，所以，且． 又因为平面平面，平面平面，平面，且，所以平面． 由，且三点共线，得； 又因为平面，所以． 因此、与过点且平行于的直线两两垂直． 以为坐标原点，以所在方向为轴正方向，以平行于的方向为轴正方向， 以所在方向为轴正方向，建立空间直角坐标系． 由，，，， 可得 因为在线段上，且，所以，且因此 于是 设平面的一个法向量为． 因为，，所以，． 取，则，，则． 因为平面，所以，即，解得． （2）由（1）可知，当时，平面的一个法向量可取． 由所建空间直角坐标系可知，平面为坐标平面，所以可取平面的一个法向量． 设平面与平面所成的锐二面角为． 因为，，的模为，且两个平面的法向量夹角的锐角等于两平面所成的锐二面角， 所以． 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $